Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (350.86 KB, 28 trang )
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
1.1. Hệ phương trình bậc nhất
Phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng ax+by=c, trong đó a, b, c là các số đã biết
(a≠0 hoặc b≠0)
Chú ý:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax+by=c được biểu diễn bởi một điểm.
Nghiệm (xo;yo) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (xo;yo)
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c ln ln có vơ số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu
diễn bởi đường thẳng ax+by=c, kí hiệu là (d)
a
c
Nếu a≠0 và b≠0 thì (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất y = − x +
b
b
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm hai nghiệm của của phương trình x+2y=1.
Giải:
Lần lượt cho y=0 và y=1 ta được x=1 và x=−1 nên (1;0) và (−1;1) là hai nghiệm của phương
trình x+2y=1.
Ví dụ 2: Cặp số (1;1) có phải là nghiệm của phương trình x+y=1 khơng?
Giải:
Ta có 1+1=2≠1 nên (1;1) khơng là nghiệm của phương trình x+y=1.
Ví dụ 3: Cho phương trình (m−2)x+(m−1)y=1 (m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng biểu
diễn tập nghiệm của phương trình này luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Giải:
Gọi (d) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (m−2)x+(m−1)y=1 thì
(d): (m−2)x+(m−1)y=1. Giả sử (d) ln đi qua M(xo;yo) với mọi m.
Khi đó (m−2)xo+(m−1)yo=1 với mọi m
Suy ra (xo+yo)m−(2xo+yo+1)=0 với mọi m
x o = −1
x o + yo = 0
2x o + yo + 1 = 0
y =1
⇔
⇔ o
.
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định M(−1;1).
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
1
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c và a′x+b′y=c′.
ax+by=c
Khi đó ta có hệ phương trình trình bậc nhất hai ẩn
a'x+b'y=c'
(I) .
y = ax + b
hoặc dạng đã biến đổi
y = cx + d
Nếu hai phương trình đã cho có nghiệm chung (xo;yo) thì ta nói hệ (I) có nghiệm (xo;yo).
Nếu hai phương trình đã cho khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vơ nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
b) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình trình bậc nhất hai ẩn
Cho (d):ax+by=c và (d′):a′x+b′y=c′. Khi đó tập nghiệm của hệ (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm
chung của (d) và (d′).
Nếu (d) cắt (d′) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất
Nếu (d) song song với (d′) thì hệ (I) vơ nghiệm
Nếu (d) trùng với (d′) thì hệ (I) có vơ số nghiệm
Với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng {ax+by=c(1)a′x+b′y=c′(2):
– Hệ có nghiệm duy nhất <=> aa′ ≠ bb′
– Hệ vô nghiệm <=> aa′ = bb′ ≠ cc′
– Hệ có vơ số nghiệm <=> aa′ = bb′ = cc′
c) Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Nhắc lại: các phép biến đổi tương đương:
1. Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia
và đổi dấu hạn tử đó.
Mở rộng: Qui tắc cộng : Trong một phương trình, ta có thể cộng (hay trừ) hai vế với cùng một số.
Lưu ý: Qui tắc chuyển vế là trường hợp đặc biệt của qui tắc cộng.
2. Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng
một số khác 0.
* Ví dụ minh họa
y = 2x + 1
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình y = x + 2 . Tìm số nghiệm của hệ đã cho.
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
2
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
Giải:
Vì hai đường thẳng y=2x+1 và y=x+2 cắt nhau (2≠1) nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất hay số nghiệm
của hệ là 1.
x − 2y = 1
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 2x − 4y = 2 . Hỏi hệ phương trình đã cho có mấy nghiệm?
Giải:
Vì hai đường thẳng x−2y=1 và 2x−4y=2 trùng nhau nên hệ đã cho có vơ số nghiệm.
x + y = 1
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình x − y = 0 . Hỏi cặp số (1;0) có phải nghiệm của hệ khơng?
Giải:
Do (1;0) là nghiệm của cả hai phương trình của hệ nên cũng là nghiệm của hệ.
x − 2y = 0
(I)
Ví dụ 4: Tìm giá trị a, b để hai hệ phương trình sau tương đương x + y = 3
ax − y = 1
(II)
và 2x + by = 7
, biết hệ (I) có nghiệm là (2;1)
Giải:
Hệ (I) và (II) tương đương nhau nên nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II). Do đó ta thế x=2 và
y=1 vào hệ (II).
a = 1
a.2 − 1 = 1
a.2 = 2
ax − y = 1
(II)
⇔ 2.2 + b.1 = 7 ⇔ b = 7 − 4 ⇔ b = 3
Khi đó 2x + by = 7
Giải phương trình bằng phương pháp thế
+ Biểu diễn một ẩn từ một trong hai phương trình qua ẩn kia.
+ Thế biểu thức vừa tìm được của ẩn này vào phương trình cịn lại (tức là phương trình một ẩn).
+ Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ.
Giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số
+ Nhân 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số của cùng một ẩn nào đó của
1 trong 2 phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Áp dụng qui tắc cộng đại số để được một hệ mới trong đó có một phương trình có hệ số của một
trong 2 ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ.
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
3
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
Sự vận dụng hợp lý
Khi nào ta dùng phương pháp thế, khi nào dùng phương pháp cộng. Tùy theo hệ phương trình cụ
thể mà ta nên chọn phương pháp nào? Thông thường nếu đã có sẳn một biến có hệ số là 1 hoặc dễ
dàng đưa về 1 thì ta dùng phương pháp thế. Còn trường hợp mà ta dễ dàng đưa hệ số của một biến của
2 phương trình về hệ số giống nhau (hay đối nhau) thì dùng PP cộng đại số.
Vận dụng giải hệ phương trình bậc nhất
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Giải hệ PT bằng phương pháp cộng đại số
3x − 2 y = 4
⇔
2 x + y = 5
3x − 2 y = 4
⇔
2 x + y = 5
3x − 2(5 − 2 x) = 4
y = 5 − 2x
3x − 10 + 4 x = 4
7 x = 14
⇔
y = 5 − 2x
y = 5 − 2x
x = 2
⇔
y = 5 − 2.2
7 x = 14
2 x + y = 5
x = 2
x = 2
⇔
2.2 + y = 5
y = 1
⇔
⇔
3x − 2 y = 4
⇔
4 x + 2 y = 10
⇔
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
x = 2
y = 1
(x;y) = (2;1)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy
nhất (x;y) = (2;1)
Ví dụ:
Giải hệ phương trình
2 x − 3 y = 7
3 x + 2 y = 4
Giải
2x-3y=7 (1) 6x-9y=21 (3) (lay (1) x 3) 13y= -13 (6) (lay (4)-(3)) y=-1
⇔
⇔
⇔
6x+4y=8 (4) )
3x+2y=4 (2) 6x+4y=8 (4) (lay (2) x 2)
x=2
Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình
4 x − 2 y = 3
1)
6 x − 3 y = 5
2 x + 3 y = 5
2)
4 x + 6 y = 10
x 5 − (1 + 3 ) y = 1
5)
(1 − 3 ) x + y 5 = 1
3x − 4 y + 2 = 0
3)
5 x + 2 y = 14
0,2 x + 0,1y = 0,3
6)
3x + y = 5
2 x + 5 y = 3
4)
3x − 2 y = 14
x 2
=
7) y 3
x + y − 10 = 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Cơng Điền - Email:
4
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
(3 x + 2)(2 y − 3) = 6 xy
1)
(4 x + 5)( y − 5) = 4 xy
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
2)
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
(2 x − 3)(2 y + 4) = 4 x( y − 3) + 54
3)
( x + 1)(3 y − 3) = 3 y ( x + 1) − 12
y + 27
2 y − 5x
+5=
− 2x
3
4
4)
x + 1 + y = 6 y − 5x
3
7
1
1
2 ( x + 2)( y + 3) − 2 xy = 50
5)
1 xy − 1 ( x − 2)( y − 2) = 32
2
2
( x + 20)( y − 1) = xy
6)
( x − 10)( y + 1) = xy
2 ( x + y ) = 5 ( x − y )
7) 20
20
x + y + x − y = 7
Giải các hệ phương trình bằng cách đặt ẩn số phụ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
3 x − 1 + 2 y = 13
2 x − 1 − y = 4
t=
x − 1 và u = y . Khi đó hệ pt đã cho được viết lại
3t + 2u = 13
3t + 2u = 13
⇔
⇔
2t − u = 4
4t − 2u = 8
7t = 21
⇔
2t − u = 4
t=3
u = 2t − 4 = 2
Thế giá trị của t và u ta được
t = x − 1
x − 1 = t 2
x = 32 + 1 = 1
⇔
⇔
2
2
y=2 =4
y=u
u = y
2(x + y) + 3(x − y) = 4
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau
(x + y) + 2(x − y) = 5
Cách 1. Đặt x+y=u, x-y=v, ta có hệ phương trình
2u + 3v = 4
2u + 3v = 4
v = 6
⇔
⇔
⇔
u + 2v = 5
2u + 4v = 10
2u + 4v = 10
v = 6
10 − 4.6
= −7
u =
2
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
5
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
x + y = −7
2x = −1
suy ra
⇔
⇔
x − y = 6
x − y = 6
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
x = −1/ 2
y = −13 / 2
Cách 2.
2(x + y) + 3(x − y) = 4 2x + 2y + 3x − 3y = 4
5x − y = 4
⇔
⇔
(x + y) + 2(x − y) = 5 x + y + 2x − 2y = 5
3x − y = 5
2x = −1
⇔
3x − y = 5
x = −1/ 2
y = −13 / 2
Có những bài tập dùng ẩn số phụ làm cho việc tính tốn đơn giản nhưng cũng có những bài dùng
ẩn số phụ là khơng cần thiết, thậm chí càng làm cho vấn đề rối rắm hơn.
Bài tập:
Bài 1.
1 1 1
x + y = 12
1)
8 + 15 = 1
x y
1
2
x + 2 y + y + 2x = 3
2)
4 − 3 =1
x + 2 y y + 2 x
2
3x
x +1 − y + 4 = 4
3)
2x − 5 = 9
x + 1 y + 4
x 2 + y 2 = 13
4) 2
3x − 2 y 2 = −6
3 x + 2 y = 16
x + 4 y = 18
5)
6)
2 x − 3 y = −11 3 x + y = 10
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau
1)
x−y = 3
3 x − 4 y = 2
2)
4 x + 4 y = 16
4 x − 3 y = −24
3)
4 x + 2 y = 2
7 x − 3 y = 5
4)
2 x − 3 y = −5
−3x + 4 y = 2
5)
x − 3 y = 0
3 x + 2 y = 5
6)
2 ( x − 2 ) + 3 ( 1 + y ) = −2
3 ( x − 2 ) − 2 ( 1 + y ) = −3
7)
( x + 1)( y − 3 ) = ( x − 1)( y + 3 )
( x − 3 )( y + 1) = ( x + 1)( y − 3 )
8)
1
2
x−y =
3
3
x + 3 y = 2
9)
x −1 y
3 + 2 = 1
x + 3 − y −1 = 2
2
3
10)
1 1 1
+ =
x y 2
x+y =9
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
6
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
11)
2x + 1 y − 2
−
4
3
x + 5 − y + 7 = −4
2
3
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
12)
2 x − y = 3
x + y = 3
13)
1
3
x + 2y + 1 = 2
2 + 4 = 3
x 2 y + 1
14)
7
4
2 x + y + 2 x − y = 74
3 + 2 = 32
2 x + y 2 x − y
15)
1 1
x + y = 2
3 − 1 = 2
x y
16)
2 x − 1 + x + y = 4
x − 1 + 2 x + 2 y = 5
17)
1
4
x + y + y −1 = 5
1 − 2 = −1
x + y y − 1
18)
3
1
x + 2 + 2y − 1 = 4
4 − 1 =3
x + 2 2 y − 1
19)
2
3x
x −1 − y + 2 = 4
2x + 1 = 5
x − 1 y + 2
20)
x −1 y − 2
2x + 1 − y + 2 = 1
3x − 3 + 2y − 4 = 3
2x + 1 y + 2
21)
3
2
−
x + 1 y − 4 = −1
2 + 5 =7
x + 1 y − 4
22
(TS10-Khánh Hòa-2015)
4 x − 3 y = 4
2 x + y = 2
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
− x + 2 y = −4( x − 1)
a)
5 x + 3y = −( x + y ) + 8
9 x − 6 y = 4
b)
3(4 x − 3y ) = −3 x + y + 7
3( x + 1) + 2 y = − x
c)
5( x + y ) = −3x + y − 5
2(2 x + 3y ) = 3(2 x − 3y ) + 10
d)
4 x − 3y = 4(6 y − 2 x ) + 3
( 3 − 2) x + y = 2
e)
x + ( 3 + 2)y = 6
( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)
f)
( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4)
5
ĐS: a) vô số nghiệm b) vô nghiệm c) vô nghiệm d) ;1
2
e) vơ nghiệm f) (7;5)
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
7
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
3 x − 2 y = −2
b)
2 x + y = 1
2 x + 3 y = 13
a)
3 x − y = 3
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
2 x − 1 − y − 1 = 1
c)
x − 1 + y − 1 = 2
4
2
5
5
1
x + y − 1 − 2 x − y + 3 = 2
x + y + x − y = 3
d)
e)
3
1
7
1 − 3 =1
+
=
x + y x − y
x + y − 1 2 x − y + 3 5
( x − 1)2 − 2 y = 2
f)
2
3( x − 1) + 3y = 1
4 33
ĐS: a) (2;3), − ; −
7
7
10 19
77 63
d) − ; e) ; −
3 3
20 20
b) (0;1)
c) (2;2)
2 2 5
;−
f) 1 ±
3
9
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
3( x + 1) + 2 y = − x
a)
5( x + y ) = −3 x + y − 5
2 x + 5 = −( x + y )
b)
6 x + 3y = y − 10
2 x − 3y = 1
d)
x + 3y = 2
x − 2 2 y = 5
e)
2 x + y = 1 − 10
ĐS: a) vô nghiệm
b) vô số nghiệm
x + y = −2( x − 1)
c)
7 x + 3y = x + y + 5
2 −1
c) vô nghiệm d) 1;
3
2 2 − 3 5 1 − 2 10
;
e)
5
5
Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
ax+by=c (1)
Cho hệ phương trình
a'x+b'y=c' (2)
• Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc
nhất đối với x
c − ax
Từ phương trình (I) ax+by =c ⇒ y =
(1a)
b
c − ax
Thế (1a) và 2 ta được a'x+b'.
=c' (2a) rồi biến đổi về dạng kx=q.
b
• Giải phương trình (2a) và biện luận theo m của hệ.
i) Nếu hệ số theo x bằng 0 (k=0): (1) trở thành 0x = q
- Nếu q= 0 thì hệ có vơ số nghiệm
- Nếu q ≠ 0 thì hệ vơ nghiệm
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
8
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ii) Nếu hệ số theo x khác 0 (k≠0)thì (1) ⇒ x =
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
q
. Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ
k
phương trình có nghiệm duy nhất.
* Tất nhiên ta cũng có thể dùng phương pháp cộng đại số.
mx − y = 2m(1)
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
4 x − my = m + 6(2)
Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
a) Nếu m2 – 4 ≠ 0 hay m ≠ ± 2 thì x =
Khi đó y = -
( 2m + 3)( m − 2) 2m + 3
=
m+2
m2 − 4
m
2m + 3
m
. Hệ có nghiệm duy nhất: (
;)
m+2
m+2 m+2
b) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R
c) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vơ nghiệm
Vậy:
- Nếu m ≠ ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (
2m + 3
m
;)
m+2 m+2
- Nếu m = 2 thì hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R
- Nếu m = -2 thì hệ vơ nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
mx + y = 3m − 1
mx + 4 y = 10 − m
1)
2)
x + my = m + 1
x + my = 4
(m − 1) x − my = 3m − 1
3)
2 x − y = m + 5
x − my = 1 + m 2
x + my = 3m
4)
5)
2
mx + y = 1 + m 2
mx − y = m − 2
2 x − y = 3 + 2 m
6)
2
mx + y = (m + 1)
* Các định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
9
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
mx + 2 y = m + 1
2 x + my = 2m − 1
HD Giải:
2mx + 4 y = 2m + 2
mx + 2 y = m + 1
⇔
2
2
2 x + my = 2m − 1
2mx + m y = 2m − m
(m 2 − 4) y = 2m 2 − 3m − 2 = (m − 2)(2m + 1)
⇔
2 x + my = 2m − 1
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 ≠ 0 hay m ≠ ± 2
Vậy với m ≠ ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(m − 2)(2m + 1) 2m + 1
3
= 2−
=
2
y =
m+2
m+2
m −4
x = m − 1 = 1 − 3
m+2
m+2
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {1;− 1;3;− 3}
Vậy: m + 2 = ± 1, ± 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
(m + 1) x + 2 y = m − 1
2
2
m x − y = m + 2 m
Bài 2: Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
2mx − (m + 1) y = m − n
(m + 2) x + 3ny = 2m − 3
(HD Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n)
a) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
(HD thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b)
b) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3
b
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(- ) =
a
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Cơng Điền - Email:
10
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
a b
1
+ −3= 0
f( ) =0
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
⇔ 8 4
4
f (−3) = 0
18a − 3b − 3 = 0
c) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng
f(2) = 6, f(-1) = 0
HD:
f (2) = 6
4a + 2b = 2
⇔
⇔
f (−1) = 0
a − b = −4
a = −1
b = 3
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
2a + b = 1
a = −1
⇔
a + b = 2
b = 3
Bài 4. Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)
b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 5:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
HD giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương
3x + 2 y = 4
x = 0,5
⇔
. Vậy M(0,2 ; 1,25)
trình:
x + 2 y = 3
y = 1,25
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m ⇔
m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Bài 6. Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ;
b) mx + y = m2 + 1
x - y = 2m ;
mx – (m – 1)y = 2m – 1
; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 7: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ phương trình sau
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
11
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
mx + 4 y = 9
a)
x + my = 8
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +
38
=3
m −4
2
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m ≠ ± 2
- Giải hệ phương trình theo m
mx + 4 y = 9
⇔
x + my = 8
- Thay x =
mx + 4 y = 9
⇔
2
mx + m y = 8m
(m 2 − 4) y = 8m − 9
⇔
x + my = 8
8m − 9
y = m 2 − 4
x = 9m − 32
m2 − 4
9m − 32
8m − 9
;y= 2
vào hệ thức đã cho ta được:
2
m −4
m −4
2.
8m − 9
38
9m − 32
+ 2
+ 2
=3
2
m −4 m −4
m −4
⇔ 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
⇔ 3m2 – 26m + 23 = 0
⇔ m1 = 1 ; m2 =
Vậy m = 1 ; m =
23
(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
3
23
3
* Phương pháp tổng quát
Cho hệ phương trình
ax + by = c
dx + ey = f
Hệ phương trình:
a b
≠ (Hai đường thẳng cắt nhau)
d e
a b c
+ Hệ vô nghiệm khi: = ≠ (Hai đường thẳng song song với nhau)
d e f
+ có nghiệm duy nhất khi:
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
12
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
+ Hệ có vơ số nghiệm khi:
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
a b c
= = (Hai đường thẳng trùng nhau)
d e f
Cho hệ phương trình
ax + by = c
dx + ey = f
Hệ phương trình đã cho khó hình dung thành dạng đường thẳng. Do đó ta có thể biến đổi về dạng:
y = px + q
y = rx + s
Khi đó hệ phương trình
+ có nghiệm duy nhất khi: p≠r(Hai đường thẳng cắt nhau)
+ Hệ vô nghiệm khi: p=r và q≠s (Hai đường thẳng song song với nhau)
+ Hệ có vơ số nghiệm khi: p=r và q=s (Hai đường thẳng trùng nhau)
mx + y = m
Ví dụ. Cho hệ phương trình
x + my = 1
Tìm giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
y = − mx + m
mx + y = m
⇔
1
1
x + my = 1
y = − m x + m
1
⇔ m 2 ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1
m
Lưu ý: Tất nhiên là bạn cũng có thể tính trực tiếp từ hệ phương trình đã cho
m 1
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ ≠ m 2 ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1
1 m
Trong trường hợp này suy luận trực tiếp đơn giản hơn biến đổi về dạng y=px+q.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi −m ≠ −
Bài tập
mx + 4 y = 10 − m
(m là tham số)
Bài 1: Cho hệ phương trình
x + my = 4
a) Giải hệ phương trình khi m =
2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
(m − 1) x − my = 3m − 1
Bài 2: Cho hệ phương trình:
2 x − y = m + 5
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
13
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc
phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
3x + 2 y = 4
Bài 3: Cho hệ phương trình
2 x − y = m
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m ngun sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
mx + 4 y = 9
Bài 4: Cho hệ phương trình:
x + my = 8
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm
x + my = 9
Bài 5: Cho hệ phương trình:
mx − 3 y = 4
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình ln ln có nghiệm duy nhất với mọi m
d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y =
28
-3
m +3
Bài 6: Cho hệ phương trình:
2
mx − y = 2
3x + my = 5
a) Giải hệ phương trình khi m = 2 .
m2
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = 1 − 2
m +3
3x − my = −9
.Bài 7: Cho hệ phương trình
mx + 2 y = 16
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình ln ln có nghiệm duy nhất với mọi m
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
14
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc
phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
2x − m y = 2
Bài 8. Giải và biện luận hệ phương trình
− m x + 2y = −2
Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ pt bậc nhất_Phần cơ bản
Các bước giải:
1. Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) gồm các u cầu:
• Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
• Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
2. Giải phương trình (hoặc hệ phương trình) vừa lập được.
3. Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa mãn ĐK rồi trả lời theo u cầu của đề bài.
Ví dụ 1. Hai ơtơ cùng khởi hành 1 lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và gặp
nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe vẫn không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40
phút thì hai xe gặp nhau sau 5giờ 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe.
Tóm tắt
Đổi 5 giờ 22 phút =
161
(giờ);
30
Vận tốc
161 40 141
−
=
(giờ)
30 60 30
Trường hợp ban đầu
Thời
Quãng
gian
đường
đi được
Xe 1
x
5
5x
Xe 2
y
5
5y
Mối quan
hệ
Trường hợp giả định
Thời
Quãng đường
gian
đi được
161
30
141
30
5(x+y)=400
161
.x
30
141
.y
30
161
141
.x +
.y = 400
30
30
Giải
Gọi vận tốc của xe chậm là x km/h
Goị vận tốc của xe nhan là y km/h , điều kiện x,y>0
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
15
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
Hai xe cùng khởi hành 1 lúc và đi ngược chiều sau 5 giờ gặp nhau nên ta có phương trình
5(x+y)=400 (1)
Thời gian xe đi chậm hết 5h22 phút =
Thời gian xe đi nhanh hết
161
giờ
30
161 40 141
−
=
giờ
30 60 30
Quãng đường xe đi chậm đi được là
161
.x
30
Quãng đường xe đi nhanh đi được là
141
.y
30
161
141
.x +
.y = 400
30
30
Kết hợp (1) và(2) ta có hệ phương trình
Do đó ta có pt (2)
(1)
5(x + y) = 400
161
141
30 .x + 30 .y = 400 (2)
Từ (2) 161x+141y=1200
(3)
Từ (1) x+y=400/5=80 ⇒ x=80-y (4)
Thay (4) và (3):
161(80‐y)+141y=1200 ⇒ 12800‐161y+141y=12000 ⇒ 20y=12880‐12000
⇒ 20y=880 ⇒ y=880/20=44 km/h
Thay y=44 vào (4) ta có x=80‐44=36 km/h
Vậy vận tốc của xe chậm là 36km/h
vận tốc của xe nhanh là 44km/h
Ví dụ 2. Một xe tải lớn chở 3 chuyến và xe tải nhỏ chở 4 chuyến thì chuyển được tất cả 85 tấn hàng.
Biết rằng 4 chuyến xe tải lớn chở nhiều hơn 5 chuyến xe tải nhỏ 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe chở được bao
nhiêu tấn hàng mỗi chuyến?
Tóm tắt
Số liệu chuyên chở
Trường hợp so sánh
Số
Số tấn
Số tấn hàng
Số
Số tấn
Số tấn hàng
chuyến
/chuyến
chuyển được
chuyến
/chuyến
chuyển được
Xe 1
3
x
3x
4
x
4x
Xe 2
4
y
4y
5
y
5y
Mối quan hệ
3x+4y=85
4x-5y=10
Lưu ý: Có thể bỏ cột 7 (Số tấn/chuyến hoặc đem về phía trước). Ở đây chúng tôi để lại cho trường hợp
tổng quát là số tấn mỗi chuyến thay đổi. Xem bài mở rộng sau ví dụ này.
Giải
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Cơng Điền - Email:
16
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
- Gọi x (tấn) là số hàng mỗi xe lớn chở được.
- Gọi y (tấn) là số hàng mỗi xe nhỏ chở được.
ĐK: x > 0; y > 0 ; x > y
3x + 4y = 85
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
4x - 5y = 10
x = 15
Giải hệ trên ta được:
(x =15; y = 10) thoả mãn ĐK
y = 10
Vậy mỗi xe lớn chở được 15 tấn. Mỗi xe nhỏ chở được 10 tấn.
Ví dụ mở rộng: Một xe tải lớn chở 7 chuyến và xe tải nhỏ chở 9 chuyến thì chuyển được tất cả 195
tấn hàng. Nếu xe tải lớn chở 8 chuyến và mỗi xe chở ít hơn 2 tấn; đồng thời xe tải nhỏ chở 10 và mỗi
chuyến chở thêm 1 tấn thì số tấn hàng tăng thêm là 19 tấn. Hỏi mỗi loại xe chở được bao nhiêu tấn
hàng mỗi chuyến?
Tóm tắt
Xe 1
Xe 2
Mối quan hệ
Số liệu chuyên chở
Số
Số tấn
Số tấn hàng
chuyến
/chuyến
chuyển được
7
x
7x
9
y
9y
7x+9y=195
Trường hợp giả định
Số tấn
Số tấn hàng chuyển
Số
được
chuyến /chuyến
8
x-2
8(x-2)
10
y+1
10(y+1)
8(x-2)+10(y+1)=214
Bài tập
Bài 1. Một hình chữ nhật có chu vi là 70 m, nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài 5m thì
diện tích như cũ. Hãy tìm chiều rộng và chiều dài ?
ĐS: x=15 y=20
Giải bài toán bằng cách lập pt,hpt_Bài tốn tỷ lệ
Ví dụ 1: Lớp 9A có số học sinh nam bằng số học sinh nữ và ít hơn số học sinh nữ là 6 học sinh. Hỏi
lớp 9A có bao nhiêu học sinh? (ĐỀ MINH HỌA TS 10 2016.2017)
Giải: Gọi x (hs) là số học sinh nam và y (hs) là số học sinh nữ (x, y ∈ N*)
3
3
4
y = 24
x 3
x= y
y− y =6
4
=
4
4
Theo đề bài, ta có: y 4 ⇔
⇔
⇔
3
3
3
3
x = 4 y = 4 .24 = 18
y − x = 6
y
−
y
=
6
x
=
y
4
4
Vậy: số học sinh nam là 18 hs; số học sinh nữ là 24 hs
⇒ số học sinh lớp 9A là 18 + 24 = 42 hs
Bài này có thể giải bằng cách dùng dãy tỉ số bằng nhau
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
17
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
gọi x (hs) là số học sinh nam và y (hs) là số học sinh nữ (x, y ∈ N*)
x y y−x 6
x 3
= =6
= ⇒ = =
y 4
3 4 4−3 1
x
= 6 ⇒ x=6.3 =18
3
y
⇒ = 6 ⇒y=6.4 = 24…
4
⇒
Bài tập
A1. Trong một lớp học tỉ số hs nữ và nam là , biết hs nam nhiều hơn hs nữ là 6 em. Hỏi lớp có bao
nhiêu học sinh?
A2. Tìm số HS lớp 7A và 7B biết số học sinh lớp 7B ít hơn lớp 7A là 5 học sinh và tỉ số học sinh của
lớp 7A và 7B là 7: 6.
A3. Sơ kết học kì I lớp 7A có số học sinh giỏi, khá, trung bình tỉ lệ với các số 5; 7; 3, khơng có học
sinh yếu, kém. Tính số học sinh mỗi loại biết lớp có 45 học sinh.
A4. Trong khu vườn có trồng 2 loại cây là cam và chanh. Số cây cam bằng 2/3 số cây chanh. Tìm số
cây cam và số cây chanh được trồng trong vườn biết tổng số cây cam và chanh là 45 cây.
A5. Số học sinh lớp 9A và lớp 9B là 85 học sinh. Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 9A sang 9B thì số học
10
số học sinh lớp 9A. Tính số học sinh mỗi lớp.
sinh lớp 9B bằng
7
Có thể bằng lập phương trình, hệ phương trình hay dùng tỉ lệ thức.
A6. Bạn Nam đi đến nhà sách mua một số tập và 1 cây bút. Giá một cuốn tập là 7000 đồng và giá cây
bút là 5000 đồng. Tuy nhiên, khi đến nhà sách thì giá cuốn tập đã tăng lên thành 8000 đồng. Tuy nhiên
bạn Nam là học sinh giỏi nên được giảm giá 5%. Do đó bạn chỉ mua tập chứ khơng mua bút vì chỉ cịn
dư 2000đồng. Hỏi bạn Nam mang đi bao nhiêu tiền và mua mấy cuốn tập.
A7. (TS10-Hịa Bình-20162017). Một lớp học chỉ có các bạn học sinh xếp loại học lực Giỏi và các bạn
1
học sinh xếp loại học lực Khá. Biết rằng nếu 1 bạn học sinh Giỏi chuyển đi thì
số học sinh còn lại
6
4
của lớp là học sinh Giỏi, nếu 1 bạn học sinh Khá chuyển đi thì số học sinh cịn lại của lớp là học
5
sinh Khá. Tính số học sinh của lớp đó.
Giải bài tốn bằng cách lập pt,hpt_Tính tuổi
C1. Hiện nay, tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi
người hiện nay.
C2. Mười năm trước, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Năm nay thì tuổi mẹ gấp đôi tuổi con. Hỏi sau bao
nhiêu năm nữa số tuổi mẹ bằng 1,8 lần tuổi con?
C3. Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4. Đến nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi
con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
C4. Hiện tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tổng số tuổi của cha và
con là 112. Tính số tuổi của cha, của con hiện nay.
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
18
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
Giải bài tốn bằng cách lập pt,hpt_Chuyển động
Ví dụ 1. Một ơ tơ dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh
hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm
mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
Giải
Gọi thời gian dự định là x (giờ), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) (x, y >0),
Thì chiều dài quãng đường AB là xy (km)
Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc của xe lúc này là: y + 10 (km/h)
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: x – 3 (giờ)
Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1)
Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc của xe lúc này là: y – 10 (km/h)
Thời gian xe đi hết Quãng đường AB là: x + 5 (giờ)
Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
( x – 3)( y + 10 ) = xy (1)
⇔
( x + 5 )( y –10 ) = xy ( 2 )
10x − 3y = 30
⇔
⇔
−10x + 5y = 50
xy + 10x − 3y − 30 = xy
xy − 10x + 5y − 50 = xy
2y = 80
⇔
10x − 3y = 30
x = 15
y = 40
Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ, vận tốc của xe lúc đầu là 40km/h.
Quãng đường AB có độ dài là: 15.40 = 600 (km)
Ví dụ 2. Một ca nơ xi dịng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. Nếu ca nơ
xi 13 km và ngược dịng 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca
nơ và vận tốc dịng nước.
Giải:
Gọi vận tốc riêng của ca nơ là x (km/h, x>0)
Và vận tốc của dòng nước là y (km/h, y>0; y
Đi đoạn đường 78 km nên thời gian đi là
78
(giờ).
x+y
Ca nơ đi ngược dịng với vận tốc x - y (km/h).
Đi đoạn đường 44 km nên thời gian đi là
44
(giờ).
x−y
Tổng thời gian xi dịng là 78 km và ngược dịng là 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình:
78
44
+
= 5 (1)
x+y x−y
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
19
Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa 176
176. Đường Gị Dưa-P.Tam Bình-Q.Thủ Đức-TPHCM
ĐT: 0919 556 176-0918 992 119
Tương tự: Ca nơ xi dịng 13 km và ngược dịng 11 km hết 1 giờ nên ta có phương trình:
13
11
+
= 1 (2)
x+y x−y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
44
78
x + y + x − y = 5
(*)
13 + 11 = 1
x + y x − y
44
78
x + y + x − y = 5
22
Từ (*) ⇒
⇒
= 1 ⇒ x-y=22 (1)
x−y
13.6 + 11.6 = 6
x + y x − y
44
78
x + y + x − y = 5
26
Từ (*) ⇒
⇒
= 1 ⇒ x+y=26 (2)
13.4
11.4
x
+
y
+
=4
x + y x − y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương
x − y = 22
x + y = 26
Giải hệ phương trình ta được cặp nghiệm {x=24;y=2}.
Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Lưu ý: Nhiều tài liệu giải bài dạng này bằng cách đặt ẩn phụ.
Bài tập
D1. Hai thành phố A, B cách nhau 200km. Xe máy đi từ A đến B, ô-tô đi từ B đến A, hai xe gặp nhau
rồi tiếp tục đi. Đến B xe máy quay về A, đến A ô-tô quay về B và hai xe gặp nhau lần thứ hai sau 5
giờ. Tìm vận tốc mỗi xe biết rằng vận tốc ô-tô lớn hơn xe máy là 20km/h.
D2. Thành phố B nằm chính giữa hai thành phố A và C. Từ thành phố B, một chiếc xe máy và một
chiếc xe ơ-tơ đi về 2 phía ngược nhau. Xe máy đến thành phố A thì quay ngược lại về C, ô-tô đến
thành phố C cũng quay ngược lại về A. Sau 4 giờ thì hai xe gặp lại nhau. Tính khoảng cách từ thành
phố B đến chỗ gặp nhau biết rằng vận tốc ô-tô lớn hơn xe máy là 15km/h; khoảng cách giữa A và C là
150km.
D3. Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô-tô đi từ điểm A đến điểm B. Họ khởi
hành theo thứ tự lúc 6 giờ, 7 giờ và 80 giờ. Vận tốc theo thứ tự là 10km/h; 30km/h và 40km/h. Hỏi lúc
mấy giờ thì ơ-tơ cách đều người đi xe đạp và xe máy.
D4. Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô cùng đi từ A đến B. Người đi xe
máy khởi hành sau người đi xe đạp là 2 giờ, người đi xe ô tô sau xe máy là 1 giờ. Vận tốc xe đạp, xe
Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Công Điền - Email:
20
