PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI BÀI TOÁN EXCITON TRONG
ĐƠN LỚP KIM LOẠI CHUYỂN TIẾP DIACHALCOGENIDES
ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Nguyễn Phương Duy Anh
Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường ĐH Thủ Dầu Một
*

Email:

TĨM TẮT: Trong cơng trình này, phương pháp tốn tử FK được sử dụng để tính phổ
năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều. Trong đó, thế tương tác
được dùng để mơ tả tương tác giữa điện tử và lỗ trống trong exciton là thế tương tác Keldysh.
Các kết quả số thu được khơng chỉ cho trạng thái cơ bản mà cịn cho một số trạng thái kích
thích, có độ chính xác lên đến 12 chữ số thập phân cho toàn bộ miền biến đổi của từ trường.
Các kết quả này hoàn toàn phù hợp với các kết quả thực nghiệm và các kết quả của mơ hình lý
thuyết khác. Phương pháp này có thể áp dụng cho nhiều loại đơn lớp TMD khác nhau.
TỪ KHỐ: exciton, từ trường, phương pháp tốn tử FK, TMD.

THE FK OPERATOR METHOD FOR THE PROBLEM OF EXCITON IN THE
MONOLAYER TRANSITION-METAL DICHALCOGENIDES WITH A CONSTANT
MAGNETIC FIELD
ABSTRACT: In this work, we use the Feranchuk-Komarov operator method (FK-OM) to
calculate energies of exciton in the monolayer transition-metal dichalcogenides with a constant
magnetic field. The electron-hole interaction in two-dimensional systems such as the monolayer
transition-metal dichalcogenides is used by the Keldysh potential. As a result, we are able to
obtain high-accuracy numerical solutions with the precision of twelve decimal places for the
ground and highly excited states in whole magnetic field. The results are in complete coincide
with the results of experiment and the results of other theory.
KEYWORDS: exciton, magnetic field, FK operator method, TMD.
1. Giới thiệu
Phương pháp toán tử FK (FK operator method viết tắt là FK-OM) được giới thiệu lần

đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus, thơng qua bài tốn
dao động tử phi điều hịa [1]. Đây là phương pháp phi nhiễu loạn giải phương trình Schrödinger,
được đặt tên theo hai tác giả Feranchuk và Komarov [1]. Cho đến nay, phương pháp này đã
được áp dụng cho nhiều bài toán khác nhau và đã chứng tỏ được tính ưu việt và hiệu quả so với
các phương pháp khác. Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa, FK-OM đã xây dựng được
54


chuỗi hội tụ cho các hàm riêng và trị riêng của bài tốn khơng chỉ cho trạng thái cơ bản mà cịn
cho các trạng thái kích thích [1]; bài tốn exciton hai chiều trong từ trường với cường độ bất kỳ,
đã thu được nghiệm chính xác với độ chính xác đến 20 chữ số thập phân [2] trong toàn miền biết
đổi của từ trường không chỉ cho trạng thái cơ bản mà cịn cho các trạng thái kích thích... Ngồi
ra, FK-OM này cũng được ứng dụng thành công cho các bài toán vật lý chất rắn, lý thuyết
trường, vật lý ngun tử, phân tử [2].
Q trình tính tốn của FK-OM được thực hiện mà không cần dùng trực tiếp đến dạng
tường minh biểu thức của hàm sóng và việc tính toán đại số cũng trở nên đơn giản hơn nhờ vào
dạng chuẩn của các toán tử sinh, hủy Dirac. Các tính tốn đại số này có thể được lập trình dễ
dàng để tìm các trị riêng với độ chính xác cần thiết. Đặc biệt, FK-OM chỉ sử dụng các tính tốn
thuần đại số vì vậy mà ta có thể gọi FK-OM là phương pháp đại số. Qua các kết quả thu được từ
các cơng trình nghiên cứu cho thấy, FK-OM có thể tính tốn được cho nhiều bài tốn khác nhau,
vì vậy chúng tơi sẽ sử dụng FK-OM để tìm phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp kim loại
chuyển tiếp diachalcogenides (Transition metal diachalcogenides, viết tắt là TMD).
Đơn lớp TMD có cơng thức hóa học là MX2, trong đó M là kim loại chuyển tiếp (thuộc
nhóm IV, V, VI, VII, IX hoặc X) và X là nguyên tử chacolgen (một họ của oxygen gồm O, Se,
Te,...). Cấu trúc của chúng là một lớp nguyên tử M được xếp xen kẽ giữa hai lớp nguyên tử X
theo hình lục giác. Trong số khoảng 40 loại TMD hiện có, một số loại đã nhận được quan tâm
đặc biệt do tính chất bán dẫn của chúng và do năng lượng vùng cấm có thể điều chỉnh được. Đặc
biệt, các đơn lớp TMD trong nhóm VI (MoS2, WS2, MoSe2, WSe2) là bán dẫn có năng lượng
vùng cấm trực tiếp với khả năng quang phát quang (photoluminescence) tương đối mạnh,
khoảng cách giữa các mức năng lượng lớn và phổ năng lượng của các mức hẹp nên dễ dàng

quan sát được [3]. Các nghiên cứu cho thấy dịch chuyển quang học chủ yếu trong TMD là hình
thành các exciton, là tên gọi chung cho trạng thái liên kết của điện tử và lỗ trống, các exciton
bao gồm exciton trung hòa (còn gọi là exciton), exciton âm, exciton dương, biexciton... Năng
lượng liên kết của các exciton này phụ thuộc vào môi trường xung quanh thể hiện qua hằng số
điện mơi. Ngồi ra, các nghiên cứu quang phát quang trên các đơn lớp TMD cho thấy trong các
đơn lớp này khơng chỉ tồn tại exciton mà cịn tồn tại các trion và biexciton [4]. Đặc biệt trong
TMD, sự thay đổi năng lượng vùng cấm phụ thuộc vào số lớp vật liệu. Vì vậy, việc nghiên cứu
năng lượng liên kết của các exciton trong vật liệu hai chiều TMD có thể giải tích một số hiệu
ứng vật lý, là vấn đề mang nhiều ý nghĩa thực tiễn.
2. Phương pháp toán tử FK
Về ý tưởng, FK-OM là sự kết hợp của các phương pháp: phương pháp lý thuyết nhiễu
loạn; phương pháp biến phân và phương pháp đại số. Trong đó, bộ hàm sóng cơ sở được sử
dụng chính là dao động tử điều hịa.
Để giải bài tốn bằng FK-OM, ta phải biểu diễn toán tử Hamilton dưới dạng các toán tử
sinh – huỷ aˆ + , aˆ , các toán tử này thường được định nghĩa dưới dạng:

aˆ =



1   +

1  
.
x+
 ; aˆ =
x−
2
 x 
2

 x 
55

(1)


Trong đó, tốn tử aˆ được gọi là tốn tử huỷ, aˆ + được gọi là toán tử sinh, chúng ln thoả hệ
thức giao hốn

 aˆ , aˆ +  = 1.
(2)
Hệ thức giao hốn (2) giúp ta có thể đưa được các toán tử sinh huỷ về dạng chuẩn, là dạng các
toán tử sinh nằm bên trái và các toán tử huỷ nằm bên phải, điều này giúp thuận lợi cho các tính
tốn phía sau. Ngồi ra, khi định nghĩa các toán tử sinh, huỷ như trong biểu thức (1), ta thấy có
sự xuất hiện của tham số  , đây là tham số thực, dương được đưa vào để tối ưu q trình tính
tốn, làm tăng tốc độ hội tụ của bài tốn mà khơng làm ảnh hưởng đến tính chính xác của bài
tốn.
Kế đến ta sẽ tốn tử Hamilton thành hai thành phần

Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ ,  ,...) và

Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ,...) . Việc tách toán tử Hamilton này dựa trên hình thức của các tốn tử sinh và
tốn tử huỷ. Trong đó: tốn tử Hˆ 0OM chỉ chứa các tốn tử có dạng aˆ + aˆ , là dạng có số tốn tử sinh
và số tốn tử huỷ bằng nhau được gọi là các tốn tử trung hồ, thành phần Hˆ 0OM ln có nghiệm
chính xác; tốn tử Vˆ OM sẽ chứa các thành phần còn lại của toán tử Hamilton sau khi đã tách
thành phần Hˆ OM . Việc tách này tương tự như cách tách của phương pháp lý thuyết nhiễu loạn,
0

trong đó tốn tử Vˆ OM được xem là thành phần “nhiễu loạn” và thành phần này sẽ luôn được điều
chỉnh “đủ nhỏ” nhờ tham số  được đưa vào khi định nghĩa các toán tử sinh huỷ.

Do thành phần Hˆ OM chỉ chứa các tốn tử trung hồ nên ta có thể tìm được nghiệm chính
0

xác bậc khơng bằng cách giải phương trình
0
0
0
Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ ,  ,...)  n( ) = En( )  n( ) .

(3)

Trong đó hàm sóng n ( ) được chọn là bộ hàm riêng của dao động tử điều hòa, thường được
biểu diễn dưới dạng:

n ( ) =

n
1
aˆ + ) 0 ( ) .
(
n!

(4)

Ở đây, ta sử dụng ký hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó biểu thức (4) được gọi là
vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum) 0 ( ) được xác định
bằng phương trình:

aˆ 0 ( ) = 0; 0 ( ) 0 ( ) = 1.


(5)

Như đã trình bày ở trên, tham số  được đưa vào để tối ưu q trình tính tốn, vì vậy trong
cơng trình [5] đã chỉ ra rằng có thể xác định  từ điều kiện:
En( )
= 0.

0

56

(6)


Các thức lựa chọn giá trị  này cho kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc khơng đối với
nhiều bài tốn khác nhau và ln thoả điều kiện Hˆ OM
Vˆ OM . Tuy nhiên, do tham số này chỉ
0

ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ của bài tốn nên ta có thể lựa chọn nó một cách ngẫu nhiên, điều
này sẽ được thể hiện rõ qua phần tính tốn tiếp theo.
Cuối cùng để tìm nghiệm số En của bài tốn, ta có thể sử dụng nhiều sơ đồ tính tốn khác

(

nhau như: sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn, sơ đồ vòng lặp…. Do các yếu tố ma trận Hˆ 0OM aˆ + aˆ ,  ,...

(

)


)

và Vˆ OM aˆ + , aˆ , ,... được xây dựng dưới dạng đại số nên thuận lợi cho việc lập trình tính tốn.
Ngồi ra, trong các bài tốn ngun tử sẽ xuất hiện thành phần tương tác Coulomb có chứa
1
các thành phần tọa độ ở mẫu số dưới dạng 2 , vì vậy khi sử dụng FK-OM cho các bài toán
r
nguyên tử, ta thường sử dụng thêm các phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Levi-Civita để đưa
các thành phần này lên tử số để thuận tiện khi tính các tác dụng lên bộ hàm cơ sở.
3. Bài toán exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều
3.1. FK-OM giải bài toán exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều
Trong các cơng trình nghiên cứu gần đây cho thấy khi sử dụng thế tương tác Keldysh để
mô tả tương tác giữa điện tử và lỗ trống trong exciton trong đơn lớp TMD thì sẽ cho kết quả phù
hợp với các kết quả đo được bằng thực nghiệm [3]. Vì vậy trong cơng trình này, thế tương tác
Keldysh sẽ được sử dụng để tính tốn để tìm năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD đặt
trong từ trường đều.
Xét exciton trong đơn lớp TMD đặt từ trường đều hướng dọc theo trục z , vng góc với
mặt phẳng đơn lớp. Khi đó phương trình Schrưdinger khơng thứ ngun có dạng:
(7)
Hˆ ( x, y) = E ( x, y),

1  2
2  i  
  1
Hˆ = −  2 + 2  −   x − y  +  2 ( x 2 + y 2 ) + VK (r ,  ),
2  x y  2  y
x  8

(8)


với r = x 2 + y 2 . Trong phương trình (7), đơn vị năng lượng và độ dài được sử dụng lần lượt là
năng lượng Hartree hiệu dụng 2Ry* = m*e4 /16 2 02

a0* = 4 0

2

2

và bán kính Bohr hiệu dụng

/ m*e2 ; tham số từ trường không thứ nguyên  có liên quan đến từ trường theo

phương trình B =   2m* Ry* / e .
Như đã trình bày ở trên, để thuận tiện khi sử dụng FK-OM để giải bài toán này, ta sẽ sử
dụng phép biến đổi Fourier đối với thành phần thế năng Keldysh VK ( r ,  ) , khi đó ta được:
+ +

eit1x +it2 y
VK (r ,  ) = −
 − dt1dt2 t (1 +  t ) ,
2 −
1

(9)

với t = t12 + t22 . Tham số  = r0 /  a0* đặc trưng cho thế tương tác, khi  → 0 thì thế Keldysh sẽ
trở thành thế tương tác Coulomb. Mặc khác, ở vế phải của biểu thức (9) được biểu diễn thông
57



qua x và y , hai biến số này có vai trị như nhau, hồn tồn có thể đổi chỗ cho nhau x

y mà

khơng ảnh hưởng đến kết quả tính toán do r = x 2 + y 2 . Do đó exciton bị chắn vẫn có đối xứng
trụ và bảo tồn moment động lượng quỹ đạo được mơ tả trong phương trình (7), (8). Vì vậy,
trong các tính tốn tiếp theo của chúng tôi, số lượng tử từ m sẽ được xem như là một trạng thái
lượng tử.
Tiếp theo, ta cũng sẽ sử dụng phép biến đổi Levi-Civita, ta đưa phương trình Schrưdinger (7),
(8) về dạng phương trình Schrưdinger của bài tốn dao động tử phi điều hịa để giải [5]. Khi đó,
trong khơng gian ( u , v ) phương trình Schrưdinger của hệ được viết dưới dạng:


2  
m  2 2  2 2 2 3 ˆ
 1  2

−
+
−
E
−
  2
 ( u + v ) + ( u + v ) − V (u , v)  (u , v) = 0,
2  
v  
2 
8



 8  u


(10)

với thế Vˆ (u, v) thu được từ rVK và chỉ phụ thuộc vào u 2 + v 2 .
Trong không gian ( u , v ) , tốn tử moment xung lượng có dạng
i 
 
Lˆ = −  v − u  ,
2  u
v 

do bài tốn có bảo tồn Lˆ z nên hàm sóng trong (7) phải thỏa phương trình

Lˆ (u, v) = m (u, v),
với m = 0, 1, 2, 3,... . Vì vậy, trong biểu thức (10), ta đã thay toán tử moment xung lượng Lˆ z
bằng trị riêng m của nó.
Phương trình (10) hồn tồn tương đương với các phương trình Schrưdinger (7), (8)
nhưng đơn giản hơn. Đặc biệt, phương trình (10) phù hợp cho các phép tính đại số sẽ được trình
bày trong phần tiếp theo. Ngồi ra, phương trình này chính là phương trình mơ tả bài tốn dao
động tử phi điều hịa, và phép nhân vơ hướng đối với hàm sóng trong khơng gian (u, v) được
định nghĩa dưới dạng

 |   =

+ +


    dudv.
*

(11)

− −

Để sử dụng FK-OM, trước tiên ta sẽ biểu diễn tốn tử Hamilton trong phương trình (10)
dưới dạng các toán tử sinh huỷ. Ta sẽ định nghĩa các toán tử sinh, hủy dưới dạng:

ˆ =



1  

1  
+
,
u +
 , ˆ =
u −
2
 u 
2
 u 

(12)
1



1




+
ˆ
ˆ =
v +
,  =
v −
,
2   v 
2   v 
trong đó, tham số  là tham số tự do. Ngoài ra, để thuận tiện trong các phần tính tốn tiếp theo,
chúng tơi sẽ sử dụng bộ toán tử sinh, hủy được biến đổi từ (12) có dạng



58


(

)

(

)


1
1
ˆ − i ˆ , aˆ + =
ˆ + + i ˆ + ,
2
2
1
1
bˆ =
ˆ + i ˆ , bˆ + =
ˆ + − i ˆ + .
2
2
Vì khi đó tốn tử moment xung lượng có dạng chuẩn:
1
Lˆ = (aˆ + aˆ − bˆ+bˆ).
2
Các toán tử sinh, hủy (13) thỏa các hệ thức giao hoán
 aˆ, aˆ +  = 1, bˆ, bˆ+  = 1


là cơng cụ chính trong các tính tốn đại số.
Khi đó ta thu được dạng biểu diễn đại số của phương trình Schrưdinger (10) như sau:
aˆ =

(

)


(

 1
1 
m  ˆ + ˆ ˆ
ˆ+ ˆ ˆ
 − 4  M + M − N − 2  E − 2  M + M + N




(

)

(

3
2
1
+
Mˆ + + Mˆ + Nˆ −
3
64
2

+ +

(


)

)

(13)

(14)

)


+
− − dt1dt2 t ( 2 t + 1) Oˆ Mˆ + Mˆ + Nˆ  (u, v) = 0,


(

1

)

(15)

với

Oˆ = e

−

t

1+ 4 t 2

Aˆ +

−

e

4t 2
1+ 4 t 2

Mˆ +

e

2 tmˆ +

e

4t 2 ˆ
t ˆ
1
−
M
A
ln(1+ 4 t 2 ) t ( nˆ − Nˆ )
−2 tmˆ
1+ 4 t 2
1+ 4 t 2
2


e

e

e

.

(16)

Trong đó ta đã đưa vào các tốn tử mới dưới dạng
ˆ ˆ, Nˆ = aˆ + aˆ + bˆ +bˆ + 1,
Mˆ + = aˆ + bˆ + , Mˆ = ab

it + t
it − t
Aˆ = 1 2 aˆ 2 + 1 2 bˆ 2 ,
t12 + t22
t12 + t22

( ),

2
−it + t
it + t
Aˆ + = 1 2 ( aˆ + ) − 1 2 bˆ +
t12 + t22
t12 + t22


2

(17)

−it + t
−it + t
−t + it
−t − it
Kˆ = 1 2 bˆ + aˆ − 1 2 aˆ + bˆ, mˆ + = 2 1 aˆ +bˆ, mˆ = 2 1 bˆ + aˆ , nˆ = aˆ + aˆ − bˆ +bˆ,
2
2
2
2
2
2
t1 + t2
t1 + t2
t1 + t2
t12 + t22

ˆ + , mˆ , nˆ được đưa vào để giúp cho dạng
và t = t12 + t22 / 2 . Các toán tử Mˆ + , Mˆ , Nˆ , Aˆ , Aˆ + , Kˆ , m
biểu diễn của (15) được thuận tiện hơn và các toán tử này cũng lập thành bộ đại số kín như trong
[6].
Để tính các yếu tố ma trận, chúng tôi chọn bộ hàm cơ sở là bộ hàm riêng của dao động tử
điều hòa
n2
n1
1
(18)

n1 , n2 osc =
aˆ + ) bˆ+
0 ( ) ,
(
n1 !n2 !

( )

với n1 , n2 là các số nguyên không âm; trạng thái chân không được định nghĩa

aˆ 0 ( ) = 0, bˆ 0 ( ) = 0,
với điều kiện chuẩn hóa 0 ( ) | 0 ( ) = 1 .
59

(19)


Do bài tốn có bảo tồn Lˆ z nên bộ hàm cơ sở (18) phải thỏa mãn phương trình
Lˆz n1 , n2

osc

= m n1 , n2

osc

,

(20)


với m là số lượng tử từ, nhận các giá trị m = 0, 1, 2, 3,... . Từ (18) và (20) ta được
1
(21)
( n1 − n2 ) .
2
Do m là số nguyên, vì vậy n1 − n2 phải là số chẵn. Khi đó n1 + n2 cũng sẽ là số chẵn,
m=

nên ta đặt

2n = n1 + n2

(22)

là số ngun khơng âm.
Đối với bài tốn đang xét, có sự bảo tồn số lượng tử từ m , vì vậy ta sẽ sử dụng các chỉ
số n, m thay cho n1 , n2 khi xét các trạng thái lượng tử. Từ (21), (22) ta được

n1 = n + m, n2 = n − m với −n  m  n . Khi đó, ta sẽ chuyển bộ hàm sóng cơ sở n1 , n2
bộ hàm cơ sở n, m

osc

osc

thành

đã được chuẩn hóa như sau:

n, m


osc

=

( aˆ ) ( bˆ )
n+m ! n−m !
1

(

+ n+m

)(

)

+

n−m

0 ( ) ,

(23)

trong đó n = 0,1, 2,.... và m = 0, 1, 2,...,  n . Ta cũng thấy rằng bộ hàm cơ sở (23) là trực giao
và chuẩn hóa nghĩa là n, m1 k , m2 =  n,k  m1 ,m2 .
Từ đây ta sẽ sử dụng phương trình Schrưdinger đại số (15) bộ hàm sóng (23) để tính các
yếu tố ma trận.
Để có thể đạt được độ chính xác cao khi sử dụng FK-OM giải bài toán này thì ta cần thực

hiện một số sửa đổi khi tính toán. Cụ thể, đối với bộ hàm cơ sở đã được xây dựng (23), khi khai
triển bộ hàm cơ sở này thì các hệ số khai triển được FK-OM gợi ý tính tốn bằng phương pháp
lặp [6]. Tuy nhiên, đối với trường hợp các trạng thái kích thích cao, việc tính các hệ số khai triển
bằng phương pháp lặp như vậy có thể dẫn đến sự chồng chéo các trạng thái lượng tử. Vì vậy,
trong phần tính tốn này, ta sẽ sử dụng một cách thức khác để giải trực tiếp hệ phương trình
tuyến tính cho các hệ số khai triển. Khi đó, ta xét hàm sóng dưới dạng

| ( s )  =

s +|m|

C

j =|m|

(s)
j

| j, m,

(24)

với s là bậc khai triển gần đúng của bộ hàm sóng, khi s → + thì hàm sóng (24) càng chính
xác. Ngồi ra, khi dùng FK-OM để giải đại số bài toán này thơng qua các tốn tử sinh hủy, ta
cũng đã đưa vào tham số  với vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của bài toán sao cho bậc khai
triển của s không vượt quá 100, điều này giúp cải thiện đáng kể tốc độ tính tốn.
Để thuận tiện khi tính tốn, ta viết lại phương trình Schrưdinger (15) dưới dạng
s
(25)
Hˆ − ERˆ  ( ) = 0,


(

)

Rˆ = Nˆ + Mˆ + Mˆ + ,
60

(26)


 ˆ ˆ ˆ+

Hˆ =
N − M − M + 2 Nˆ + Mˆ + Mˆ +
2
8
2

(

)

2

(

)

3


− 2Vˆ ,

(27)

với E = E − m / 2 .
Thay (24) vào (25) ta thu được ( s + 1) phương trình tuyến tính cho hệ số C j và trị riêng E . Để
thuận tiện, ta sẽ viết hệ phương trình tuyến tính này dưới dạng một phương trình ma trận dưới
dạng

(

với

và

−E

)

= 0,

(28)

là ma trận vng có kích thước ( s + 1)  ( s + 1) với các yếu tố ma trận

R jk = N jk + M jk + M +jk ,

2


2
Fjk − 2V jk .
2
8 2
Trong đó, các yếu tố ma trận N jk , M jk , Fjk ,V jk được định nghĩa dưới dạng
H jk =

( N jk − M jk − M +jk ) +

(29)
(30)

N jk =  j , m | Nˆ | k , m, M jk =  j , m | Mˆ | k , m, M +jk =  j , m | Mˆ + | k , m,
Fjk =  j , m | ( Nˆ + Mˆ + Mˆ + )3 | k , m, V jk =  j , m | Vˆ | k , m.

Từ đây, việc giải phương trình Schrưdinger (15) trở thành giải phương trình tuyến tính với các
ma trận vng , và ma trận cột .

Hình 1. Ảnh hưởng của sự lựa chọn tối ưu của  đối với năng lượng trạng thái cơ bản. Bậc gần
đúng s cần thiết cho năng lượng của trạng thái cơ bản để đạt độ chính xác 10 chữ số thập phân.
Bậc gần đúng này phụ thuộc rất nhiều vào tham số tự do  và tồn tại một giá trị tối ưu để có độ
chính xác cao nhất. Bậc s càng cao, khối lượng tính tốn càng nhiều. Dữ liệu được trình bày
cho hai trường hợp  = 0 và  = 0.025 .
Một trong những lợi thế của FK-OM là sử dụng tham số tự do  để giảm khối lượng tính
tốn bằng cách kiểm soát tốc độ hội tụ của các nghiệm. Ở đây, tham số  không phải là tham số
61


biến phân. Nói cách khác, các nghiệm chính xác của phương trình Schrưdinger khơng phụ thuộc
vào tham số  mà ứng với mỗi giá trị  khác nhau thì ta sẽ có các bộ hàm cơ sở khác nhau. Tuy

nhiên, tốc độ hội tụ của các nghiệm gần đúng phụ thuộc rất nhiều vào giá trị của  . Như trong
hình 1, cho thấy tồn tại giá trị tối ưu của  sao cho phần khai triển của (24) hội tụ nhanh nhất.
Đối với việc lựa chọn tham số tự do tối ưu, chúng ta cũng có thể làm theo cách được đưa ra trong
[1]. Trong cơng trình này, bằng cách thức ước lượng số, các giá trị tối ưu của  thu được và
được thực hiện trong chương trình giúp giảm đáng kể khối lượng tính tốn. Như trong hình 1 cho
thấy, để đạt được năng lượng có độ chính xác là 10 chữ số thập phân khi chưa xét đến thế chắn
đối với trạng thái cơ bản trong trường hợp  = 0 , chúng tôi đã chạy cho một loạt các giá trị  từ
0.75 đến 2.25 . Với mỗi giá trị  khác nhau để đạt được độ chính xác cho trước, chúng tơi sẽ
chạy đến bậc gần đúng s khác nhau. Khi đó, chúng tơi nhận thấy ứng với giá trị  = 1.25 , số bậc
gần đúng cần thiết là s = 40 thì đạt được độ chính xác là 10 chữ số thập phân. Vì vậy, chúng tơi
gọi giá trị opt = 1.25 là giá trị  tối ưu cho trạng thái cơ bản khi chưa xét đến thế chắn với ứng

với  = 0 và vùng  có giá trị trong khoảng 0.95    1.7 , là vùng đáy thấp nhất của đồ thị
hình 1, là vùng tham số tự do tối ưu, nghĩa là khi chọn giá trị  trong vùng này thì nghiệm hội tụ
nhanh nhất. Tiếp tục, chúng tôi khảo sát cho trường hợp khi  = 0.025 , cho trạng thái cơ bản khi
chưa xét đến thế chắn, thì cũng thu được giá trị tối ưu là opt = 1.5 và vùng tham số tự do tối ưu
là 1.2    1.7 . Qua khảo sát cho nhiều trạng thái khác, chúng tôi nhận thấy với mỗi trạng thái
khác nhau, với mỗi giá trị từ trường khác nhau thì giá trị opt tối ưu và vùng tối ưu của  sẽ
khác nhau. Qua hình 1, chúng tơi nhận thấy các vùng tối ưu này có sự chồng chập lẫn nhau, phần
gạch chéo trên hình 1, và giá trị opt cũng khơng có sự khác biệt lớn. Vì vậy, trong các phần tính
tốn tiếp theo, chúng tôi sẽ sử dụng giá trị opt = 1.5 cho tất cả các trạng thái cần xét, với bậc
khai triển của hàm sóng là s = 100 .
2.3. Nghiệm số chính xác của bài tốn
Trong phần này, nghiệm số chính xác của bài toán exciton trong đơn lớp TMD đặt trong
từ trường đều được trình bày thơng qua đơn lớp WS2 với giá trị tham số  tối ưu được chọn là
opt = 1.5 . Để thuận tiện so sánh với kết quả thu được trong cơng trình [3], ta sẽ sử dụng giá trị
của các tham số cấu trúc là độ dài chắn và khối lượng hiệu dụng rút gọn của exction như trong
[3] đề xuất bằng m* = 0.16me ,  = 22,677 (tương ứng với r0 = 75 Å ) và thu được số liệu được
trình bày trong bảng 1.



1s
2s
3s
4s
5s
6s
0.000 00
0.0732172823 0.0348470094 0.0217064647 0.0149730045 0.0109674108 0.0083745704
75
1
42
36
24
82
0.001 62


25
0.002
50
0.005
00
0.007
50
0.010
00
0.025
00
0.050

00
0.100
00
0.500
00
0.750
00
1.000
00

0.0732114893 0.0347920121 0.0215198581 0.0145332038 0.0101184188 0.0069441798
40
46
38
81
45
86
0.0731941260 0.0346284048 0.0209784289 0.0133235905 0.0079674799 0.0036579260
25
41
95
86
22
09
0.0052351992
0.0731249067 0.0339927914 0.0190147262 0.0093645403 0.0016263012 25
92
78
88
55

38
0.0060954211 0.0155565562
0.0730103524 0.0329890624 0.0161881745 0.0041863786 10
90
82
81
75
50
0.0017043848 0.0145597928 0.0266152538
0.0728516093 0.0316741401 0.0127716919 95
71
71
82
69
41
0.0137402548 0.0434780079 0.0717216934 0.0991580961
0.0710665065 0.0196126012 61
88
59
20
55
43
0.0077900788 0.0663127352 0.1214285041 0.1750317760 0.2277851964
0.0657377881 64
10
42
50
59
63
0.0714120032 0.1802950301 0.2858127678 0.3897684673 0.4928258224

0.0503604948 65
04
49
03
47
45
0.1209040614 0.6417046377 1.1514543551 1.6577600788 2.1623860448 2.6660203011
88
77
60
61
23
54
0.2378351284 1.0086973073 1.7686286870 2.5250876819 3.2798431042 4.0335893812
73
68
52
66
97
03
0.3569908809 1.3779214806 2.3879700131 3.3945265957 4.3993644404 5.4031822023
36
96
67
59
64
12

Bảng 1: Năng lượng của exciton hai chiều trong từ trường đều với độ dài chắn không thứ
nguyên  = 22.677 cho đơn lớp TMD WS2. Trong hệ đơn vị nguyên tử, độ lớn của năng lượng

là 4.354eV ;  = 0.01 tương ứng với từ trường có giá trị là 60.16 Tesla.
Các số liệu trong bảng 1.1 thể hiện năng lượng của exciton ở các trạng thái 1s, 2s, 3s, 4s,
5s, 6s tại một số giá trị của từ trường lên đến B = 60.16T . Để so sánh với số liệu thực nghiệm
trong cơng trình [3], ta viết lại các nghiệm số thu được trong bảng 1 cho trường hợp khơng có từ
trường  = 0 theo đơn vị eV, và kết quả là thu được các giá trị năng lượng liên kết cho các trạng
thái 1s, 2s, 3s, 4s, 5s như sau: Eb1 = 0.318788eV ; Eb2 = 0.151724eV ; Eb3 = 0.094509eV ;
63


Eb4 = 0.065192eV ; Eb5 = 0.047752eV . Các kết quả này trùng khớp với các kết quả đo được
bằng thực nghiệm trong [3] cho trường hợp khi khơng có từ trường. Điều này cho thấy tính đúng
đắn của phương pháp. Ngồi các kết quả được trình bày trong bảng 1 cho các trạng thái 1s, 2s,
3s, 4s, 5s, 6s với giá trị từ trường không thứ nguyên thay đổi từ  = 0 đến  = 1 , nghiệm số cịn
được khảo sát đến giá trị từ trường khơng thứ nguyên  = 20 , các nghiệm số này đủ để phân tích
các số liệu thực nghiệm.
Tiếp theo, từ các số liệu trong bảng 1, ta có thể phân tích được tác động của thế chắn lên
hiệu ứng từ trường. Như chúng ta đã biết, dưới ảnh hưởng của từ trường, từ trường càng lớn thì
cách mức năng lượng sẽ dần trở nên cách đều nhau, vì vậy để thấy rõ được sự ảnh hưởng của thế
chắn lên hiệu ứng từ trường, ta sẽ chọn các số liệu trong vùng từ trường giá trị từ  = 0 đến

 = 0.05 , tương ứng với 0  B  300.8T .

Hình 2: Phổ năng lượng của trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích ns với số
lượng tử chính lên đến n = 6 cho exciton khi không bị chắn (a) và khi bị chắn với  = 22.677
tương đương với độ dài chắn là r0 = 75 Å (b) trong từ trường đều. Từ trường có giá trị  từ $0$
đến 0.05 tương đương với B = 300.8 Tesla.
Từ đồ thị của hình 2 cho thấy, khi giá trị từ trường tăng dần từ  = 0 đến  = 0.05 , ở
hình 2a, khi chưa xét ảnh hưởng của thế chắn Keldysh thì khoảng cách giữa cách mức năng
lượng 1s − 2s , 2s − 3s , 3s − 4s , 5s − 6s có sự chênh lệch rất nhiều, sự cách đều giữa các mức
năng lượng vẫn chưa xảy ra, mặc dù giá trị từ trường đã tăng dần. Ở hình 2b, khi có sự xuất hiện

của thế chắn Keldysh với  = 22.677 thì sự chênh lệch giữa các mức năng lượng đã dần thu hẹp
lại, khơng cịn khác biệt lớn như ở hình 2a. Điều này cho thấy rằng các mức năng lượng đã bắt
đầu có dấu hiệu đồng đều, và sự đồng đều này diễn ra nhanh hơn khi từ trường tăng dần. Như
vậy khi có hiệu ứng chắn thì hiệu ứng từ trường diễn ra nhanh hơn.
3. Kết luận
Qua các kết quả tính tốn trên cho thấy FK-OM có thể áp dụng được cho bài toán
exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều có cường độ bất kì, cụ thể là đối với đơn lớp
64


WS2. Cách thức lựa chọn tham số  được đề xuất và chọn được giá trị tham số  tối ưu là
opt = 1.5 ứng với đơn lớp WS2. Phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD WS2 được tính
cho các trạng thái ns với độ chính xác cao, đến 12 chữ số thập phân với giá trị từ trường được
khảo sát lên đến  = 1 , các số liệu này hoàn toàn phù hợp với số liệu thực nghiệm trong cơng
trình [3]. Dựa vào các số liệu này đã phân tích được sự ảnh hưởng của hiệu ứng chắn lên hiệu
ứng từ trường. Ngoài ra, các yếu tố ma trận này hồn tồn có thể tính được cho các đơn lớp
TMD bất kì.
4. Tài liệu tham khảo
[1]. I. D. Feranchuk and L. I. Komarov, “The operator method of the approx- imate
solution of the schr odinger equation”, Physics Letters A, vol. 88, p. 211, 1982.
[2]. D. N. T. Hoang, D. L. Pham, and V. H. Le, “ Exact numerical solutions of the
schrodinger equation for a two-dimensional exciton in a constant mag- netic field of arbitrary
strength”, Physica B: Condensed Matter, vol. 423, p. 31, 2013.
[3]. A. Chernikov, T. C. Berkelbach, H. M. Hill, A. Rigosi, Y. Li, O. B. Aslan, D. R.
Reichman, M. S. Hybertsen, and T. F. Heinz, “Exciton binding energy and nonhydrogenic
rydberg series in monolayer WS2”, Physical Review Letters, vol. 113, p. 076802, 2014.
[4]. A. Splendiani, L. Sun, Y. Zhang, T. Li, J. Kim, C.-Y. Chim, G. Galli, and F. Wang,
“Emerging photoluminescence in monolayer MoS2”, Nano letters, vol. 10, p. 1271, 2010.
[5]. V. H. Le and T. G. Nguyen, “The algebraic method for two-dimensional quantum
atomic systems”, Journal of Physics A: Mathematical and Gen- eral, vol. 26, p. 1409, 1993.

[6]. P. D. A. Nguyen, D. N. Ly, D. N. Le, D. N. T. Hoang, and V. H. Le, “ High- accuracy
energy spectra of a two-dimensional exciton screened by reduced dimensionality with the presence
of a constant magnetic field”, Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, vol.
113, p. 152, 2019.

65