NGUỒN: TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA THẦY CÔ,
CỦA SÁCH VỞ VÀ TỰ CHẾ.
CHƯƠNG: MA TRẬN_ ĐỊNH THỨC_HẠNG
Chú ý: Nắm được các khái niệm về ma trận(ma trận vuông, ma
trận đơn vị, ma trận tam giác,chuyển vị ma trận…); đọc được các phần
tử trong một ma trận; điều kiện để cộng hai ma trận là gì? ; điều kiện để
nhân hai ma trận là gì? có phải lúc nào A.B = B.A hay khơng? Hay thậm
chí có tồn tại điều đó hay không?

1 2 3
Câu 1: Cho ma trận A= (0 1 2) và ma trận
2 0 1

1 2 0 1
B=(1 3 2 1)
2 2 4 3
a) Tính tích A.B ? tích B.A có tồn tại hay khơng và có bằng A.B
không ?
b) Hãy biến đổi ma trận B về ma trận bậc thang và tìm hạng của ma
trận B


1
2
B=( ) C=( ) Gọi M là ma trận vuông
3
1
5
−10
cấp 2 thỏa mãn MA=(
) Khi đó :

−10
5
1
Câu 2 : Cho A=(
2

A.MB=(

−10
)
17

5
C.M=(
4

−5
)
−7

3
)
1

−5
B.MC=( )
1
D.Tất cả các câu đều đúng.

1

Câu 3 : Cho ma trận A=( 2
2𝑚. 𝑚

2
0
𝑚

3
1) chú ý : 2m.m= m2
1

Biết rằng định thức của A là một số dương khi và chỉ khi m € (a,b). Điều
này sau đây là đúng ?
A.2a-4b+1=0

B.a=-1

C.a+b =5

D.3a=2b

ĐỊNH THỨC
Chú ý :
- Cách tính định thức bậc 2 ( dễ), bậc 3 ( quy tắc trong sách)
- Cách tính định thức bậc 4 ta sẽ có hai cách tính là khai triển theo
dịng hoặc khai triển theo cột. Khi đề cho hãy tính định thức cấp 4,
ta đừng nên làm vội mà hãy dùng một số phép biến đổi làm cho
một dòng hay một cột xuất hiện nhiều số 0 nhất có thể khi đó ta có
thể tính định thức một cách dễ dàng. Cịn dễ hơn nữa thì bấm máy
tính casio ^ ^



Câu 5 : Cho A là ma trận vuông cấp 4 và có |𝐴| = 4 và
1

A-1=|𝐴|.B.Hãy tính |𝐴. 𝐵|
Câu 6 : Tính các định thức sau :
0
1
a) A=[
3
4

1
1
2
2

0
2
1
1

2
3
]
1
2

Câu 7 : Tính định thức của các ma trận sau theo ẩn :

1
a) A=[𝑚
4
1
2
b) B=[
4
3
𝑥
1
c) C=[
1
1

3
2
𝑚
4
7
2
10
1
𝑥
1
1

4
3]
5
2 3

3 4
]
𝑚 1
5 11
1 1
1 1
]
𝑥 1
1 𝑥

𝑚
Câu 8 : a. Cho ma trận A= ( 2
0
ma trận nghịch đảo ?

2
𝑚
1

0
1 ) với giá trị nào của m thì A có
𝑚

b. Tìm hạng của ma trận A khi m= -1.
Câu 9 : Tính hạng của các ma trận sau : ( ta quy về ma trận bậc thang,
khi đó số dịng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận
ban đầu)


1 2

3
5
a) A=(3 −1 4 −2)
5 3 10 8
2 −2 1
−3 1 −1
b) B=(
)
5
4
1
1
0
0
Câu 10 : Biện luận hạng của ma trận theo tham số m :
1 1 −3
a) A=(2 1 𝑚 )
1 𝑚 3
𝑚
5𝑚
−𝑚
b) B=( 2𝑚
𝑚
10𝑚 )
−𝑚 −2𝑚 −3𝑚

𝟏
Công thức cần nhớ: A-1=|𝑨|
.𝐀 ∗


Câu 11 :Tìm X biết : ( đối với hình thức trắc nghiệm có thể bấm máy
ngay lập tức)
1 0
−2
1
a) (4 −2
1 ) .X =( 2 )
1 2 −10
−1
−3 4
6
1 −2
b) ( 0
1
1 ) .X=(4 3
−2 −3 −4
2 −2

6
−8)
5

CHƯƠNG : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Chú ý :Có hai thuật tốn thường được sử dụng ở chương này :
- Thuật toán Gauss


- Hệ Cramer
Thế nhưng trong trường hợp nào mà ta dùng mỗi thuật toán trên cho phù
hợp :

-Thuật toán Gauss thường được dùng để giải hệ phương
trình đơn giản, khơng phức tạp ; khơng có chứa ẩn m.
-Thuật tốn Cramer có thể dùng để giải nghiệm của hệ
phương trình( cũng như Gauss) và thường thì dùng để biện luận hệ
phương trình đó ra sao .
Ví dụ cụ thể khi dùng hệ Crammer : khi họ kêu mình biện luận nghiệm
của hệ phương trình theo m :
- Bước 1 : tính định thức D của ma trận hệ số.
𝐷𝑗

- Bước 2 : nếu định thức D≠ 0 hệ phương trình có nghiệm là xj=

𝐷

(với j=1,2,3,…)
- Bước 3 : nếu định thức D = 0 có hai trường hợp xảy xa là vô
nghiệm hoặc vô số nghiệm.Ta hiểu nôm na như cấp THPT là :
+ Vô nghiệm khi 0X=3.
+ Vô số nghiệm khi 0X=0.
Để làm được điều này ta cần giải D≠ 0 (giả sử m≠ 1 ; m≠ 2), ta
thay từng trường hợp m=1 và m=2 vào ma trận ban đầu, biến đổi
chúng thành ma trận bậc thang rồi chứng minh nó vơ nghiệm hay
có vơ số nghiệm .
Câu 12 : Những bài tập về giải hệ phương trình tương đối đơn giản nên
mình lướt qua, tập trung cho các bạn về biện luận nghiệm của hệ phương
trình
a) Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo m :


𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 = 1

3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 2𝑡 = −4
{
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = −6
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 𝒎
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + (𝑚 + 5)𝑦 − 2𝑧 = 4
b) {
𝑥 + (𝑚 + 3)𝑦 + (𝑚 − 1)𝑧 = 𝑚 + 3

INPUT_OUTPUT
Chú ý :
- Yêu cầu chương này bạn phải giải thích được ý nghĩa kinh tế của
một hệ số nào đó trong ma trận đề cho (nhớ câu‘ vào hàng ra cột’ ).
- Thuộc cơng thức X= (In-A)-1.D (trong đó X thường là mức sản
lượng đầu ra của các ngành)
Câu 13 : Trong mơ hình Input-Output mở, cho biết ma trận đầu vào :
0.3
A=(0.1
0.2

0.1
0.2
0.3

0.1
0.3)
0.2

a) Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a12 ; a13 ; a01 trong ma trận A.
b) Biết sản lượng của ngành 2 là 150, hãy tính giá trị của sản lượng

nguyên liệu mà các ngành cung cấp cho nó.
c) Hệ số a03 bằng bao nhiêu? Từ đó hãy tính ngành mở phải đóng góp
bao nhiêu cho ngành 3 khi giá trị sản lượng ngành 3 là 1000.
d) Gỉa sử ta không biết hệ số a22 là 0.2 mà chỉ biết a02 = m. Hãy tìm
giá trị của m biết rằng ngành mở phải đóng góp 200 khi giá trị đầu
ra của ngành 2 là 500.
70
e) Tìm mức sản lượng của 3 ngành nếu ngành mở D=(100)
30

Trên đây là bài viết của mình về các chương trên.
Cám ơn các bạn đã quan tâm theo dõi. Trong tương lai mình sẽ


soạn về lim, giới hạn, phép vi phân,đạo hàm,… Cám ơn mọi
người nhiều ạ!


NGUỒN: THAM KHẢO
Câu 1: Cho A là ma trận vuông cấp 6 có det(A)=3 và B=3A. Tính det(B) :
A.2781

B.2178

C.2187

D.1278

Câu 2: Cho A là ma trận vng cấp 3 có det(A)=2. Tính det(3𝐴𝑇 ) :
A.27


B.54

C.63

D.72

Câu 3: A,B là hai ma trận cùng cấp. Khi đó :
A.(𝐴𝐵)−1 = 𝐴−1 . 𝐵 −1

B.(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 . 𝐴−1

C.Cả hai đáp án đều đúng

D.Cả hai đáp án đều sai
7

10

Câu 4 : Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, giả sử C=(9 𝐴) ( 7 𝐵𝑇 ) . 𝐾ℎ𝑖 đó :
A.𝐶 −1 =

10 −1
𝐴 . (𝐵 −1 )𝑇
9

B.𝐶 −1 =

10
(𝐵−1 )𝑇 . 𝐴−1

9

9

D.𝐶 −1 = 10 (𝐵−1 )𝑇 . 𝐴−1

9

C.𝐶 −1 = 10 𝐴−1 . (𝐵 −1 )𝑇

Câu 5 : Cho Am*n. Phép biến đổi nào sau đây có thể làm thay đổi hạng của ma trận A :
B.Đổi chỗ hai cột trong A

A.Nhân A với -5
C.Nhân một dòng bất kì trong A với 2

D.Thay dịng i bằng dịng i cộng với a lần dòng i.

Câu 6: Cho A là ma trận vuông cấp 4 khả nghịch với định thức của ma trận phụ hợp -216. Khi đó:
A.det(A)=6

B.det(A)=-6

C.det(A)=36

d.det(A)=-36

Câu 7: Cho A là ma trận vng cấp 5 có khả nghịch với det(A)=5. Khi đó định thức của ma trận phụ hợp
là bao nhiêu:
A.125


B.625

C.3125

D.25


2
Câu 8:Cho A=(
3

3
). Ma trân nghịch đảo của B=A-5𝐴𝑇 + 𝐼2 𝑠ẽ 𝑙à:
2

1
1
7 12
7 −12
A.95 (
) B.95 (
)
12 7
12
7

1
7
−12

C.95 (
)
−12
7

det(B)=2 và (𝐴𝐵)−1 =

Câu 9 :Cho A,B là các ma trận vng cấp 4 có det(A)=2,
1
. 𝐶. 𝑇í𝑛ℎ det(𝐶)
det(𝐴𝐵)

A.32

:
B.64

C.128

D.256

1
2
Câu 10: Với giá trị nào của m thì A suy biến với A=(
3
3
A.m=9

B.m≠ 9


1
1
Câu 11 : Cho ma trận C=(
2
1
A.0

1 −7 −12
D.95 (
)
12
7

3
4
5
5

3
5
4
7

2
3
) Vậy |𝐶| = ?
1
6
C.2


0
0
𝑐
0

2
𝑏
4
0

−1 0
0
3
)
−5 −3
−1 1
D.m≠ 3

C.m=3

B.1

1
2
Câu 12 : Cho ma trận A=(
3
𝑑

2
1

𝑚
3

D.3

𝑎
0
). Khi đó :
5
0

A.det(A)=abcd B.det(A)=2abcd

C.det(A)=1

D.det(A)=0

𝑚
1 2
Câu 13 :Tìm m để định thức sau có giá trị bằng 0 A=(−1 3 1)
2 −1 1
A.

7
4

B.

9
4


C.

11
4

D.

13
4

𝑚−1
2
2
2
2
2
𝑚−1
2
2
2
Câu 14 : Cho ma trận A=
. Phát biểu nào sau đây là đúng :
2
2
𝑚−1
2
2
2
2

2
𝑚−1
2
2
2
2
𝑚 − 1)
( 2
A.Với m=-7 thì rank(A)=5.

B.Với m=3 thì rank(A)= 5.

C.Cả hai câu trên đều đúng.

D.Cả hai câu trên đều sai.


1 3 7
Câu 15: Ma trận nghịch đảo của A=( 2 1 2) 𝑙à:
−7 1 4
A.

−2
5
1
𝐴−1 = ( 22 −53 −12)
−9 22
5
2
−5 −1

C. 𝐴−1 = (−22 53 12 )
9
−22 −5

5
2
1
B. 𝐴−1 = ( 22 53 12)
−9 22 5

1 2 −3
1 −3 0
Câu 16 : Giải phương trình ma trận sau :(3 2 −4) 𝑋 = (10 2 7) :
2 −1 0
10 7 8
6 4
A.X=(2 1
3 3

5
2)
−3

6 4
B.X=(2 1
3 3

−5
−2)
3


6 4
C.X=(2 1
3 3

5
2)
3

D.Cả ba đáp án đều sai

1
2 −1 0
Câu 17 : Tìm hạng của ma trận sau : A=(−1 2
4 2) :
−3 −2 6 2
A.2

B.3

C.4

1
2
Câu 18 : Tìm hạng của ma trận sau : A=(
5
4
A.2

B.3


3
𝑚
Câu 19 : Cho ma trận A=(
1
2

D.5
5
4
3 1
−1 2 −1 0
):
3
8
1 1
9 10 5 2

C.4

D.5

1 1 4
4 10 1
):
7 17 3
2 4 1

a) Với giá trị nào của m thì r(A)=3 :
A.m=0


B.m=1

C.m=-1

D.m=2

b) Với giá trị nào của m thì r(A)=4 :
A.m=0

B.m≠0

C.m=1

D.m≠ 1

𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑚
(𝑚
+ 1)𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = 𝑚 + 1
Câu 20:Cho hệ phương trình tuyến tính sau A={2𝑥 +
𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 1
a) Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
A.m=1

B.m=2

C.m≠ 1

D.m≠ 2



b) Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có vơ số nghiệm:
A.m=1

B.m=2

C.m=-2

D.m=0

c) Với giá trị nào của m thì hệ đã cho vơ nghiệm:
A.m=1

B.m=2

C.m=-2

D.m=0

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 4𝑡 = 2
Câu 21: Tìm a để hệ sau có nghiệm: { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 + 11𝑡 = 𝑎
A.a=1

B.a=5

C.a=10

D.a=15


Câu 22: Cho hàm y=4x2+8x-5. Hãy tính tỉ số của sự thay đổi tương đối khi x=10 :
88

99

A.475

111

B.475

122

c.475

D.475

Câu 23 : Nghiệm riêng của phương trình vi phân y’’-5y’= x𝑒 𝑥 − 1 có dạng :
A.u(x)=a𝑒 𝑥 + 𝑏𝑥

B.u(x)=a𝑒 𝑥 + 𝑏 C.u(x)=ax𝑒 𝑥 + 𝑏 + 𝑐𝑥 D.(ax+b)𝑒 𝑥 + 𝑐𝑥

Câu 24: Cho hàm tiêu dùng C=

9√𝐼+0.8√𝐼3 −0.3𝐼
√𝐼

với I là tổng thu nhập quốc gia. Tại I=25, giá trị của xu

hương tiết kiệm biên là:

A.0.77

B.0.23

C.0.64

D.0.36

Câu 25:Hàm cầu của một xí nghiệp sản xuất độc quyền có dạng Q=540-𝑘 2P – 2kP.Biết rằng nếu giá tăng
thêm 2 đơn vị thì lượng cầu giảm đi 6 đơn vị. Doanh thu của xí nghiệp đạt cực đại tại mức sản lượng:
A.80

B.75

C.90

D.25

đáp án đúng 270

Câu 26:Cho hàm chi phí c=0.1q2 +3.Chi phí biên sẽ là bao nhiêu khi mức sản lương là 50:
A.5

B.10

Câu 27:Cho hàm q=
A.10.71

10𝑚2


C.15

D.20
900

.Cho biết hàm cầu là p=𝑞+9 . 𝐻ã𝑦 𝑡í𝑛ℎ 𝑀𝑅𝑃 𝑘ℎ𝑖 𝑚 = 9 :

√𝑚2 +19

B.11.71

1 3
Câu 28 : Cho A=(
)
2 1
5
−10
MA=(
) Khi đó :
−10
5

C.12.71

D.13.71

1
2
B=( ) C=( ) Gọi M là ma trận vuông cấp 2 thỏa mãn
3

1

−10
A.MB=(
)
17

−5
B.MC=( )
1

5
C.M=(
4

D.Tất cả các câu đều đúng.

−5
)
−7


1
Câu 29 : Cho ma trận A=( 2
2𝑚2

2
0
𝑚


3
1)
1

Biết rằng định thức của A là một số dương khi và chỉ khi m € (a,b). Điều này sau đây là đúng ?
A.2a-4b+1=0

B.a=-1

C.a+b =5

D.3a=2b
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)(𝑥−5)
(5𝑥−1)5
𝑛→∞

Câu 30 :Tính lim
1

A.5

1

1

B.125

1

C.625


D.3125

(2𝑥−5)20 (3𝑥−2)30
(2𝑥+1)50
𝑛→∞

Câu 31 : Tính lim
2

A.(3)30

3

B.(2)30

D. Cả ba đáp án đều sai.

C.1

1−2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋−3𝑥
𝑥

Câu 32. Ta có lim𝜋

𝑎

= 𝑏 ( 𝑡ố𝑖 𝑔𝑖ả𝑛 𝑛ℎấ𝑡). Biểu thức nào sau đây là đúng :


3

𝑏

A.𝑎 = √3

B.a=b

D.b-√3𝑎 = 0

C. b+√3𝑎=0

Câu 33: Giá trị lớn nhất của hàm f(x)= x4-4x3+3 trên [−1,4]:
A.3

B.8

C.10

D.-24
1

Câu 34: Gía trị nhỏ nhất của hàm f(x)=cosx+2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 trên [0, 𝜋] :
−3

A. 4

3
2


B.

𝑥 2 −1+𝑙𝑛𝑥
𝑥1 𝑒 𝑥 +𝑒

Câu 35 : Ta có :lim
A.3

B.6

Câu 36 : Cho f(x)=
A.m=1

3

−3

C.4

D. 2

𝑎

= 2𝑒. Gía trị của a là :
C.9

D.12

𝑒 𝑚𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥

2

𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0
.Tìm giá trị của m để f liên tục tại x= 0.
𝑚 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0

B.m=-1

C.m=2 D.m= -2
𝑑(𝑙𝑛𝑦)
𝑑𝑥

Câu 37 : Cho hàm số y=30-4x-x2. Tính A=x.

A.

−10
3

B.

ĐỀ SAI

−70
9

C. A và b đều sai

𝑘ℎ𝑖 𝑦 = 9


D.A và B đều đúng


𝑑[𝑥 2 𝑓(3𝑥)]

Câu 38 : Cho hàm f thỏa mãn f(6)=1 ; f’(6)=-2 và hàm g(x) thỏa mãn g(x)=

A.-20

B.-10

C.10

𝑑𝑥

. 𝑇í𝑛ℎ 𝑔(2)

D.20

5

Câu 39 : Cho hàm f(x)={

A.a-b=13

√1+2𝑥 7 −1
ln(1+3𝑥 7 )

𝑎
(𝑝ℎâ𝑛

𝑏

. Để 𝑓 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ạ𝑖 𝑥 = 0 𝑡ℎì:

𝑠ố 𝑡ố𝑖 𝑔𝑖ả𝑛) 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0

B.a+b=17
𝑦2

𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0

C.a.b=15

D.a+2b=31

1

Câu 40 : Cho f(x,y)= x + 4𝑥 + 𝑦 + 2. Số điểm dừng của f là :
A.1

B.2

C.3

Câu 41: Cho hàm f(x,y)=x+y+

27
𝑥𝑦

D.4


:

A.Hàm f đạt cực đại tại M(-3,-3)

B.Hàm f đạt cực tiểu tại M(3,3)

C.Hàm f đạt cực tiểu tại M(3,3)

D.Hàm f đạt cực tiểu tại M(-3,-3)

Câu 42 :Cho hàm số f(x)=𝑥 3𝑥 .Khi đó :
A.f’(x)=3𝑥 3𝑥

B.f’(x)=(1+ln)𝑥 3𝑥

C.f’(x)=3.(1+ln)𝑥 3𝑥

D.2.lnx.𝑥 3𝑥

Câu 43 : Vi phân cấp 2 của hàm z=4x2y+xy3-3xy tại (1 ;1) là :
A.d2z(1 ;1) =

Đáp án: d2z= 8 dx2 + 16dxdy + 6 dy2

Câu 44 :Cho hàm chi phí C(x,y)=3x+y với x, y là sản lượng của mặt hàng 1 và 2.C(x,y) đạt giá trị nhỏ
nhất tại (xo,yo) với điều kiện √𝑥𝑦 = 10 𝑡ℎì
A. Xo=3yo

B.xoyo=3


C.yo=3xo

D.Đáp án khác

Câu 45 : Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm :
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 𝑚
{ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 𝑚 + 5
A.m=2

B.m=0

C.m=3

D. không tồn tại giá trị của m

Câu 46 :Trong mô hình mở input-output gồm hai ngành kinh tế, biết ma trận hệ số đầu vào là :
0.1 0.2
A=(
) khi yêu cầu của đầu cuối với hai ngành là (60,60) thì mức sản lượng đầu ra của hai ngành
0.3 0.4
là :


A.(100,150)

B.(120,150)

C.(150,120)


D.(100,100)

Câu 47 : Trong mơ hình mở input-output gồm ba ngành kinh tế( ngành 1,2,3), biết ma trận hệ số đầu vào
là :
0.3 0.1 0.1
A=(0.1 0.2 0.3)
0.2 0.3 0.2
a)

A.45

Biết sản lượng của ngành 2 là 150, hãy tính tổng sản lượng nguyên liệu mà ngành 1 và ngành 3
cung cấp cho ngành 2 :
B.60

C.80

D.100

b) Hãy ính ngành mở phải đóng góp bao nhiêu cho ngành 3 khi giá trị sản lượng ngành 3 là 1000
A.300

B.400

C.500

D.600

c) Hãy tính mức sản lượng đầu ra khi yêu cầu của đầu cuối với 3 ngành là(70,100,30) :

A.(150,150,200)
D.(300,200,100)

B.(150,200,250)

C.(300,150.150)

E.(150,200,150)

Câu 48 : Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z=3x3+4xy2-2y3 :
A.d2z=18xdx2 + 16ydxdy + (8x-12y)dy2
B.d2z=18xdx2 + 8ydxdy + (8x-12y)dy2
C.d2z=18xdx2 + 16ydxdy + (8x-6y)dy2
D.d2z=9xdx2 + 16ydxdy + (8x-12y)dy2
Câu 49 :Cho hàm số z= x2-2x+y2+2. Khẳng định nào sau đây là đúng :
A.Hàm số đạt cực tiểu tại M(1,0)

B.Hàm số đạt cực đại tại M(1,0)

C.Hàm số không có cực trị

D. Hàm số khơng có điểm dừng

Câu 50 : Tìm cực trị của hàm hai biến z=x2.(y-1)-3x+2 thỏa điều kiện x-y+1=0
A.z đạt cực đại tại A(-1,0) và đạt cực tiểu tại B(1,2)
B.z đạt cực tiểu tại A(-1,0) và đạt cực đại tại B(1,2)
C.z đạt cực đại tại A(-1,0) và B(1,2)
D.z đạt cực tiểu tại A(-1,0) và B(1,2)
𝑑𝑥


Câu 51 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 1+𝑥2 +

𝑑𝑦
√1−𝑦 2

=0


A. arctanx+ arcsiny=C

B.arctany+arcsinx=C
D.Đáp án khác.

C. arctanx-arcsiny=C

Câu 52: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy’-2y=2x3
A.y=2x3+Cx2

B.y=

2𝑥+𝐶
𝑥2

C.y=

2𝑥 3
5

𝐶


+ 𝑥2

D.y=2x3+C

Câu 53: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’’+y’-6y=x2𝑒 −2𝑥 có dạng:
A.y=(ax2+bx+c)𝑒 −2𝑥

B.y=x.(ax2+bx+c)𝑒 −2𝑥

C.y=ax2.𝑒 −2𝑥

D.Đáp án khác

0.1 0.2 0.3
Câu 54: Xét mơ hình input-output gồm 3 ngành với ma trận hệ số đầu vào A=(0.1 0.1 0.2).Gỉa sử
0.2 0.3 0.2
sản lượng của ngành 1 và ngành 2 đều bằng 100 và nhu cầu ngành mở đối với ngành 1 là 10. Xác định
tổng nhu cầu ngành mở đối với ngành 2 và ngành 3:
A.150

B.300

C.160

D.190

16

Câu 55: Cho hàm số f9x,y,z)=x+y+𝑥𝑦𝑧.Phát biểu nào sau đây là đúng :
A.Hàm f đạt cực tiểu tại M(2,2,2)

C. Hàm f khơng có cực trị

B.Hàm f đạt cực đại tại M(2,2,2)
D.Hàm f đạt cực đại tại M(-2,-2,-2)

Câu 56 : Xét phương trình vi phân y’’-2y’+5y=𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥. Khi đó một nghiệm riêng của (1) có dạng nào
sau đây
A.u(x)=𝑒 𝑥 (𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛2𝑥)

B.u(x)=x𝑒 𝑥 (𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛2𝑥)

C.u(x)=ax𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥

D.u(x)=ex(ax+b)sin2x

PHẦN TỰ LUẬN :
Theo như các năm trước mình thấy đề thường chủ yếu có hai câu là giải phương trình vi phân cấp hai(
chú ý về ngun lí chồng chất nghiệm) và tìm cực trị của hàm nhiều biến bị ràng buột ( thỉnh thoảng
cũng có câu về ma trận ; input-output ; biện luận nghiệm của hpttt ; biên luận hạng của ma trận theo
m,…). Dưới đây là một vài ví dụ minh họa :
1. Giai các phương trình vi phân sau :
a)y’’-2y’+5y=ex(2x-1)
b)y’’-4y’+4y=x2e2x


c)y’’-8y’+16y=e4x
d)y’’-2y’=2cos2x ( nguyên lý chồng chất nghiệm)
e)y’’-5y’=2ex-1( nguyên lý chồng chất nghiệm)
f)y’’+y’-2y=cosx-3sinx
2. Tìm cực trị của các hàm số sau :

a)z=x2+2y2-3xy-4x+2y+5
b)z=x3+y2+12xy+1
c)z=x2+y2 với điều kiện x2-3x+y2-4y=0
d)z=x2+12xy+y2 với điều kiện 4x2+y2=25

TRÊN ĐÂY LÀ NHỮNG GÌ MÌNH CĨ THỂ TỔNG HỢP LẠI GIÚP BẠN !CHÚC CÁC BẠN
CĨ 1 KÌ THI CUỐI KÌ MƠN TỐN THÀNH CƠNG !


BÀI TẬP ÔN TẬP( Nguồn : Tham khảo)
Chào các bạn !Tiếp nối phần bài tập ơn tập 1. Mình vừa hồn thành xong bài tập ơn tập 2. Đây cũng là
phần cuối cùng của mình soạn.Chúc các bạn có một kì thi cuối kì đạt kết quả tốt !
1.Cho A là ma trận vuông cấp n (với n≥ 2)
A.|−𝐴|=|𝐴|

B.Nếu |𝐴| = 0 thì có một vector cột của A là tổ hợp tuyến tính của các vector cột cịn lại

C.|6𝐴| = 6|𝐴|

D.Các câu trên đều sai.

2.Cho hệ phương trình tuyến tính AX=B với A là ma trận có kích thước 4*3 và hạng của A là 3. Kết luận nào
sau đây là đúng
A.Hệ có nghiệm duy nhất

B.Hệ có vơ số nghiệm

C.Hệ vô nghiệm

D.Chưa kết luận được

0.2 0.3
) Gọi x1,x2 là giá trị sản lượng đầu ra
0.5 0.4

3.Trong mơ hình input-output mở cho ma trận hệ số đầu vào A=(

của ngành 1 và ngành; d1,,d2 lần lượt là yêu cầu của ngành mở đối với ngành 1,2.Khi đó nếu (x1,x2)=(200,300)
thì
A.(d1,d2)=(70,80)

B.(d1,d2)=(10,120)

C.(d1,d2)=(120,10)

D.(d1,d2)=(80,70)

𝑥+𝑦−𝑧 =1
4.Cho hệ phương trình tuyến tính{ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2 . Phát biểu nào sau đây là sai
2𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 2
A.Tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất
C.Tồn tại m để hệ có nghiệm

B.Tồn tại m để hệ có vơ số nghiệm
D. tồn tại m để hệ vô nghiệm

5.Cho hệ pttt 4 ẩn, 3 phương trình có ma trận hệ số là A.Kết luận sai là
A.Nếu rank A=2 thì hệ có vơ số nghiệm
B.Nếu rank A=3 thì hệ có vơ số nghiệm
C.Nếu hệ có nghiệm thì có vơ số nghiệm.
6.Cho ma trận A=(aij)4*4 và ma trận B=(bij)4*4 với bji=aij với ∀𝑖, 𝑗 = ̅̅̅̅

1,4.Kí hiệu AT là ma trận chuyển vị của ma
trận A.Phát biểu nào sau đây là sai
A.AT=B

B.Nếu B suy biến thì A suy biến

C.Nếu A có 3 dịng bằng thì AB=0

D.Nếu A.B=0 thì A=B=0

7.Cho A và B là hai ma trận vng cấp 5. Gỉa sử dịng 2 của A và cột 3 của B bằng 0.Đặt C=AB, khi đó ta có :

Nguyen Phuoc Hung


A.Dòng 2 và cột 2 của C bằng 0.

B.Dòng 3 và cột 3 của C bằng 0

C.Dòng 2 và cột 3 của C bằng 0

D.Dòng 3 và cột 2 của C bằng 0

8.Cho hệ phương trình tuyến tính Am*nX=B với rank A=m. Khi đó
A.Hệ có nghiệm

B.Hệ vơ nghiệm

C.Hệ có vơ số nghiệm


D.Hệ có nghiệm duy nhất

−2 1 3
9.Cho ma trận A=( 2
𝑚 4) Với giá trị nào của m thì ma trận A3AT có hạng bé hơn 3
−1 −3 1
A.48

B.38

C.46

D.Khơng tồn tại m

−2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 2
10.Cho hệ phương trình tuyến tính {
.Phát biểu nào sau đây là đúng
−3𝑥 + 8𝑦 + 𝑚𝑧 = 𝑚 + 5
A.Với mọi m, hệ ln có nghiệm

B.Với mọi m, hệ có nghiệm duy nhất

C.Với mọi m, hệ có vơ số nghiệm

D.Tồn tại m để hệ có đúng hai nghiệm

0.1 0.2 0.2
11.Xét mơ hình input-output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số đầu vào là A=(0.3 0.2 0.1) Gỉa sử sản
0.2 0.1 0.1

lượng của ngành 1 và ngành 2 đều là 100 và nhu cầu ngành mở đối với ngành 1 là 30. Xác định nhu cầu ngành
mở đối với ngành 3
A.100

B.150

C.120

12. Cho các ma trận A=(
đó 2X1+3X2 là
180
)
90

1 2
)
4 9
−90
)
180

A.(

B.(

D.160
4
6
B=( ) C=( )Gọi X1,X2 lần lượt là nghiệm của hệ AX=B và AX=C. Khi
5

3
−85
)
196

C.(

196
)
−85

D.(

−1 −1 2
). Biết A.AT khả đảo, hãy tìm hạng của AT
2
𝑚 −4

13.Cho ma trận A=(
A.2

B.1

C.3

D.Không xác định được

0.2 0.2 0.2
14.Xét mơ hình input-output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số đầu vào là A=(0.1 0.2 0.3)Biết rằng sản
0.4 0.3 0.1

lượng nguyên liệu ngành 1 cần cung cấp cho ngành 3 là 100. Khi đó sản lượng ngành 2 cung cấp cho ngành 3 là
bao nhiêu
A.150

B.100

C.50

D.200

15.Cho A=(aij)n*n là ma trậ n có aij=0 với mọi j>i và thỏa mãn AT+2=In. Chọn phát biểu sai

Nguyen Phuoc Hung


A.AT=A

B.det A=3n

1

C.det A=3𝑛

𝑒 2𝑥 −1−ln(1+2𝑥)

𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0 . 𝑇í𝑛ℎ 𝑓 ′ (0)
4 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0

16.Cho hàm f(x)={
1


𝑥2

−1

A.2

−4

B. 6

C. 3

D.4

17.Xét phương trình vi phân y’’-4y’+4y=𝑒 2𝑥 (3𝑥 + 1). Phương trình này có một nghiệm riêng có dạng
A.u(x)=e2x(ax3+bx2)

B.u(x)=e2x(ax2+bx)

C.u(x)=e2x(ax2+bx+c)

D.Cả ba câu trên đều sai.

18.Cho hàm sản lượng Q(L,K)=3K1/3L2/3 trong đó K là lượng vốn và L là lượng lao động.Tính sản lượng biên
theo lao động khi K=125, L=27 biết rằng hệ số co dãn của Q theo L là 3/20
A.0.25

B.0.5


C.1

D.0.75

19. Gỉa sử y=y(x) là nghiệm của phương trình vi phân y’-y=ex+1 thỏa y(0)= -1. Khẳng định nào sau đây là sai
B.y’(0)=1

A.y(1)>0

C. lim 𝑦(𝑥) = 0

D. lim 𝑦(𝑥) = + ∞

𝑛→−∞

𝑛→∞

20.Cho biết M(1,1) và N(0,2) là hai trong số các điểm dừng của hàm số f(x,y)=3x2y+y3-3x2.Phát biểu nào sau
đây là sai
A.f đạt cực đại tại M, cực tiểu tại N

B.f đạt cực tiểu tại M, cực đại tại N

C.f không đạt cực trị tại M, đạt cực đại tại N

D.f không đạt cực trị tại M, đạt cực tiểu tại N.

1  cos x  ln( 1  tan 2 2 x)  2 arcsin 3 x
x 0
1  cos x  sin 2 x


21.: Tìm L = lim

A) L = 1

B) L = 3
3

22.: Tìm L = lim

B) L = 3 3 3

 2x  1 
23.: Tìm L = lim 

x   2 x  3



C) L =

3

3

D) L = 3 3

( x 1)

B) L = e


A) L = 0

x

3
2

x2  2  3 x 1

3

24.Tìm lim (sin x)

D) L =

3x 3  2 x  1  3 7 x 2  8

x 

A) L =

C) L = 0

C) L = e 2

D) L = e 1

1
cos x




2

Nguyen Phuoc Hung


A) L = 0

B) L = 1

1
e

C) L = e

D) L =

C) L = 1

D) L = 2

ln( 1  x 2  2 x)
25. Tìm lim
x 0 x  arctan 2 x
B) L =  

A) L = 0
26. Tìm lim


x 0

A) L =

x  arctan x
x3

1
2

B) L =

1
3

C)L=

3
2

D) Đáp án khác

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0
.Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại x=0
𝑎 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0

27.Cho hàm số y={

A.a=-1

𝑥

B.a=0

C.a=1

𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+ln(1+2𝑥)

28.Cho hàm số y={
A.a=-2

D.a=2

B.a=0

𝑘ℎ𝑖

−1

<𝑥<0
.Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại x=0
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑠𝑖𝑛𝑥
2

2

C.a=1


D.a=2

29.Tìm đạo hàm của hàm số y=(𝑥 + 1)𝑥
A.y’=(x+1)xln(x+1)

B.y’=x(x+1)x+1

C.Đáp án khác

30.Tìm vi phân cấp 1 của hàm số y=(3x)x
A.dy=3x(3x)x-1dx

B.dy=(3x)xln3xdx

C.(3x)x(1+ln3x)dx

D.Đáp án khác

31.Tìm vi phân cấp 2 của hàm số y=ln(1-x2)
2(1−2𝑥 2 )

−2(𝑥 2 +1)

A.d2y= (1+2𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2
32.Cho hàm số f(x) có f(8)=2
A.8

2(1+3𝑥 2 )


B.d2y= (1−𝑥 2 )2 𝑑𝑥 2

B.-8

C.d2y= (1−𝑥 2 )2 𝑑𝑥 2

D.Đáp án khác

𝑑

f’(8)=-1 và g(x)=𝑑𝑥 [𝑥 2 𝑓(4𝑥)]. 𝑇í𝑛ℎ 𝑔(2)
C.16

D.Đáp án khác

33.Vi phân cấp hai của hàm hai biến z=x2y3 là
A.d2z=2y3dx2+12xy2dxdy+6x2dy2

B.d2z=2y3dx2-12xy2dxdy+6x2ydy2

C.d2z=y3dx2+6x2ydy2

D.Đáp án khác

34.Vi phân cấp hai của hàm hai biến z=x2+xcos2y là
A.dz2=2cos2xdxdy-2xsin2ydy2

B.dz2=2dx2+2sin2ydxdy+2xsin2ydy2

Nguyen Phuoc Hung



C.dz2=2dx2-2sin2ydxdy-2xcos2ydy2

D.dz2=2dx2-2sin2ydxdy+2xcos2ydy2

35.Cho hàm z=x2-2x+y2. Hãy chọn khẳng định đúng
A. z đạt cực đại tại M(1; 0)

B. z đạt cực tiểu tại M(1; 0)

C. z có một cực đại và một cực tiểu

D. z khơng có cực trị

36. Cho hàm z=x4 – 8x2+y2+5.Hãy chọn khẳng định đúng
A.z đạt cực đại tại I(0, 0)

B. z đạt cực tiểu tại J(–2; 0) và K(2; 0)

C. z chỉ có hai điểm dừng là I(0; 0) và K(2; 0)

D. z khơng có cực trị

37.Cho hàm z=x2-2xy+1.Hãy chọn khẳng định đúng
A. z đạt cực đại tại O(0; 0)

B z khơng có cực trị

C z đạt cực tiểu tại O(0; 0


D Các khẳng định trên sai.

38.Cho hàm z=x3+27x+y2+2y+1.Hãy chọn khẳng định đúng
A.z có hai điểm dừng

B.z có hai cực trị

C.z có một cực đại và một cực tiểu

D.z khơng có cực trị

Câu 39 :Cho hàm z=2x2-6xy+5y2+4. Hãy chọn khẳng định đúng
A.z đạt cực đại tại M(0,0)

B.z đạt cực tiểu tại M(0,0)

C.z khơng có cực trị

D.z có một cực đại và một cực tiểu

40.Cho hàm z= x4-y4-4x+32y+8.Hãy chọn khẳng định đúng
A.z có một cực đại và một cực tiểu

B.z chỉ có một cực đại

C.z khơng có điểm dừng

D.z khơng có điểm cực trị


41.Cho hàm z=x3-y2-3x+6y.Hãy chọn khẳng định đúng
A.z đạt cực đại tại M(1,3)

B.z đạt cực tiểu tại N(-1,3)

C.z có hai điểm dừng

D.Các khẳng định trên đều đúng

42.Cho hàm z=x6-y5-cos2x-32y.Hãy chọn khẳng định đúng
A.z đạt cực đại tại M(0,2)

B.z đạt cực tiểu tại N(0,-2)

C.z khơng có điểm dừng

D.z có một cực đại và một cực tiểu

43.Cho hàm z=xey +x3+2y2-4y.Hãy chọn khẳng định đúng
A.z đạt cực tiểu tại M(0,1)

B.z đạt cực đại tại M(0,1)

Nguyen Phuoc Hung


C.z có điểm dừng nhưng khơng có cực trị

D.z khơng có điểm dừng


1

44.Cho hàm z=2x2-4x+siny- 𝑦 với x€ R, -𝜋2

𝜋

−𝜋

A.z đạt cực đại tại M(1, 3 )

B.z đạt cực tiểu tại N(1, 3 )

𝜋

C.z đạt cực tiểu tại M(1,3 )

D.z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

1

45.Tìm cực trị của hàm z=3x3-3x+y với điều kiện –x2+y=1.Hãy chọn khẳng định đúng
A.Z đạt cực đại tại M(-3,10) và N(1,2)

B.z đạt cực tiểu tại M(-3,10) và N(1,2)

C.z đạt cực đại tại M(-3,10) và cực tiểu tại N(1,2)

D.các khẳng định trên đều sai
𝑦

46.Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’+𝑥+1=0 là
A.(x+1)y=C

B.(x+1)+y=C

D.Đáp án khác

C.C1(x+1)+C2y=0
𝑑𝑥

𝑑𝑦

47.Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 𝑠𝑖𝑛𝑦+𝑠𝑖𝑛𝑥=0 là
A.sinx+cosy=C

B.sinx-cosy=C

C.C1sinx+C2cosy =0

D.C1cosx+C2siny=0

48.Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0 là
A.arctan(x2-1)+arctan(y2-1)=C

C.Đáp án khác

B.arccot(x2-1)+arccot(y2-1)=C

49.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân x√𝑦 2 + 1𝑑𝑥 + 𝑦√𝑥 2 + 1𝑑𝑦 = 0 𝑙à

√𝑥 2 +1

A.

√𝑦 2 +1

B.ln(x+√𝑥 2 + 1) − ln(𝑦 + √𝑦 2 + 1 = 𝐶

=𝐶

D.Đáp án khác

C.ln(x+√𝑥 2 + 1) + ln(𝑦 + √𝑦 2 + 1 = 𝐶

𝑦

50.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’+2𝑥 =0
𝐶

A.y=𝑥 2

2𝐶

B.y=𝑥 3

𝐶

C.y=𝑥

−𝐶

D.y= 𝑋

51.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’cos2x+y=0
A.y=Cxe-cosx

B.y=Cx+esinx

C.y=Cetanx

D.y=Ce-tanx

52.Tìm nghiệm tổng quát cùa phương trình vi phân y’(x2+x+1)=y(2x+1)
A.y=C+(x2x+1)

B.y=C(x2+x+1)

C.y=C(𝑥 2 + 𝑥 + 1)−1

D.Đáp án khác

53.Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’’-2y ‘+5=0 là ………………….
54..Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’’+4y=0 là ………………..
55..Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’’-3y’+2y=0 là ………………

Nguyen Phuoc Hung


56.Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’’-8y ‘+41y=0 là………………..
57.Giai các phương trình vi phân sau :

a)y’=tanxy+cosx
b)y-x(y’-xcosx)
c)y’’-3y’+2y=xe4x+x2
d)y’’-2y’+y=xex
e)x4y’=y+sinx
−𝜋 𝜋

f)y’+ytanx=cos2x với điều kiện y(0)=-1 trên khoảng ( 2 , 2 )
dy

g)Tìm nghiệm của phương trình vi phân dx = 1 + 𝑦 2 với điều kiện y(1)=0
h)y’=ex+y+ex-y với điều kiện y(0)=1
i)xy’+y=√𝑥

Nguyen Phuoc Hung