ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NĂM 2021

ĐỊNH LÝ
TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN,
MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18ST, khóa 2018

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hồng Trí


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NĂM 2021

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT
NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN,
MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18ST, khóa 2018

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hồng Trí


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1

1 Những kiến thức cơ bản

3

1.1

Không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric . .

3

1.1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Dãy hội tụ, dãy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . .


3

Hình cầu mở và hình cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Hình cầu mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Hình cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Không gian metric đầy đủ

. . . . . . . . . . . . . . . . .


4

1.5

Tập Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

Hàm Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.8

Ánh xạ co, điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.9

Nghiệm và bài toán giá trị ban đầu


6

1.2

. . . . . . . . . . . .

2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân

8
i


2.1

Chứng minh các mệnh đề cần sử dụng . . . . . . . . . . .

8

2.2

Định lí Picard - Lindelof . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3

Sự phụ thuộc Lipschitz vào điều kiện ban đầu . . . . . . .


14

3 Ứng dụng của Định lý tồn tại duy nhất nghiệm vào các
phương trình vi phân tuyến tính
3.1

17

Một số ứng dụng của Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

17

Một số ứng dụng của Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân vào các phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

KẾT LUẬN

31

Tài liệu tham khảo

32



MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu
Tìm hiểu về hàm Lipschitz, ánh xạ co, nguyên lý ánh xạ co để chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy.
Từ đó, ứng dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính.
2. Lý do chọn đề tài, mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài
ˆ Lí do chọn đề tài:

Trong tốn học, phương trình vi phân là một chun ngành phát triển
có tầm quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa
học kỹ thuật, kinh tế, vật lý ... Chính vì vậy việc nghiên cứu phương
trình vi phân nói chung ln là nhiệm vụ cần thiết.
Đặc biệt trong những năm gần đây, đã có rất nhiều người nghiên cứu
về lý thuyết cũng như ứng dụng của phương trình vi phân. Trong đó việc
nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho các bài toán giá trị ban
đầu của phương trình vi phân là cần thiết để tạo tiền đề cơ sở lí thuyết
vững chắc cho các bài tốn ứng dụng sau này.
Chính vì lí do trên, dưới sự hỗ trợ của giảng viên TS. Lê Hồng Trí,
tơi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình vi phân và một vài ứng dụng " cho bài
khóa luận tốt nghiệp này.
ˆ Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nội dung tập trung vào việc trình bày lại một số kiến thức cơ bản, chứng
minh bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất nghiệm và ứng dụng của Định
lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân vào phương trình
vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2.
ˆ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1


Đối tượng nghiên cứu: Bài tốn Cauchy và phương trình vi phân tuyến
tính.
Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết liên quan đến phương trình vi
phân tuyết tính và bài tốn Cauchy.
ˆ Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kiến thức không gian metric, ánh xạ co để xem xét chứng minh
các mệnh đề liên quan đến nghiệm của bài toán Cauchy, từ đó chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.
ˆ Nội dung và cấu trúc của đề tài

Nội dung gồm 3 chương:
+ Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
+ Chương 2: Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân.
+ Chương 3: Ứng dụng của Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của
phương trình vi phân vào các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
và cấp 2.

2


Chương 1

Những kiến thức cơ bản
1.1
1.1.1


Không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric
Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là
một tập hợp và d : X × X → R là một hàm xác định trên X × X thỏa
mãn các điều kiện sau:
a. Với mọi x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0;
d(x, y) = 0 ⇔ x = y .
b. Với mọi x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x).
c. Với mọi x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Hàm d được gọi là metric trên X . Mỗi phần tử của X được gọi là một
điểm của không gian X , d(x, y) được gọi là khoảng cách của hai điểm
x, y .
1.1.2

Dãy hội tụ, dãy Cauchy

Giả sử với dãy (xn )n = (xn )n∈N trong không gian metric (X, d), ta
nói:
a. (xn )n là dãy hội tụ nếu tồn tại x ∈ X sao cho

d(xn , x) → 0

khi

n → ∞.

b. (xn )n là dãy Cauchy nếu với  > 0, tồn tại p ∈ N sao cho


d(xn , xm ) < 

với mỗi
3

n, m > p.


1.2
1.2.1

Hình cầu mở và hình cầu đóng
Hình cầu mở

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X, d) là một không gian metric, x ∈ X và
r > 0. Tập hợp

B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) < r} ,
được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính r.
1.2.2

Hình cầu đóng

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử (X, d) là một khơng gian metric, x ∈ X và
r > 0. Tập hợp

B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) ≤ r} ,
được gọi là hình cầu đóng tâm x bán kính r.

1.3


Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.3.1. Cho (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không gian metric,
ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi số dương
 đều tồn tại một số dương δ sao cho với mọi x ∈ X , nếu dX (x, x0 ) < δ
thì dY (f (x), f (x0 )) < .
Ta nói ánh xạ f là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .

1.4

Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1. Không gian metric (X, d) được gọi là không gian
metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Định lý 1.4.1. Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy
Cauchy.

1.5

Tập Compact

Định nghĩa 1.5.1. Tập con K ⊂ (X, d) được gọi là tập compact nếu
mỗi dãy bất kỳ (xn )n = (xn )n∈N ⊂ K đều có một dãy con hội tụ đến một
phần tử nào đó của K.
4


1.6


Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6.1. Cho X là một không gian vector trên trường số R.
Hàm k.k : X → R+ được gọi là một chuẩn trên X nếu:
a. kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0.
b. kλxk = |λ|. kxk với mọi λ ∈ R và x ∈ X .
c. kx + y k ≤ kxk + ky k với mỗi x, y ∈ X .
Khi đó, (X, k.k) được gọi là một khơng gian định chuẩn.

1.7

Hàm Lipschitz địa phương

Định nghĩa 1.7.1. Hàm f : D → Rn trong tập D ⊂ R × Rn được gọi
là Lipschitz địa phương theo biến x nếu với mỗi tập compact K ⊂ D, tồn
tại hằng số L > 0 sao cho

kf (t, x) − f (t, y)k 6 L kx − yk

(1.1)

với mỗi (t, x), (t, y) ∈ K .
Định nghĩa 1.7.2. Cho hàm x : I → Rn trong tập I ⊂ Rk được gọi là
Lipschitz nếu tồn tại L > 0 sao cho
|x(t) − x(s)| ≤ L |t − s|
với mỗi t, s ∈ I .

1.8

Ánh xạ co, điểm bất động


Định nghĩa 1.8.1. Ánh xạ T : X → X trong không gian metric (X, d)
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại λ ∈ (0, 1) sao cho

d(T (x), T (y)) ≤ λd(x, y)
với mỗi x, y ∈ X .
Định nghĩa 1.8.2. Với (X, d) là khơng gian metric, ta nói x0 ∈ X là
điểm bất động của phép biến đổi T : X → X nếu T (x0 ) = x0 .
Với T : X → X , ∀x ∈ X , được định nghĩa là

T 0 = x; T 1 = T ; T 2 = T ◦ T ; . . . ; T n = T ◦ T n−1
5

∀n ≥ 1.


1.9

Nghiệm và bài toán giá trị ban đầu

Cho hàm f : D → Rn với D ⊂ R × Rn là tập mở, xét phương trình
có dạng
x0 = f (t, x),
(1.2)
Định nghĩa 1.9.1. Hàm x : (a, b) → Rn thuộc lớp C 1 (với a ≥ −∞ và
b ≤ +∞) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu:
a. (t, x(t)) ∈ D với mọi t ∈ (a, b).
b. x0 (t) = f (t, x(t)) với mỗi t ∈ (a, b).

Hình 1.1: Nghiệm x = x(t) của phương trình x0 = f (t, x).


Ví dụ 1.9.1. Xét phương trình

x0 = −x + t.

(1.3)

Nếu x = x(t) là nghiệm, khi đó

x0 (t) + x(t) = t
⇔ et (x0 (t) + x(t)) = et t
⇔ et x0 (t) + et x(t) = et t
⇔ (et x(t))0 = et t
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

et x(t) = et (t − 1) + c

với c ∈ R.

Do đó, nghiệm của (1.3) thu được

x(t) = t − 1 + ce−t , t ∈ R.
6

(1.4)


Định nghĩa 1.9.2. Cho hàm f : D → Rn trong tập mở D ⊂ R × Rn ,
cho bởi phương trình
x0 = f (t, x).

Với (t0 , x0 ) ∈ D, việc tìm nghiệm x(t) : (a, b) → Rn thỏa
 0
x (t) = f (t, x(t))
x(t0 ) =
x0

(1.5)

được gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban đầu).
Ví dụ 1.9.2. Tiếp theo ví dụ 1.9.1.
Xét bài toán giá trị ban đầu
 0
x = −x + t
x(0) =
x0
Lấy t = 0 trong nghiệm 1.4 ta được x(0) = −1 + c, suy ra c = 1.
Do đó, nghiệm của (1.6) là

x(t) = t − 1 + e−t , t ∈ R.

7

(1.6)


Chương 2

Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân
2.1


Chứng minh các mệnh đề cần sử dụng

Mệnh đề 2.1.1. [2] Cho (X, k.k) là không gian định chuẩn, khi đó hàm
d : X × X → R+ được định nghĩa bởi d(x, y) = kx − y k là metric trong
X.
Chứng minh. Đầu tiên ta thấy
∀x, y ∈ X, d(x, y) = kx − y k ≥ 0 và
d(x, y) = 0
⇔

kx − y k = 0

Vì (X, k.k) là không gian định chuẩn nên

kx − y k = 0

thì x − y = 0 ⇔ x = y.

Do đó, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y .
Tiếp theo, ∀x, y ∈ X ta xét:
d(y, x) = ky − xk = k−(x − y)k
= | − 1|. kx − y k = kx − y k
= d(x, y)
do đó, d(y, x) = d(x, y).
Cuối cùng,∀x, y, z ∈ X ta xét
d(x, y) = kx − y k
= k(x − z) + (z − y)k
≤ kx − z k + kz − y k
= d(x, z) + d(z, y).

8


Từ 3 điều trên, mệnh đề đã được chứng minh.
Mệnh đề 2.1.2. [2] Tập X = C(I) là tập tất cả các hàm liên tục x :
I → Rn với I là 1 tập khác rỗng bất kỳ và I ⊂ Rk , thì X là một khơng
gian metric đầy đủ với metric

d(x, y) = sup {kx(t) − y(t)k : t ∈ I} .

(2.1)

Chứng minh. Ta dễ dàng thấy rằng d là một metric trên X, cho (xp )p là
dãy Cauchy trong X . Với mỗi t ∈ I , ta có

kxp (t) − xq (t)k ≤ d(xp , xq ),

(2.2)

vì vậy (xp (t))p là dãy Cauchy trong Rn . Do đó, nó hội tụ và tồn tại giới
hạn
x(t) = lim xp (t).
(2.3)
p→∞

Mặt khác, (xp (t))p là dãy Cauchy nên với  > 0, tồn tại r ∈ N sao cho

kxp (t) − xq (t)k < 

(2.4)


với mỗi t ∈ I và p, q ≥ r.
Khi q → ∞, (2.4) tương ứng với

kxp (t) − x(t)k ≤ 

(2.5)

với mỗi t ∈ I và p ≥ r.
Bây giờ ta xét hàm x : I → Rn . Với mỗi t, s ∈ I , ta có

kx(t) − x(s)k ≤ kx(t) − xp (t)k + kxp (t) − xp (s)k + kxp (s) − x(s)k .
(2.6)
kx(t) − x(s)k ≤ 2 + kxp (t) − xp (s)k .
Lấy p = r, (2.6) có dạng

kx(t) − x(s)k ≤ 2 + kxr (t) − xr (s)k
với mỗi t, s ∈ I .
Vì xr là hàm liên tục, với t ∈ I , tồn tại δ > 0 sao cho

kxr (t) − xr (s)k <  khi

kt − sk < δ.

Suy ra, (2.7) tương đương với

kx(t) − x(s)k < 3 khi
9

kt − sk < δ,


(2.7)


và x liên tục.
Hơn nữa, theo (2.5) với  > 0, tồn tại r ∈ N sao cho

kx(t)k ≤ kxp (t) − x(t)k + kxp (t)k
≤  + sup {kxp (t)k : t ∈ I} < +∞
với mỗi p ≥ r, do đó x ∈ X .
Hơn nữa, cũng theo (2.5) ta được

d(xp , x) = sup {kxp (t) − x(t)k : t ∈ I} ≤ 
với mỗi p ≥ r và do đó d(xp , x) → 0 khi p → ∞.
Do đó, X là khơng gian metric đầy đủ.
Mệnh đề 2.1.3. [2] Cho Y ⊂ C(I) là tập những hàm Lipschitz với hằng
số L ở (1.1) thì Y là 1 không gian metric đầy đủ với metric d ở (2.1)
Chứng minh. Theo mệnh đề (2.1.2), ta có thể thấy (xp )p là dãy Cauchy
trong Y (do đó cũng là dãy Cauchy trong C(I)), khi đó giới hạn của nó
sẽ thỏa mãn (2.1).
Khi đó, Giả sử (xp )p là một dãy Cauchy trong Y.
Ta có
kxp (t) − xp (s)k ≤ L kt − sk
(2.8)
với t, s ∈ I, p ∈ N.
Mặt khác, theo (2.3) ta có: với mỗi t ∈ I ,

xp (t) → x(t)

khi


p → ∞,

do đó (2.8) suy ra x ∈ Y .
Do đó, (X, d) là không gian metric đầy đủ.
Mệnh đề 2.1.4. [2] Giả sử f : D → Rn là hàm liên tục trong tập mở
D ⊂ R × Rn . Cho (t0 , x0 ) ∈ D, x : (a, b) → Rn là hàm liên tục trong
khoảng (a, b) chứa t0 là nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) khi và chỉ khi
Z t
x(t) = x0 +
f (s, x(s)) ds
(2.9)
t0

với mỗi t ∈ (a, b).

10


Chứng minh. "⇒" Giả sử x = x(t) là nghiệm của bài toán Cauchy (1.5).
Với mỗi t ∈ (a, b),ta có
Z t
Z t
0
x(t) − x0 = x(t) − x(t0 ) =
x (s)ds =
f (s, x(s))ds,
t0

t0


đúng theo (2.9).
"⇐ ” Chứng minh ngược lại, giả sử (2.9) đúng với t ∈ (a, b), khi đó với
t = t0 , thay vào (2.9) ta được:
Z t0
x(t0 ) = x0 +
x0 (s)ds
t0

⇔ x(t0 ) = x0 .
Lấy đạo hàm đối với t, ta được:

x0 (t) = f (t, x(t))

(2.10)

với mỗi t ∈ (a, b).
Vì t 7→ f (t, x(t)) liên tục và x thuộc lớp C 1 , do đó x(t) là nghiệm của
bài toán (1.5).
Định lý 2.1.5. [2] Nếu T : X → X là một ánh xạ co trong không gian
metric đầy đủ (X, d), khi đó T có duy nhất một điểm bất động. Hơn nữa,
với mỗi x ∈ X , dãy (T n (x))n hội tụ đến điểm bất động duy nhất của T .
Chứng minh. Cho x ∈ X , xét dãy xn = T n (x) với n ∈ N.
Với mỗi m, n ∈ N với m > n, ta có

d(xm , xn ) ≤ d(xm , xm−1 ) + d(xm−1 , xm−2 ) + · · · + d(xn+1 , xn )


≤ λm−1 + λm−2 + · · · + λn d(T (x), x)
m−n
n1 − λ

d(T (x), x)
=λ
1−λ
λn
≤
d(T (x), x).
1−λ
Do đó, (xn )n là dãy Cauchy trong X nên dãy (xn )n có giới hạn, gọi là x0 .
Vì (X, d) là khơng gian metric đầy đủ nên x0 ∈ X .
Khi đó ta được

d (T (xn ), T (x0 )) ≤ λd (xn , x0 ) → 0 khi n → ∞.
11


Do đó, (T (xn ))n hội tụ đến T (x0 ).
Nhưng do T (xn ) = xn+1 nên (T (xn ))n cũng hội tụ đến x0 .
Vì mỗi dãy hội tụ trong khơng gian metric có giới hạn duy nhất nên

T (x0 ) = x0 ,
do đó, x0 là điểm bất động của T .
Giả sử rằng y0 ∈ X cũng là điểm bất động của T .
Khi đó
d (x0 , y0 ) = d (T (x0 ), T (y0 )) ≤ λd (x0 , y0 ) .

(2.11)

Vì λ < 1, do đó (2.11) cho thấy rằng x0 = y0 .
Do đó, điểm bất động của T là duy nhất.
Và với mỗi x ∈ X , dãy (T n (x))n hội tụ đến điểm bất động của T .

Từ việc chứng minh định lý, ta có thể thấy:
nếu x0 ∈ X là điểm bất động duy nhất của ánh xạ co: T : X → X , khi
đó
λn
n
d (T (x), x0 ) ≤
d (T (x), x)
1−λ
với mỗi x ∈ X và n ∈ N. Hơn nữa, mỗi dãy (T n (x))n hội tụ đến x0 .

2.2

Định lí Picard - Lindelof

Định lý 2.2.1. [2] Nếu hàm f : D → Rn liên tục và Lipschitz địa phương
theo biến x trong tập mở D ⊂ R × Rn , thì ∀ (t0 , x0 ) ∈ D tồn tại nghiệm
duy nhất của bài toán Cauchy (1.5) trong khoảng mở chứa t0 .
Chứng minh. Theo mệnh đề (2.1.4), nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) là
hàm x ∈ C(a, b) với (a, b) chứa t0 sao cho:
Z b
x(t) = x0 +
f (s, x(s))ds với mọi t ∈ (a, b).
(2.12)
a

Ở đây, C(a, b) là tập những hàm liên tục y : (a, b) → Rn .
Lấy a < t0 < b và β > 0 sao cho:

K := [a × b] × B (x0 , β) ⊂ D,
với


B (x0 , β) = {y ∈ Rn : ||y − x0 || 6 β} .
12

(2.13)


Giả sử X ⊂ C(a, b) là tập các hàm liên tục x : (a, b) → Rn sao cho:

||x(t) − x0 || 6 β

(2.14)

với t ∈ (a; b).
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng (X, d) là không gian metric đầy đủ với

d(x, y) = sup {||x(t) − y(t)|| : t ∈ (a, b)}.
Cho (xp )p là dãy Cauchy trong X , từ định lý (2.1.2) suy ra nó hội tụ và
tồn tại giới hạn đến hàm x ∈ C(a, b):

x(t) = lim xp (t)
p→∞

Để chứng minh rằng x ∈ X , ta có ||xp (t) − x0 || ≤ β nên

||x(t) − x0 || = lim ||xp (t) − x0 || ≤ β
p→∞

với t ∈ (a, b) và p ∈ N.
Hơn nữa ta có thể thấy, nếu x : (a, b) → Rn là một hàm liên tục thỏa

mãn (2.12), khi đó:
Z t
f (s, x(s))ds|| ≤ |t − t0 |M ≤ (b − a)M
||x(t) − x0 || ≤ ||
t0

với

M = max {||f (t, x)|| : (t, x) ∈ K} < +∞

(2.15)

(vì f là hàm liên tục và K là compact).
Điều này cho thấy rằng nếu x ∈ C(a, b) thỏa mãn (2.12) khi đó x ∈ X .
Suy ra, (X, d) là 1 không gian metric đầy đủ.
Bây giờ, chúng ta xét ánh xạ T được định nghĩa bởi
Z t
T (x)(t) = x0 +
f (s, x(s))ds
t0

với mỗi x ∈ X.
Ta thấy t → T (x)(t) liên tục và
Z t
kT (x)(t) − x0 k ≤ ||
f (s, x(s))ds|| ≤ (b − a)M.
t0

13



Khi b − a đủ nhỏ, ta có (b − a)M ≤ β và do đó T (x) ⊂ X .
Hơn nữa, với x, y ∈ X ,
Z t
kT (x)(t) − T (y)(t)k ≤ ||
[f (s, x(s)) − f (s, y(s))] ds||
t0
Z t
≤|
L||x(s) − y(s)||ds|
t0

≤ (b − a)Ld(x, y)
với L là hằng số trong (1.1) với tập compact K ở (2.13) và metric d ở
(2.1) với I = (a, b).
Do đó,
d(T (x)(t) − T (y)(t)) ≤ (b − a)Ld(x, y)
với mỗi x, y ∈ X .
Khi b − a đủ nhỏ, ta được (b − a)L < 1, (ngoài ra (b − a)L ≤ β )
và T là một phép co trong khơng gian metric đầy đủ X.
Theo định lí (2.1.5), ta kết luận T có duy nhất một điểm bất động x ∈ X .
Do đó, đây là một hàm liên tục duy nhất trong (a, b) thỏa mãn (2.12).

2.3

Sự phụ thuộc Lipschitz vào điều kiện ban đầu

Mệnh đề 2.3.1. [2] Giả sử u, v : [a, b] → Rn liên tục và v ≥ 0, giả sử
c ∈ R. Nếu
Z t

u(s)v(s)ds
(2.16)
u(t) ≤ c +
a

với mỗi t ∈ [a, b], khi đó

u(t) ≤ c exp

Z

t

v(s)ds
a

với mỗi t ∈ [a, b].
Chứng minh. Ta đặt
t

Z

R(t) =

u(s)v(s)ds
a

và
Z


V (t) =

t

v(s)ds.
a
14


Rõ ràng, R(a) = 0 và theo giả thiết,

R0 (t) = u(t)v(t) ≤ (c + R(t)) v(t).
Do đó,

R0 (t) − v(t)R(t) ≤ cv(t)

và

d  −V (t)
e
R(t) = e−V (t) (R0 (t) − v(t)R(t))
dt
≤ cv(t)e−V (t) .
Vì R(a) = 0, ta có
−V (t)

e

Z


t

cv(τ )e−V (τ ) dτ
a

τ =t
= −ce−V (τ )
τ =a

R(t) ≤

= c(1 − e−V (t) ),
và do đó

R(t) ≤ ceV (t) − c

với mỗi t ∈ [a, b].
Định lý 2.3.2. [2] Giả sử f : D → Rn liên tục và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz địa phương theo biến x trong tập mở D ⊂ R × Rn . Lấy
(t0 , x1 ) ∈ D, tồn tại hàng số β, C > 0 và khoảng I chứa t0 sao cho với
mỗi x2 ∈ Rn với kx1 − x2 k < β x1 (t) và x2 (t) lần lượt là nghiệm của bài
toán giá trị ban đầu
 0
 0
x
= f (t, x)
x
= f (t, x)
và
(2.17)

x(t0 ) =
x1
x(t0 ) =
x2
thỏa mãn

kx1 (t) − x2 (t)k ≤ C kx1 − x2 k

(2.18)

với t ∈ I .
Chứng minh. Theo định lý Picard - Lindelof (định lý 2.2.1), bài toán giá
trị ban đầu (2.17) có duy nhất nghiệm x1 (t) và x2 (t) trong khoảng I chứa
t0 .
Hơn nữa, theo định lý (2.1.4), ta có
Z t
xi (t) = xi +
f (s, x(s))ds
(2.19)
t0
15


với t ∈ I và i = 1, 2.
Bây giờ ta sẽ xét đối với trường hợp t ≥ t0 , trường hợp t ≤ t0 được thực
hiện tương tự.
Ta xét hàm y : I → Rn được định nghĩa bởi

y(t) = x1 (t) − x2 (t).
Với t ≥ t0 , từ (2.19) ta được


ky(t)k ≤ kx1 − x2 k +

t

Z

kf (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))k ds

t0

≤ kx1 − x2 k + L

Z

t

ky(s)kds,

t0

với L là hằng số (vì f Lipzchits
Giả sử
(
u(t)
v(t)
c

địa phương theo biến x).


= ky(t)k
=
L
= kx1 − x2 k

theo định lý (2.3.1) ở trên, ta được
Z t
u(t) ≤ c exp
v(s)ds = kx1 − x2 k eL(t−t0 )
t0

với t ∈ I ∩ [t0 ; +∞).
Định lý đã được chứng minh.

16