CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
1
§1
2
TỪ 0 0 ĐẾN 1800
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
. Đị h ghĩa
Trong mặt phẳng tọầ độ
góc
0
180 ,àtầ
0
y
Oxy .Với
mỗi
àđị hàđiểm M trên
0
M(x;y)
Q
t àđường nửầđườ gàt àđơ àvị tâm O sao cho
. Giả sử điểm M có tọầđộ x ; y .
Khiàđ :
O
P
x
Hình 2.1
sin
y; cos
y
(
x
x; tan
số sin , cos , tan , cot
x
(
y
900 ); cot
0 0,
được gọi là giá trị lượng giác của góc
1800 ) Các
.
Chú ý: Từ đị hà ghĩaàtaà :
Gọi P, Q lầ àlượt là hình chiếu của M lên trụ àO ,àO àkhiàđ à M OP ;OQ .
Với 00
1800 ta có 0
Dấu của giá trị lượng giác:
Góc
sin
1;
1
cos
900
00
+
+
+
+
sin
cos
tan
cot
1
1800
+
-
2. Tính chất
Góc phụ nhau
0
)
cos
cos(900
)
sin
0
)
cot
cot(900
)
tan
sin(90
tan(90
3. Giá trị lượng giác của á g
Góc
00
đặc biệt
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
sin
cos
tan
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
0
3
3
1
3
3
1
3
3
cot
4. Các hệ thứ lượ g giá
sin
(
cos
cos
2) cot
(
sin
3) tan .cot
1(
tan2
6) 1
cot2
2
2
3
2
–1
3
1
3
3
0
3
3
1
3
900 ) ;
00 ; 1800 )
00 ; 900 ; 180 0 )
cos2
5) 1
0
0
ơ ản
1) tan
4) sin2
1
2
2
2
1
1
cos2
1
sin2
(
900 )
(
00 ; 1800 )
Chứng minh:
- Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ đị hà ghĩa.
- Ta có sin
OQ, cos
Suy ra sin2
cos2
OP
2
2
OQ
OP
+ Nếu
00 ,
900 hoặc
+ Nếu
00 ,
900 và
sin2
cos2
Vậy ta có sin2
OQ 2
cos2
Mặt khác 1
tan2
1
Tươ gàtự 1
cot2
1
OQ 2
OP 2
1800 thì dễ dàng thấy sin2
1
1800 khiàđ àtheồđịnh lý Pitago ta có
OP 2
OQ 2
QM 2
OM 2
1
1
sin2
cos2
cos2
sin2
cos2
sin2
cos
2
sin2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
cos2
sin2
1
cos2
1
sin2
DẠNG 1 : X càđịnh giá trị lượng giác củaàg càđặc biệt.
. Phươ g pháp giải.
cos2
Sử dụng đị hà ghĩaàgi àt ị lượng giác của một góc
su à ầđược 5)
su à aàđược 6)
Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượngàgi àđặc biệt
Sử dụng các hệ thứ àlượ gàgi à ơà ản
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A
a 2 sin 900
b) B
3
c) C
sin2 450
b 2 cos 900
sin2 900
c 2 cos1800
2 cos2 600
2 sin2 500
3 tan2 450
3 cos2 450
2 sin2 400
4 tan 550. tan 350
sin2 400
4 tan 550.cot 550
Lời giải
a 2 .1
a) A
b 2 .0
3
c) C
sin2 450
C
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
b) B
c2.
2
3
2
3 cos2 450
2
3
2
a2
c2
2
1
2 sin2 500
2
2 sin2 500
cos2 400
1
2
4
3
2
2
4
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A
sin2 30
sin2 150
b) B
cos 00
cos 200
c) C
tan 50 tan100 tan150... tan 800 tan 850
sin2 750
cos 400
sin2 87 0
...
cos1600
cos1800
Lời giải
sin2 30
sin2 87 0
sin2 30
cos2 30
a) A
1
1
cos 00
b) B
cos 00
sin2 150
sin2 150
sin2 750
cos2 150
2
cos1800
cos 00
cos 200
cos 200
cos1600
cos 200
cos 800
...
...
cos 800
0
tan 50 tan 850
c) C
tan 50 cot 50
1
tan150 tan 750 ... tan 450 tan 450
tan150 cot 50 ... tan 450 cot 50
cos1000
cos 800
4
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A
sin 450
b) B
4a 2 sin2 450
c) C
sin2 350
d) D
1
tan 300
5 sin2 730
12
tan2 760
5 cot1200
3(a tan 450 )2
sin2 20
cos3 10
cos3 20
...
cos2 350
5 cos2 730
sin2 890
cos3 30
4 sin 1350
(2a cos 450 )2
5 tan 850 cot 950
sin2 10
e) E
f) F
2 cos 600
12 sin2 1040
sin2 900
cos3 1790
...
cos3 1800
Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P
4 tan x
x
300
0
4 .sin x .cot 4x
26
8 tan2 30
0
1
2
tan 5x
x
3
0
8 cos2 x
30 khi
DẠNG 2 : Chứ gà i hà đẳng thứcà lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x,
đơ àgiản biểu thức.
. Phươ g pháp giải.
Sử dụng các hệ thứ àlượ gàgi à ơà ản
Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
Sử dụng các hằ gàđẳng thức đ gà hớ .
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Chứ gà i hà
a) sin 4 x
cos4 x
b)
1
1
c)
cos x sin x
cos3 x
cot x
cot x
àđẳng thức sau(giả sử các biểu thứ àsauàđềuà à ghĩa)
2 sin2 x .cos2 x
1
tan x
tan x
1
1
tan3 x
tan2 x
tan x
1
Lời giải
a) sin 4 x
cos4 x
sin 4 x
sin2 x
1
b)
c)
1
1
1
cot x
cot x
1
cos x sin x
cos3 x
cos2 x
2 sin2 x cos2 x
2
2 sin2 x cos2 x
2 sin2 x cos2 x
2 sin2 x cos2 x
1
t anx
1
tan x
tan x 1
t anx
tan x 1
tan x
1
cos2 x
tan 3 x
cos4 x
sin x
cos3 x
tan2 x
tan x
tan x
tan2 x
tan x
1
1
1
tan x tan2 x
1
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
sin 3
cos
B
2
A
B
2
A C
sin
2
cos3
C
2
Lời giải
Vì A
B
C
1800 nên
cos A
sin B
C
. tan B
2
1
sin 3
VT
B
2
cos3
1800 B
cos
2
B
2
B
sin
2
B
2
B
cos
2
sin 3
cos3
B
2
cos 1800
1800 B
sin
2
cos B
. tan B
sin B
B
. tan B
sin B
sin2
B
2
cos2
B
2
1
2
VP
ìu à ầđiều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơ àgiản các biểu thức sau(giả sử các biểu thứ àsauàđềuà à ghĩa
a) A
sin(900
b) B
1
.
sin x 1
cos(1800
x)
1
cos x
sin2 x (1
x)
1
cos x
1
tan2 x )
tan2 x
2
Lời giải
a) A
cos x
b) B
1
1
.
sin x
1
cos x
sin2 x .
cos x
cos x
1
2
.
sin x 1 cos2 x
1
2
1
sin2 x
1
cos2 x
1
1
tan2 x
cos x
cos x
0
2
1
2
.
sin x sin2 x
2
2
2 cot2 x
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
P
sin 4 x
6 cos2 x
3 cos4 x
cos4 x
6 sin2 x
3 sin 4 x
Lời giải
P
1
cos2 x
2
4 cos4 x
4 cos2 x
2 cos2 x
2 cos2 x
6 cos2 x
1
1
2
2 sin2 x
3
Vậy P không phụ thuộc vào x .
3 cos4 x
1
4 sin 4 x
1
2 sin2 x
1
1
2
sin2 x
4 sin2 x
2
6 sin2 x
1
3 sin4 x
3. Bài tập luyên tập.
Bài 2.3. Chứ gà i hà
àđẳng thức sau(giả sử các biểu thứ àsauàđềuà à ghĩa
a) tan2 x
sin2 x
tan2 x .sin2 x
b) sin 6 x
cos6 x
1
c)
tan3 x
sin2 x
cot3 x
cos2 x
1
sin x cos x
d) sin2 x
e)
3 sin2 x .cos2 x
tan2 x
tan 3 x
tan6 x (cos2 x
tan 2 a tan2 b
tan 2 a .tan2 b
cot3 x
cot2 x )
sin2 a sin2 b
sin2 a .sin2 b
Bài 2.4. Đơ àgiản các biểu thức sau(giả sử các biểu thứ àsauàđềuà à ghĩa
a) A
1
cos2 x
tan2 1800
b) B
cos2 x
cot2 x
sin2 x
tan2 x
c) C
sin3 a cos3 a
cos2 a sin a(sin a cos a )
1
1
d) D
cos2 1800
x
x
cos2 x
sin a
sin a
1
1
sin a
sin a
Bài 2.5. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
cot )2
a) (tan
b) 2(sin 6
c) cot2 300 (sin8
d) (sin 4 x
e)
cos 4 x
cot )2
(tan
cos6 )
3(sin 4
cos8 )
cos4 )
4 cos 600 (cos6
1)(tan 2 x
sin 4 x 3 cos4 x 1
sin 6 x cos6 x 3 cos4 x
cot 2 x
sin6 )
2)
1
Bài 2.6: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn
a) A
cos2
B
2
cos2
A
C
2
. (giả sử các biểu thứ àsauàđềuà à ghĩa
tan
B
A C
tan
2
2
sin6 (900
) tan2
1
3
sin
b) B
cos
B
2
A
cos
C
2
sin
B
2
A
cos A
C
2
sin B
C
. tan B
DẠNG 3 : X càđịnh giá trị của một biểu thứcàlượ gàgi càc àđiều kiện.
. Phươ g pháp giải.
Dựa vào các hệ thứ àlượng gi à ơà ản
Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
Sử dụng các hằ gàđẳng thứ àđ gà hớ
2. Các ví dụ.
1
với 900
3
Ví dụ 1: a) Cho sin
1800 . Tính cos
b) Cho cos
2
. Tính sin
3
c) Cho tan
2 2 tính giá trị lượng giác cịn lại.
và tan
và cot
Lời giải
a) Vì 900
cos
1
Dồđ à tan
b) Vì sin2
cot
0 mặt khác sin2
1800 nên cos
sin2
1
3
2 2
3
sin
cos
cos2
c) Vì tan
cos
Ta có tan
2 2
2 2
3
2 2
1
cos2
4
9
1
5
và
3
2
5
0
1
tan2 1
sin
cos
1 suy ra
1
1 nên sin
2
3
5
3
cos
sin
1
9
1
cos2
0 mặt khác tan2
cos
1
8
sin
1
1
1
cos2
1
3
tan .cos
2 2.
1
3
2 2
3
nên
1
3
2 2
3
cos
sin
cot
1
2 2
3
với 00
4
Ví dụ 2: a) Cho cos
2 . Tính B
b) Cho tan
tan
tan
900 . Tính A
sin
3 cot
.
cot
sin
cos
3
3 cos
2 sin
3
Lời giải
1
tan
1
tan
17
8
cos
cos3
tan
3
a) Ta có A
tan
Suy ra A
b) B
1
sin 3
cos3
Suy ra B
2.
9
16
2
tan
tan2
sin
cos3
3 cos3
cos 3
2 2
2 2
3
Ví dụ 3: Biết sin x
3
1
2
2 2 2
cos x
3
1
2
3
2 cos2
1
1
tan2
1
3
2 tan
tan2
1
cos2 x
1
1
8 2
m
a) Tìm sin x cos x và sin 4 x
b) Chứng minh rằng m
tan2
tan 3
1
2
1
cos2
tan
2 sin
cos 3
1
1
cos2
cos4 x
2
Lời giải
a) Ta có sin x
Mặt khác sin x
Đặt A
sin 4 x
sin2 x
A
A2
sin x
cos x
2
sin2 x
2 sin x cos x
m nên m 2
cos x
1
2 sin cos
2 sin x cos x (*)
hay sin
cos
m2
1
2
cos4 x . Ta có
cos2 x
cos x
sin2 x
2
sin x
cos2 x
cos x
sin x
2
1
cos x
sin x
2 sin x cos x
1
cos x
2 sin x cos x
A2
m2
1
2m 2
2
cos x
Vậy m
2
1
3
2
2m 2
4
m4
m4
sin2 x
b) Ta có 2 sin x cos x
sin x
m2
1
2
3
Vậy A
1
2
cos2 x
sin x
1 kết hợp với (*) suy ra
cos x
2
2
3. Bài tập luyện tập.
2.1.1.1 Bài 2.7: Tính các giá trị lượng giác cịn lại, biết
a) sin
3
với 00
5
c) cot
2
900
d) tan
2
. Tính A
3
Bài 2.8. a) Cho cos a
b) Cho sin a
1
với 900
3
c) Cho tan a
2 . Tính C
2 sin a
sin a
d) Cho cota
5 . Tính D
2 cos2 a
Bài 2.9: Biết tan x
a) Tìm tan2 x
Bài 2.11: Cho tan a
a) A
tan2 a
b)
cos
cot a
cot2 a
0 và sin
cot
1
.
5
cot a 3 tan a
2 cot a tan a
1800 . Tính B
3 cot a 2 tan a
cot a tan a
1
3 cos a
;
cos a
5 sin a cos a
1
m.
cot x
cot2 x
Bài 2.10: Cho sin
a
1
5
b) cos
tan6 x
tan 4 x
cot6 x
cot4 x
12
. Tính sin 3
25
c) Chứng minh m
cos3
3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
2
b) B
tan a
cot a
c) C
tan 4 a
cot4 a
Bài 2.12:
a) Cho 3 sin 4 x
b) Cho 3 sin 4 x
cos4 x
c) Cho 4 sin 4 x
3 cos4 x
cos4 x
1
. Tính B
2
7
. Tính C
4
3
. Tính A
4
sin 4 x
3 sin 4 x
sin 4 x
3 cos4 x .
4 cos 4 x .
3 cos4 x .
§2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1.àĐị hà ghĩa:
a) Góc giữa hai ve tơ.
Chồhaiàve tơà a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dự gà
àve tơààOA
a và OB
b . Số đồ
góc AOB được gọi là số đồg àgiữầhaiàve tơà a và b .
+àQu àước : Nếu a
0 hoặc b
0 thì ta xem góc giữầhaiàve tơà a và b là tùy ý (từ 0 0 đến
1800 ).
+ Kí hiệu: a ;b
) Tí h v hướng của hai ve tơ.
T hàv àhướng củaàhaiàv àtơà a và b là một số thự àđượ à
àđịnh bởi: a.b
a b .cos(a, b) .
2. Tính chất: Vớià ầv àtơà ất kì a, b, c và mọi số thực k ta ln có:
1) a.b
b.a
2) a(b
c)
3) (ka )b
a.b
a.c
k (a.b)
2
a(kb)
2
4) a
0, a
0
0
a
Chú ý: Ta có kết quả sau:
+ Nếuàhaiàv àtơà a và b khác 0 thì a
2
+ a.a
a
+ (a
b)2
2
a
gọiàl à
2
a
a.b
b
0
hàphươ gàv àhướng củầv àtơà a .
2
2a.b
b , (a
2
b)(a
b)
a
2
b
3. Cơng thức hình chiếv àphươ gàtíchàcủa mộtàđiểm vớiàđường trịn.
a) Cơng thức hình chiếu.
Chồhaiàve tơà AB , CD . Gọi A', B' lầ àlượt là hình chiếu củầá,àBàl
AB .CD
A ' B '.CD
) phươ g tí h ủa một điểm với đường trịn.
àđường thẳ gàCDàkhiàđ àtầ à
Chồđường trịn O ; R v àđiểm M. Mộtàđường thẳng qua N cắtàđường tròn tạiàhaiàđiểm A và B.
Biểu thức MA.MB được gọi là phươ g tích của điể
M đối với đường trịn O ; R . Kí hiệu là
PM / O .
Chú ý: Ta có PM / O
MO 2
.
MAMB
R2
MT 2 với T là tiếpàđiểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm
M
3.Biểu thức tọầđộ củầtíchàv àhướng
Chồhaiàve tơà a
1) a.b
x 1x 2
2) a
(x ; y )
3) cos(a, b)
(x 2 ; y2 ) .àKhiàđ
(x 1; y1 ) và b
y1y2
|a |
x2
y2
x 1x 2
a.b
x 12
a b
y1y2
y12 x 22
y22
Hệ quả:
+a
b
x 1x 2
y1y2
0
+ Nếu A(x A ; yA ) và B(x B ; yB ) thì AB
x A )2
(x B
(yB
yA )2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1 : X càđịnh biểu thứcàtíchàv àhướng, góc giữầhaiàvectơ.
. Phươ g pháp giải.
Dựầv ồđị hà ghĩầ a.b
a . b cos a;b
Sử dụng tính chất và các hằ gàđẳng thức củầt hàv àhướng củầhaiàve tơ
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A có AB
a àT hà
a , BC
2a và G là trọng tâm.
àt hàv àhướng: BA.BC ; BC .CA
b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC
.
c) Tính giá trị của biểu thứcGAGB
BC .CA
GB.GC
C
CA.AB
GC .GA
G
a àà*àTheồđị hà ghĩầt hàv àhướng ta có
BA.BC
BA . BC cos BA, BC
M
N
Lời giải (hình 2.2)
2a 2cos BA, BC .
A
P
Hình 2.2
B
Mặt khác cos BA, BC
Nên BA.BC
1
2
a
2a
cosABC
a2
* Ta có BC .CA
CB.CA
CB . CA cosACB
Theồđịnh lý Pitago ta có CA
Suy ra BC .CA
a 3.2a.
2
2a
a 3
2a
a2
a 3
3a 2
b) Cách 1: Vì tam giác ABC vng tại A nên CA.AB
a 2, BC .CA
có AB.BC
Cách 2: Từ AB
BC
2
AB
AB.BC
BC
CA
BC .CA
3a 2 . Suy ra AB.BC
CA
0 và hằ gàđẳng thức
AB 2
BC 2
GB.GC
CA2
GB
BC 2
CA.AB
BC .CA
CA2
4a 2
CA.AB Ta có
4a 2
0 nên
GC
1
GA2
2
GC .GA
BC .CA
2 AB.BC
1
AB 2
2
CA.AB
àTươ gàtự cách 2 của câu b) vì GA
.
GAGB
0 và từ câu a ta
GB 2
GC 2
Gọi M, N, P lầ àlượtàl àt u gàđiểm của BC, CA, AB
Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA
2
2
AM
3
2
4a 2
9
Theồđịnh lý Pitago ta có:
GB 2
4
BN 2
9
4
AB 2
9
AN 2
4 2
a
9
3a 2
4
7a 2
9
GC 2
4
CP 2
9
4
AC 2
9
AP 2
4
3a 2
9
a2
4
13a 2
9
Suy ra GAGB
.
GB.GC
GC .GA
1 4a 2
2 9
7a 2
9
13a 2
9
4a 2
3
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạ hàa.àMàl àt u gàđiểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM .
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) (AB
AD )(BD
b) CG. CA
BC )
DM
Lời giải (hình 2.3)
a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB
Dồđ à (AB
AD )(BD
CACB
.
BC )
AD
AC .BD
AC
AC .BC
M
A
B
CA . CB cosACB
G
( AC .BD
0 vì AC
a2
Suy ra (AB
D
450 v àtheồđịnh lý Pitago ta có :
Mặt khác ACB
AC
BD )
a2
C
Hình 2.3
a 2
AD )(BD
a.a 2 cos 450
BC )
b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG
a2
CD
CA
CM
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thứ àt u gàđiểm ta có CA
CM
1
CB
2
CA
Suy ra CG
AB
Ta lại có CA
DM
Nên CG. CA
1
CB
2
AB
AB
AB
DM
AD
5
AB
2
5
AB 2
4
4AD 2
đường phân giác trong góc A.
a) Tính AB.AC , rồi suy ra cos A .
2
Lời giải (hình 2.3)
2
AM
2AD
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC
b) Tính AM và AD
1
AB
2
AD
1
AB
2
AD
AB
và
2AD
2AD
5
AB
2
2AD
AD
1
AB
2
2AD
1
AB
2
AD
2AD
21a 2
4
a, CA
b, AB
c . M l àt u gàđiểm của BC, D là chân
a) Ta có
2
1
AB
2
AB.AC
1
AB 2
2
2
AC 2
Mặt khác AB.AC
Suy ra
1 2
c
2
AC
AB
CB 2
1 2
c
2
AC
b2
a2
2
2
1
AB
4
1
AB
2
1 2
c
2
Theo câu a) ta có AB.AC
2
1 2
c
4
AM
2
1
AB
4
AC
1
2. c 2
2
b
2
a
b2
2
* Theo tính chấtàđường phân giác thì
BD
DC
DC
Suy ra BD
Mặt khác BD
AD
b
AC
c
AB
2
2
2
2
b
c AD
b
c AD
AD
bc
b c
2
Hay AD
2
Nhận xét : Từ
AD
b 2c 2
b
4bc
b c
2
AC
2
2ABAC
AC
2 b2
2
c2
a2
4
BD
DC
AB
AC
c
b
b
DC (*)
c
bAB
2
b2 a 2
2bc
a 2 nên
b
AB và DC
AD
Hình 2.3
c2
cb cos A hay cos A
b
2
p p
AD tha àv ồ * àtầđược
c AD
bAB
2bcABAC
2bc.
c
AC
1 2
c
2
a b
b2
c
cAC
a2
cAC
2
c 2b 2
a
a
uà àsu à aàđộ d iàđường phân giác kẻ từ đỉnh A là la
3. Bài tập luyện tập:
C
DM
cb cos A
à*àV àMàl àt u gàđiểm của BC nên AM
Suy ra AM
a2
B
AB.AC cos A
b2
A
2
2 bc
b c
p p
a
Bài 2.13. Cho tam giác ABC đều cạnh bằ gàa.àT hà
àt hàv àhướng:
b) AC .CB
a) AB.AC
Bài 2.14 .Cho tam giác ABC có AB
c) AB.BC
5, BC
8.
7, AC
a) Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính AC .BC .
c) GọiàDàl àđiểm trên CA sao cho CD
Bài 2.15.àChoà
3 . Tính CD.CB .
àv tơà a, b
àđộ dài bằng 1 và thoả
àđiều kiện 2a
àv tơàà a, b
àđộ dài bằng 1 và góc tạo bởiàhaiàv àtơà ằng 600 .àX àđịnh cosin góc
3b
7 . Tính
cos a, b .
Bài 2.16.àChồ
giữầhaiàve tơà u và v với u
a
2b , v
a
b
Bài 2.17. Cho hình vng ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấ àđiểm M sao cho BM
cạnh CD lấ àđiểm N sao cho DN
1 , trên
1 v àPàl àt u gàđiểm BC. Tính cos MNP .
Bài 2.18. Cho hình chữ nhật ABCD có AB
2 .àMàl àđiể àđượ à
àđịnh bởi AM
3MB , G
là trọng tâm tam giác ADM . Tính MB.GC
Bài 2.19. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lầ àlượtàl àt u gàđiểm của DA, BC. Tính góc giữầhaiàđường
thẳng AB và CD biết AB
CD
2a , MN
a 3.
Bài 2.20: Cho tứ giác ABCD có
AB
BC
2 5 , CD
BD
5 2 , BD
3 10 , AC
10 . Tìm góc giữaàhaiàve tơà
AC , DB .
Bài 2.21: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. GọiàDàl àđiể àđối xứng vớiàCà uaàđường thẳng
áB,àMàl àt u gàđiểm của cạnh CB.
a) Xác đị hàt
gi àđ .
àđường thẳ gàáCàđiểm N sao cho tam giác MDN vng tại D. Tính diện tích tam
ààX àđị hàt
gi àđ .
àđường thẳ gàáCàđiểm P sao cho tam giác MPD vng tại M. Tính diện tích tam
c) Tính cơsin góc hợp bởiàhaiàđường thẳng MP và PD
DẠNG 2: Chứ gà i hàc càđẳng thức về tíchàv àhướng hoặcàđộ dài củầđoạn thẳng.
. Phươ g pháp giải.
Nết o gàđẳng thức chứầ
hàphươ gàđộ dài củầđoạn thẳng thì ta chuyển về ve tơà hờ
2
AB
đẳng thức AB 2
Sử dụng các tính chất củầt hàv àhướng, các quy tắ àph pàto
Sử dụng hằ gàđẳng thứ àve tơàvề t hàv àhướng.
2. Các ví dụ:
àve tơ
Ví dụ 1:àChồIàl àt u gàđiểm củaàđoạn thẳ gàáBàv àMàl àđiểm tùy ý.
Chứng minh rằng : MA.MB
IM 2
IA2
Lời giải:
Đẳng thức cần chứ gà i hàđược viết lại là MA.MB
2
2
IM
IA
Để làm xuất hiện IM , IA ở VP, sử dụng quy tắ à aàđiể àđể e àđiể àIàv ồtầđược
VT
IA . MI
MI
2
IM
2
IA
IB
MI
IA . MI
IA
VP đpcm)
Ví dụ 2: Cho bố àđiểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:
DA.BC
DB.CA
DC .AB
0 (*).
Từ đ àsu à aà ột cách chứ gà i hàđị hàl :à"Bầđườ gà aồt o gàta àgi àđồng qui".
Lời giải:
Ta có: DA.BC
DB.CA
DA. DC
DB
DA.DC
DA.DB
DC .AB
DB. DA
DB.DA
DC
DB.DC
DC . DB
DC .DB
đp
Gọi H là giao củaàhaiàđường cao xuất phát từ đỉnh A, B.
Khiàđ àtaà à HA.BC
0, HC .AB
0 (1)
Từ đẳng thứ à * àtầ hồđiểm D trùng vớiàđiể àHàtầđược
HA.BC
HB.CA
Từ (1) (2) ta có HB.CA
HC .AB
0 (2)
0 suy ra BH vng góc với AC
Ha à ầđườ gà aồt o gàta àgi àđồ gà u à đp
.
DA
DC .DA
0
Ví dụ 3: Cho nửầđườ gàt
àđường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửầđường trịn cắt nhau
tại E. Chứng minh rằng : AE .AC
AB 2
BE .BD
Lời giải (hình 2.4)
C
D
Ta có VT
AE . AB
BE . BA
BC
AD
E
AE .AB
AE .BC
BE .BA
BE .AD
V àáBàl àđường kính nên ADB
900 , ACB
Suy ra AE .BC
0
0, BE .AD
A
900
2
Dồđ àVT
AE .AB
BE .BA
AB AE
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC
minh rằng aIA2
bIB 2
EB
a ,CA
cIC 2
abc
0
aIA
B
Hình 2.4
AB
c v àIàl àt
b , AB
VP đp
.
àđường trịn nội tiếp. Chứng
Lời giải:
2
Ta có: aIA
bIB
cIC
bIB
a 2IA2
b 2IB 2
c 2IC 2
2abIA.IB
a 2IA2
b 2IB 2
c 2IC 2
ab IA2
bc IB 2
a2
a
ab
b
a 2IA2
IC 2
ca IA2
c a 2IA2
b 2IB 2
2bcIB.IC
IB 2
BC 2
ba
bc IB 2
c2
ca
cb IC 2
c 2IC 2
c 2IC 2
2caIC .IA
0
AB 2
ca IA2
b2
b 2IB 2
0
cIC
a
IC 2
CA2
0
abc 2
ab 2c
a 2bc
b
0
c abc
abc đp
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.22. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.
Chứng minh rằng:
BC .AD
CA.BE
AB.CF
0.
Bài 2.23. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là mộtàđiểm bất kì. Chứng minh rằng:
a) MA.MC
MB.MD
b) MA2
MB.MD
2MA.MO
Bài 2.24: Cho tam giác ABC có trự àt
MH .MA
àH,àMàl àt u gàđiểm của BC. Chứng minh rằng
1
BC 2 .
4
Bài 2.25: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và BC
Chứng minh rằng: GA2
GB 2
1 2
a
3
GC 2
a, CA
b2
Bài 2.26: Cho bố àđiểm A, B, C, D thỏa mãn AC .DB
Chứng minh rằng
AB 2
CD 2
BC 2
b, AB
c.
c2
0.
DA2
à aàđường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lầ àlượtàl àt u gàđiểm của
Bài 2.27: Cho tam giác ABC
BC, CA, AB. Chứng minh rằng A ' M .BC
B ' N .CA
C ' P .AB
0
Bài 2.28.Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là một điểm tùy ý.
Chứng minh rằng: MA.MC
MB.MD
Bài 2.29: Choàhaiàđiểm M, N nắ àt
đường thẳng AM và BN.
a) Chứng minh: AM .AI
b) Tính AM .AI
BA.BC
àđườ gàt
àđường kính AB
2R . GọiàIàl àgiaoàđiểm của hai
BA.BI .
AB.AI , BN .BI
BN .BI theo R.
Bài 2.30. Cho tam giác ABC , M là mộtàđiểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và C. Gọi a, b,
c lầ àlượtàl àđộ dài các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: AM 2
b 2BM 2
c 2CM 2
b2
c2
a 2 BM .CM
Bài 2.31. Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF và hai tam giác ACE và BDF có cùng
trọng tâm. Chứng minh rằng AB 2
EF 2
CD 2 .
Bài 2.32. Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếpàđườ gàt
kỳ nằ àt
àđường tròn (O). Chứng minh rằng MA2
à O .Màl àđiểm bất
MB 2
MC 2
2a 2
Bài 2.33. Cho hình vng ABCD nội tiếpàđường trịn (O, R). MN là mộtàđường kính bất kỳ của
đường trịn (O;R)
a) Chứng minh rằng MA2
MB 2
MC 2
MD 2
8R 2
b) Chứng minh rằng
MA4
MB 4
MC 4
MD 4
NA4
NB 4
NC 4
ND 4 .
Bài 2.34 : Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng AB .AD
khi và chỉ khi
BABC
.
CB .CD
DC .DA
0
tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 2.35: Cho lụ à gi à đều A1A2A3A4A5A6 t
cắt
1, 6
IAi , i
IB12
IB22
IB32
(O)
IB42
IB52
tại
IB62
à Ià v à đường tròn (O;R) bất kỳ chứa I. Các tia
( i 1, 6 ).
Bi
Chứng
minh
rằng
6R 2
Bài 2.36. Tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng
a) MA2
b) a 2
MB 2
b2
c2
MC 2
3MG 2
GA2
GB 2
GC 2 vớiàMàl àđiểm bất kỳ
9R 2
Bài 2.37: Cho tam giác ABC có BAC
900 , BC
tam giác ABC và nằ àt
àđườ gàt
àđườ gàt
c .àMàl àđiểm nằm trong
àđường kính BC. Gọi x , y , z theo thứ tự là diện
a , CA
tích của các tam giác MBC , MCA, MAB . Chứng minh rằng
x
y
z c2
x
z
y b2
x
y
z
2yz 2
a
x
b , AB
DẠNG 3: Tìm tập hợpàđiểm thoả
. Phươ g pháp giải.
ã àđẳng thức về tíchàv àhướng hoặcàtíchàđộ dài.
Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:
Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động
k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường
Nếu AM
trịn tâm A, bán kính R
Nếu MA.MB
k.
0 thì tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB
.
Nếu MAa
0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi
qua A và vng góc với giá của vectơ a
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Chồhaiàđiểm A, B cố đị hà àđộ dài bằ gàa,àve tơà a khác 0 và số thự àkà hồt ước. Tìm tập
hợpàđiểm M sao cho
a) MA.MB
3a 2
4
b) MA.MB
MA2
Lời giải:
a) GọiàIàl àt u gàđiểm của AB ta có
MA.MB
3a 2
4
MI
MI 2
MI 2
MI
IA MI
IA2
a2
4
a
3a 2
4
IB
3a 2
(Do IB
4
IA )
3a 2
4
Vậy tập hợpàđiể àMàl àđường trịn tâm I bán kính R
b) Ta có MA.MB
MA. MA
MB
MA2
0
a
2
MA.MB
MA.BA
MA
0
MA
BA
Vậy tập hợpàđiể àMàl àđường thẳng vng góc vớiàđường thẳng AB tại A.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợpàđiểm M sao cho MA
Lời giải (hình 2.4)
2MB
3CB BC
0
GọiàIàl àđiể à
àđịnh bởi IA
Khiàđ à MA
2MB
MI
0
3CB BC
2 MI
IA
A
2IB
M
0
M' I'
Hình 2.4
Gọi M', I' lầ àlượt là hình chiếu củầM,àIàl
àđường thẳng BC
M ' I '.BC doàđ à M ' I '.BC
Theo cơng thức hình chiếu ta có MI .BC
Vì BC 2
B
3BC 2
IB .BC
BC 2
MI .BC
BC 2
BC 2
gàhướng suy ra
0 nên M ' I ', BC
M ' I '.BC
I
BC 2
M ' I '.BC
M 'I '
BC
Do I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định.
Vậy tập hợpàđiể àMàl àđường thẳ gàđià uầM'àv àvu
gàg àvới BC.
Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD cạnh a và số thự àkà hồt ước.
Tìm tập hợpàđiểm M sao cho MA.MC
MB.MD
k
Lời giải (hình 2.5)
A
Gọi I là tâm của hình vng ABCD
Ta có : MA.MC
MI
IA MI
B
IC
I
MI 2
MI IC
2
MI
Tươ gàtự MB.MD
MI 2
MB.MD
2MI 2
IB 2
IA2
MI 2
k
2
MI
D
C
Hình 2.5
IA.IC
Nên MA.MC
k
2
IA.IC
IA
IB.ID
2MI 2
k
MI 2
k
IB.ID
k
2
IA.IC
k
IA2
a2
a2
k
2
IA
2
Nếu k
a 2 : Tập hợpàđiểm M là tập rỗng
Nếu k
a 2 thì MI
0
M
I suy ra tập hợpàđiểm Màl àđiểm I
C
a2
k
a 2 thì MI
Nếu k
2
a2
k
suy ra tập hợpàđiể àMàl àđường trịn tâm I bán kính R
2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.38: Chồđoạn thẳng AB. Tìm tập hợpàđiểm M trong mỗiàt ường hợp sau:
a) 2MA2
b) MA2
MA.MB
k với k là số thự àdươ gà hoàt ước.
2MB 2
k với k là số thự à hoàt ước.
c) AM .a
Bài 2.39: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:
2MB
a)
MA
MB
b)
MA
2MB
c) 2MA2
0
MC
2MC
MB
MA.MB
0
MA.MC
Bài 2.40: Cho hình vng ABCD cạnh a. Tìm tập hợpà
a) 2MA2
b) MA
MB 2
MB
MC 2
MC
àđiểm M sao cho:
MD 2
MC
3a 2
MB
Bài 2.41. Cho tứ giác ABCD, I, J lầ àlượtàl àt u gàđiểm của AB và CD. Tìm tập hợpàđiểm M sao cho:
.
MAMB
MC .MD
1 2
IJ .
2
Bài 2.42 :àChoàta àgi àáBCàđều cạnh bằng a. Tìm tập hợp nhữ gàđiểm M sao cho
: MA.MB
MB.MC
MC .MA
a2
4
Bài 2.43 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp nhữ gàđiể àMàdiàđộng trong
góc BAC sao cho : AB.AH
của M lên AB và AC
AI 2 t o gàđ àHàv àKàtheoàthứ tự là hình chiếu vng góc
AC .AK
Bài 2.44 : Cho tam giác ABC và k là số thự à hồt ước. Tìm tập hợp nhữ gàđiểm M sao cho
MA2
MB 2
k.
Bài 2.45 : Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp nhữ gàđiểm M sao cho
MA2
a)
MB 2
MC 2
0
k với k là số cố đị hà hoàt ước khi :
b)
0
