Cap-so-nhan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (437.82 KB, 5 trang )
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Cấp số nhân
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Tổng hợp lí thuyết
1.Cấp số cộng là gì?
u1 = a
( n *) thì dãy số
un +1 = un .q
Định nghĩa: Dãy số (U n ) được xác định bởi: (U n ) =
này được gọi là cấp số nhân, q là cơng bội.
Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: a , aq , aq 2 , aq 3 , aq 4 ,... với a là số hạng
đầu tiên và q là công bội.
Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là
2,4,8,16,32,64,128,....
2.Số hạng tổng quát
Cấp số nhân bắt đầu là phần tử u1 và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số
cộng được tính theo cơng thức: un+1 = a.q n , n 1
q = n−1
an
,n 1
a
3.Tính chất
Ba số hạng un−1 , un , un+1 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi un 2 = un−1 .un+1 với
n1
4. Tổng của một cấp số nhân
Tổng số hạng đầu của cấp số nhân :
n
aq
k
= aq 0 + aq1 + aq 2 + aq 3 + ... + aq n
k =0
Nhân cả 2 vế với: ( 1 − q )
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
n
( 1 − q ) Sn+1 = ( 1 − q ) aq k = a − aq n+1
k =0
Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau
n
Sn+1 = aq =
k =0
k
(
a 1 − q n+1
)
1− q
5.Chú ý
a. Dãy số (U n ) là một cấp số nhân, công sai d
un+1
= q không phụ thuộc vào n
un
b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân b2 = a.c
c. Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó,
ta thường biểu diễn giả thiết bài tốn qua u1 , q
II. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Dãy số (U n ) có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định
công bội?
a. un = 2n
b. un = 4.3n
c. un =
5
n
Hướng dẫn giải
a.Ta có:
un+1 2 ( n + 1) 1
=
= + 1 phụ thuộc vào n. vậy dãy số trên không phải là một
un
2n
n
cấp số nhân.
un+1 4.3n+1
b. Ta có:
=
= 3 = const . Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với cơng
un
4.3n
bội là 3
5
un+1 n + 1
n
c. Ta có:
phụ thuộc vào n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số
=
=
5
un
n+1
n
nhân.
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (U n ) thỏa mãn:
82
u1 + u5 =
11
a. Tìm cơng bội và số hạng tổng qt của cấp số.
b.Tính tổng S2011
1
c. Trên khoảng ,1 có bao nhiêu số hạng của cấp số.
2
Hướng dẫn giải
a. Từ giải thiết bài tốn đã cho ta có:
39
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11 u2 + u3 + u4 =
q4 + 1
82
11
3
=
82
2
q + q + q 39
u1 + u5 =
u + u q 4 = 82
11
1
1
11
1
q=
( q − 3 )( 3q − 1) 13q + 16q + 13 = 0
3
q = 3
(
Với q =
)
2
1
81
81 1
u1 =
un =
3
11
11 3n−1
Với q = 3 u1 =
1
3n−1
un =
11
11
q 2011 − 1
b. Ta có: S2011 = u1 .
thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức
q −1
c. Với q = 3 ta có; un =
Với q =
3n−1 1
,1 n = 3 nên có một số hạng của dãy
11 2
1
1
81 1
ta có: un = . n−1 ,1 n = 3 nên có một số hạng của dãy
3
11 3
2
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7
gấp 243 lần số hạng thứ 2. Hãy tìm số hạng cịn lại của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn giải
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Gọi cấp số nhân đó là (U n ) , n = 1,7 . Theo đề bài ta có:
2
3
u4 = 6
u1 .q = 6
u1 =
9
6
u7 = 243u2
u1 .q = 243u1 .q
q=3
Do đó các số hạng cịn lại của cấp số nhân đó là:
u1 =
2
2
, u2 = , u3 = 2, u4 = 6, u5 = 18, u6 = 54, u7 = 162
9
3
Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (U n ) thỏa mãn: un = 3
n
+1
2
a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân
b. Tính S = u2 + u4 + u6 ... + u20
c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.
Hướng dẫn giải
n +1
+1
2
a. Ta có:
un+1 3
= n = 3 = const không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (U n ) là một
+1
un
32
cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 3 và công bội là q = 3
b. Ta có: u2 , u4 , u6 ,..., u20 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là
u2 = 9, q = 3 và có 10 số hạng nên
S = u2 + u4 + u6 + ... + u20 = u2
c. Ta có: un = 19683 3
n
+1
2
1 − 310 9 10
= 3 −1
1− 3
2
(
)
= 39 n = 16
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho cấp số nhân (U n ) biết u1 = 2, u3 = 18
a. Tìm cơng bội q của cấp số nhân đã cho
b. Tính u6
c. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Bài 2: Tìm các giá trị thỏa mãn đề bài:
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
a. q = 2, un = 96, Sn = 189 . Tìm n
b. u1 = 2, un =
1
31
. Tìm n
, Sn =
8
8
c. u3 = 3, u5 = 27.S8 = ?
Bài 3: Xác định cấp số nhân biết rằng: S4 = 40, S8 = 680
Bài 4:
a. Cho u8 = 128, q = −2. Tìm S8 = ?
b. Cho u1 = 1, S8 =
38 − 1
. Tìm cấp số nhân
2
c. Cho q = −1, S8 = 85 . Tìm cấp số nhân
Bài 5: Chứng minh rằng nếu phương trình bậc 3 x 3 − ax 2 + bx − c = 0 có 3 nghiệm
(
)
lập thành cấp số nhân thì c ca 3 − b3 = 0
Xem thêm các bài tiếp theo tại: />
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188
