HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 31
BÀI TOÁN TÁN XẠ.
PHƯƠNG PHÁP BORN

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong Vật lý lượng tử, lý thuyết tán xạ là một bộ phận quan trọng và
được nghiên cứu qui mô, với nhiều cách đặt vấn đề và nhiều phương
pháp khác nhau.
Ở đây, chúng ta chỉ xét bài toán đơn giản và điển hình nhất về bài
toán tán xạ.
Chú ý rằng, trong Vật lý lượng tử thì lý thuyết tán xạ cũng là lý thuyết
va chạm, vì đối với hạt vi mô, do tính bất định về vị trí, không thể nói
đến va đập trực tiếp theo nghĩa cổ điển.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Bài toán điển hình về tán xạ trong Cơ học lượng tử
Khi nói về tán xạ trong Cơ học lượng tử, có thể hình dung ra các tán xạ
sau đây.
Kiểu thứ nhất là tán xạ (hay va chạm) giữa các hạt đồng nhất:
hai hạt với với xung lượng và năng lượng xác định dược “bắn” lại
gần nhau, tương tác với nhau và sau đó tiếp tục chuyển động theo
một kiểu nào đó.

Trong chương này ta không xét kiểu tán xạ đó.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Kiểu thứ hai là tán xạ của một hạt hoặc một chùm hạt giống nhau
“bắn” từ xa tới gần một tâm tán xạ, sau đó dổi hướng (hoặc không
còn hướng xác định) và có thể mất một phần hoặc có thể nhận thêm
năng lượng.
Tâm tán xạ này là trường lực được hình dung theo kiểu cổ điển, mà
điển hình là trường xuyên tâm (tâm đó có thể là một nguyên tử).
Ở đây, chủ yếu ta sẽ xét sự tán xạ của một chùm (hay một dòng) ổn định
trong một thời gian đủ dài.
Vấn đề đặt ra là tìm phân bố số hạt bị tán xạ theo hướng khác nhau.
Dưới đây là hình vẽ minh họa bức tranh tán xạ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
θ
θθ
d+
a
0
A
p
dpp +
pdp
π
2
Chùm
hạt tới

(sóng
tới)
Tâm tán xạ
Bức tranh tán xạ trong Cơ học cổ điển

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
dS
Ωd
θ
ϕ
r
z
Tâm tán xạ
Sóng bị tán xạ
Chùm
hạt tới
(sóng
tới)
Bức tranh tán xạ trong Cơ học lượng tử
Chú ý rằng hình vẽ “lượng tử” chỉ mang tính ước lệ, không được để
nó tạo ra một sự ngộ nhận và sự cắt nghĩa thô thiển.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đơn giản nhất và quan trọng nhất là tán xạ đàn hồi, khi các hạt không
mất cũng không nhận thêm năng lượng.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

2. Hàm sóng tán xạ
Trong số các giáo trình Cơ học lượng tử, thay cho thuật ngữ “hàm trạng
thái” mà ta dung ở đây, người ta thường nói là “hàm sóng”.
Từ đầu tới giờ, ta đã tránh dung thuật ngữ “hàm sóng” để khỏi gây ấn
tượng về “hạt chuyển động trên sóng”.
Ngoaì ra trên thực tế sự biến thiên của hàm trạng thái theo thời gian và
không gian nói chung cũng không mang “tính sóng” theo nghĩa tính
tuần hoàn.
Tuy nhiên, trong bài toán về tán xạ của chùm hạt ổn định có sự tương tự
đặc biệt với bài toán tương ứng trong quang học sóng.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vì vậy, ta sẽ nói đến hàm sóng: đó là hàm
)(r

ψψ
=
mà
2
)(r

ψ
là mật độ hạt tại điểm
r

Ta coi rằng tâm tán xạ nằm ở gốc tọa độ, còn chùm hạt tới (sóng tới)
thì chuyển đọng dọc theo trục Oz theo chiều dương; (trục này được
đặt nằm ngang).
giả sử mỗi hạt trước tương tác với tâm tán xạ đều có xung lượng xác

định là
),0,0( pp =

Khi đó, hàm trạng thái của mỗi hạt, cũng như hàm sóng của toàn bộ
chùm hạt tới, có dạng:
pz
i
rp
i
eCeC



=
(31. 1)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Điều này hoàn toàn giống như trong trong quang học sóng và điện động
lực học: hàm (1) mô tả sóng phẳng với vector sóng



p
k =
Tiếp theo, khi gặp tâm tán xạ, sóng tới sẽ làm sinh ra một sóng thứ
cấp mà ở một khoảng cách đủ lớn (so với tâm) nó sẽ giống như
sóng xuất phát từ chính tâm tán xạ và lan truyền theo mọi hướng.
Sóng thứ cấp này có dạng:
r

e
A
pr
i

.
(31. 2)
(trong đó r có mặt ở mẫu số để bảo đảm cho cường độ của sóng,
hay mật độ xác suất, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách
tính từ tâm tán xạ).

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú ý rằng theo các hướng khác nhau thì cường độ của sóng nói
chung cũng khác nhau, tức là hệ số A phải phụ thuộc vào hướng.
Tuy nhiên, tất cả các hướng với các vector
r

tạo với Oz cùng một góc θ rõ ràng là bình đẳng với nhau nên A
không thể phụ thuộc tọa độ cầu thứ 3 là góc ϕ (giữa Ox và hình
chiếu của lên mặt phẳng Oxy).
Do đó, ta có A=A(
θ
).
Sóng trong vùng không gian chung quanh tâm tán xạ phải là sự chồng
chất của sóng tới và sóng phản xạ, tức là mô tả bởi hàm:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
10

ψψψ
+=
(31.3)
trong đó
0
ψ
pz
i
rp
i
eCeC



=
pz
i
rp
i
eCeC



=
có dạng (31.1)
1
ψ
có dạng (31.2)
r
e

A
pr
i

.
r
e
A
pr
i

.
Bây giờ giả sử U(r) là hàm thế năng của một hạt.
Khi đó, do mỗi hạt đều có năng lượng
µ
2
2
p
E =
(với
µ
là khối lượng của hạt) nên hàm trạng thái của hạt phải thỏa
mãn phương trình:
ψψψ
µ
ErU =+∇− )(
2
2
2


(31.4)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Vì dòng hạt là sự chồng chập của các hạt giống nhau nên hàm sóng
của dòng cũng phải thỏa mãn phương trình (31.4)
Đặt
pk



1
=
ta có
µ
2
22
k
E

=
Do đó, với
)(
2
)( rUrV

µ
=
thì (31.4) có thể viết thành:
ψψψ

Vk =+∇
22
(31.5)
Thế
10
ψψψ
+=
vào (31.5), ta được:
101
2
0
2
1
2
0
2
ψψψψψψ
VVkk +=++∇+∇
(31.6)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Xét trường hợp V(r) giảm nhanh hơn 1/r (khi r →∞)
Khi đó, do ψ
1
có dạng tiệm cận (31.2)
r
e
A
pr

i

.
tức là cũng giảm theo 1/r, nên trong (31.6) có thể bỏ qua V
ψ

1
.
101
2
0
2
1
2
0
2
ψψψψψψ
VVkk +=++∇+∇
Mặt khác,
0
0
2
0
2
=+∇
ψψ
k
nên từ (31.6) ta có
01
2

1
2
ψψψ
Vk =+∇
(31.7)
Trong lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng, ta cũng biết rằng
phương trình dạng:
)(
22
ruku

ρ
=+∇
(31.8)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
có nghiệm là:
,
,
,
,
)(
4
1
)( dv
rr
er
ru
rrik

∫
−
−=
−




ρ
π
trong đó tích phân lấy theo toàn bộ không gian, dv’=dx’dy’dz’,
)',','(' zyxr =

Thay u bởi
ψ
1
và
ρ
bởi V
ψ

0
, ta có nghiệm của (31.7) là :
'
'
)'()'(
4
1
)(
'

0
1
dv
rr
errV
r
rrik
∫
−
−=
−




ψ
π
ψ
(31.10)
Bây giờ ta chứng tỏ
ψ

1
đúng là có dạng tiệm cận (31.2) khi r→+∞.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Muốn vậy, trước hết ta nhận xét rằng do hàm dưới dấu tích phân giảm
nhanh hơn
3

'
1
r
nên có thể thay tích phân theo toàn bộ không gian bằng tích phân theo
một hình cầu tâm O có bán kính nhất định (không quá nhỏ nhưng cũng
không quá lớn).
Khi đó, với r đủ lớn, có thể coi r’<<r.
Ký hiệu
r
r
n


=
ta có :
'2''
22
2
rnrrrrr

−+=−
Do đó, có thể coi:
'
'
1
''2
1'
2
rnr
r

rn
r
r
r
r
rn
rrr



−=






−≈






+−=−
(31.11)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta thay biểu thức gần đúng này vào phần mũ ở tử số trong (31.10)

còn
rr

−'
ở mẫu số thì đơn giản thay bằng r.
Khi đó (31.10) trở thành:
')'()'(
4
'
)'()'(
4
1
)(
'
0
'
0
1
dverrV
r
e
dv
r
eerrV
r
rnik
ikr
rnikikr
∫∫
−

−
−=−=





ψ
π
ψ
π
ψ
(31.12)
Vì
ikz
pz
i
eCeC
−
−
==
0

ψ
nên (31.12) lại có thể viết thành:
')'()'(
4
.
)(
''

01
dveerrV
r
eC
r
rnikikz
ikz
∫
−−
−
−=


ψ
π
ψ
(31.13)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ký hiệu vector đơn vị của Oz là
0
n

Khi đó
''
0
rnz

=

nên:
( )
')'(
4
.
)(
'
1
0
dverV
r
eC
r
rnnik
ikr
∫
−−
−
−=


π
ψ
(31.14)
Đặt:
( )
')'(
4
'
0

dverV
C
A
rnnik
∫
−−
−=


π
=
∫
− ')'(
2
'
2
dvrUe
C
rki




π
µ
với
( )
nnkk



−=
0
Khi đó, A chỉ phụ thuộc
n

tức là phụ thuộc hướng của
r

Cũng dễ dàng thấy A không phụ thuộc
ϕ
nên A=A(
θ
),đồng thời:
r
e
Ar
ikr−
≈)(
1

ψ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Nên đúng là có dạng tiệm cận (31.2).
Chú ý rằng hằng số C được chọn tùy theo mật độ dòng hạt tới.
3. Tính số hạt tán xạ theo một hướng
Nói chính xác hơn, ta phải tính mật độ số hạt tán xạ trong một góc khối
đỉnh O (tức là một hình nó đỉnh O) trong một đơn vị thời gian.
Giả sử dS là diện tích một mặt nhỏ đặt tại điểm ứng với bán kính

vector
r

vàvuông góc với
r


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
dS
Ωd
θ
ϕ
r
z
Tâm tán xạ
Sóng bị tán xạ
Chùm
hạt tới
(sóng
tới)
Bức tranh án xạ trong Cơ học lượng tử

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi đó, số hạt dN tán xạ qua dS trong một đơn vị thời gian phải tỷ lệ
thuận với dS và tỉ lệ nghịch với r
2

đồng thời tỉ lệ thuận với mật độ j=j

z
của dòng hạt tới.
Như vậy:
2
)(
r
dS
jqdN
θ
=
(31.16)
Trong đó q(
θ
) là hệ số tỷ lệ
Đặt
2
r
dS
d =Ω
(đây chính là góc khối, góc nhìn dS từ O), ta có :
Ω= jdqdN )(
θ
(31.17)
Theo công thức ở bài 14 cho mật độ dòng và do
ikz
eC.
0
=
ψ
ta có:


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
2
2
2
0
*
0
*
0
0
2
22
C
p
Ck
ikC
i
zz
i
jj
z
µµµ
ψ
ψ
ψ
ψ
µ

==−=






∂
∂
−
∂
∂
==


(31.18)
Như vậy:
Ω= dC
p
qdN
2
)(
µ
θ
(31.19)
Mặt khác, nếu
( )
ϕθ
',','' jjjj
r

=

là mật độ dòng tán xạ thì
0'' ==
ϕθ
jj
nên:
dSjdN
r
'=
trong đó:
2
2
1
*
1
*
1
1
1
.)(
2
'
r
A
p
rr
i
j
r

θ
µ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
µ
=






∂
∂
−
∂
∂
=

tức là:
Ω== dA
p
r
dS
A
p
dN .)(.)(
2

2
2
θ
µ
θ
µ
(31.20)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
So sánh (31.19) với (31.20), ta được :
( )
( )
( )
2
1
2
2
θ
θ
θ
A
C
A
q ==
(31.21)
Trong đó

C
A
A =
1
( )
2
'
42
2
')'(
4
∫
== dvrUeq
rki




π
µ
θ
(31.22)
Thế
( )
θ
q
và j vừa tính được vào (31.17), ta tìm được dN.
Chú ý. Có một thuật ngữ là “tiết diện hiệu dụng vi phân” (differential
effective section) nói về
( )

θ
q
hoạc dN .