de thi chon hoc sinh gioi lop 10 mon toan ha noi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (355.41 KB, 6 trang )
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG
Đề chính thức
(Đề thi có 1 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MƠN: TỐN
Năm học: 2018-2019
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu I (6 điểm)
1) Cho parabol ( P ) : y 2 x 2 6 x 1 ;
Tìm giá trị của k để đường thẳng : y (k 6) x 1 cắt parabol P tại hai điểm phân biệt M , N sao
3
2
2
3
2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): x 2(m 1) x m (m 1) 2 0 có hai nghiệm
x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : y 2 x
P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 8
Câu II (5điểm):
1) Giải bất phương trình: ( x 1)( x 4) 5 x2 5x 28 ( x R)
x 2 y 2 2 y 6 2 2 y 3 0
2) Giải hệ phương trình :
( x; y R)
2
2
2
2
(
x
y
)
x
xy
y
3
3
x
y
2
2018 2019
Câu III (2 điểm). Cho x 0, y 0 là những số thay đổi thỏa mãn
1 . Tìm giá trị nhỏ
x
y
nhất của biểu thức P x y
Câu IV(4 điểm)
1) Cho tam giác ABC có BC a, AC b diện tích bằng S .
1
Tính số đo các góc của tam giác này biết S a 2 b2
4
2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy
a
2a
các điểm N , M , P sao cho BN , CM
, AP x 0 x a .
3
3
Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vng góc với đường thẳng PM
Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD . Biết
1
diện tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là H ;0 .
2
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hồnh độ dương và D nằm trên
đường thẳng d : 5x y 1 0 .
------------------Hết------------------
Trang 1
ĐÁP ÁN
Câu I:
Câu I
Nội dung
6 điểm
Điểm
Tìm m... với parabol y 2 x 2 6 x 1
Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình
2x2 6x 1 4x 6x 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 hay phương trình :
0.75
2x2 kx 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 có k 2 16 0
Khi đó giao điểm M x1 ;(k 6) x1 1 , N x2 ;(k 6) x2 1 nên trung điểm của
x x ( x 6) x1 1 ( x 6) x2 1
đoạn thẳng MN là I 1 2 ;
2
2
1 2
k 2 3k 2 k
k
Theo định lý Viet ta có x1 x2 nên I ;
2
2
4
Do I thuộc đường thẳng y 2 x
3
nên k 2 8k 2 0 hay k 4 3 2 thì
2
0.75
0.75
0.75
thỏa mãn bài tốn.
2.
Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số);
3 điểm
x 2 2(m 1) x m3 (m 1) 2 0 (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 8
Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 khi
(m 1)2 m3 (m 1) 2 0
m3 4m 0 2 m 0
(*) .
2 m 3
m 3
x1 x2 2(m 1) 4
Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có :
Trang 2
0.75
0.75
x1 x2 2(m 1)
3
2
x1 x2 m (m 1)
Nên P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 8 x1 x2 8x1 x2
3
8(m 1)3 8 m3 (m 1)2
8 3m2 3m 1 m2 2m 1 8 2m2 5m 16m 2 40m
0.75
Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện
Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m 2
0.75
Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m 2
Câu II
Điểm
Câu II
Nội dung
1.
Đk: x
2 điểm
Ta có (1) x 5x 28 24 5 x 5x 28 0
2
0.5
2
Đặt t x2 5x 28(t 0)
0.5
Bất phương trình trở thành t 5t 24 0 3 t 8
2
So sánh điều kiện ta được 0 t 8
0.5
Với 0 t 8 x2 5x 28 64 9 x 4
0.5
KL đúng
2.
(3 điểm)
ĐKXĐ: y 1,5
(2) x y 3x 3 y 3 x y 2 ( x 1) ( y 1)
3
3
2
2
3
x 1 y 1 y x 2
0.5
3
0.5
Trang 3
Thay vào phương trình thứ nhất ta được;
2
2
2x 1 1 x
1
1
x 3x 1 2 x 1 x 2 x 1
(Có
2
2
2 x 1 x
2
1.0
thể bình phương được phương trình: ( x 1)2 x 2 4 x 2 0)
Giải hai pt này ta được x 1, x 2 2 . Thử lại nghiệm...
1.0
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là ( x; y) (1; 1),(2 2, 2)
Câu III
Điểm
Câu III
Nội dung
1.
2018 2019
P ( x y)
x
y
Có
2018 y 2019 x
2018
2019
x
y
2 điểm
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương
0.5
2018y
2019x
và
ta được
x
y
2018 y 2019 x
2 2018.2019
x
y
0.5
Suy ra P ( 2018 2019)2
x 0; y 0
2018 2019
2
GTNN của P là ( 2018 2019) khi
10.5
y
x
2018 y 2019 x
y
x
x 2018( 2018 2019)
y 2019( 2019 2018)
Trang 4
0.5
0,5
Câu IV
Câu IV
Nội dung
1.
Ta có S
2 điểm
Điểm
1 2 2
1
a b ab sin C
4
2
0,5
a 2 b2 2ab sin C
0,5
(a b) 2ab(1 sin C ) 0 (1)
2
Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên
a b 0
a b 0
1 sin C 0 sin C 1
0,5
A B 45
C 90
0,5
KL đúng
1.
2 điểm
1
2
1
Ta có AN AB BN AB ( AC AB) AB AC
3
3
3
0,5
1
x
AC AB
3
a
0,5
1
x
2
1
AN PM AN PM 0 AB AC AC AB 0
3
a
3
3
2
2
2
2x
x
1
AB AC
AB AB AC AC 0
9
3a
3a
9
0.5
Ta lại có PM PA AM
5x 2
4a
x
. KL đúng
6a 9
15
0.5
Trang 5
Câu V
Câu V
Nội dung
Điểm
Gọi E AH DC
3 điểm
Dễ thấy HAB HEC S ADE S ABCD 14
13
, AE 2AH 13 , phương trình tổng quát của đường thẳng AE:
2
2x 3 y 1 0
AH
0.5
0.5
D d D(d ;5d 1), d 0
S ADE
d 2
1
28
AE d ( D, AE ) 14 d ( D, AE )
d 30 ( L)
2
13
13
0.5
Suy ra D(2;11)
0.5
+ H là trung điểm AE E(2; 1)
Phương trình tổng quát của CD: 3x y 5 0
0.5
Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD
PT tổng quát của AB : 3x y 2 0
0.5
Trang 6
