SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉCTƠ
TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIÚP HỌC SINH LỚP 11
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Người thực hiện: Nguyễn Văn Mạnh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA NĂM 2022

skkn

1


MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

1. MỞ ĐẦU..............................................................................................

1

1.1. Lý do chọn đề tài ....................................................................

1

1.2. Mục đích nghiên cứu...............................................................

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.....................................

3

2.1. Cơ sở lý luận...........................................................................

3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

4

2.3. Các giải pháp thực hiện...........................................................

4


2.3.1. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào chứng
minh đường thẳng song song với mặt phẳng............................................

5

2.3.2. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào chứng
minh mặt phẳng đi qua một điểm cố định.................................................

8

2.3.3. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào tính tỉ số
độ dài đoạn thẳng và giải tốn có liên quan..............................................

11

2.3.4. Bài tập vận dụng...................................................................

18

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.......................................

19

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................................................

19

3.1. Kết luận....................................................................................


19

3.2. Kiến nghị.................................................................................

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................

21

NHỮNG SÁNG KIẾN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN.............................

22

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học
hiện đại, như đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân,... nó cịn
mang lại một cơng cụ hiệu quả cho việc nghiên cứu hình học sơ cấp. Khơng chỉ
trong phạm vi tốn học, vectơ cịn được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của
vật lý và kỹ thuật.
Trong chương trình phổ thơng, khái niệm vectơ trong không gian được
đưa vào từ đầu học kỳ II của lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh một cơng cụ
mới để nghiên cứu hình học khơng gian. Khi dạy ở nội dung này tôi thấy đa số
học sinh hiểu được các khái niệm cơ bản như độ dài của vectơ, sự cùng phương
cùng hướng của hai vectơ, các quy tắc thực hiện phép tốn về vectơ,... vì chúng
được xây dựng và xác định hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Bên cạnh

đó việc xét sự đồng phẳng hoặc khơng đồng phẳng của ba vectơ, việc phân tích
một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng cho trước là một trong những kỹ
năng trọng tâm của bài học, vì vậy học sinh sẽ có nhiều lợi thế trong việc tiếp
cận và rèn luyện các kỹ năng cơ bản. Tuy có nhiều lợi thế về việc tiếp cận kiến
thức, nhưng có rất nhiều học sinh khơng biết cách khai thác và vận dụng vectơ
vào giải toán, đặc biệt là giải tốn hình học khơng gian.
Trong các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT), kỳ thi học sinh
giỏi (HSG) các bài hình học khơng gian thường xun xuất hiện và là thử thách
không nhỏ cho nhiều học sinh. Để giải quyết những bài toán này ta thường sử
dụng các kiến thức tổng hợp của hình học khơng gian, sử dụng tọa độ hóa để
chuyển đổi về bài tốn tọa độ khơng gian,… các phương pháp này địi hỏi học
sinh phải có tư duy nhạy bén và nắm chắc các yếu tố trong hình học, điều này là
một trong những khó khăn đối với nhiều học sinh.
Việc khai thác điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào giải tốn hình học
khơng gian cho ta rất nhiều lợi thế, ta có thể sử dụng trong việc chứng minh
đường thẳng song song với mặt phẳng, sử dụng chứng minh một mặt phẳng đi
qua một điểm cố định, tính tỉ số độ dài đoạn thẳng và giải bài tốn có liên quan,
… từ đó giúp ta có thể biến một bài tốn khó thành một bài toán đơn giản, lời
giải ngắn gọn hơn, khơng địi hỏi nhiều đến khả năng tư duy, kỹ năng vẽ hình và
chứng minh hình học, điều đó đã mang lại hứng thú và tính sáng tạo cho các em
học sinh.
Muốn học sinh học tốt được vectơ trong không gian và đặc biệt là sử dụng
điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào giải tốn hình học khơng gian thì mỗi
người giáo viên khơng phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các nội dung đã có
sẵn trong sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một
cách rập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ
dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và
kết quả học tập sẽ khơng cao. Nó là một trong những ngun nhân gây ra cản trở
việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng
thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.

1

skkn


Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học
mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì
vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết
kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế.
Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có hệ thống kiến
thức về vectơ trong không gian và việc sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba
vectơ vào giải tốn hình học không gian, cũng như để tháo gỡ những vướng mắc
nói trên nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo
dục, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng điều kiện đồng phẳng
của ba vectơ trong không gian để giúp học sinh lớp 11 giải một số bài tốn
hình học khơng gian”.
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thành
thạo trong việc sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong khơng gian vào
giải tốn nói chung và giải một số bài tốn về hình học khơng gian nói riêng.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Làm rõ vấn đề mà học sinh cịn lúng túng, mắc nhiều sai lầm và thậm
chí là khơng có định hình về lời giải trong việc giải tốn hình học khơng gian.
- Góp phần gây hứng thú học tập phần sử dụng điều kiện đồng phẳng của
ba vectơ vào giải một số bài tốn hình học khơng gian, một trong các phần được
coi là hóc búa, địi hỏi tính tư duy cao và khơng những chỉ giúp giáo viên lên lớp
tự tin, nhẹ nhàng; học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà
còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức.
- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của bài học đầu chương, là
vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.
- Nâng cao chất lượng bộ mơn tốn theo từng chuyên đề khác nhau góp

phần nâng cao chất lượng dạy học.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Bài vectơ trong không gian và chủ yếu là sử dụng điều kiện đồng phẳng
của ba vectơ vào giải tốn hình học khơng gian.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
a. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,... có liên quan đến nội dung
đề tài.
- Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Tham khảo các đề minh họa, đề thi thi tốt nghiệp THPT của Bộ giáo
dục, đề thi thử của các trường trên toàn quốc, đề thi HSG của các tỉnh.
b. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung sử dụng điều kiện
đồng phẳng của ba véctơ vào giải tốn hình học khơng gian.
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong q trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua
các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
- Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng tiết học.
2

skkn


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Các kiến thức cơ bản
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính
chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học đồng thời sử dụng hai kết quả
của bài toán mở đầu.

2.1.1. Định nghĩa
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của
chúng cùng song song với một mặt phẳng [1].
Nhận xét:
- Bốn điểm

đồng phẳng

- Nếu ba vectơ
phẳng

đồng phẳng

đồng phẳng, mà

hoặc

khơng thuộc mặt

thì ta có
.
2.1.2. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Trong không gian cho hai vectơ

khơng cùng phương và vectơ . Khi

đó ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số
Ngồi ra cặp số
là duy nhất [1].

2.1.3. Bài tốn mở đầu
Trong khơng gian cho tam giác
a) Chứng minh rằng nếu điểm

thuộc mp

sao cho

.

thì có ba số

mà

sao cho
với mọi .
b) Ngược lại có một điểm
trong khơng gian sao cho
, trong đó
a) Vì
thuộc mp

thì điểm
Chứng minh

là tam giác nên hai véc tơ

thuộc mp

.


không cùng phương. Điểm

suy ra ba véc tơ

đồng phẳng, tức là có một cặp số

thỏa:
, Đặt
Khi đó ta có
, với
b) Ngược lại, nếu có một điểm
, trong đó
Thật vậy từ

.
trong khơng gian sao cho

ta chứng minh
, khi đó

ba véc tơ
đồng phẳng
Nhận xét: Từ bài tốn trên ta có hai kết quả sử dụng:
nếu

.

- Cho tam giác
và là điểm bất kỳ sao cho

đồng phẳng thì ta có
.

.
,
3

skkn


- Cho tam giác
, nếu

và

là điểm bất kỳ trong không gian sao cho
thì ta có

đồng phẳng.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Từ năm học 2016 - 2017 Bộ giáo dục chuyển đổi hình thức thi tốt nghiệp
THPT của mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm địi hỏi phương
pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Khi học bài vectơ trong không gian đa số học sinh chỉ dừng lại ở kỹ năng biến
đổi, phân tích vectơ nhưng không biết cách khai thác để sử dụng vectơ vào giải tốn
nói chung, giải tốn hình học nói riêng.
Trong các đề thi tốt nghiệp THPT và đặc biệt là đề thi HSG của các trường
THPT trên toàn quốc, học sinh thường gặp một số câu về tính tỉ số độ dài đoạn thẳng
trong khơng gian và các bài tốn có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để

lấy điểm cao. Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em có
thêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc giải tốn hình học khơng gian từ đó
các em vận dụng và làm tốt trong các bài thi.
Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập
của học sinh trường THPT Hậu Lộc 4 (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về các
bài toán sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong khơng gian vào giải tốn
hình học khơng gian, đã thu được kết quả như sau:
Lớp Sĩ
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
số SL % SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A5 42 0
0
2
4.76 27 64.29
8
19.05
5
11.9
0

11A7 37 1 2.70 5
13.5 21 56.76
7
18.92
3
8.11
1
11A8 40 3
7.5
7
17.5 24
60
5
12.5
1
2.5
Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng này khơng nhiều, có rất nhiều em
chưa định hình được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
Thực hiện đề tài này, tôi đã hệ thống từng chủ đề thông qua kiến thức sử dụng
các bài tập tương ứng cho mỗi chủ đề đó, cuối cùng là bài tập tổng hợp để học sinh
vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết. Do khn khổ đề tài có hạn
nên tơi chỉ đưa ra được ba chủ đề ứng dụng thông qua một số ví dụ tương ứng đó là:
sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào chứng minh đường thẳng song
song với mặt phẳng, chứng minh mặt phẳng đi qua một điểm cố định, tính tỉ số
độ dài đoạn thẳng và giải tốn có liên quan.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành ba phần
- Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào chứng minh đường
thẳng song song với mặt phẳng.
- Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào chứng minh mặt phẳng

đi qua một điểm cố định.
- Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào tính tỉ số độ dài đoạn
thẳng và giải tốn có liên quan.
Mỗi phần được thực hiện theo các bước:
4

skkn


- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài
- Nêu các ví dụ áp dụng
- Nêu định hướng lời giải cho mỗi ví dụ trước khi đưa ra lời giải.
Cuối cùng là bài tập vận dụng.
Sau đây là nội dung cụ thể:
2.3.1. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào chứng minh
đường thẳng song song với mặt phẳng.
Kiến thức sử dụng
Để chứng minh đường thẳng
chứng minh

hoặc

song song với mặt phẳng

không thuộc mặt phẳng

và ba vectơ

đồng phẳng. Tức là cần chứng minh


và

mặt phẳng
.
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ
tam giác

và tam giác

gọi

cần chứng minh

và

Gọi
. Ta có

hoặc

khơng thuộc

lần lượt là trọng tâm của

. Chứng minh

Định hướng lời giải: Do

ta cần


.

nên để chứng minh

ta

đồng phẳng, tức là cần chứng minh
Lời giải
lần lượt là trung điểm của

.

C'
B'
A'
N
G

đồng phẳng
mà

C

.

I

B

A


Ví dụ 2. Cho hình chóp

có đáy

lần lượt là trung điểm các cạnh

,

Định hướng lời giải: Do
cần chứng minh
.

M

là hình bình hành. Gọi

. Chứng minh

.

nên để chứng minh

ta

đồng phẳng, tức là cần chứng minh
Lời giải

Ta có


S

M

Khi đó:
A
B

skkn

D5

N
C


đồng phẳng, mà
Ví dụ 3. Cho hình hộp
trên cạnh
và
sao cho
song với mặt phẳng

.
. Gọi

là các điểm lần lượt
. Chứng minh
song


;

.

Định hướng lời giải: Do
ta cần chứng minh
.

nên để chứng minh
đồng phẳng, tức là cần chứng minh
Lời giải

Từ

;
,

Ta có
(1)

C'

B'

.

D'

A'


và

N
C

B
A

D

M

(2)
Từ (1) và (2) ta được

của

đồng phẳng, mà
.
Ví dụ 4. Cho hình hộp
. Gọi , lần lượt là trung điểm
và
; và lần lượt là trọng tâm các tứ diện
và
.

Chứng minh rằng đường thẳng song song với mặt phẳng
.
Định hướng lời giải: Gọi
lần lượt là trung điểm của

. Do
và
lần lượt là trọng tâm các tứ diện
và
nên , lần lượt là trung điểm của
và
.
Do

minh

mặt

nên để chứng minh
đồng phẳng, tức là cần chứng
.
Lời giải
Gọi
lần lượt là tâm của các
. Do
và
lần

ta cần chứng minh
B'

A'
C'

D'


K
N

E

J

F

6

I
H

skkn

D

B

A
M

C


lượt là trọng tâm các tứ diện
của
và

Ta có

và

đồng phẳng, mà
Ví dụ 5. Cho hình chóp
giác
và
cùng cân tại
các tam giác

và

nên

nên
có đáy
. Gọi

,

lần lượt là trung điểm

.
là hình bình hành, các tam
là các đường phân giác trong của

. Chứng minh

.


Định hướng lời giải: Do
nên để chứng minh
chứng minh
đồng phẳng, tức là cần chứng minh
Lời giải
Do
là đường phân giác
S
trong của tam giác
nên ta có

ta cần
.

F

Do
là đường phân giác trong
của tam giác
nên ta có

A

D

B

Mà các tam giác


và

C

cùng cân tại

kết hợp với (1), (2) ta được

( với

nên
). Khi đó

E

và
và

.
Ta có
đồng phẳng
mà

nên

.
7

skkn



2.3.2. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào chứng minh
mặt phẳng đi qua một điểm cố định.
Kiến thức sử dụng
- Để chứng minh mặt phẳng
đi qua điểm
cố định ta cần chứng
minh bốn điểm
đồng phẳng, tức là cần chứng minh với là điểm bất
kỳ trong không gian sao cho
- Nếu

thì ta có

là điểm nằm trên đoạn thẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp
cạnh

lần lượt tại

phẳng

.

thì ta có

, biết

là mặt phẳng thay đổi cắt các


thỏa mãn

. Chứng minh mặt

luôn đi qua một điểm cố định.
Định hướng lời giải: Đặt

Giả sử

đi qua điểm

ta có

cố định

đồng phẳng,

khi đó
(với
là trung điểm của

là trọng tâm của

. Vậy

Gọi
là trọng tâm của
trung điểm của
ta có cố định

Vì là trọng tâm của
nên

đi qua điểm
Lời giải
,
là

)

cố định là trung điểm của

.

S

M
I
N

E

A

C
G
B

Mà
nên


đồng phẳng. Do đó mặt phẳng

ln đi qua điểm

cố định.

8

skkn


Ví dụ 2. Cho tứ diện
các cạnh

Gọi

là các điểm thay đổi lần lượt trên

sao cho

phẳng

. Chứng minh rằng mặt

luôn đi qua một điểm cố định.
Định hướng lời giải: Đặt

Giả sử


Gọi

đi qua điểm

, ta có

cố định

đồng phẳng, khi đó

là điểm thỏa mãn

(*) , ta có
, khi đó

định là điểm thỏa mãn

. Vậy

cố định và
đi qua điểm

cố

.
Lời giải

Gọi

A


là điểm thỏa mãn
(*) , ta có cố định
M

và

E

(1)
Gọi

N

là điểm sao cho
, do
cố định nên cố định. Khi đó

B

D
C

(1)

Mà

nên bốn điểm

đồng phẳng. Do đó


ln đi qua điểm

Ví dụ 3. Cho tứ diện
thay đổi cắt các cạnh

có

cố định.

. Biết
lần lượt tại

. Chứng minh mặt phẳng

là mặt phẳng
thỏa mãn

luôn đi qua một điểm cố

định.
Định hướng lời giải: Từ giả thiết ta có
. Đặt

ta có
9

skkn



Giả sử

đi qua điểm

cố định, ta có

đồng phẳng nên

là trung điểm của

( với

là trọng tâm của tam giác
và là trung điểm của
). Vậy
đi qua
điểm cố định là trung điểm của .
Lời giải
Gọi là trọng tâm của tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
Ta có
A

M

I
E

P


N

B

D
G

Mà
đồng phẳng.
Vậy

, nên

K

C

đi qua điểm cố định là trung
điểm của .
Ví dụ 4. Cho hình chóp
có đáy
là tứ giác có hai đường

chéo
,
cắt nhau tại
sao cho
phẳng thay đổi cắt các cạnh


và
theo thứ tự tại

. Chứng minh rằng mặt phẳng

. Biết

là mặt
thỏa mãn

luôn đi qua một điểm cố

định.
Định hướng lời giải: Từ giả thiết ta có
đặt

, ta có
nên
Giả sử

. Mặt khác do

và
đi qua điểm

và
.

cố định, ta có


đồng phẳng nên
là

trung điểm của

. Vậy

đi qua điểm
cố định là trung điểm của
Lời giải

.

10

skkn


S

Ta có

K

M

là trung điểm của

D


O

B

Từ (1) và (2) ta được

Gọi

E

N

A

C

(3)
và cố định .

ta có

Khi đó (3)
Mà

,

nên bốn điểm
đồng phẳng. Do đó mặt phẳng
ln đi qua điểm
cố định.

2.3.3. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ vào tính tỉ số độ dài
đoạn thẳng và giải tốn có liên quan.
Kiến thức sử dụng
- Cho tam giác
và là điểm bất kỳ sao cho
đồng phẳng thì ta có
.

nếu

,

- Nếu
là điểm nằm trên đoạn thẳng
thì ta có
Ví dụ 1. Cho tứ diện
có trọng tâm . Gọi
lượt trên cạnh
sao cho
. Gọi
với mặt phẳng
Định
hướng

. Tính
.
lời
giải:

Phân


là các điểm lần
là giao điểm của

tích

, mà bốn điểm
, từ đó tính được

đồng phẳng nên
A

.
Lời giải
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
, do là trọng tâm của tứ diện
nên là trung điểm của .

I
M
E

G
B

D
11


N

skkn

J
C


Ta có

mà

đồng phẳng nên
.

Ví dụ 2. Cho hình chóp
là các điểm lần

có đáy
là hình bình hành. Gọi
lượt trên cạnh
sao cho

và mặt phẳng
Định

hướng

lời


giải:

cắt
Phân

tại

. Tính

tích

, mà bốn điểm
, từ đó tính được
Gọi
hành

.

đồng phẳng nên

.
Lời giải
S

là tâm của hình bình
ta có
và
nên

F

M
E
N
A

D
O

B

C

.
Mà

đồng phẳng nên
Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ
biết đáy
cân tại và
. Gọi là trung điểm của
,
cho
đổi đi qua

;

là điểm trên
cắt các cạnh

sao cho


. Biết
lần lượt tại

.
là tam giác vuông
là điểm trên
sao
là mặt phẳng thay
. Chứng minh

.
Định hướng lời giải: Phân tích

12

skkn


, mà

đồng phẳng nên

, mà từ giả thiết ta có
điều phải chứng minh.
Lời giải

ta có

từ đó ta được


C

Ta có

I

N

M

A

J

B

P

E

C'
A'

Mà

B'

đồng phẳng nên


Do tam giác

vng cân tại

nên ta có
.
Ví dụ 4. Cho hình hộp
mặt
và

,

. Gọi
là điểm trên cạnh

là mặt phẳng thay đổi đi qua
Chứng minh
Định

có

lần lượt là tâm của các
sao cho
. Biết

cắt các cạnh

lần lượt tại

.


.
hướng

lời

giải:

Phân

tích

mà

đồng

phẳng

nên

, từ đó ta có điều phải chứng minh.
Lời giải
Ta có

A

H

D
P


M

B
C

N

E
A'

I

D'

J
B'
C'

13

skkn


(3)
Cộng theo vế (1);(2);(3) ta được
kết hợp với (1) ta được

Mà


đồng phẳng nên
Ví dụ 5. Cho tứ diện

điểm

. Các mặt phẳng

thẳng

cắt mặt phẳng

minh rằng

.
, trên các cạnh
,

lần lượt lấy các

,

cắt nhau tại

. Đường

và mặt phẳng

lần lượt tại

. Chứng


.

Định hướng lời giải: Đặt
. Vì
đồng
phẳng nên tồn tại các số
với
ta có
. Phân
tích
;
;
.
Mà
đồng phẳng nên
;
đồng phẳng nên
;
đồng phẳng nên
;
đồng phẳng
nên ta có
. Từ đó có được hệ thức liên hệ giữa
và được điều
chứng minh.
Lời giải
Gọi
là giao điểm của
và

A
;
là giao điểm của
và
;
trong mp

gọi

là giao điểm của
M

và
, ta có
nên
chính là giao điểm của ba mặt phẳng
,

,

.

B

thuộc đoạn
sao cho

E
K


N

Đặt

khi
đó
.
Mà
nên tồn tại các số
.

I

Q

H

D

J
C

14

skkn


Vì

đồng phẳng nên tồn tại các số

(*). Từ (*) ta có

mà

đồng phẳng nên
, mà
, mà
Mặt khác cũng từ (*) ta có

với

ta có

(1). Tương tự ta cũng có
đồng phẳng nên
đồng phẳng nên

, mà

(2).
(3).

đồng phẳng nên ta có

.
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được

.
Ví dụ 6. Cho tứ diện


có

phẳng thay đổi đi qua trọng tâm

. Gọi

của tứ diện,

là mặt

cắt các tia

lần

lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Định hướng lời giải: Phân tích
, mà bốn điểm

đồng phẳng nên

, từ đó được hệ thức
đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Vì
là trọng tâm của tứ diện
nên là trung điểm của .

Ta có

. Sau đó áp dụng bất
.

A

I

E

M

G

B

D
N

.
Mà

J

C

đồng phẳng nên

15


skkn


Ta có

Dấu “ = ” xảy ra khi
Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ
trọng tâm của tam giác
và cắt các tia

;

. Vậy
có

.
. Gọi

là mặt phẳng thay đổi đi qua trung điểm của
lần lượt tại
. Tìm giá trị lớn nhất của

.
Định hướng lời giải: Gọi

là trung điểm của

, phân tích


mà
phẳng nên

là

đồng

, từ đó ta được hệ thức

đó áp dụng bất đẳng thức cơ bản
nhất của .

. Sau
ta có ngay giá trị lớn

Lời giải
A'

Gọi

lần lượt là trung điểm của
. Ta có

C'
B'

E
I

C


A
G

N

J

B
M

,

Dễ thấy với mọi
khi
.

ta ln có:
Áp
dụng
bất

mà

đẳng

đồng

thức


, dấu dấu “ = ” xảy ra khi
Vậy

phẳng

nên

, dấu “ = ” xảy ra
trên
ta
được

.

.
16

skkn


Ví dụ 8. [3] (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019) Cho
hình chóp
có đáy là hình bình hành tâm . Một mặt phẳng không qua
cắt các cạnh
lần lượt tại
thỏa mãn
,
. Tính tỉ số

khi biểu thức


đạt giá trị nhỏ nhất.

Định hướng lời giải: Phân tích

, mà bốn điểm

, từ đó ta được hệ thức liên hệ giữa
. Sau đó rút và
ta sẽ được giá trị nhỏ nhất của , chỉ rõ dấu “ = ” xảy ra ta

thế vào biểu thức
tính được tỉ số
Do

đồng phẳng nên

.

là tâm của hình bình hành
và

Lời giải
, nên ta có

S

.
đồng phẳng nên


Mà

Q
M

P

.
Đặt
(với
Khi đó

ta có

N

).

D

A
O

B

C

.
Dấu “ = ” xảy ra khi
. Vậy khi đạt giá trị nhỏ nhất thì

.
Ví dụ 9.[5] (Đề thi thử tốt nghiệp THPT SGD Sơn La lần 2 năm học
2020-2021) Cho hình chóp
, có đáy
là hình thang
. Gọi
là một mặt phẳng tùy ý không đi qua và cắt các
cạnh
lần lượt tại các điểm
thỏa mãn
.
Khi biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của tích

bằng
17

skkn


A.

.

B.

Định

hướng


.

lời

C.

giải:

.

Phân

D.

tích

, mà bốn điểm

thế vào biểu thức

từ đó có được giá trị của tích
Lời giải
ta có

Gọi
Do đó

.


(với

. Vì

).

nên

.

. Xét tam giác

Xét tam giác

đồng phẳng nên

, từ đó ta được hệ thức liên hệ giữa
. Sau đó rút và
ta sẽ được giá trị nhỏ nhất của , chỉ rõ dấu “ = ” xảy ra ta

tính được tỉ số

Đặt

.

có

có


nên

nên

.

.

Suy ra
S
Q
P
M

.
đồng phẳng nên

Do

N
D

A

.

O
C

B


Khi đó
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Khi đó

bằng

. Dấu “ = ” xảy ra khi

,

.

.

2.3.4. BÀI TẬP VẬN DỤNG

18

skkn


Gọi

Câu 1. Cho hình chóp
là trọng tâm tam giác

Chứng minh rằng


có đáy
là hình thang đáy lớn
là điểm trên cạnh
sao cho

,

.
.

.

Câu 2. Cho hình chóp

. Biết

theo thứ tự tại các điểm
minh mặt phẳng

là mặt phẳng thay đổi cắt các tia
sao cho

. Chứng

ln đi qua một điểm cố định.

Câu 3. Cho hình chóp
lần lượt tại , , , . Biết

.


là mặt phẳng thay đổi cắt
, , ,
là hình bình hành, chứng minh rằng

.
Câu 4. Cho hình chóp
có đáy
là trung điểm của cạnh
. Mặt phẳng qua

là một hình bình hành. Gọi
cắt các cạnh
lần lượt

tại

. Chứng minh
.
Câu 5. [3] (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho tứ
diện
có
. Một mặt phẳng
thay đổi luôn đi qua trọng tâm
của tứ diện và cắt các cạnh
lần lượt tại các điểm
. Chứng
minh rằng biểu thức
Câu 6. Giả sử
tứ diện


có giá trị khơng đổi.
là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh

. Gọi

là giao điểm của ba mặt phẳng

của
và

là giao điểm của ba mặt phẳng

. Chứng minh rằng

.
Câu 7. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều,
. Gọi , lần lượt là trung điểm của
,
. Gọi
là
trung điểm của

. Một mặt phẳng

cắt các cạnh

,


,

thay đổi đi qua

lần lượt tại các điểm

nhỏ nhất của biểu thức:
.
Câu 8. Cho hình chóp
có đáy
chéo
cắt nhau tại điểm O sao cho
điểm của ,
đổi đi qua
thức

là điểm trên cạnh
sao cho
cắt
lần lượt tại và

,

sao cho mặt phẳng
,

. Tìm theo

giá trị


là tứ giác lồi có hai đường
. Gọi
là trung
;
là mặt phẳng thay
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

.
19

skkn


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Hậu Lộc 4 tôi được nhà trường giao
cho giảng dạy ba lớp 11A5, 11A7 và 11A8. Sau khi thử nghiệm dạy nội dung
này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy
học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng học
toán được nâng lên rõ rệt.
Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả
như sau:
Lớp Sĩ
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
số
SL

%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A5 42
2
4.76
6
14.2 28
66.6
4
9.52
2
4.7
9
7
6
11A7 37
5
13.5 10 27.0 18
48.6
3
8.11
1
2.7

1
3
5
11A8 40
8
20
15 37.5
15
37.5
2
5
0
0
Như vậy qua kết quả trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu tôi nhận
thấy chất lượng học tập mơn tốn của học sinh được nâng lên rõ rệt, số lượng
học sinh khá giỏi tăng lên nhiều.
Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận và
rút kinh nghiệm. Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có
hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững
hơn về bản chất sử dụng vectơ vào giải tốn hình học khơng gian, cũng như tạo
thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo. Mỗi giáo viên đều tự
hình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để
đạt được mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân
tương lai của đất nước. Việc sử dụng vectơ vào giải toán là dạng tốn khơng thể
thiếu được trong chương trình tốn phổ thơng cũng như trong kì thi HSG các
cấp, kỳ thi tốt nghiệp THPT. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì
chưa đủ, vì vậy địi hỏi người giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm

tịi sáng tạo, thường xun bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề
này.
Trong q trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, đọc tài liệu tham khảo
và ôn thi tốt nghiệp THPT tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Như vậy đề
tài “Sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian để giúp học
sinh lớp 11 giải một số bài tốn hình học khơng gian” đã giúp học sinh có được
hệ thống kiến thức, linh hoạt hơn trong việc định hướng biến đổi và có kinh
nghiệm trong việc giải tốn nói chung và giải tốn hình học khơng gian nói riêng,
góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong dạy
học.
3.2. Kiến nghị
3.2.1. Đối với tổ chuyên môn :
20

skkn


Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung sử dụng vectơ vào
giải tốn. Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những
dạng bài tập toán trong bài giảng.
3.2.2. Đối với nhà trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận nhiều hơn nữa để thơng qua đó các học
sinh bổ trợ nhau về kiến thức.Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây
dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải
tốn.
3.2.3. Đối với sở giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời
sau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách
nội bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng

nghiệp song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý,
bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm
ĐƠN VỊ
2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do
chính bản thân mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.

Nguyễn Văn Mạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa hình học 11 cơ bản , NXB Giáo Dục Việt Nam, Trần Văn
Hạo (Tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên).
[2]. Sách bài tập hình học 11 cơ bản, NXB Giáo Dục Việt Nam, Nguyễn Mộng
Hy ( Chủ biên).
[3]. Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa các năm.
[4]. Đề thi HSG của các tỉnh.
[5]. Đề thi thử tốt nghiệp THPT của các trường trong toàn Quốc.
[6]. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm của Bộ giáo dục và Đào tạo.
21

skkn


22

skkn



DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Mạnh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hậu Lộc 4

TT

Tên đề tài SKKN

1

Sử dụng đạo hàm để giải
phương trình , bất phương
trình và hệ phương trình.
Sử dụng số phức vào giải một
số bài tốn đại số.
Sử dụng phương pháp tính
tích phân để giúp học sinh lớp
12 tính tích phân hàm ẩn,
nhằm nâng cao chất lượng thi
THPT Quốc gia

2

3

Cấp đánh giá
xếp loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh…)
Ngành GD cấp
tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
C

2008 - 2009

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2011- 2012

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2017 - 2018

Năm học

đánh giá
xếp loại

----------------------------------------------------

23

skkn