Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng

257

BÀI 4. BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH
I. Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích
sin sin 2sin cos ; sin sin 2cos sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
+ − + −
+ = − =

cos cos 2 cos cos ; cos cos 2sin sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
+ − + −
+ = − = −

Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
(
)
sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2 1
x x x x x+ + = + +

Giải

(

)
(
)
(
)
1 sin 2 sin sin 2 1 cos 2 cos
x x x x x
⇔ + + = + +

( ) ( )
2
2sin 2 cos sin 2 2 cos cos sin 2 2 cos 1 cos 2 cos 1
x x x x x x x x x
⇔ + = + ⇔ + = +

( )( )
{
}
2 5
cos 2 cos 1 2sin 1 0 ; 2 ; 2 ; 2
2 3 6 6
x x x x k k k k
π π π π
⇔ + − = ⇔ ∈ + π ± + π + π + π

Bài 2.
Giải phương trình:
(
)
1 cos cos 2 cos 3 0 1

x x x+ + + =

Giải

( )
( ) ( )
2
3 3
1 cos 2 cos 1 cos 3 0 2cos cos 2cos 0
2 2 2
x x x
x x x
⇔ + + + = ⇔ + =

(
)
3 3 3
2 cos cos cos 0 4 cos cos .cos 0
2 2 2 2 2
x x x x x
x
⇔ + = ⇔ =
{
}
2
;
2 3 3
k
x k
π π π

⇔ ∈ + π +

Bài 3.
Giải phương trình:
(
)
cos10 cos8 cos 6 1 0 1
x x x− − + =

Giải

(
)
(
)
(
)
1 cos10 cos 6 1 cos8 0
x x x
⇔ − + − =

2
2sin 8 sin 2 2 sin 4 4 sin 4 cos 4 sin 2 4 sin 4 sin 2 cos 2
0
x x x x x x x x x
⇔ − + = − + =

(
)
4sin 4 sin 2 cos 4 cos 2 0 8sin 4 sin 2 sin 3 sin 0

x x x x x x x x
⇔ − − = ⇔ =

{
}
sin 3 0 sin 4 0 ;
3 4
k k
x x x
π π
⇔ = ∨ = ⇔ ∈

Bài 4.
Giải phương trình:
(
)
9sin 6 cos 3sin 2 cos 2 8 1
x x x x+ − + =

Giải

( )
2
1 9sin 6 cos 6sin cos 1 2sin 8
x x x x x
⇔ + − + − =

( ) ( ) ( ) ( )
2
9sin 6cos 1 sin 2sin 7 0 6cos 1 sin 1 sin 2sin 7 0

x x x x x x x x
⇔ + − − − = ⇔ − + − − =
(
)
(
)
1 sin 6cos 2sin 7 0
x x x
⇔ − + − =

Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương

258

a) Xét
1 sin 0 sin 1 2
2
x x x k
π
− = ⇔ = ⇔ = + π

b) Xét:
(
)
6 cos 2sin 7 0 2 2 sin 6 cos 7
x x x x
+ − = ⇔ + =

Do
( )

2 2 2 2 2 2
2 6 40 49 7 2
a b c+ = + = < = = ⇒
vô nghiệm
Vậy nghiệm của (1) là
( )
2
2
x k k
π
= + π ∈
»

Bài 5.
Giải phương trình:
(
)
1 sin cos 3 cos sin 2 cos 2 1
x x x x x+ + = + +

Giải

(
)
(
)
(
)
1 1 cos 2 cos 3 cos sin sin 2 0
x x x x x

⇔ − + − + − =

( )
2
2sin 2sin2 sin sin 2sin cos 0 sin 2sin 2sin 2 1 2cos
0
x x x x x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + − =
( ) ( )
[
]
( )( )
sin 2sin 1 2 cos 1 2 cos 0 sin 1 2 cos 2 sin 1 0
x x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + =

{
}
7
1 1
sin 0 cos sin ; 2 ; 2 ; 2
2 2 3 6 6
x x x x k k k k
π π π
⇔ = ∨ = ∨ = − ⇔ ∈ π ± + π − + π + π

Bài 6.
Giải phương trình:
(
)

1
sin 4 sin 3 sin =
6 2
x x x
π
− + +
(1)
Giải

( )
( )
(
)
(
)
1 sin 3 sin sin 4 sin 0 2sin 2 cos 2cos 2 sin 2 0
6 6 6
x x x x x x x
π π π
⇔ + + − − = ⇔ − − =

(
)
{
}
2
2sin 2 cos cos 2 0 ; 2
6 18 3 6
k
x x x x k

π π π π
 
⇔ − − = ⇔ ∈ + + π
 
 

Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
1
cos 2 2cos
3 2
x x
π
− + = −
(1)
Giải

( )
(
)
1 cos 2 cos cos cos 0
3 3
x x x
π π
⇔ − + + + =

(
)

(
)
(
)
{
}
3 2
2 cos cos cos 0 2 ;
6 2 6 2 6 2 3 2
x x x
x k k
π π π π π
 
⇔ − − + + = ⇔ ∈ − + π + π
 
 

Bài 8.
Giải phương trình:
2sin cos 3 sin 2 1 sin 4
x x x x
+ + = +
(1)
Giải

(
)
1 2sin cos 3 1 sin 4 sin 2 2sin cos 3 1 2 cos 3 sin
x x x x x x x x
⇔ + = + − ⇔ + = +


( ) ( )
{
}
5 2
1
2sin 1 cos3 1 0 sin cos3 1 2 ; 2 ;
2 6 6 3
k
x x x x x k k
π π π
⇔ − − = ⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + π + π

Bài 9.
Giải phương trình:
1
sin cos 2 tan
cos
x x x
x
+ + = +
(1)
Giải

( )
( )
(
)
1
1 sin cos 1 1 0 2

cos
x x x k
x
⇔ + − − = ⇔ = π

Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng

259

II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1. Công thức sử dụng
(
)
(
)
sin sin cos cos
a b a b a b
= − − +
;
(
)
(
)
cos .cos cos cos
a b a b a b
= − + +

(
)
(

)
sin cos sin sin
a b a b a b
= + + −
;
(
)
(
)
cos sin sin sin
a b a b a b
= + − −

2. Các bài tập mẫu minh họa
Bài 1.
Giải phương trình:
(
)
( )
sin 3 cos sin 3 2 1
x x x+ =

Giải

( )
( ) ( )
3
1
1 sin sin 3 3 cos sin 3 2 cos 2 cos 4 sin 4 sin 2 2
2 2

x x x x x x x x
⇔ + = ⇔ − + + =
3 3
1 1
cos 2 sin 2 cos 4 sin 4 2
2 2 2 2
x x x x
   
⇔ + − − =
   
   

(
)
(
)
(
)
(
)
cos 2 cos 4 3 cos 2 cos 4 1
3 3 3 3
x x x x
π π π π
⇔ − − + = ⇔ − = − + =
6
x k
π
⇔ = + π


Bài 2.
Giải phương trình:
(
)
(
)
( )
4 cos .sin sin cos 2 1
6 6
x x x x
π π
+ − =

Giải

( )
(
)
(
)
(
)
1 2 cos 2sin sin cos 2 2 cos cos 2 cos cos 2
6 6 3
x x x x x x x
π π π
 
⇔ + − = ⇔ − =
 
 


1
2 cos .cos 2 2 cos cos 2 cos 3 cos cos cos 2
2
x x x x x x x x
⇔ − ⋅ = ⇔ + − =

( )
2
cos 3 cos 2
5
k
x x x k
π
⇔ = ⇔ = ∈
»

Bài 3.
Giải phương trình:
3
1
8sin
cos sin
x
x x
= +
(1)
Giải

Điều kiện:

( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Với điều kiện (2) thì (1)
( )
8sin sin cos 3 sin cos
x x x x x
= +

( )
sin sin 2 3 sin cos 2 cos cos 3 3 sin cos
x x x x x x x x
⇔ = + ⇔ − = +

3
1
cos 3 sin 2 cos 3 cos sin cos 3
2 2
x x x x x x
⇔ − = ⇔ − =

(
)
cos cos sin sin cos 3 cos cos 3
3 3 3

x x x x x
π π π
⇔ − = ⇔ + =
{
}
;
12 2 6
n
x n
π π π
⇔ ∈ − + + π

Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương

260

Bài 4.
Giải phương trình:
(
)
cos 3 .tg 5 sin 7 1
x x x=

Giải

Điều kiện:
( )
cos 5 0 5 2
2 10 5
k

x x k x
π π π
≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ +

Với điều kiện (2) thì
( )
sin 5
1 cos 3 sin 7
cos 5
x
x x
x
⇔ ⋅ =

2sin 5 cos 3 2sin 7 cos 5 sin 8 sin 2 sin12 sin 2
x x x x x x x x
⇔ = ⇔ + = +

{
}
12 8 2
sin 8 sin12 ;
2 20 10
12 8 2
x x k
n n
x x x
x k
= + π


π π π
⇔ = ⇔ ⇔ ∈ +

= π − + π


Thử các nghiệm vừa tìm vào điều kiện (2):
10 5
k
x
π π
≠ +

Với
2
n
x
π
=
, xét phương trình
5 1 2
2 10 5
n k
n k
π π π
= + ⇔ = +

(
)
(

)
5 2 1 5 2 5 1 2 2 5 1 2 2
n k n k n k
− = ⇔ − = × − × ⇔ − = −
( )
2 1
5 2
n m
m
k m
= +

⇔ ∈

= +

»

Từ đó suy ra để thỏa mãn (2) thì
(
)
x m m= π ∈
»

Với
20 10
n
x
π π
= +

, xét phương trình
10 5 10 20
k n
π π π π
+ = +

(
)
4 2 1 2 2 2 1
k n n k
⇔ + = + ⇔ − =
vô nghiệm
,n k
∈
»

Suy ra nghiệm
20 10
n
x
π π
= +
thỏa mãn điều kiện (2)
Bài 5.
GPT:
(
)
(
)
(

)
(
)
2 4
sin sin sin 4 3cos cos cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
π π π π
+ − + + + =
(1)
Giải

( )
( )
2
1 2sin cos 2 cos 2 3 cos cos 2 cos 2
3 3
x x x x
π π
   
⇔ − − + π + =
   
   

(
)
1
2 sin cos 2 sin 2 3 cos cos 2 2
2
x x x x

⇔ + − − + =

( ) ( )
sin 3 sin sin 3 sin 3 cos 3 cos 2
x x x x x x
⇔ − + + + − =

3
1
sin 3 3 cos3 2 sin 3 cos 3 1
2 2
x x x x
⇔ + = ⇔ + =

(
)
cos cos 3 sin sin 3 1 cos 3 1
6 6 6
x x x
π π π
⇔ + = ⇔ − =

2
3 2 3 2
6 6 18 3
k
x k x k x
π π π π
⇔ − = π ⇔ = + π ⇔ = +


Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng

261

Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
( )
2
2 sin 3 1 4sin 1 1
x x− =

Giải

Nếu
cos 0
x
=
là nghiệm của (1) thì
sin 1
x
= ±
khi đó
( )
(
)
(
)
3 2

1 2 3sin 4 sin 1 4 sin 6
VT x x x
= − − = ± ⇒
Vô lý
Nhân 2 vế của (1) với
cos 0
x
≠
ta có
( )
(
)
(
)
2 2
1 2sin 3 1 4sin cos cos 2 sin 3 1 4 1 cos cos cos
x x x x x x x x
 
⇔ − = ⇔ − − =
 

( )
(
)
3
2sin3 4cos 3cos cos 2sin3 .cos3 cos sin6 cos sin
2
x x x x x x x x x x
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −

( )
2
6 2
14 7
2
6 2
2 10 5
k
x
x x k
k
k
x x k x
π π
π


= +
= − + π


⇔ ⇔ ∈


π π π
= + + π = +





»

Bài 7.
Giải phương trình:
cos 2 cos 4 cos 6 cos .cos 2 .cos 3 2
x x x x x x
+ + = +
(1)
Giải

( )
( )
1
1 cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2
2
x x x x x x
⇔ + + = + +

2
1 1
cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2
2 2
x x x x x x
⇔ + + = + +

( ) ( )
1 1
cos 3 cos 4 cos 6 1 cos 6 cos 4 cos 2 2
4 4
x x x x x x

⇔ + + = + + + +

( )
3 9
cos 2 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4 cos 6 3
4 4
x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + + =

cos 2 cos 4 cos 6 1 cos 2 1
x x x x x k
⇔ = = = ⇔ = ⇔ = π

Bài 8.
Giải phương trình:
3 3
1
cos .cos .cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x
− =
(1)
Giải

( )
( ) ( )
1 1 1
1 cos cos 2 cos sin cos cos 2
2 2 2

x x x x x x
⇔ + − − =

(
)
(
)
cos cos 2 cos sin cos cos 2 1
x x x x x x
⇔ + − − =

( )
(
)
2
cos 2 cos sin 1 sin sin cos 1
x x x x x x
⇔ + + − − =

(
)
(
)
cos 2 cos sin sin sin cos 0
x x x x x x
⇔ + − + =

( )( ) ( )
(
)

2
cos sin cos 2 sin 0 cos sin 1 2sin sin 0
x x x x x x x x
⇔ + − = ⇔ + − − =

( )
( )
{
}
1
tan 1 sin 1 sin ; ; 1 1
2 4 2 6
k
x x x x k k k
−π −π π
−
⇔ = − ∨ = − ∨ = ⇔ ∈ + π + π − + + π

Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương

262

Bài 9.
Giải phương trình:
( )
3
5
sin 5 cos .sin 1
2 2
x x

x=

Giải

Nếu
cos 0
2
x
=
là nghiệm thì
sin 1
2
x
= ±
và
cos 1
x
= −
nên từ (1)
⇒
5
sin 1
2
x
= ±
: Vô lý.
Nhân 2 vế của (1) với
(
)
2 cos 0

2
x
≠
ta có:
( )
(
)
3 3
5
1 2sin cos 5cos 2 sin cos sin 3 sin 2 5 cos .sin
2 2 2 2
x x x x
x x x x x
⇔ = ⇔ + =

(
)
3 3
3sin 4 sin 2 sin cos 5 cos sin
x x x x x x
⇔ − + =

[
]
3 2
0 sin 5cos 4 cos 2 cos 1
x x x x
⇔ = − − +
( )
(

)
2
sin cos 1 5 cos cos 1
x x x x
= − + −

Xét:
sin 0
cos 1
x
x
=


=

với chú ý
cos 0
2
x
≠
nên
sin 0
2
cos 1
x
x

=



=

ta có nghiệm
2
x k
= π

Xét
2
1 21 1 21
5cos cos 1 0 cos cos cos cos
10 10
x x x x
− − − +
+ − = ⇔ = = α ∨ = = β

(
)
2 ; 2x k x k k⇔ = ±α + π = ±β + π ∈
»

Bài 10.
Giải phương trình:
tan 3 cot 4 sin 3 cos
x x x x
 
− = +
 
(1)

Giải

( )
(
)
sin 3cos
1 4 sin 3 cos
cos sin
x x
x x
x x
⇔ − = +

2 2
3
sin 3cos
1
8 sin cos
cos sin 2 2
x x
x x
x x
 
−
⇔ = +
 
 
. Điều kiện:
sin 2 0
3

k
x x
π
≠ ⇔ ≠

(
)
(
)
3 1 cos 2
1 cos 2
4sin 2 cos sin sin cos
2 2 3 3
x
x
x x x
+
− π π
− = +

(
)
(
)
(
)
1 2 cos 2 4 sin 2 sin 2 cos cos 3
3 3 3
x x x x x
π π π

 
⇔ − − = + = − − +
 
 
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
cos cos2 cos cos 3 cos2 cos cos 3 cos 0
3 3 3 3 3 3
x x x x x x
π π π π π π
 
⇔ − = − − + ⇔ + − − + + =
 
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
3 3 3
2 cos cos cos 4 cos sin sin 0
2 6 2 6 2 2 2 6 3 2 6
x x x x x
x
π π π π π π 
− + − + = − + + =
 
 
(
)
(
)
(
)
{
}
3 4 2
sin 0 sin 0 cos 0 ;
2 6 3 2 6 3 9 3
x x k
x x k
π π π −π π π
⇔ + = ∨ + = ∨ − = ⇔ ∈ + π +
.
Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng


263