NĂNG LƯỢNG GIẢI TÍCH Ở TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA
EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Nguyen Phuong Duy Anh
Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường ĐH Thủ Dầu Một
Email:

TÓM TẮT
Trong cơng trình này, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn được sử dụng để thu được các biểu thức
năng lượng của exciton hai chiều trong từ trường đều. Trong đó, bộ hàm cơ sở dưới dạng đại số
được sử dụng là bộ hàm sóng của dao động tử điều hồ rất thuận tiện cho các tính tốn giải tích
các yếu tố ma trận, đồng thời vẫn mang các đặc điểm của hàm sóng ngun tử hydro, vì vậy có
thể sử dụng hiệu quả cho bài toán đang xét cũng như các bài toán nguyên tử hai chiều khác như
exciton âm, exciton dương trong từ trường. Biểu thức tường minh E (  ) thu được mô tả sự phụ
thuộc của năng lượng của exciton hai chiều vào từ trường ở trạng thái cơ bản trong vùng từ
trường yếu và vùng từ trường mạnh, các kết quả số thu được có sai số nhỏ hơn 1% so với kết
quả số thu được của cơng trình khác. Phương pháp này có thể được áp dụng cho các trạng thái
kích khác.
TỪ KHỐ: exciton, từ trường, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn.

THE EXPLICIT EXPRESSIONS OF THE ENERGY OF A TWODIMENSIONAL EXCITON IN UNIFORM MAGNETIC FIELD FOR
THE GROUND STATE
ASTRACT
In this work, the explicit expressions of the energy of a two-dimensional exciton in magnetic
field for the ground state are calculated by the perturbation theory method. A basic set in the
algebraic form given in the work as a set of harmonic oscillator wave functions is very useful for
analytically calculating matrix elements as well as characterizes the hydrogen atom wave
functions that makes solving process effective not only for the considered problem but also for
other two-dimensional problems such as negatively charged exciton or positively charged
exciton in a magnetic field. The explicit expressions of E (  ) are given for analytically
describing the dependence of the energy of a two-dimensional exciton on magnetic field
intensity for the ground state, with an error of less than 1% for the the weak and the strong of the

magnetic field intensity compared with the other theory data. This method can be applied to any
excited state.
KEYWORDS: exciton, magnetic field, perturbation theory.
142


1. Giới thiệu
Exciton là trạng thái liên kết của điện tử và lỗ trống, khái niệm exciton được Frenkel đề xuất
vào năm 1931, được xem như là một sóng kích thích điện tử trong tinh thể [1]. Các exciton
thường được phân loại theo trạng thái liên kết giữa các điện tử và lỗ trống, bao gồm: nếu một
điện tử liên kết với một lỗ trống thì sẽ được gọi là exciton trung hồ (cịn gọi là exciton); nếu hai
điện tử liên kết với một lỗ trống thì sẽ được gọi là exciton âm, nếu một điện tử liên kết với hai lỗ
trống thì sẽ được gọi là exciton dương… Thơng thường, khi sử dụng khái niệm exciton, người ta
thường đề cập đến exciton trung hồ.
Về cấu tạo, exciton có cấu tạo tương tự như nguyên tử hydro nhưng về tính chất thì có sự
khác biệt lớn, đó là chúng chỉ tham gia vận chuyển năng lượng chứ không tham gia vận tải dịng
điện do exciton là hạt trung hồ về điện; chúng chỉ có thể có mặt trong bán dẫn hoặc điện mơi;
hàm sóng mơ tả các trạng thái của exciton tương tự như của nguyên tử hydro nhưng năng lượng
liên kết của nó nhỏ hơn rất nhiều và kích thước lại lớn hơn nhiều lần nguyên tử hydro; phổ hấp
thụ năng lượng của exciton là phổ gián đoạn gồm một dãy các vạch màu như của nguyên tử
hydro, vì thế khơng chỉ có một mức exciton mà có cả một dãy các mức exciton gián đoạn. Trong
những năm gần đây, có rất nhiều các nghiên cứu thực nghiệm về việc tính năng lượng liên kết
của các loại exciton trong các vật liệu có kích thước cỡ nano. Trong đó, nhóm vật liệu đơn lớp
hai chiều như graphene, kim loại chuyển tiếp dichalcogenides (transition metal
dichalcogenides)... được quan tâm mạnh mẽ do các tính chất quang, điện của chúng. Do sự giảm
số chiều nên các hiệu ứng đặc biệt của exciton trong các bán dẫn này được quan sát dễ dàng hơn
so với trong các bán dẫn khối [2]. Mặt khác, các phương pháp tính tốn lý thuyết cho trường hợp
giả hai chiều cũng có thể được sử dụng cho các hệ bán dẫn hai chiều thực như phương pháp biến
phân. Độ chính xác cao của các phương pháp tính cho phép ta có thể khảo sát được các tính chất
vật lý của các hiện tượng dựa trên năng lượng liên kết của các exciton. Vì vậy, việc phát triển

phương pháp tính tốn năng lượng liên kết của exciton hai chiều trong trường điện từ là việc cần
thiết.
Bài toán exciton hai chiều trong từ trường là một bài toán kinh điển được nghiên cứu nhiều
do tầm quan trọng trong vật lí hệ thấp chiều [3]. Bài tốn này cũng là mơ hình để kiểm tra tính
hiệu quả của các phương pháp giải phương trình Schrưdinger khác nhau. Do đó, trong cơng trình
này, chúng tơi sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, là một trong các phương pháp quen
thuộc trong cơ học lượng tử đã được áp dụng tính tốn cho nhiều bài tốn vật lý, để tìm biểu thức
năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều. Cơng trình
này là một trong các bước quan trọng trong q trình chúng tơi khảo sát phổ exciton trong hệ bán
dẫn hai chiều.
2. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn giải phương trình Schrưdinger của exciton hai
chiều trong từ trường đều.
Phương trình Schrưdinger của exciton hai chiều trong từ trường đều khơng thứ ngun có
dạng [3]:
Hˆ  ( r ) = E ( r ) ,
143

(1)


1  2
2  
1
Z
Hˆ = −  2 + 2  + Lˆz +  2 ( x 2 + y 2 ) − .
2  x y  2
8
r

(2)


Trong đó:
- Đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng và đơn vị năng lượng là năng lượng Hartree hiệu
dụng có dạng:

4 0 2
l  = * 2 ,
me

  =

m*e4
16 2 0 2

2

.

- Từ trường không thứ nguyên  là tỉ số so sánh giữa năng lượng của từ trường

c = eB /  và năng lượng tương tác Cuolomb  e4 / (16 2 0 2

=

16 2 0 2
 2 e3

2

) có dạng


3

B,

với c là tần số chuyển động xốy ốc. Khi đó ta có thang đo của từ trường như sau: 
vùng từ trường mạnh,   1 là vùng từ trường trung bình và  1 là vùng từ trường yếu.

1 là

- Z luôn có giá trị bằng 1 đối với nguyên tử đồng dạng hydro.
Để giải phương trình Schrưdinger (1), (2) tìm năng lượng giải tích của exciton hai chiều
trong từ trường đều ở trạng thái cơ bản, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn
kết hợp với các toán tử sinh, hủy Dirac để giải trực tiếp bài toán.
2.1. Trong vùng từ trường yếu
Trong phương trình Schrưdinger (1), (2) có chứa thành phần tương tác Coulomb dưới mẫu
số nên để thuận tiện khi sử dụng các toán tử sinh, hủy Dirac để giải ta sẽ sử dụng phép biến đổi
Levi-Civita [4] để đưa bài toán về dạng bài toán dao động tử phi điều hòa để giải [5]. Khi đó ta
thu được phương trình Schrưdinger trong khơng gian (u, v) dưới dạng:
H  ( u , v ) = Z ( u , v )

(3)

3
1  2
2  
 
2
H = −  2 + 2  −  E − Lˆz  ( u 2 + v 2 ) + ( u 2 + v 2 ) ,
8  u

v  
2 
8

(4)

với

với toán tử Lˆ z trong khơng gian (u, v) có dạng
144


i 
 
Lˆ = −  u − v  .
2  v
u 
Trong phương trình (3), (4), Z chính là trị riêng của phương trình, cịn E đóng vai trị như
một tham số. Khi giải phương trình này, ta thu được Z dưới dạng là một hàm số phụ thuộc vào
E , sau đó ta sẽ giải phương trình Z ( E ) = 1 thì thu được năng lượng E .
Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy dưới dạng:

ˆ =
ˆ =



1  

1  

+
,
u +
 , ˆ =
u −
2
 u 
2
 u 

(5)



1   ˆ+

1  
v +
,  =
v −
.
2   v 
2   v 

Các tốn tử này thỏa tính chất giao hoán ˆ s , ˆt+  =  s ,t ,  ˆs , ˆt+  =  s ,t , với ký hiệu deltaKronecker  s ,t được sử dụng. Do bài tốn đang xét có bảo tồn tốn tử hình chiếu moment động
lượng quỹ đạo Lˆ , mà với các toán tử sinh hủy được định nghĩa như trong (5) thì Lˆ khơng có
z

z


dạng trung hịa. Vì vậy, ta sẽ tổ hợp lại các toán tử trong (5) dưới dạng

(

)

1
ˆ − i ˆ , aˆ + =
2
1
bˆ =
ˆ + i ˆ , bˆ + =
2
aˆ =

(

)

(

)

1
ˆ + + i ˆ + ,
2
1
ˆ + − i ˆ + .
2


(

)

(6)

Khi đó tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo Lˆ z có dạng trung hịa:

(

)

1
Lˆz = − aˆ + aˆ − bˆ+bˆ .
2

(7)

Khi định nghĩa các toán tử sinh hủy như trong (6), ta đã đưa vào tham số thực dương  .
Tham số này đóng vai trị như một tần số, được đưa vào nhằm mục đích đẩy mạnh tốc độ hội tụ
của bài tốn mà khơng là ảnh hưởng đến kết quả tính tốn do H   . Vì vậy, ta có thể chọn giá
trị của tham số này tùy ý. Ngồi ra, các tốn tử này cũng thỏa tính chất giao hốn
 aˆs , aˆt+  =  s ,t , bˆs , bˆt+  =  s ,t .


Từ (6) ta thu được dạng biểu diễn đại số của toán tử Hamilton (4) trong phương trình
Schrưdinger (3) như sau

145



H =−



( Mˆ
4

+

E ˆ+ ˆ ˆ
2
+ Mˆ − Nˆ −
M +M +N +
Mˆ + + Mˆ + Nˆ
3
2
64

)

(

)

(

)

3


(8)

với
E =E−

m
2

.

ˆ ˆ,
Trong đó, ta đã thay Lˆ z bằng trị riêng m của nó và các tốn tử Mˆ + = aˆ +bˆ+ , Mˆ = ab
Nˆ = aˆ + aˆ + bˆ+bˆ + 1 được đưa vào để (8) được biểu diễn thuận tiện hơn, ngồi ra các tốn tử này
cũng lập thành bộ đại số kín, là dạng mà các giao hốn giữa các tốn tử này khơng xuất hiện
thêm bất kỳ một toán tử nào khác.

Tiếp theo, ta tách toán tử Hamilton trong (8) thành hai thành phần Hˆ 0 và Vˆ với

 ˆ+ ˆ ˆ
E ˆ+ ˆ ˆ
Hˆ 0 = −
M +M −N −
M +M +N ,
4
2

(

)


(

)

3
2
ˆ
ˆ + + Mˆ + Nˆ .
V=
M
64 3

(

)

(9)

(10)

Như đã nói ở trên, ta có thể lựa chọn giá trị của tham số  và từ dạng biểu diễn của (9) ta
nhận thấy nếu chọn

 = −2E

(11)


Hˆ 0 = Nˆ

2

(12)

thì thành phần Hˆ 0 có dạng

là dạng trung hịa và E0 ln có nghiệm chính xác. Từ đây ta sẽ sử dụng Hˆ 0 , Vˆ cùng với  có
dạng như trong (12), (10) và (11) để giải phương trình Schrưdinger (8).
Tiếp theo, chúng tơi chọn bộ hàm cơ sở của bài tốn là bộ hàm riêng của dao động tử điều
hòa

n1 , n2

osc

=

( )

n1
1
aˆ + ) bˆ+
(
n1 !n2 !

n2

0 ( ) ,

với n1 , n2 là các số nguyên không âm; trạng thái chân không được định nghĩa

146

(13)


aˆ 0 ( ) = 0, bˆ 0 ( ) = 0,

(14)

với điều kiện chuẩn hóa 0 ( ) 0 ( ) = 1 . Do bài tốn có bảo toàn Lˆ z nên bộ hàm cơ sở (13)
phải thỏa mãn phương trình
Lˆz n1 , n2

osc

= m n1 , n2

osc

,

(15)

với m là số lượng tử từ, nhận các giá trị m = 0, 1, 2, 3,... . Từ (7) và (13) ta được
m=

1
1
( n1 − n2 ) .m = ( n1 − n2 ) .
2

2

(16)

Do m là số nguyên, vì vậy n1 − n2 phải là số chẵn. Khi đó n1 + n2 cũng sẽ là số chẵn, nên ta
đặt

2n = n1 + n2

(17)

là số nguyên không âm.
Đối với bài tốn đang xét, có sự bảo tồn số lượng tử từ m , vì vậy ta sẽ sử dụng các chỉ số
n, m thay cho n1 , n2 khi xét các trạng thái lượng tử. Từ (16), (17) ta được n1 = n + m, n2 = n − m
với −n  m  n. Khi đó, ta sẽ chuyển bộ hàm sóng cơ sở n1 , n2

osc

thành bộ hàm cơ sở n, m

osc

đã

được chuẩn hóa như sau:

n, m

osc


=

( aˆ ) ( bˆ )
n+m ! n−m !
1

(

)(

+ n+m

+

n−m

)

0 ( ) ,

(18)

trong đó n = 0,1, 2,.... và m = 0, 1, 2,...,  n . Ta cũng thấy rằng bộ hàm cơ sở (18) là trực giao và
chuẩn hóa nghĩa là n, m1 k , m2 =  n,k  m1 ,m2 . Từ đây ta sẽ sử dụng bộ hàm sóng (18) để tính các
yếu tố ma trận.
Thơng qua các công thức tác dụng
Mˆ + n, m = aˆ + bˆ + n, m =

( n + 1)


2

− m 2 n + 1, m ,

ˆ ˆ n, m = n 2 − m 2 n − 1, m ,
Mˆ n, m = ab

(

)

Nˆ n, m = aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + 1 n, m = ( 2n + 1) n, m ,

và định nghĩa các yếu tố ma trận của Hˆ 0 và Vˆ dưới dạng:
147


( Hˆ )
0

m
n , n

=  n, m | Hˆ 0 n, m ,

(Vˆ )

m
n , n


=  n, m | Vˆ n, m ,

ta thu được các yếu tố ma trận khác không như sau:

( Hˆ )
0

( )
Vˆ

(Vˆ )
(Vˆ )
(Vˆ )

m
n,n

=


2

( 2n + 1) ,

2
=
2n + 1) ( 5n 2 + 5n + 3 − 3m 2 ) ,
3 (
n,n
32

m
3 2
2
=
5n 2 + 10n + 6 − m 2 ) ( n + 1) − m 2 ,
(
3
n , n +1
64
m
3 2
2
2
=
2n + 3) ( n + 1) − m 2 ( n + 2 ) − m 2 ,
3 (
n,n+ 2
64
m
2
2
2
2
=
n + 1) − m 2 ( n + 2 ) − m 2 ( n + 3) − m 2 .
(
3
n ,n +3
64


m

(19)

( )

Các yếu tố ma trận khác khơng cịn lại thu được dựa vào tính chất đối xứng Vˆ

m
n , n

( )

= Vˆ

m
n , n

.

Từ (1) và (19) ta thu được nghiệm giải tích của năng lượng trong vùng từ trường yếu cho
trạng thái cơ bản n = 0, m = 0 tính đến gần đúng bổ chính bậc ba, có dạng:
2

3

2 
2 
2 
E0 (  ) = −2 + 0.375   − 0.155   − 0.148   .

 8 
 8 
 8 
( 3)

(20)

Hình 1. Năng lượng trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường yếu được biểu
diễn theo công thức (20), so sánh với nghiệm số chính xác [3] (đường liền nét màu đen)

148


Để kiểm chứng độ chính xác của biểu thức giải tích (20), chúng tơi sẽ so sánh nghiệm số thu
được bằng biểu thức (20) với nghiệm số chính xác thu được trong trình trình [3]. Qua phân tích
số cùng với đồ thị ở hình 1, biểu diễn năng lượng phụ thuộc vào từ trường, trong vùng từ trường
yếu thông qua biểu thức (20) có so sánh với nghiệm chính xác thu được trong [3] chúng tơi nhận
thấy:
(1) Nghiệm giải tích thu được bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản,
trong vùng từ trường yếu, chỉ làm việc tốt đến bổ chính bậc hai (đường màu đỏ) với biểu thức có
dạng:
2

( 2)

E0

2 
2 
( ) = −2 + 0.375   − 0.155   .

 8 
 8 

(21)

(2) Biểu thức giải tích (21) cho kết quả sai số so với nghiệm chính xác thu được trong [3] là
dưới 1% trong vùng từ trường yếu.
(3) Các bổ chính bậc cao hơn khơng đóng góp thêm độ chính xác của bài tốn mà cịn có
dấu hiệu phân kỳ.
(4) Biểu thức nghiệm giải tích (21) làm việc hiệu quả trong vùng từ trường có giá trị
  1.86 .
2.2. Trong vùng từ trường mạnh
Ta biểu diễn phương trình Schrödinger (1) dưới dạng:
 1  2
2  1 2 2
Z
1


−
+
+  ( x + y 2 ) −  (r ) =  E − m  (r ),
  2
2 
r
2


 2  x y  8


(22)

trong đó ta đã thay toán tử Lˆ z bằng trị riêng m của nó.
Để điều kiện lý thuyết nhiễu loạn được thỏa mãn khi cường độ từ trường lớn ta sẽ sử dụng
khai triển ngược hệ số tương tác lớn (strong coupling series) đối với từ trường  . Ta đặt
x = a x , y = a y ,

với a là hệ số,  x ,  y là các biến tọa độ mới. Khi đó ta thu được các công thức biến đổi

149


2
2
1  2
2 
+
=
+

,
x 2 y 2 a 2   x2  y2 

x 2 + y 2 = a 2 (  x2 +  y2 ) ,
r = a  x2 +  y2 .

Thay các công thức này vào (22) ta được:

 1  2
2  1 2 4 2

Z
1

2
2
 −  2 + 2  +  a (  x +  y ) − a  (  ) = a  E − m  (  )
r 
2


 2   x  y  8
Khi  2 a 4 = 1 thì a =

1



(23)

. Thay vào (23) ta được:

 1  2
2  1 2
1 Z
1
1

2
 −  2 + 2  + (  x +  y ) −
 (  ) =  E − m  (  ) .


2
 r 

 2   x  y  8

(24)

Ta có thể viết lại (24) dưới dạng:
 1  2
2  1 2
1 Z
1
1

2
−  2 + 2  + ( x + y ) −
 ( r ) =  E − m  ( r ) .

2
 r 

 2  x y  8

(25)

Sử dụng phép biến đổi Laplace
1
1
Uˆ = =

r






e

0

(

− t x2 + y 2

)

t

dt

thì phương trình (25) trở thành
H ( r ) = E ( r ) ,

(26)

với

1  2
2  1

Z
H = −  2 + 2  + ( x2 + y 2 ) −
2  x y  8

E=

1
1

 E − m  .

2

150





0

e

(

−t x2 + y 2

t

)

dt ,

(27)

(28)


Ta biểu diễn phương trình Schrưdinger (26) dưới dạng các toán tử sinh hủy được định nghĩa:



1  

1  
x+
 , aˆ =
x−
2
 x 
2
 x 

aˆ =


1   ˆ

1  
bˆ =
y+

, b =
y−
2
 y 
2
 y 

.

(29)

Khi đó ta thu được dạng đại số của tốn tử Hamilton (27) trong phương trình Schrưdinger (26)
như sau:
1  ˆ+ ˆ+ ˆ
 
ˆ
H = − +
 M1 + M 2 + M1 + M 2
 4 16 

(

)

1  ˆ
2  ˆ dt

ˆ
+ +
S

 N1 + N 2 − Z
 0
t
 4 16 

(

)

.

(30)

Trong đó, các tốn tử Mˆ 1 = aˆ 2 , Mˆ 1+ = aˆ +2 , Nˆ 1 = 2aˆ + aˆ + 1 , Mˆ 2 = bˆ 2 , Mˆ 2+ = bˆ +2 , Nˆ 2 = 2bˆ + bˆ + 1 được
đưa vào để (30) được biểu diễn thuận tiện hơn, ngồi ra các tốn tử này cũng lập thành bộ đại số
kín và tốn tử Sˆ sau khi được về dạng chuẩn, kết hợp khai triển Taylor có dạng
−t ( M + N + M ) −t ( M + N + M )
Sˆ = e 1 1 1 e 2 2 2
ˆ+

ˆ

ˆ+

ˆ

ˆ

ˆ


(

)

t
t




= exp  −
Mˆ 1+  exp  −
Mˆ 2+  exp − Nˆ 1 ln 1 + 2t
 1 + 2t

 1 + 2t

t
t




 exp − Nˆ 2 ln 1 + 2t exp  −
Mˆ 2  exp  −
Mˆ 1 
 1 + 2t

 1 + 2t



(

+ + + +

= 
i1 = 0 i2 = 0 i3 = 0 i4 = 0

)

( −1)

i1 + i2 + i3 + i4

t i1 +i2 +i3 +i4

i1 !i2 !i3 !i4 ! (1 + 2t )i1 +i2 +i3 +i4

( ) ( Mˆ )

 Mˆ 1+

(31)

i1

+
2

i3


(1 + 2t )

−

(

1 ˆ ˆ
N1 + N 2
2

( ) ( Mˆ )

) Mˆ
2

i4

1

i2

.

Tiếp theo, ta tách toán tử Hamilton (30) thành hai thành phần Hˆ 0 và Vˆ với
1  ˆ+ ˆ+ ˆ
1  ˆ
 

ˆ

ˆ
Hˆ 0 =  − +
 M1 + M 2 + M1 + M 2 +  +
 N1 + N 2 ,
4
16

4
16






(

)

1 Z 2
Vˆ = −







151




0

dt
Sˆ .
t

(

)

(32)

(33)


1
Từ dạng của Hˆ 0 trong (32) ta chọn  = sao cho thành phần Hˆ 0 có dạng
2

1
Hˆ 0 = Nˆ
4

(34)

là dạng trung hịa và Eˆ 0 ln có nghiệm chính xác và

1

Vˆ = −

Z



 



0

dt
Sˆ .
t

(35)

Từ đây, ta sẽ sử dụng Hˆ 0 và Vˆ có dạng như (34), (35) để giải phương trình Schrưdinger (26)
.
Sử dụng bộ hàm sóng như trong phần 2.1, khi đó ta tính được các công thức tác dụng như
sau:

( Nˆ + Nˆ ) n, m = 2 ( 2n + 1) n, m ,
( Mˆ ) n, m = i ! C C n + i, m − i ,
n + i, m + i ,
( Mˆ ) n, m = i ! C C
( Mˆ ) n, m = i ! C C n − i, m + i ,  i   n −2 m   ,
1


2

+
1

i

+
2

i

i

i

2

n − m + 2i
2i

2i
i

n + m + 2i
2i

2i
i


1

( Mˆ )

2i
i

(36)

n−m
2i

 n + m
n, m = i ! Ci2i C2ni+ m n − i, m − i ,  i  
 ,
  2 

n!
a
được sử dụng với n, k  0 và n  k và ký hiệu   có nghĩa
k !( n − k )!
2
là chỉ lấy phần nguyên của phép chia.
trong đó ký hiệu Ckn =

Khi đó, ta định nghĩa các yếu tố ma trận của Hˆ 0 và Vˆ như sau:

( Hˆ )
0


m
n , n

=  n, m | Hˆ 0 n, m ,

(Vˆ )

m
n , n

=  n, m | Vˆ n, m .

Trong đó các yếu tố ma trận khác khơng lần lượt có dạng:

152

(37)


( Hˆ )
0

(Vˆ )

m
n,n

=

m

n,n + 2 s

1
( 2n + 1) ,
2

=−

1

Z





 n+ m   n−m 
 2  2 




 
i1 = 0

i2 = 0

Ci12`i1 C2ni1+ m Ci22 i2 C2ni−2 m

 Cs2+si+1 2i1 C2ns++22si1+ m Cs2+si+2 2i2 C2ns++22si−2 m 




0

t

(38)

2 s + 2 i1 + 2 i2 −

(1 + 2t )

1
2

1+ 2 n + 2 s

dt.

( )

Các yếu tố ma trận khác khơng cịn lại thu được dựa vào tính chất đối xứng Vˆ

m
n , n

( )

= Vˆ


m
n , n

.

Khi đó, ta thu được nghiệm giải tích của năng lượng trong vùng từ trường mạnh cho trạng
thái cơ bản n = 0, m = 0 tính đến gần đúng bổ chính bậc bốn có dạng:
( 4)

E0

−1

 1 
 1 
( ) = 0.25   − 0.886  
 2 
 2 

−1/2

1/2

 1 
− 0.688 − 0.634  
 2 

 1 
+ 2.922   .

 2 

(39)

Hình 2. Năng lượng trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong vùng từ trường mạnh được
biểu diễn theo cơng thức (39), so sánh với nghiệm số chính xác [3] (đường liền nét màu đen)
Qua phân tích số cùng với đồ thị ở hình 2, biểu diễn năng lượng phụ thuộc vào từ trường
trong vùng từ trường mạnh thông qua biểu thức (39) có so sánh với nghiệm chính xác thu được
trong [3] ta nhận thấy:
(1) Nghiệm giải tích thu được bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản,
trong vùng từ trường mạnh, chỉ làm việc tốt đến bổ chính bậc ba (đường màu đỏ) với biểu thức
có dạng:
153


−1

 1 
 1 
E0 (  ) = 0.25   − 0.886  
 2 
 2 
( 3)

−1/2

1/2

 1 
− 0.688 − 0.634   .

 2 

(40)

(2) Biểu thức giải tích (40) cho kết quả sai số so với nghiệm chính xác thu được trong [3] là
dưới 1% trong vùng từ trường mạnh.
(3) Các bổ chính bậc cao hơn khơng đóng góp thêm độ chính xác của bài tốn mà cịn có
dấu hiệu phân kỳ.
(4) Biểu thức nghiệm giải tích (40) làm việc hiệu quả trong vùng từ trường có giá trị
  4.00 .
Từ đây, chúng tơi thu được biểu thức năng lượng giải tích ở trạng thái cơ bản của exciton hai
chiều trong vùng từ trường yếu và trong vùng từ trường mạnh với sai số so với nghiệm chính xác
thu được trong cơng trình [3] là dưới 1%, có dạng:
2

( 2)

E0

2 
2 
( ) = −2 + 0.375   − 0.155   ,
 8 
 8 
−1

 1 
 1 
E0 (  ) = 0.25   − 0.886  
 2 

 2 
( 3)

−1/2

(41)

1/2

 1 
− 0.688 − 0.634   .
 2 

(42)

Hình 3. Năng lượng trạng thái cơ bản của exciton hai chiều trong từ trường đều được biểu
diễn theo công thức (41), (42), so sánh với nghiệm số chính xác [3] (đường liền nét màu đen).
154


Qua đồ thị ở hình 3 chúng tơi nhận thấy, trong vùng từ trường từ có giá trị từ 1.86    4.00
, nghiệm số thu được bằng các biểu thức (41), (42) của chúng tôi cho kết quả có sai số lớn hơn
1% so với nghiệm số chính xác trong cơng trình [3].
Mặc dù kết quả giải tích thu được bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn không thể tính
được cho tồn bộ miền biến đổi của từ trường, nhưng với phạm vi làm việc ứng giá trị từ trường
trong khoảng   1.86 và   4.00 cũng có thể đủ để đưa ra các kết luận chung khi khảo sát
exction hai chiều trong từ trường.
3. Kết luận
Như vậy, bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với phép biến đổi Levi-Civita
trong vùng từ trường yếu và khai triển ngược hệ số tương tác lớn (strong coupling series) đối với

từ trường cùng với phép biến đổi Laplace trong vùng từ trường mạnh, chúng tôi đã thu được các
biểu thức năng lượng phụ thuộc từ trường E (  ) cho trạng thái cơ bản. Các biểu thức giải tích
này cho kết quả sai số so với nghiệm chính xác thu được trong [3] là dưới 1% , ứng với vùng từ
trường yếu có giá trị   1.86 và vùng từ trường mạnh có giá trị   4.00 . Trong vùng từ trường
có giá trị 1.86    4.00 , phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho kết quả có sai số lớn hơn 1% so
với nghiệm số chính xác.
Tài liệu tham khảo
[1]. M. A. Lampert, “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic
solids,” Physical Review Letters, vol. 1, p. 450, 1958.
[2]. B. Ding and K. Alameh, “Simultaneous monitoring of singlet and triplet exciton
variations in solid organic semiconductors driven by an external static magnetic field,” Applied
Physics Letters, vol. 105, p.101, 2014.
[3]. D. N. T. Hoang, D. L. Pham, and V. H. Le, “Exact numerical solutions of the
Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary
strength,” Physica B: Condensed Matter, vol. 423, p. 31, 2013.
[4]. T. Levi-Civita, Opere matematiche: memorie e note, vol. 6. N. Zanichelli, 1973.
[5]. V. H. Le and T. G. Nguyen, “The algebraic method for two-dimensional quantum
atomic systems, Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 26, p. 1409, 1993.

155