TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Mơn thi:

Họ và tên sinh viên:
MSSV:

TỐN CAO CẤP 1

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

030137210473

Lớp học phần: D16

THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số): 16 trang
(bằng chữ): mười sáu trang

YÊU CẦU
1.Bài làm dưới định dạng pdf,tối thiểu là 8 trang, font chữ Times New Roman,cỡ chữ
13,cách dòng 1.5,căn lề 2 bên,khổ giấy A4
2.Số trang phải được đánh ở giữa và cuối trang
3.Các ví dụ minh hoạ phải tính tốn chi tiết

BÀI LÀM


NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TỐN CAO CẤP 1

Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN THANH HIÊN
Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH THẢO
Mã số sinh viên: 030137210473
Lớp: DH37DC09

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11, năm 2021


MỤC LỤC
CÂU 1………………………………………………………………………………..............1
a.1.Khái niệm……………………………………………………………………….............1
a.2.Dạng tổng quát hệ phương trình AX=B…………………………………………….......1
a.3. Phương pháp Gauss-Jordan trong giải hệ phương trình AX=B………………………..1
a.4.Ví dụ giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan……………………………………..….2
b.1.Định lí về nghiệm của hệ phương trình AX=B…………………………………………3
b.2.Ví dụ từng trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B………………………….……3
c.1.Bài tập giải hệ phương trình…….………………………………………………………4
CÂU 2………………………………………………………………………………………..6
a.1.Định thức của ma trận vuông cấp 3……………………………………………………..6
b.1.Định nghĩa ma trận khả nghịch ………………………………………………………...7
b.2.Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận ……………………………….…..7
b.3.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………………….7
c.1.Vận dụng giải các phương trình ma trận………………………………………………..8
c.1.1.Phương trình ma trận dạng AX=B………………………………………………...9
c.1.2.Phương trình ma trận dạng XA=B………………………………………………...9
c.1.3. Phương trình ma trận dạng AXB=C…………………………………………….10

CÂU 3………………………………………………………………………………………11
a.1.Hệ độc lập tuyến tính & phụ thuộc tuyến tính………………………………………...11
a.1.1.Định nghĩa………………………………………………………………………...10
a.1.2.Tính chất ……………………………………………………………………….…11
a.1.3. Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trong khơng gian Rn ………….…...12
a.1.4.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………..…..12
b.1.Khơng gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất………………………13
b.1.1Điều kiện để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm khơng tầm thường………….13
b.1.2.Tính chất của tập nghiệm của hệ thuần nhất và hệ nghiệm cơ bản…….…………13
b.2.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………………...14
c.1.Khơng gian con trong R4...………………..…………………………………………..15


NỘI DUNG
Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B.
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ
minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dịng.
c) Xét hệ phương trình sau đây
ax1  x2  x3  2  a

 x1  bx2  x3  2  b
 x  x  cx  2  c
3
 1 2

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn. Hãy giải phương
trình trên bằng ít nhất 2 cách.
Giải
CÂU 1

a.1.Khái niệm
Phương pháp Gauss-Jordan là dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho
về một dạng ma trận đường chéo rồi giải hệ phương trình này, khơng phải tính một định
thức nào.
a.2.Dạng tổng qt hệ phương trình AX=B
Hệ phương trình tuyến tính tổng qt:

(I)

{

=> Hệ phương trình tuyến tính A X=B

A(

) X=( ) , B(

)

Trong đó:
A: ma trận được thành lập từ các hệ số của các biến
X: ma trận cột của các biến.
B: ma trận cột các số hạng tự do.
a.3. Phương pháp Gauss-Jordan trong giải hệ phương trình AX=B
1


Bước 1: Lập ma trận mở rộng [A|B] của hệ (A là ma trận hệ số, B là cột tự do).
Bước 2: Biến đổi sơ cấp (trên các dòng của) ma trận mở rộng để đưa nó về dạng bậc thang.
Từ đó tính được hạng của A và [A| B].

+ Nếu rank(A) < rank([A| B]) thì kết luận hệ vơ nghiệm. Thuật toán dừng.
+ Nếu rank(A) = rank([A| B]) = r ẩn thì hệ có nghiệm. Làm tiếp bước 3.
Bước 3: Từ ma trận bậc thang, viết lại hệ mới tương đương với hệ đã cho nhưng đơn
giản hơn. Giữ lại ở vế trái r ẩn ứng với các hệ số đầu tiên khác khơng trên mỗi dịng
khác khơng của ma trận bậc thang và gọi chúng là các ẩn chính (có đúng r ẩn chính).
Các ẩn cịn lại chuyển sang vế phải làm ẩn tự do (có n – r ẩn tự do). Sau đó xem các ẩn
tự do như tham số và gán cho chúng các giá trị tùy ý rồi giải hệ ngược từ phương
trình cuối lên phương trình đầu bằng cách thế dần dần các ẩn từ phải sang trái, từ
dưới lên trên.
Bước 4: Tóm tắt kết quả và kết luận nghiệm của hệ.
Chú ý: Mỗi cột của ma trận hệ số tương ứng với một ẩn. Do đó, nếu đổi chỗ 2 cột thì tên ẩn
cũng đổi theo.
a.4.Ví dụ giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau :{

Ma trận hệ số mở rộng: A= (

|

d2=d2-3d1

)

d3=d3-2d1

(

|

(


) d2

|

d3 (

|

)

d3=d3-6d2
d4=d4-2d2

) d4=47d4-21d3 (

|

) d4=d4/150

|

) d3= - d3/47

d1=d1+d4
(

|

)


d2=d2-3d4

(

d3=d3+13d4

2


(

|

(

|

)

d1=d1+3d3
d2=d2-10d3

(

|

) d1=d1-2d2 (

|


) d2= - d2

)

Vậy : hệ phương trình có nghiệm x1=1, x2= -1, x3=0, x4=2
b.1.Định lí về nghiệm của hệ phương trình AX=B
Định lí Kronecker-Capelli: Cho hệ phương trình Ax=b hệ có nghiệm   r(A)= r( ̅)
Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có
+ r(A) < r( ̅) khi và chỉ khi hệ vô nghiệm.
+ r(A) = r( ̅) = n khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất
+ r(A) = r( ̅) = r < n khi và chỉ khi hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số
b.2.Ví dụ từng trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B
*TH1: r(A) < r( ̅) khi và chỉ khi hệ vơ nghiệm.
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(A) {

Ma trận hệ số mở rộng ̅

(

|

(

) d3=d3-2d2 (

|


) d1

|

d2 (

|

)

Ta có r(A) = 2 < r( ̅) =3. Vậy hệ phương trình vơ nghiệm
*TH2: r(A) = r( ̅) = n khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất X = A-1B
Ví dụ : Giải hệ phương trình tuyến tính

3

) d3=d3-2d1


(A) {

Ma trận hệ số mở rộng ̅

(

|

(

) d1=d1+d2


|

) d2=d2-2d1 (

(

|

|

) d2

d3

)

d3=d3-3d2
Ta có :r(A) = r( ̅) = 3=n(số ẩn) suy ra hệ phương trình tương đương {
Vật hệ có nghiệm duy nhất X=(1,2,3)
*TH3: r(A) = r( ̅) = k < n khi và chỉ khi hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n − k tham số.
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính
(A) {

Ma trận hệ số mở rộng ̅

(

| )


d2=d2-2d1

(

|

) d3=d3-d2

d3=d3-3d1
(

|

) d1=2d1+d2 (

|

)

Ta có r(A) = r( ̅)=2 < 3 (số ẩn) =>hệ phương trình vơ số nghiệm
 Hệ phương trình:{

Cho

=

suy ra nghiệm tổng quát là {

Vậy hệ phương trình vơ số nghiệm với nghiệm tổng quát X=(
(


)

c.1.Bài tập giải hệ phương trình
Xét hệ phương trình sau đây
ax1  x2  x3  2  a

 x1  bx2  x3  2  b
 x  x  cx  2  c
3
 1 2
4

với


Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn.
*Cách 1:Phương pháp Gauss
(A) {

Xét ma trận hệ số mở rộng ̅ : (

|

)

d2=12d2-d1
d4=12d4-d1

(


|

)

d4=d4-d1

(

|

)

Ta có r(A) = r( ̅)=3=số ẩn =>hệ có nghiệm duy nhất
Suy ra hệ phương trình có dạng:{

=> {

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x=1
*Cách 2:Phương pháp Cramer
Hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính n phương trình=n ẩn với ma trận hệ số là ma trận
vuông,khả nghịch,(detA

) áp dụng cho ma trận vng cấp 2 và cấp 3

Định lí Cramer:
Cho hệ Cramer với dạng ma trận AX=B và hệ có nghiệm duy nhất X= A-1 B= (

D=det(A)


,Dj là định thức nhận được từ D khi thay cột j ở det(A) bởi cột tự do ma trận

B,j= 1,2..,n.
-Bước 1: Tính det(A)
-Bước 2: Xét det(A)
+Nếu det(A)

)

=> xj = Dj => hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+Nếu det(A)=0, det(Dj)=0 với j => hệ phương trình có vơ số nghiệm
+ Nếu det(A)=0, j : det(Dj)

=> hệ phương trình vơ nghiệm
Giải
5


Xét ma trận hệ số mở rộng ̅ : (

)

D1=(
=> D1=22022

|

) => D=22020


) ; D3=(

; D2 =(
; => D2=22020

)

; => D3=22020

Suy ra: x1= =1 , x2= =1 , x3= =1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x=1
Câu 2. (3 điểm)
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vng cấp 3. Mỗi cách cho một ví dụ
minh họa?
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả
nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?
c) Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các
phương trình ma trận sau AX  B, XA  B, AXB  C.
Giải
CÂU 2
a.1.Định thức của ma trận vuông cấp 3
Cách 1: Sử dụng quy tắc Sarrus
Cho ma trận vng cấp 3 có dạng

(

)

detA = |A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31− a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11
Ví dụ :Tính định thức cấp 3 B=(


Det(B)=|
(-2

)

|
(

(

(

= -12 - 24 + 3m - 2 - 54 - 8m = -36 +3m -56 -8m = -92 -5m
Cách 2: Khai triển định thức 1 dòng bất kỳ hoặc 1 cột bất kỳ
Ai j =(-1) i+j .|

|

(Pij là định thức sau khi loại bỏ dòng i ,cột j )
6

(


– Định thức theo dòng i:
Det(A)=(-1)i+1.|Pi1|.ai1+(-1)i+2.|Pi2|.ai2+….+ (-1)i+n.|Pin|.ain
– Định thức theo cột j:
Det(A)=(-1)j+1.|P1j|.a1j+(-1)j+2.|P2j|.a2j+….+ (-1)j+n.|Pnj|.anj
Ví dụ: Tính det A=|


|

Ta thấy cột 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nên ta cũng có thể khai triển theo dịng 2:
detA=2.(-1)2+1.|

|+1.(-1)2+3.|

|

Vậy: det(A)= 4
b.1.Định nghĩa ma trận khả nghịch
Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B
vuông cấp n sao cho : A B = B A = I
Ma trận B như trên được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Kí hiệu:B = A−1
b.2.Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận
Dựa vào phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông cấp
n (n

,ta lập ma trận hệ số mở rộng ( |
( |

(

|

)

Sau đó dùng các phép biến đổi sơ cấp theo dịng để đưa A về I , khi đó I chính là A-1
b.3.Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm ma trận khả nghịch của ma trận A=(

Xét ma trận hệ số mở rộng ( | : (

)

|

) d2=d1-d2
d3= 2d1-d3

(

|

) d2

(

|

) d1=d3+2d1

d3

(

|

(


7

) d1=d1+d2

|

)


d1=d1/2

(

|

)

d2=d2/(-1)
d3=d3/(-2)
Vậy :A-1 =(

)

Ví dụ 2:Tìm ma trận khả nghịch của ma trận A=(

Xét ma trận hệ số mở rộng ( | : (

(


|

d2=-d1+d2
d3=-d1+d3

|

) d1= 1/3d1

(

)

) d1=d1+d2+d3+d4

(

|

|

)

) d1=d1+d2+d3+d4

d4=-d1+d4
(

|


)

d2=-d2
d3=-d3
d4=-d4

(

|

Vậy :A-1=(

)

)

c.1.Vận dụng giải các phương trình ma trận
Áp dụng tìm ma trận khả nghịch bằng định thức (công thức phần bù đại số):
-Bước 1:Tính det (A)
+Nếu det(A)=0 (A khơng khả nghịch)
+Nếu det (A)

(làm tiếp bước 2)
8


Bước 2: Ma trận nghịch đảo của ma trận A:

A-1 =
Với A


(

ij

)

.(

là phần bù đại số= (-1)

i+j

.det(M ij) và det(M ij) là định thức con mà xoá đi hàng i

,cột j tương ứng.
c.1.1.Phương trình ma trận dạng AX=B
Ví dụ: Tìm X biết (

)X=(

)

=> X=A-1B
=> X= (

) .(

Xét ma trận A=(


) (1)

)

A11= (-1)1+1.|

|

(

8

;

A12=(-1)1+2 .|

A13=(-1)1+3 .|

|

-1

;

A21=(-1)2+1 .|

A22=(-1)2+2 .|

|= -18


;

A23=(-1)2+3.|

A31=(-1)3+1 |

|

;

A32=(-1)3+2|

A33=(-1)3+3 |

|

A-1=

5
| = -29

|
|

3
7

-1
) =(


.(

Ta được: X=(

Vậy X=(

|

). (

)=(

)

)

c.1.2.Phương trình ma trận dạng XA=B
Ví dụ: Tìm X biết X (

) thế (1)

) =(

)=(

)

 X=BA-1
9



 X=(

) (

Xét ma trận A=(

)

(1)

) => Det (A)= -1

A11= (-1)1+1 .|

|= -1

;

A12=(-1)1+2.|

|=2

A13=(-1)1+3. |

|= -2

; A21=(-1)2+1.|

|= -2


A22=(-1)2+2.|

|

; A23=(-1)2+3. |

|

A31=(-1)3+1.|

|= -2

; A32=(-1)3+2.|

|=3

A33=(-1)3+3.|
A-1=

) =(

Ta được: X= (

) thế vào (1)

) =(

) (


) =(

)

)

c.1.3. Phương trình ma trận dạng AXB=C
Ví dụ: Tìm X biết (

)X(

)=(

)

=> X= A-1C B-1
=> X=(

1

|=-3

.(

Vậy X=(

0

) .(


).(

)

=(

). (

) (

)

=(

).[(

) (

)]

=(

) (

)

10


)


=(

Vậy X=(

)

Câu 3. (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector. Cho 2 ví dụ
minh họa?
b) Khơng gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví
dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó.
c) Xét khơng gian R 4 , hãy cho ví dụ về một khơng gian con nằm trong khơng gian
R 4 có số chiều bằng 2. Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ

của một vector nằm trong khơng gian đó với cơ sở trên?
Giải
CÂU 3
a.1.Hệ độc lập tuyến tính & phụ thuộc tuyến tính
a.1.1.Định nghĩa
*Hệ độc lập tuyến tính
Cho hệ vector u1, u2, …., uk trong khơng gian tuyến tính V . Hệ u1, u2, · · · , uk được gọi là
độc lập tuyến tính nếu x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ kéo theo tất cả các xi=0
-Nhận xét:Hệ u1, u2, …., uk độc lập tuyến tính nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ chỉ có nghiệm tầm thường .
* Hệ phụ thuộc tuyến tính
Cho hệ vector u1, u2, …., uk trong khơng gian tuyến tính V . Hệ u1, u2, …., uk được gọi là
phụ thuộc tuyến tính nếu nó khơng độc lập tuyến tính. Nghĩa là tồn tại các số xi khơng đồng
thời bằng 0 sao cho x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ
-Nhận xét: Hệ u1, u2, …., uk trong khơng gian tuyến tính V được gọi là phụ thuộc tuyến tính

khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ có nghiệm
khơng tầm thường.
a.1.2.Tính chất
Cho V là khơng gian vectơ trên trường K
*Hệ độc lập tuyến tính
11


-Mọi tập hợp độc lập tuyến tính thì khơng chứa vectơ 0v, tức là nếu S là tập con độc lập
tuyến tính của V thì 0v

S.

-Mọi tập con khác rỗng của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. Tức là
E

≠

F và F độc lập tuyến tính thì E độc lập tuyến tính.

-Tập S ≠

độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi vectơ bất kỳ u

S đầu khơng thể là tổ hợp

tuyến tính của các vectơ cịn lại trong S.
* Hệ phụ thuộc tuyến tính
-Mọi tập hợp chứa vectơ 0v đều phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu 0v


S thì S phụ thuộc

tuyến tính.
-Mọi tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu
E

F và E phụ thuộc tuyến tính thì F phụ thuộc tuyến tính.

-Tập S={u1,u2,...,um} (m≥2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui

S sao cho

ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
a.1.3. Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trong khơng gian Rn
-Trong R n cho hệ m vectơ (dòng) tùy ý v1, v2, …, vm. Thiết lập ma trận A bằng cách xếp v1,
v2, …, vm lần lượt là dòng 1, 2, …, m. Khi đó ta có
a) (Hệ v1, v2, …, vm độc lập tuyến tính)  (rankA = m = số vectơ của hệ).
b) (Hệ v1, v2, …, vm phụ thuộc tuyến tính)  (rankA < m = số vectơ của hệ).
*Đặc biệt khi m = n, ta có
c) (Hệ v1, v2, …, vn độc lập tuyến tính)  (detA ≠ 0).
d) (Hệ v1, v2, …, vn phụ thuộc tuyến tính)  (detA = 0).
a.1.4.Ví dụ minh hoạ
Ví dụ:Trong khơng gian cho hệ vectơ a1=(1,2,-1,1),a2=(1,-2,2,1),a3=(1,1,-1,1) có độc lập
tuyến tính khơng?
Xét hpt: x1a1+x2a2+x3a3=0
Ma trận hệ số: A=(

) d2=2d 2-d1

(


) d3=4d3+3d2

d3=d3+d1
d4=d4-d1

(

) Để hệ độc lập tuyến tính  r(A)=số ẩn=3 (thỗ mãn )
12


Vậy hệ { a1, a2, a3 } độc lập tuyến tính
Ví dụ: Trong R3,tìm điều kiện của m để hệ vectơ là phụ thuộc tuyến tính
{(-m;1;1),(1-4m ;3;m+2)}
) c1

Xét ma trận A=(
(

)

c2 (

) d2=d2-3d1

Để hệ vectơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính  r(A)<2 => m=1

Vậy m=1 thì hệ vectơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính
b.1.Khơng gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng (II) {
Có thể được viết dưới dạng ma trận :AX=0
) X=( ) , O=( )

A(

Nhận

xét:

Hệ

phương

trình

tuyến

tính

thuần

nhất

bao

giờ

cũng


có

nghiệm x1=x2=...=xn=0, nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ
b.1.1.Điều kiện để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm khơng tầm thường
Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm khơng tầm thường khi và chỉ khi hạng của
ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.
Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn ln có
nghiệm khơng tầm thường (vơ số nghiệm)
Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm khơng tầm
thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.
Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm
thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.
b.1.2.Tính chất của tập nghiệm của hệ thuần nhất và hệ nghiệm cơ bản
*Tập nghiệm của mỗi hệ thuần nhất
13


+ Tổng (hiệu) của hai nghiệm lại là một nghiệm: (X1, X2 là nghiệm)  (X1±X2 là nghiệm).
+ Bội của mỗi nghiệm lại là một nghiệm: (a là số, X là nghiệm)  (aX là nghiệm).
+ Giả sử hạng của ma trận hệ số là r với 0 < r < n (số ẩn). Khi đó ta đã biết, hệ có vơ số
nghiệm phụ thuộc n – r tham số (ẩn tự do). Hơn nữa, ta ln tìm được một hệ n – r nghiệm
không tầm thường { X1, X2, …, X n–r }sao cho tập {X= a1X1 + a2X2 + … + an–r X n–r / là a1,
a2, …, a n–r các số tùy ý} chính là tập nghiệm của hệ thuần nhất đang xét.
Hệ { X1, X2, …, X n–r} nói chung khơng duy nhất
*Hệ {X1, X2, …, X n–r} như trên gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất đang xét. Nói
chung, mỗi hệ thuần nhất có vơ số hệ nghiệm cơ bản. Mỗi X = a1X1 + a2X2 + … + an–r X n–r
gọi là một nghiệm tổng quát của hệ. Khi gán cho các tham số a1, a2, …, a

n–r


các giá trị cụ

thể (nhưng tùy ý) ta được những nghiệm riêng của hệ.
b.2.Ví dụ minh hoạ
Ví dụ: Giải và xác định cơ sở ,số chiều của hệ phương trình sau:

A={

Xét ma trận hệ số A=(

)

d2=2d 2-3d1

(

) d3= d3-d1

d3=d 3-2d1
(

)

Ta thấy rank(A) = 2 < 4 (số ẩn) => hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 2 tham số. Từ ma trận
bậc thang ta được hệ phương trình mới tương đương:
{

{

(a,b


14


Vậy nghiệm tổng quát của hệ đã cho là (a + 8b, 2a, – 6b, 2b) với (a, b
Cho a = -1, b = 0 suy ra X1=(1,1,-1,0)

;

Cho a = 0, b = 7 suy ra X2=(1,12,0,7)

Ta được hệ nghiệm cơ bản của hệ chính là {X1, X2}
 A sinh ra bởi X1=(1,1,-1,0), X2=(1,12,0,7) và hệ {X1, X2} độc lập tuyến tính nên
{X1, X2} là cơ sở của M
 dim A=2
4
c.1.Khơng gian con trong R

Ví dụ: Trong khơng gian R 4 cho tập hợp L= { X=(
*CMR: L là không gian vector con của R 4
*Tìm cơ sở và số chiều của L
Giải
* CMR: L là không gian vector con của R 4
Ta có : (0,0,0,0)
X,Y
X(

) ; x1+x2=x3+x4=0

Y ((


) ;

(1)
=0 (2)

Từ (1) (2) : (x1+y1)+ (x2+y2) =( x3+y3) +( x4+y4 )=0 (3)
X+Y =( x1+y1; x2+y2; x3+y3; x4+y4 )
Từ (3) => X+Y
k.X=( kx1,kx2,kx3,kx4 )
Từ (1) :k(x1+x2)= k(x3+x4) =0
kx1+kx2 = kx3+kx4=0
 kX
15

)

R 4 ; x1+x2=x3+x4=0}


Vậy : L là khơng gian vector con của R4
*

*Tìm cơ sở và số chiều của L
: X= (

) thoã mãn x1+x2=x3+x4=0

X= (x1,-x1,x3,-x3) =(x1,-x1,0,0) +( 0,0,x3,-x3 )
Hay: X =x1(1,-1,0,0 )+x3(0,0,1,-1)

 Hệ { (1,-1,0,0 ), (0,0,1,-1)} là hệ sinh của L
Mặt khác : hệ { (1,-1,0,0 ), (0,0,1,-1)} độc lập tuyến tính
 Hệ là một cơ sở của L => dim L= 2

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
(1) Hệ phương trình tuyến tính tổng qt và Khảo sát tổng qt hệ phương trình tuyến
tính,(11/2020), Vtedonline, />(2) Phép khử Gauss-Jordan. (05/11/2021),Wikipedia-Bách khoa toàn
thư, />(3) Định thức (determinants),Math 4 Physics & more...,
giang/dai-so-tuyen-tinh/dinh-thuc/
(4) Độc lập tuyến tính,Wikipedia Bách khoa tồn thư
mở, />E1%BA%BFn_t%C3%ADnh
(5) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,Vted online, />(6) MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO,SAMI, />(7) Nguyễn Công Hà,Hệ phương trình tuyến tính,HỌC247, />(8) Nguyễn Huy Hồng (Chủ biên),Nguyễn Trung Đơng, (2020),Giáo Trình TỐN CAO
CẤP,TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING:
/>%C3%ACnh%20to%C3%A1n%20cao%20c%E1%BA%A5p.pdf
(9) PGS TS Mỵ Vinh Quang,(06/12/2004),ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MA TRẠN KHẢ
NGHỊCH,Thư viện GIÁO ÁN, />(10) PGS.TS Lê Anh Vũ, BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP (HIGHER MATHEMATICS),
Bài giảng Tốn Cao Cấp PGS.TS Lê Anh Vũ:
/>P%20CHAPTER%201%20VER1.pdf


(11) Phùng Nhâm,(15/06/2021), Ma trận nghịch đảo là gì?Cách tìm ma trận nghịch đảo
2×2,3×3,4×4,ĐIỆN MÁY SHARP VIỆT NAM, />(12) ThS. Vũ Quỳnh Anh, ĐỊNH THỨC,EDUTOP TỔ HỢP GIÁO DỤC TOPICA:
/>0014105206.pdf