Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương trình lượng giác cơ bản
I.

Tóm tắt lí thuyết

1. Phương trình sin x = a
▪ Nếu a  1 thì phương trình vơ nghiệm

(1)

−  
; ,sin  = a
 2 2 
 x =  + k 2
(1)  sin x = sin   
(k  )
 x =  −  + k 2
Chú ý: Nếu  thỏa mãn điều kiện thì  = arcsin a

▪ Nếu a  1    

▪ Một số phương trình đặc biệt:

sin x = 1  x = + k 2 (k  )
i.
ii.
iii.

2
sin x = 0  x = k (k  )
−
sin x = −1  x =
+ k 2 (k  )
2

▪ Mở rộng phương trình ta có:
sin f ( x) = sin g ( x)
 f ( x) = g ( x) + k 2

(k  )
 f ( x) =  − g ( x) + k 2
2. Phương trình cos x = a
(2)
▪ Nếu a  1 thì phương trình vô nghiệm

▪ Nếu a  1     0,   , cos  = a
 x =  + k 2
(2)  cos x = cos   
(k  )
 x = −  + k 2
Chú ý: Nếu  thỏa mãn điều kiện thì  = arccos a

▪ Một số phương trình đặc biệt:

cos x = 0  x = + k (k  )
i.
2

cos x = 1  x = k 2 (k  )

ii.
cos x = −1  x = − + k 2 ( k  )
iii.
▪ Mở rộng phương trình ta có:

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

cos f ( x) = cos g ( x)
 f ( x) = g ( x) + k 2

(k  )
 f ( x) = − g ( x) + k 2

3. Phương trình tan x = a

(3)

−  
,  , tan  = a
 2 2
(3)  tan x = tan   x =  + k ( k  )
 = arctan a

▪ Với m    


▪ Một số phương trình đặc biệt:

tan x = 1  x = + k
i.
ii.

4
tan x = 0  x = k

iii.

tan x = −1  x = −


4

+ k

▪ Mở rộng phương trình ta có:
tan f ( x) = tan g ( x)
 f ( x ) = g ( x ) + k ( k  )

4. Phương trình cot x = a

(4)

−  
,  , cot  = a
 2 2

(4)  cot x = cot   x =  + k (k  )
 = arccot a

▪ Với m    

▪ Một số phương trình đặc biệt:

cot x = 1  x = + k (k  )
i.
4

ii.



+ k ( k  )
2
cot x = −1  x = − + k 2 (k  )
cot x = 0  x =

iii.
▪ Mở rộng phương trình ta có:
cot f ( x) = cot g ( x)

 f ( x ) = g ( x ) + k ( k  )

II.

Bài tập minh họa


Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Ví dụ 1: Giải phương trình: s inx = sin


3

Hướng dẫn giải


x
=
+ k 2




x = + k 2


3
3
s inx = sin  

(k  )


2
3
 x =  − + k 2
 x =  + k 2


3
3

Ví dụ 2: Giải phương trình: s inx = cos


3





x = + k 2
x = + k 2



6
6
  

(k  )
s inx = cos  s inx = sin  −   
3

2 3
 x =  −  + k 2
 x = 5 + k 2


6
6

Ví dụ 3: Giải phương trình: sin( sinx) =

2
2

Hướng dẫn giải


1

  sinx = 4 + k 2
sinx = 4 + 2k


 sinx =  −  + k 2
sinx = 3 + 2k


4
4
1


−
1

+ 2k  1

4
k =0
Do 
 −1  3 + 2k  1

4
1

 x = arcsin 4 + k ' 2

1

 x =  − arcsin 1 + k ' 2
sin x = 4

4
(k  )


3
sin x = 3
 x = arcsin + k ' 2

4
4



3
 x =  − arcsin + k ' 2

4
Ví dụ 4: Gỉải phương trình: cos( x 2 ) = s inx



Hướng dẫn giải

cos( x 2 ) = s inx  cos( x 2 ) = cos( − x)
2
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

 2 
 x = 2 − x + k 2

 x 2 = −(  − x) + k 2

2

(1)  x 2 −



2

(1)
(2)

+ x − k 2 = 0

Để phương trình có nghiệm ta có:
1 + 2
 = 1 + 2 + 8k  0  k  −
8
Hay k là các số 1, 2, 3, 4, 5, … hay k 
Ta thu được nghiệm
x1,2 =

−1  
(k  )
2

Giải tương tự với phương trình (2)
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3cosx + 3 s inx = 1
Hướng dẫn giải
3cosx + 3 s inx = 1  3 cos x + sin x=

1

1

 cos  x −  =
6 2 3

3



1

x
=
+
arccos
+ k 2

6
2 3

(k  )

1

 x = 6 − arccos 2 3 + k 2



Ví dụ 6: Giải phương trình tan  (s inx + 1)  = 1
4

Hướng dẫn giải





tan  (s inx + 1)  = 1  (s inx + 1) = + k
4
4

 s inx + 1 = 1 + 4k
 s inx = 4k  s inx = 0  x = k

4

(k  )

Ví dụ 7: Giải phương trình: cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
Hướng dẫn giải
cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0  4 cos3 x − 3cos x + (2 cos 2 x − 1) − cos x − 1 = 0
 2 cos3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0
Đặt a = cos x , a  [−1,1]

2a 3 + a 2 − 2a − 1 = 0  (a − 1)(a + 1)(2a + 1) = 0
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí


a = 1

  a = −1


1
a = −

2
a = 1  cos x = 1  x = k

a = −0.5  cosx = −0.5  x = 

III.

(k  )

2
+ k 2
3

(k  )

Bài tập tự luyện
Giải phương trình lượng giác sau:
1. sin 2 x − 2 cos 2 x = 0
2. tan 2 x = tan x
3. cot x.sin 2 x = 0
4. cos 2 x − sin 2 x = 0
5. cot 2 x.cot 5 x = 1


6. cos  2 x −  = cos  x − 
6
3



2
7. 2sin x − sin x = 0
8. 2 cos x.cos 2 x + 1 = 0
9. sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0
10. cos8 x + c os 4 x − 1 = 0
11. sin( x + 1) + cos(2 x − 1) = 0

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188