6.3 Phương pháp toán tử Laplace
6.3.1 Giới thiệu phương pháp
6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất
6.3.3 Dạng toán tử đònh luật mạch
6.3.4 Biến đổi ngược Laplace
6.3.5 p dụng cho bài toán quá độ
6.3.6 PP toán tử và bài toán không chỉnh
6.3.7 PP toán tử cho thành phần tự do.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 1
6.3.1 Giới thiệu phương pháp
Bài toán
quá độ
Hệ
PTVP
PTVP
(1)
Nghiệm
xác lập
Nghiệm
tự do
y(t) = y
xl
(t) + y
td
(t)
Phương trình
toán tử (biến s)
u
c
(0

-
)
i
L
(0
-
)
Sơ
kiện
Ảnh Laplace của tín
hiệu cần tìm Y(s)
y(t)
Giải phương
trình đại số
Biến đổi
ngược
Biến đổi
Laplace
Toán tử
trực tiếp
sơ đồ
mạch
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 2
6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất

Hàm trễ 1(t-t
0
) :


Hàm đơn vò 1(t) :

Biến đổi ngược Laplace:
f(t) = £
-1
{F(s)} = hàm gốc của F(s)
(Dùng bảng tra gốc ảnh &đònh lý
Heavyside )

Biến đổi Laplace:
F(s) = £{f(t)} = ảnh Laplace của
f(t)
(Dùng bảng tra gốc ảnh)
0
() ()
st
Fs f te dt
f


³
1
() ()
2
j
st
j
f
tFseds
j

VZ
VZ
S



³
1:0
1( )
0:0
khi t
t
khi t
l!


®
l
¯
0
0
0
1:
1( )
0:
khi t t
tt
khi t t
l!



®
l
¯
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 3
 Các hàm cơ bản và ảnh Laplace

Hàm xung Dirac (impulse
func.)
G
(t) và hàm trễ của nó:

Ta có :
Và :
£{
G
(t)} = 1 ; £{
G
’(t)} = s …
0:0
()
:0
khi t
t
khi t
G
lz



®
fl
¯
0
0
0
0:
()
:
khi t t
tt
khi t t
G
lz


®
fl
¯
1( )
()
dt
t
dt
G

%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 4
Baỷng tớnh chaỏt cuỷa bieỏn ủoồi Laplace
1. Ê{f(t).1(t)} = Ê{f(t)}

2. Ê{f
1
(t)
r
f
2
(t)} = F
1
(s)
r
F
2
(s)
3. Ê{k.f(t)} = k.F(s)
4. Ê{e
-at
f(t)} = F(s+a)
5. Ê{t.f(t)} =
6. Ê{f(t-t
0
).1(t-t
0
)} = F(s).e
-st0
7. Ê{df(t)/dt} = sF(s)- f(0
-
)
8. Ê
9.
10.

()dF s
ds

0
()
{()}
t
F
s
ftdt
s


0
lim ( ) (0 ) lim[ . ( )]
s
t
f
t
f
sF s


of
o

0
lim ( ) ( ) lim[ . ( )]
ts
ft f sFs

of o
f
%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 5
Xaực ủũnh aỷnh Laplace cuỷa caực haứm
1. f(t) = 1(t)
F(s) = 1/s
2. f(t) = 1(t t
0
)
3. f(t) = E (nguon DC)
F(s) = E/s
4. f(t) = E.e
-at
F(s) = E/(s+a)
5. f(t) = E.1(t-t
0
)
F(s) = (E/s).e
-st
0
6. f(t) = Asin(
Z
t)
7. f(t) = Asin(
Z
t +
M
) (nguon ACừ)
8. f(t) = At + B

F(s) = A/s
2
+ B/s
0
1
()
s
t
Fs e
s


22 22
() cos( ) sin( )
s
Fs A
ss
Z
M
M
ZZ
ê

ôằ

ơẳ
22
()Fs A
s
Z

Z


%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 6
Ảnh Laplace của các hàm xung
9. Do f(t) = E[1(t) – 1(t - T)]
10. Biến đổi :
E
f(t) = E[1(t) - 1(t - T)]
t
0
T
E
0
T
t
f(t) = (Et/T)[1(t) - 1(t - T)]

() 1
s
T
E
Fs e
s


( ) .1( ) ( ).1( ) .1( )
EE
f

ttt tTtTEtT
TT


2
1
() 1
s
TsT
EE
F
see
Ts s


%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 7
6.3.3 Dạng toán tử các luật của mạch
1. Luật Ohm dạng toán tử :
a) Điện trở: Ởmiền s , giữ
nguyên là điện trở
b) Điện cảm: hai sơ đồ
sL = cảm kháng toán tử (
:
)
c) Tụ điện : Hai sơ đồ
1/sC = dung kháng toán tử
(
:
)

R R
C
1/sC
+
_
+
_
sC
+-
I
R
(s)
+-
U
R
(s)
L
i
L
(t)
u
C
(t)
sL
Li
L
(0
-
)
i

L
(0
-
)/s
I
L
(s)
1/sL
u
C
(0
-
)/s
+
-
U
C
(s)
C.u
C
(0
-
)
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 8
 Luật Ohm dạng toán tử (tiếp theo)
d) Hỗ cảm :
sM = cảm kháng hỗ cảm toán
tử (
:

)
e) Nguồn : chỉ thay thế bằng
ảnh Laplace tương ứng.
f) Các phần tử khác không đổi.
+
_
+
_
e(t)
j(t)
E(s)
J(s)
+
_
+
_
+
_
+
_
L
1
L
2
sL
1
sL
2
M
**

**
sM
i
1
(t) i
2
(t)
I
1
(s) I
2
(s)
L
2
i
2
(0
-
)L
1
i
1
(0
-
)
Mi
2
(0
-
)Mi

1
(0
-
)
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 9
 Luật Ohm dạng toán tử (tiếp theo)

Trên một nhánh bất kỳ của sơ
đồ toán tử , ta có :
U(s) = Z(s).I(s)
Hay:
I(s) = Y(s).I(s)
Z(s) = trở kháng toán tử (
:
)
Y(s) = dẫn nạp toán tử (S)

Z(s) và Y(s) đều tuân theo các
phép biến đổi tương đương như
điện trở và điện dẫn.
2
1/0,5s
I(s)
U(s)
+
-
Z(s)
Z(s)
=

0,5s
Z(s) = 0,5s+(2/0,5s)/(2+1/0,5s)
= 0,5s+2/(s+1)
aa
bb
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 10
2. Luật Kirchhoff dạng toán tử

Luật K1 :

Luật K2 :

Việc xét dấu như đối với mạch điện trở.

Do các luật Ohm và Kirchhoff viết cho mạch toán tử cũng
tương tự viết cho mạch phức nên ta có thể áp dụng các
phương pháp phân tích mạch xác lập đã học cho sơ đồ
toán tử khi tìm ảnh Laplace bất kỳ.
() 0
k
node
Isr
¦
() 0
k
loop
Usr
¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%

&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 11
6.3.4 Biến đổi ngược Laplace

Rút gọn ảnh Laplace Y(s) về phân thức hữu tỉ tối giản:

Phương trình A(s) = 0 vẫn gọi là PTĐT. Các trường hợp :
1. PTĐT có nghiệm thực , đơn: s
i
: i = 1
y
n .
Với các hệ số :
1
110
1
110

()
()
( )
mm
mm
nn
nn
bs b s bs b
Bs
Ys
A
sasas asa








1
() .1()
i
n
st
i
i
y
tKet


¦
() ()
lim ( )
() '()
i
i
ii
ss
s
s
Bs Bs
Kss
As A s

o

§·

¨¸
©¹
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 12
 Biến đổi ngược Laplace (tiếp theo)
2. PTĐT có nghiệm bội : s
1
bội r . Ta biến đổi :
Trong đó :
Khi tìm hàm gốc ta dùng công thức :
1,1 1,2 1,
1
2
11 1 1
()

()()() ()
r
n
r
r
rn
KK K
K
Bs K
A

sss ss ss ss ss


  
  
1
1, 1
;1
1()
()
()! ()
rk
r
k
rk
s
sk r
dBs
Kss
rkds As


y
ªº

«»

¬¼
1
11

1
11
.1( )
()(1)!
st
r
r
L
te t
ss r

½

®¾

¯¿
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 13
 Biến đổi ngược Laplace (tiếp theo)
3. PTĐT có nghiệm phức : s
1,2
= -
D
+ j
E
, các nghiệm còn lại
là thực , phân biệt :

Lưu ý : Các hệ số K
i

trong phần 2. và 3. xác đònh như cho
nghiệm thực , đơn trong phần 1. .
1
1
3
1
()
() 2Re
'( )
i
n
s
t
st
i
i
Bs
yt e Ke
As

½

®¾
¯¿
¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 14
6.3.5 p dụng cho bài toán quá độ
Các bước áp dụng cho bài toán quá độ :


Xác đònh u
C
(0
-
) và i
L
(0
-
) .

Xây dựng sơ đồ toán tử cho mạch tại t > 0 .Chú ý xác đònh
ảnh Laplace của tác động và của tín hiệu cần tìm.

p dụng các phương pháp phân tích mạch để xác đònh
ảnh Laplace Y(s) của tín hiệu cần tìm.
(P
2
bđtđ; P
2
dòng nhánh; P
2
thế nút; P
2
dòng mắc lưới …)

Biến đổi ngược Laplace tìm y(t) từ Y(s).
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 15
 Phương pháp toán tử : Ví dụ 1
 Khóa K mở ra tại t = 0 ,

tìm áp u(t) khi t > 0 ?
Giải

Khi t < 0 : Ta có u
C
(0
-
) = 4 (V)

Sơ đồ toán tử như hình bên.

Tìm U(s) bằng thế nút.

Và :
8/3
()
0,5
Us
s


^`
1
1
2
8
() ()
3
t
ut L Us e




%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 16
 Phương pháp toán tử : Ví dụ 2

Cho mạch điện như hình bên ,
khóa K đóng lại tại t = 0 , biết
i
L
(0
-
) = 0 và u
C
(0
-
) = 0 , xác đònh
i(t) khi t > 0 ?
Giải

Sơ đồ toán tử như hình bên.

p dụng phương pháp dòng
mắc lưới :
848
6()20,5()
s
Is Us
sss

§· §·
  
¨¸ ¨¸
©¹ ©¹
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 17
 Ví dụ 2 (tiếp theo)
Mà :
Vậy:

Biến đổi ngược:
K
1,2
= 4 ; K
1,1
= -1; K
3
= 1
i(t) = (-1 + 4t)e
-4t
+ 1 (A)
2
() () 2Us Is
s
§·

¨¸
©¹
2
1,2 1,1

3
2
8( 2)
()
(816)
(4) (4)
s
Is
ss s
KK
K
s
ss





%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 18
 Phương pháp toán tử : Ví dụ 3

Cho mạch như hình bên, biết
i
L
(0
-
) = 0 và u
C
(0

-
) = 0 ; xác
đònh u(t) tại t > 0 theo phương
pháp toán tử Laplace ?
Giải

Sơ đồ toán tử như hình bên.

p dụng phương pháp dòng
mắc lưới :
2
4112
2()ssIs
sss
§·

¨¸
©¹
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 19
Vớ duù 3 (tieỏp theo)

Coự :

Heavyside:

Vaọy: u(t) = [(16t + 8)e
-t
].1(t) V


2
2
12 4
()
1
s
Is
s




2
24 8
()
1
s
Us
s




1,2 1,1
2
()
1
1
K
K

Us
s
s



1,2
1
24 8 ) 16
s
Ks


1,1
1
(24 8 )
8
s
ds
K
ds



%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 20
 Phương pháp toán tử : Ví dụ 4

Cho mạch như hình bên, xác
đònh u(t) tại t > 0 ?

Giải

Khi t < 0 :
i
L
(0
-
) = 1 A và u
C
(0
-
) = 1 V.

Sơ đồ toán tử và thế nút:
1
2
141
21
1
11
22
s
ss
s
M
M
ªºªº
 
«»«»
ªº


«»«»
«»
¬¼
«»«»

«»«»
¬¼¬¼
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 21
Vớ duù 4 (tieỏp theo)

Tỡm u(t) : nghieọm phửực
12
12
(2 1) 3
2(2) 1
ss
s
MM
MM


đ


2
2
216 27
()

(2)(21)2 2 32
ss
Us
ss sss
M



1
37
44
sj
1
1
1
() 3 7 14
'( )
6276
0,5 2 2,13 76,5
27
43
s
o
Bs j
As
j
j
s
s







0,75
7
( ) 4, 26 cos 76, 5
4
to
ut e t

Đã

ăá
ăá
âạ
%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 22
 Phương pháp toán tử : Ví dụ 5

Cho mạch như hình bên, xác
đònh u(t) tại t > 0 ?
Giải

Khi t < 0 :
i
L
(0
-

) = 0 .

Sơ đồ toán tử : như hình bên
>@
( ) 1( ) 1( ) .1( ) ( )1( ) .1( )
EEE
et t t tT t t tT tT E tT
TTT
 
2
1
() 1
sT sT
EE
E
see
Ts s

ªº

¬¼
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 23
Vớ duù 5 (tieỏp theo)

Tỡm aỷnh U(s) :
Vụựi :
() 1
() ()
1

REs
Us Es
sL R T
s
T



2
2
11
() 1
11
sT sT
EE
Us e e
TT
ss ss
TT

ê

ơẳ
Đã Đã

ăá ăá
âạ âạ
12
() ()1 ()
sT sT

Us Fs e F se

ê

ơẳ
1
()
t
T
E
ft t E Ee
T


2
()
t
T
f
tEEe


%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 24
Vớ duù 5 (tieỏp theo)

Tỡm haứm goỏc u(t) :
() 1() ( ) 1( )
1( )
ttT

TT
tT
T
EE
ut t E Ee t t T E Ee t T
TT
EEe tT




êê

ôằô ằ
ơẳơ ẳ
ê

ôằ
ơẳ
;(0 )
()
;( )
t
T
t
T
E
tEEe tT
T
ut

Ee t T






đ

!

%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 25