SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HĨA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHÙ HỢP CHO BÀI TOÁN MAX, MIN VỀ MÔĐUN SỐ PHỨC

Người thực hiện: Lê Văn Thượng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Thiệu Hóa
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn

THANH HĨA NĂM 2022

skkn


1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3

2.3.4
2.3.5
2.4
3

Mục lục
MỞ ĐẦU....................................................................................
Lí do chọn đề tài.........................................................................
Mục đích nghiên cứu..................................................................
Đối tượng nghiên cứu................................................................
Phương pháp nghiên cứu............................................................
Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm............................
NỘI DUNG................................................................................
Cơ sở lí luận...............................................................................
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.........................
Giải pháp thực hiện....................................................................
Phương pháp phân tích chung...................................................
Phương pháp hình học tìm max, min mơđun số phức...............
Phương pháp đại số tìm max, min mơđun số phức....................
Phương pháp giải tích tìm max, min mơđun số phức................
Bài tập tổng hợp.........................................................................
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường...........................
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.........................................................
Tài liệu tham khảo......................................................................

Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 3

Trang 4
Trang 4
Trang 5
Trang 5
Trang 6
Trang 6
Trang 6
Trang 10
Trang 16
Trang 17
Trang 18
Trang 20
Trang 22
Trang 24

2

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 ở chương IV (chương số
phức) đã xây dựng khái niệm số phức một cách khá cơ bản và nhẹ nhàng. Tuy
nhiên với tình hình đổi mới thi trắc nghiệm như hiện nay số phức đã được khai
thác khá sâu, trong đề thi tốt nghiệp THPT đã xuất hiện các câu hỏi về số phức ở
mức vận dụng, vận dụng cao. Một trong những dạng tốn được hỏi nhiều đó là
các bài tốn max, min về mơđun số phức.
Để giải được các bài tốn này học sinh cần có các kiến thức cơ bản về bất
đẳng thức, về hàm số và hình học. Đặc biệt là hình học, bằng cách đặt tương ứng

mỗi số phức với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ, ta thấy giữa Đại số và Hình
học có mối liên hệ với nhau khá "gần gũi". Hơn nữa nhiều bài toán số phức, khi
chuyển sang hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh
họa một cách rất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng hình học với
phương pháp rất đẹp. Đặc biệt, trong kỳ thi TN THPT, việc sử dụng phương
pháp hình học để giải quyết các bài toán về số phức là một trong những phương
pháp khá hay và hiệu quả đối với bài tốn max, min mơđun số phức. Hơn nữa,
với những bài tốn hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn
được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ
dàng.
Qua thực tiễn giảng dạy số phức và đặc biệt ôn tập cho hoc sinh thi tốt
nghiệp THPT tôi nhận thấy nhiều học sinh cịn lúng túng chưa có hướng giải bài
tốn max, min về mơđun số phức vì vậy bản thân tơi ln trăn trở cần tìm
phương pháp hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho lớp bài toán này.
Qua nhiều năm giảng dạy, học hỏi các đồng nghiệp cùng tìm hiểu các tài
liệu trên mạng bản thân đã đúc kết thành kinh nghiệm hướng dẫn học sinh phân
tích tìm lời giải cho bài tốn max, min về mơđun số phức bằng phương pháp
hình học, đại số và giải tích.
1.2. Mục đích
Mục đích nghiên cứu của SKKN giúp học sinh phân tích bài tốn max,
min mơđun số phức để nhanh chóng đưa ra lời giải phù hợp chó từng bài toán cụ
thể. Để giải quyết tốt các bài toán này, yêu cầu học sinh cần nắm vững mối liên
hệ giữa số phức với hình học phẳng, hình học giải tích trong mặt phẳng, các kiến
thức về bất đẳng thức, về hàm số....
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức: Đường thẳng, đoạn
thẳng, đường trịn, đường elíp.
- Các bất đẳng thức và tính chất bất đẳng thức cùng với các kiến thức về
hàm số.
3


skkn


- Giải bài tốn max, min mơđun số phức từ phương diện hình học, đại số,
giải tích.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
-Kết hợp linh hoạt các phương pháp hình học, đại số và giải tích để giải
quyết bài tốn về max, min mơđun số phức.
-Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải tốn của học sinh.
-Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
quyết các bài toán max, min trước và sau khi được học phương pháp phân tích
này.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn max, min dưới các khía cạnh của
hình học, đại số và giải tích. Từ đó giúp học sinh có cái nhìn tổng quan bài tốn
max, min về mơđun số phức. Trên cơ sở đó khi đứng trước một bài tốn max,
min về mơđun số phức học sinh có thể nhanh tróng đưa ra được phương pháp
giải phù hợp, tìm được kết quả nhanh nhất.

4

skkn


2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1 Những kiến thức cơ bản (Do giới hạn sáng kiến nên khơng trình bày
trong bài viết này)
2.1.2 Những tập hợp điểm phổ biến

Một số quỹ tích nên nhớ
Quỹ tích điểm M

Biểu thức liên hệ

(2) (1)Đường thẳng

(1) hoặc

(2) Đường trung trực đoạn ABvới
Đoạn thẳng
với biểu diễn
cho , biểu diễn cho

hay
hoặc

Đường trịn tâm

hoặc

Hình trịn tâm

, bán kính
, bán kính

Hình vành khăn giới hạn bởi hai

hoặc


đường trịn đồn tâm
kính lần lượt là

, bán

Đường líp có hai tiêu điểm
, tâm
là
tâm đối xứng.

hay
2.1.3 Các bất đẳng thức thường gặp

dấu bằng xảy ra
dấu bằng xảy ra

.

dấu bằng xảy ra
dấu bằng xảy ra

5

skkn


2.1.4 Các kiến thức về hàm số và lượng giác ( Do giới hạn của sáng kiến nên
khơng trình bày trong bài viết này)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tiễn giảng dạy, ôn tập cho hoc sinh thi TN THPT tôi nhận thấy

đứng trước bài tốn max, min về mơđun số phức nhiều em chưa có hướng giải
với lý do đây là phần kiến thức phức hợp yêu cầu học sinh phải nắm vững các
khái niệm về số phức, đặc biệt mối liên hệ giữa số phức với hình học. Ngồi ra
các em cịn phải có kiến thức về bất đẳng thức, kiến thức về hàm số...
2.3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI
TỐN MAX, MIN VỀ MƠĐUN SỐ PHỨC
2.3.1. Phương pháp phân tích chung:
Bước 1. Tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z. Đây cũng
là quá trình tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện bài
tốn.
Bước 2. Phân tích bài tốn để tìm phương pháp giải phù hợp:
- Chuyển bài tốn về bài tốn hình học, sử dụng các khoảng cách
hình học để tìm max, min.
- Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.
- Sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá.
- Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để đánh giá.
Bài tốn 1. Cho số phức
cho

thỏa mãn

là số thực. Tìm

sao

đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi


, khi đó:

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức
ta có các cách giải bài toán.

là số thực khi
là đường thẳng (d):

.
, từ đó

hay

là hình

Cách 1. (Hình học)
Gọi
chiếu của

là điểm biểu diễn
trên (d), ta tìm được

thì
.

Cách 2. (Dùng bất đẳng thức)
Ta có

.
6


skkn


Vậy

.

Hay có thể áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có:

.
Cách 3 (Phương pháp hàm số)
Ta có
Xét hàm số

lập bảng biến thiên ta

được
Bài tốn 2. Cho số phức
của

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất

.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi


, khi đó:

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức
ta có các cách giải bài tốn.

là đường thẳng

:

, từ đó

Cách 1. (Hình học)
Gọi

là điểm biểu diễn

,

biểu diễn

thì

, nên
Cách 2. (Dùng bất đẳng thức)
Ta có:
Vì

. Vậy

.


Hay có thể áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có:

Suy ra

.

Cách 3 (Phương pháp hàm số)
7

skkn


Ta có
Xét hàm số

lập bảng biến thiên ta

được

.

Bài tốn 3. Cho số phức
nhỏ nhất, lớn nhất .

thỏa mãn

. Tìm số phức

có mơđun


Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi

, khi đó:

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức là đường trịn
có phương trình:
có tâm
, từ đó ta có các cách giải bài tốn.
Cách 1. (Hình học)
Gọi

là điểm biểu diễn

thì

Phương trình đường thẳng
Đường thẳng
phương trình:

.
.

cắt đường trịn

tại hai điểm

Ta thấy với mọi điểm M thuộc đường trịn
Vậy


có tọa độ là nghiệm của hệ

thì

và

Cách 2. (Dùng bất đẳng thức)
* Đặt

.Ta có:

Áp dụng BĐT Bunhia, ta có:

.

Từ đó suy ra
Vậy

,

8

skkn


* Hay có thể áp dụng (BĐT Bunhiacopxki), ta có:
Vì
Áp dụng BĐT Bunhia, ta có:
.

.
Vậy

,

Cách 3 (Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt

. Khi đó

Do
,

Vậy
Bài tốn 4. Cho số phức
nhỏ nhất, lớn nhất .

thỏa mãn

. Tìm số phức

có mơđun

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi

biểu diễn

thỏa mãn


đường elip có phương trình

. Ta có tập hợp

là

. Từ đó ta có các cách giải sau:

Cách 1. (Hình học)
Tập hợp
phương trình

biểu diễn

thỏa mãn

là đường elip có

Tọa độ các đỉnh là:

Từ đó ta có:

hoặc
hoặc

hay

hay
.


Cách 2. (Dùng bất đẳng thức)

9

skkn


Ta có:

. Vì

nên
.

Vậy

,

.

Cách 3 (Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt

. Khi đó

Do
Vậy

,


.

Trên đây là phương pháp chung khi phân tích tìm lời giải cho một bài
tốn max, min mơđun số phức.
Tuy nhiên khơng phải bài tốn nào cũng có thể giải bằng nhiều cách khác
nhau nói trên, mà tùy từng bài học sinh cần tìm phương pháp giải phù hợp. Sau
đây là các bài tập với phương pháp giải phù hợp cho đặc điểm bài tốn đó.
2.3.2. Phương pháp hình học
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Bài tốn 1. Cho số phức
Ta có quỹ tích điểm

thỏa mãn
biểu diễn số phức

, tìm

.

là đường trung trực đoạn

với

Bài tốn 2.

Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Ta có quỹ tích điểm

biểu diễn số phức


Tìm
là đường trung trực

đoạn

với

Nhận xét:

10

skkn


Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Khi đó ta biến đổi

Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Khi đó ta biến đổi

Bài tốn 3. Cho số phức

thỏa mãn :

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi
là điểm biểu diễn số phức
Ta có
diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng
điểm
và
thì
đường thẳng
nên
xứng với qua đường thẳng

suy ra biểu
. Xét

Dễ thấy
cùng phía với
nhỏ nhất bằng
trong đó
đối
.
B
A

M'

M

A'


Do đó
Bài tốn 4. Xét số phức

.
thỏa mãn

lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

Gọi

lần

Tính

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

11

skkn


8

D
6

4

A
H


2

E
5

N

2

Gọi

là điểm biểu diễn số phức

,

và

Ta có:
đoạn thẳng

và
. Gọi

là hình chiếu của

,

Suy ra


Bài tốn 5. Cho số phức

lên

nên ta có
, ta có

. Vậy
thỏa mãn

thuộc

.

.
Gọi

lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Tìm
Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi

là điểm biểu diễn của

ta có:
Gọi

suy ra


12

skkn


Theo hình vẽ,

với
với

hay
. Vậy

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường trịn.
Bài tốn 6. Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

. Tìm

.
Ta có quỹ tích điểm
bán kính
khi đó:

biểu diễn số phức

là đường trịn tâm


Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa
về dạng cơ bản, chẳng hạn:
Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

(liên hợp 2 vế)

thỏa mãn
Cho số phức

hay

13

skkn


Bài tốn 7. Cho hai số phức

và

Tìm giá trị nhỏ nhất của

.


thỏa mãn

,

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Ta có tập hợp điểm

biểu diễn số phức

trịn có tâm

, bán kính
biểu diễn số phức

có tâm

, bán kính

thỏa mãn

.
.

khi

Bài tốn 8. Xét số phức
biểu thức

là đường tròn


.

Nên

Suy ra

là đường

.

Tập hợp điểm

Khi đó
Ta có:

thỏa mãn

thẳng hàng và
thỏa mãn

nằm giữa

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải


14

skkn


Ta có tập hợp điểm
đường trịn
Gọi

biểu diễn số phức

thỏa mãn

.
là các điểm biểu diễn các số phức

.
Nhận thấy, điểm

nằm trong đường trịn

cịn điểm

trịn

, mà
khi
với
.
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

Bài tốn 9. Cho số phức

Ta có quỹ tích điểm

và

Bài tốn 10. Cho số phức

. Khi đó,

nằm ngoài đường

là giao điểm của đoạn

thỏa mãn điều kiện

biểu diễn số phức

là

. Tìm

là Elip:

thỏa

Tìm giá

trị lớn nhất của
.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi

là điểm biểu diễn số phức

thỏa mãn

.
Xét
Suy ra

và

. Khi đó

thuộc Elip có

15

skkn


Ta có:

, với

điểm

suy ra


.

Bài tốn 11. Cho hai số phức

và

thỏa mãn

và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Đặt

vì

là elip
Tập hợp các điểm

.

nên tập hợp các điểm

.
biểu diễn số phức

và

Đường thẳng

biểu diễn số phức


thuộc đường thẳng

u cầu bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

thẳng

khi

.
với điểm

.

song song với

tiếp xúc với

có dạng

khi và chỉ khi

.Đường
.

Với
Với
Vậy

.

.
16

skkn


2.3.3 Phương pháp đại số

Bài toán 1. Cho số phức

thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của

.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Ta có:

.

Vậy

khi

Bài tốn 2. Cho số phức
nhất

.

thỏa mãn

của của

. Tìm giá trị lớn nhất

, giá trị nhỏ

.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Ta có:

Mặt khác

vì

và

nên
Suy ra

Vậy

Bài tốn 3. Cho số phức
biểu thức

.

thỏa mãn


. Tìm giá trị lớn nhất của

.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải

Ta có:

.

Từ đó ruy ra

.
17

skkn


Vậy

2.3.4 Phương pháp giải tích
Bài tốn 1. Cho số phức

thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi


, ta có:

Khi đó

.

Xét hàm số

Hàm số liên tục trên

và với

Vậy

ta có:

khi

Bài tốn 2. Cho số phức

thoả mãn

,
. Gọi

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Thay


vào

.
và

lần lượt là giá trị lớn
. Tính

ta có :
.

Mặt khác

.
18

skkn


Đặt

do

nên điều kiện

Suy ra

.

.


Xét hàm số

với
với

. Suy ra

với

. Suy ra

.
với

.
.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra
Vậy

tại

và

tại

.


.

2.3.5. Các bài toán tổng hợp.
Bài toán 1. Cho các số phức

thỏa mãn

thứ

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi

. Ta có:

.

Khi đó
Áp dụng bất đẳng thức :

ta có:

19

skkn



. Dấu bằng
xảy ra khi

.

Xét hàm số

, với

, ta có:

;

.

Ta có:

.

Suy ra

khi

Do đó

.

. Vậy


Bài tốn 2. Cho các số phức

khi

hay

thỏa mãn

. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

.

Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải
Gọi

,
,

,

, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức

,

Có
Suy ra

độ dài trục nhỏ


Có

, có
chạy trên

có tiêu cự

.

, độ dài trục lớn

và phương trình chính tắc của

là

,

.

.
20

skkn


Có

.
.


.
Áp dụng bất đẳng thức :

ta có:

.
Đặt

, với

.

Có

,

Có

.

Có

,

Suy ra

.
.


Đẳng thức

xảy ra khi

.

2.4. Hiệu quả sau khi thực hiện sáng kiên.
Trên đây là phương pháp phân tích tìm lời giải cho các bài tốn
về mơđun số phức mà tơi đã nghiên cứu và áp dụng vào thực tế giảng
dạy ở lớp 12G có 46 học sinh, 12A có 41 học sinh (hai lớp khối A) và ôn tập cho
học sinh cuối khóa năm học 2020-2021 tại trường THPT Thiệu Hóa.
Trước khi dạy các phương pháp trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm
tra thu được kết quả như sau:
Điểm

Điểm dưới 5

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10
21

skkn


Lớp
12A - lần 1


36,58%

53,66%

9,76%

0%

12G – lần 1

45,65%

47,83%

6,52 %

0%

Sau đó tơi áp dụng phương pháp phân tích trên cho mình lớp 12G và tiếp
tục cho cả hai lớp làm một bài kiểm tra thu được kết quả như sau:
Điểm
Lớp

Điểm dưới 5

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10


12A - lần 2
(chưa áp dụng
phương pháp)

26,83%

43,9 %

29,27 %

0%

0%

19,57 %

52,17 %

28,26%

12G - lần 2
(Đã áp dụng
phương pháp)

Khi hướng dẫn học sinh ở lớp 12A áp dụng phương pháp trên tôi tiếp tục
khảo sát lần nữa và thu được kết quả bất rất tốt sau:
Điểm

Điểm dưới 5


Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

12A - lần 3

0%

2,44%

58,54%

39,02%

12G – lần 3

0%

6,52 %

60,87 %

32,61,%

Lớp

Đây là một kết quả đáng mừng, thể hiện rằng khi học sinh được học

phương pháp phân tích bài tốn
về mơđun số phức mà tơi đúc rút từ
kinh nghiệm giảng dạy thì các em đã vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Trong
các buổi sinh hoạt chun mơn tơi có trao đổi với đồng nghiệp và được đồng
nghiệp góp ý, đánh giá sáng kiến có tính vận dụng thực tiễn cao. Sáng kiến của
tơi là một nội dung bổ ích trong sinh hoạt chuyên môn của tổ và các đồng
nghiệp đã đưa vào áp dụng cho kết quả tốt.

22

skkn


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sáng kiên kinh nghiệm của tôi được viết ra từ thực tiễn giảng dạy nhiều
năm lớp 12. Tôi đã theo dõi và rút kinh nghiệm từ năm học 2016-2017. Năm học
2020-2021 tôi tiến hành áp dụng và khảo sát khi được giảng dạy hai lớp 12A và
12G. Kết quả khảo sát cho thấy hiệu quả của phương pháp mà tơi trình bày
trong sáng kiên là rất cao.
Do giới hạn của một sáng kiến nên cịn nhiều vấn đề chưa được ở rộng và
trình bày trong bài viết này.
Sáng kiến của tôi tuy chỉ đề cập một vấn đề của số phức, nhưng nó lại là
vấn đề khá phổ biến trong các đề ôn luyện thi TN THPT và là vấn đề cịn gây
khó khăn cho nhiều học sinh. Chính vì vậy đề tài của tôi được đồng nghiệp đánh
giá cao và đưa vào áp dụng giảng dạy.
3.2. Kiến nghị
Trong chương trình tốn phổ thơng, bài tốn số phức nói chung và bài
tốn max, min về mơ đun số phức nói riêng là bài tốn mới và học sinh chỉ được
học ở cuối lớp 12 thời gian tìm hiểu về loại tốn này ít. Hầu hết học sinh đều

gặp khó khăn khi tiếp cận với bài tốn max, min mơđun số phức. Để giúp học
sinh biết cách phân tích tìm lời giải đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt
các kiến thức đó để giải quyết nhiều dạng tốn khác nhau tơi xin nêu một số giải
pháp đề nghị sau:

23

skkn


Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản của số phức, mối liên
hệ của số phức với hình học, biểu diễn hình học của số phức và các kiến thức về
bất đẳng thức, bất đẳng thức về môđun số phức, các kiến thức về hàm số...
Bước 2: Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích tìm lời giải các bài tốn cơ
bản điển hình vể các dạng tốn max, min mơđun số phức.
Bước 3: Giúp các em rèn luyện kĩ năng phân tích, vận dụng các kiến thức hình
học, đại số và giải tích một cách linh hoạt từ đó tìm lơì giải phù hợp cho các bài
toán, đặc biệt các bài toán tổng hợp và nâng cao. Gợi mở cho học sinh những
hướng phát triển, mở rộng bài toán.
Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tơi qua q trình giảng dạy các bài tốn
max, min mơđun số phức ở lớp 12 THPT và hướng dẫn học sinh cuối khóa ơn
tập. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ giáo và các đọc giả. Xin
chân thành cảm ơn.
Sáng kiến kinh nghiệm tơi trình bày ở trên là ý tưởng hình thành trong quá
trình giảng dạy và trải nghiệm thực tế, qua kết quả học tập của học sinh, tôi
cam đoan là sáng kiến kinh nghiệm này do cá nhân tự nghiên cứu. Nếu sai tơi
xin hồn tồn chịu trách nhiệm.

Thiệu Hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2022
Tác giả


Lê Văn Thượng

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
CHỦ TỊCH

24

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán lớp 12- Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Bài tập dại số và giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản Giáo dục
3. Đề thi Đại học các năm – Bộ giáo dục và Đào tạo.
4. Phân loại phương pháp giải toán Đại số Tổ hợp Số phức - NXB Đại học
Quốc gia Hà nội – Th. S Lê Thị Hương, Th. S Nguyễn Kiếm, Th. S Hồ Xuân
Thắng.
5. 18 chủ đề giải tích 12- Nhóm biên soạn sách bỗ trợ giáo dục OLYMPIC, chủ
biên: Nguyễn Tất Thu- Nguyễn Văn Dũng.
6. Tài liêu trên mạng: Chuyên đề cực trị số phức.

Danh mục sáng kiến đã đạt giải do Sở GD&ĐT đánh giá và xếp loại:
1. Ứng dụng đạo hàm giải và biện luận phương trình, bất phương trình và
hệ phương trình - Được hội đồng khoa học ngành đánh giá xếp loại B Năm
học 2010 – 2011.

25


skkn