CH#3400

Q$trình và$thiết$bị$cơng$nghệ$hố$học$I

Lý#thuyết#đồng#dạng#và#
phương#pháp#phân#tích#thứ#ngun
Dimensional Analysis
Giảng&viên:&Nguyễn&Minh&Tân
&
Bộ&mơn&QT>TB&CN&Hóa&học&&&Thực&phẩm
Trường&Đại&học&Bách&khoa&Hà&nội


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ ngun
Các$bước$phát$triển$cơng$nghệ$mới
Thí$nghiệm$trong$PTN

Thiết$bị$thí$nghiệm

Thiết$kế$q$trình
Thiết$kế$thiết$bị
Chế$tạo$và$vận$hành$
thiết$bị

Phát triển nguyên lý sản xuất
sản phẩm mới
Xác định các số liệu q trình,
tính chất ngun liệu, đánh
giá tác động mơi trường,
nghiên cứu tính kinh tế
Thiết kế dây chuyền thiết bị,

thiết bị điều khiển quá trình,
thiết kế thiết bị
Thiết kế mặt bằng, lắp đặt, vận hành


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
I.#Thuyết#đồng#dạng
1.1.#Khái#niệm#về#đồng#dạng
- Phương trình vi phân mơ tả diễn biến q trình ưới dạng mơ hình tốn học
- Nghiệm của phương trình vi phân chứa các hằng số tích phân đặc trưng
cho đối tượng cụ thể, được xác định nhờ các thực nghiệm và các điều kiện
biên (điều kiện đơn trị):
+ Kích thước hình học
+ Điều kiện khơng gian
+ Thời gian tồn tại q trình
+ Thơng số vật lý của các chất tham gia q trình
+ Ảnh hưởng tương hỗ của mơi trường xung quanh
- Phương pháp nghiên cứu quá trình và thiết bị bằng mơ hình thực
nghiệm gọi là phương pháp mơ hình
- Lý thuyết đồng dạng dựa trên các mơ hình


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Thuyết'đồng'dạng
Những&điều&kiện&đồng&dạng
Các hiện tượng đồng dạng nhau khi tỷ lệ của các đại lượng tượng tự đặc
trưng của chúng là đại lượng khơng đổi theo 4 điều kiện sau:
+ Đồng dạng hình học: hai vật đồng dạng về hình học khi kích thước
tương ứng song song với nhau và có tỷ lệ không đổi
+ Đồng dạng về thời gian: Tỷ lệ giữa các khoảng thời gian mà những

điểm hay những phân tử của hệ thống đồng dạng chuyển động theo
những quĩ đạo đồng dạng hình học là một hằng số
+ Đồng dạng vật lý: Những thông số vật lý của hai điểm hay hai phần
tử tương ứng trong hệ thống đồng dạng về khơng gian và thời gian
có tỷ lệ giữa những đại lượng cùng loại là một hằng số
+ Đồng dạng về điều kiện đầu và điều kiện biên: những điều kiện
đầu và điều kiện biên của hai hệ đồng dạng nhau cũng đồng dạng.


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
I.#Thuyết#đồng#dạng
Định%số%đồng%dạng%và%chuẩn%số%đồng%dạng
-

Hằng số đồng dạng là tỉ lệ giữa hai đại lượng tương ứng của hai hệ
khác nhau
Tỉ lệ giữa hai đại lượng giống nhau tại hai điểm khác nhau của cùng
một hệ thống gọi là định số đồng dạng
Định số đồng dạng cấu tạo từ các địa lượng cùng loại gọi là định số
đơn hệ
Định số đồng dạng cấu tạo bởi các đại lượng khác nhau không cùng loại
gọi là chuẩn số đồng dạng
Định luật Niu tơn

dw
F =m
d!

Chuẩn số số Niu tơn


F!
= idem
mw


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên

Các$chuẩn$số$đồng$dạng
- Lý thuyết đồng dạng cho phép biến đổi phương
trình vi phân mơ tả một q trình thành một
phương trình chuẩn số
- Các quá trình vận chuyển chất lỏng, truyền nhiệt,
chuyển khối,… đều có thể được biểu thị qua chuẩn
số đồng dạng
- Mỗi chuẩn số đồng dạng đều phản ánh một hiện
tượng và mang tên người đã lập ra nó


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
I.#Thuyết#đồng#dạng
Các$Định$lý$đồng$dạng
-

Định lý 1: Các chuẩn số đồng dạng tương ứng của các hiện tượng
đồng dạng với nhau có cùng trị số

F1! 1
m1w1
= 1 hay
F2! 2

m2 w2
Rút ra

aF a!
=1= C
am a w

Chỉ số đồng
dạng

F1! 1
F2! 2
=1
m1w1
m2 w2

Trong đó

F1
!
w
m
= aF ; 1 = a! ; 1 = aw ; 1 = am
F2
!2
w2
m2


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên

I.#Thuyết#đồng#dạng
Các$Định$lý$đồng$dạng
-

Định lý 2: Mỗi phương trình biểu thị cho mối liên hệ giữa các đại
lượng đặc trưng cho một quá trình vật lý nào đó đều có thể viết dưới
dạng một hàm của các chuẩn số đồng dạng

f (K1 , K 2 , K 3 ,..., K n ) = 0
Phương trình
chuẩn số
-

Định lý 3: Các hiện tượng được coi là đồng dạng với nhau nếu các
điều kiện đơn trị đồng dạng với nhau và những chuẩn số xác định
được cấu tạo từ chúng có trị số như nhau


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Thứ$nguyên$và$đơn$vị
Thứ nguyên/Dimension: Thứ nguyên của một đại lượng là một tính
chất vật lí mà đại lượng đó mơ tả/ A measure of a physical quantity
Đơn vị/Unit: Đơn vị đo lường là bất kỳ một đại lượng vật lý, hay tổng
quát là một khái niệm, nào có thể so sánh được, ở điều kiện tiêu chuẩn
(thường không thay đổi theo thời gian) dùng để làm mốc so sánh cho các
đại lượng cùng loại trong đo lường/A way to assign a number to that
dimension.
Có 7 loại thứ nguyên cơ bản/ There are seven primary dimensions :
1. Mass/khối lượng
m

(kg)
2. Length/Chiều dài
L
(m)
3. Time/Thời gian
t
(sec)
4. Temperature/nhiệt độ
T
(K)
5. Current/ Dòng điện I
(A)
6. Amount of Light/ lượng ánh sáng
C
(cd)
7. Amount of matter/ Lượng vật chất
N
(mol)
Tất cả thứ nguyên dẫn xuất đều có thể được tạo bởi các tổ hợp của các
thứ nguyên cơ bản


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Thứ$nguyên$và$đơn$vị
Thứ nguyên của tốc độ

Thứ nguyên của gia tốc

Thứ nguyên của lực


Thứ nguyên của công


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Định luật đồng nhất thứ nguyên: Các thừa số trong phép cộng phải
có cùng thứ ngun

Khơng thể cộng một quả cam
với 2 quả táo


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Định luật đồng nhất thứ nguyên: Các thừa số trong phép cộng phải
có cùng thứ ngun
Phương trình Bernoulli


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Phương trình của các đại lượng khơng thứ ngun : Nếu ta chia mỗi
thừa số của một phương trình với tập hợp các biến số và hằng số
(mà tích của nó có cùng thứ ngun thì ta sẽ thu được Phương trình
của các đại lượng khơng thứ ngun
Most of which are named after a notable scientist or engineer (e.g.,
the Reynolds number and the Froude number).

Chia 2 vế của pt Bernoulli
cho 1 đại lượng áp suất (ví
dụ: P!), ta thu được phương
trình của các đại lượng khơng
thứ ngun (phương trình

chuẩn số).


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên

Trong các bài toán thuỷ lực
với một bề mặt tự do, thường
có các đại lượng sau: chiều dài
đặc trưng L, vận tốc đặc trưng
V, tần số đặc trưng f, chênh
lệch áp suất P0 ! P". Khi phân
tích thứ nguyên các số hạng
của pt vi phân chất lỏng
chuyển động, thu nhận được 4
chuẩn số đại lượng không thứ
nguyên: chuẩn số Reynolds,
chuẩn số Froude, chuẩn số
Strouhal, và chuẩn số Euler


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Trong cơ học chất lỏng/Fluid Mechanics
• Chuẩn số Reynolds/ The Reynolds number (Re): là một đại lượng
không thứ nguyên đại diện cho tỉ lệ giữa độ nhớt và lực qn tính.
•Chuẩn số Froude /The Froude number (Fr) là một đại lượng khơng
thứ ngun đại diện cho tỉ lệ giữa qn tính của vật với lực trọng
trường. Trong cơ học chất lỏng, chuẩn số Froude được sử dụng để xác
định trở lực của vật nhúng 1 phần trong chất lỏng chuyển động trong
chất lỏng, cho phép so sánh các vật thể có kichx thước khác nhau thác
tất định điện trở của một đối tượng Nhiều ngập di chuyển qua nước, và

cho phép so sánh các đối tượng của các kích cỡ khác nhau.


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Trong cơ học chất lỏng/Fluid Mechanics,
•Chuẩn số Strouhal/The Strouhal number (St) là một đại
lượng khơng thứ ngun mơ tả dịng chảy dao động.
•Chuẩn số Euler/ The Euler number (Eu) là một đại lượng
không thứ nguyên mô tả mối quan hệ giữa tổn thất áp suất
và động năng. Đối với dòng chảy lý tưởng khơng có ma sát
thì chuẩn số Euler = 1


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Nhiệm&vụ&của&phương&pháp&phân&tích&thứ&
nguyên
1. Lập chuẩn số độc lập cho một quá trình cần nghiên
cứu
2. Nếu q trình được mơ tả từ một pt vi phân thì các
chuẩn số sẽ được lập trực tiếp từ chúng
3. Phân tích thứ nguyên là phương pháp để từ những
thứ nguyên của các đại lượng tham gia quá trình
đưa ra ít nhất các thơng số ảnh hưởng mới, là
những đại lượng không thứ nguyên


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Định%lý%π
- Quan hệ hàm số giữa n biến số của một hiện tượng
(q trình) mà các biến số này có m đơn vị cơ bản

của thứ nguyên có thể lập n-m tích lũy thừa khơng
thứ ngun của các biến ấy.
- Có n-m chuẩn số đồng dạng
- Nếu có quan hệ : f(x1,x2, x3) =0 giữa các đại lượng
ảnh hưởng thì cũng có dạng g(π1,π2, π3) =0
- Tích lũy thừa khơng thứ nguyên
πj – chuẩn số không thứ nguyên j=1,2,…s
n số lượng các biến ảnh hưởng
n
Pk
m – số đơn vị được dùng
" =
x
j

!
k =1

k


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Vận$dụng$thực$tiễn$của$phân$tích$thứ$nguyên
- Lý thuyết đồng dạng cho phép biến đổi phương
trình vi phân mơ tả một q trình thành một
phương trình chuẩn số
- Các quá trình vận chuyển chất lỏng, truyền nhiệt,
chuyển khối,… đều có thể được biểu thị qua chuẩn
số đồng dạng
- Mỗi chuẩn số đồng dạng đều phản ánh một hiện

tượng và mang tên người đã lập ra nó


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Vận$dụng$thực$tiễn$của$phân$tích$thứ$nguyên
- Phân tích thứ nguyên để: tạo ra các chuẩn số đồng dạng
- Quan hệ giữa các chuẩn số được xác định bằng thực nghiệm
- Yêu cầu quá trình xác định bằng thực nghiệm:
- giảm tối đa các điểm đo,
- đảm bảo độ chính xác cần thiết
- n-m chuẩn số độc lập được xác định từ phương trình
vi phân tuyến tính với nhiều phương pháp
Phép thử hệ thống
Nguyên tắc Kramer
Dùng đại lượng chuẩn (làm đại lượng dẫn)
Cấu tạo từ các thông số vật lý
Lập từ phương trình vi phân


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Ưu#điểm##của#phương#pháp#phân#tích#thứ#nguyên
- Ứng dụng trực tiếp các chuẩn số vào tính tốn chuyển qui mô,
trên cơ sở đặt chúng bằng nhau Mô hình lý thuyết dựa trên
nghiên cứu các qui luật tự nhiên sẽ tương hợp hồn tồn với mơ
hình thực, nếu mọi chuẩn số được thiết lập từ mơ hình lý thuyết
có giá trị bằng giá trị của các chuẩn số tương ứng của mơ hình
thực
- Giảm lượng biến cơ bản Tiết kiệm thời gian thực nghiệm.
- Các biến và hàm (không thứ nguyên) độc lập với hệ đơn vị
đo giảm thời gian tổng kết số liệu

- Làm xuất hiện những điều mà trước đây chưa biết: Khi
quan sát quá trình, có thể phát hiện một số đại lượng (biến)
mà trước đó chưa biết.Ngược lại, từ các đại lượng chưa biết,
xuất hiện ra các quá trình chưa biết
- Đưa ra qui luật định tính cho tồn bộ diễn biến q trình
được đặc trưng chỉ qua một chuẩn số


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Giới$hạn$của$phương$pháp$phân$tích$thứ$nguyên
- Bằng phân tích thứ ngun, khó hình thành một quan hệ hàm số giữa
các biến không thứ nguyên, mà phải dựa trên biểu thức vật lý Phân
tích thứ nguyên dựa trên qui luật toán học: cơ sở, điều kiện, phương trình, thuật
tốn. Kết quả của phân tích thứ ngun là đưa ra chuẩn số. Phải tiến hành thực
nghiệm mới đưa ra hàm số. Địi hỏi phải có hàng loạt giả thiết mới: quan hệ
giữa các biến riêng lẻ, dạng phương trình,….
- Xuất hiện đồng dạng cục bộ dẫn tới sự tồn tại của các chuẩn số khác
nhau ở hai qui mơ, nên sẽ khơng có đồng dạng hồn tồn. Trong nhiều q
trình phức tạp, có những biến cùng loại và khác loại (thông số vật lý, thông
số trạng thái) không có khả năng giữ ngun đồng dạng hồn tồn. Trong
trường hợp này phải xử lý theo nguyên tắc đồng dạng cục bộ

- Thiếu kiến thức về q trình thì khơng thể vận dụng hữu hiệu lý
thuyết đồng dạng phải phân tích các qui luật của q trình đúng rồi mới
lập được các chuẩn số độc lập và phân tích thứ nguyên mới có ý nghĩa

- Các dạng chuẩn số cần được phân tích rõ, để khẳng định là nó
thực sự độc lập nhau dạng thực, hay phụ thuộc nhau dạng giả
Các chuẩn số thiết lập từ pt vi phân thì đẽ nhận biết về mặt ý nghĩa vật lý
hơn là từ các phương pháp phân tích đơn thuần



Thuyết động dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Nguyên'tắc'thực'hiện'phương'pháp'phân'tích'thứ'nguyên
-

Đơn vị của chuẩn số là 1:
m

[xk ] = ! Ei a

=1

ik

k =1

- Mỗi đơn vị được thành lập từ những đơn vị cơ sở trong tập hợp:

[" ] = ! [x ]
n

j

n

m

k =1


[# ] = ! [x ]
j

PK

k

k =1

Viết cách khác

=1

k

n

Thay vào:

PK

= !! Eiaik " Pk = 1
k =1 i =1

[# ] = ! [x ]
n

j

PK


k

k =1

Phương trình chỉ thỏa mãn khi

n

m

" aik PK

= ! Eik =1
k =1

n

! aik PK
k =1

= 0

=1

n+ l; đại lượng
cần thiết có thể
mơ tả hồn tồn
q trình.
n: số đại lượng có

thứ ngun
l: số đại lượng
khơng có thứ
nguyên
q: số chuẩn số phụ
thuộc trong t
chuẩn số độc lập,
có: l = t-q
nhận được số
chuẩn số độc lập
là: s+t –q = s+l


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Ví#dụ
-

Phương trình tính thời gian giao động:

t = 2⋅π
-

Các đại lượng ảnh hưởng:

a

l
b

g

c

Π = t ⋅m ⋅l ⋅g
-

Thứ nguyên:

d

Π = $%T a ⋅M b ⋅Lc ⋅Ld ⋅T −2 d &'
Các đại lượng ảnh hưởng
Các đơn vị cơ bản
Các số mũ


Thuyết đồng dạng & Phương pháp phân tích thứ nguyên
Ví#dụ
-

Hệ 3 phương trình 4 ẩn:

c+d = 0
b=0
a-2d = 0

c = -d = -a/2 b = 0
d = a/2

Π=


a

t ⋅l
a

−a

2

⋅g

a

2

#
&
2
#
&
g
g
a
Π = t ⋅% (
= %t ⋅
(
$l'
l'
$


a