SỞ GD - ĐT BẮC NINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
NĂM HỌC : 2018- 2019
______________________
MƠN: TỐN - LỚP 11
ĐỀ CHÍNH THỨC
________________
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 26 /01/2019
(Đề gồm có 01 trang)
Câu 1 (5.0 điểm).
a. Giải phương trình sau sin 2 x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0 .
b. Có bao nhiêu số nguyên của tập hợp 1; 2;...;1000 mà chia hết cho 3 hoặc 5?
Câu 2 (5.0 điểm).
a. Cho khai triển 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 ... an x n , trong đó n * và các hệ số
n
thỏa mãn hệ thức a0
a
a1
... nn 4096 . Tìm hệ số lớn nhất ?
2
2
b.Ba cầu thủ sút phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương
ứng là x , y và 0, 6 (với x y ). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi
bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là 0,336 . Tính xác suất để có
đúng hai cầu thủ ghi bàn.
Câu 3 (6.0 điểm).
Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân AD / / BC
và BC 2a , AB AD DC a a 0 . Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm
của AC và BD . Biết SD vng góc với AC .
a. Tính SD .
b. Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OD ( M khác O, D ) và song song với
hai đường thẳng SD và AC . Xác định thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt
phẳng ( ). Biết MD x . Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Câu 4 (4.0 điểm).
a. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk
1 2
k
...
.
2! 3!
( k 1)!
n
Tìm lim un với un n x1n x2n ... x2019
.
b. Giải hệ phương trình sau:
x 2 x y 1 x y 2 x y 1 y 18
.
2
2
x x y 1 x y x y 1 y 2
........................................................HẾT...........................................................
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Họ, tên thí sinh:..............................................SBD:........................................
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm.
SỞ GD – ĐT BẮC NINH
HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
NĂM HỌC : 2018- 2019
______________________
MƠN: TỐN - LỚP 11
________________
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Câu
a.
Đáp án
Điểm
PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3 0
2
sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3 0
sin x cos x 1 sin x 2cos x 4 0
x k 2
sin x cos x 1
, ( k )
x k 2
sin x 2cos x 4(VN )
2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x k 2 , x
Câu1
(5điểm)
k 2 , (k )
2
b. Đặt S 1; 2;...;1000 ; A x S x 3 ; B x S x 5
Yêu cầu bài tốn là tìm A B
0,5
điểm
1,0
điểm
0,5
điểm
0,5
điểm
0,5
điểm
Ta có
1000
A
333
3
1000
B
200
5
Mặt khác ta thấy A B là tập các số nguyên trong S chia hết cho cả 3 và 5 nên nó
phải chia hết cho BCNN của 3 và 5, mà BCNN 3,5 15 nên
1000
A B
66 .
15
Vậy ta có
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
0,5
điểm
1,0
điểm
0,5
điểm
A B A B A B 333 200 66 467
a.
Số hạng tổng quát trong khai triển 1 2 x là Cnk .2k .x k , 0 k n , k .
n
Vậy hệ số của số hạng chứa x k là Cnk .2k ak Cnk .2k .
Khi đó, ta có
a
a1
n
... nn 4096 Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 4096 1 1 4096 n 12
2
2
.
Dễ thấy a0 và an không phải hệ số lớn nhất. Giả sử ak 0 k n là hệ số lớn
0,5
điểm
a0
Câu 2
(5điểm)
nhất trong các hệ số a0 , a1 , a2 ,..., a n .
Khi đó ta có
12!
12!.2
k
k
k 1 k 1
C12 .2 C12 .2
ak ak 1
k !. 12 k ! k 1 !. 12 k 1 !
k k
k 1 k 1
12!
12!
1
ak ak 1
C12 .2 C12 .2
.
k !. 12 k ! k 1 !. 12 k 1 ! 2
2
23
1
k
12 k k 1
23
26
k 1 2 12 k 0
3
k
3
3
26 3k 0
2 1
k 26
k 13 k
3
Do k k 8
Vậy hệ số lớn nhất là a8 C128 .28 126720 .
b.
0,5
điểm
1,0
điểm
0,5
điểm
Gọi Ai là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i 1, 2,3 .
Ta có các Ai độc lập với nhau và P A1 x, P A2 y, P A3 0, 6 .
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
Nên P ( A) 1 P A 1 0, 4(1 x )(1 y ) 0,976
Ta có: A A1.A2 .A3 P A P A1 .P A2 .P A3 0, 4(1 x )(1 y )
1,0
điểm
3
47
(1).
xy x y
50
50
Tương tự: B A1. A2 . A3 , suy ra:
Suy ra (1 x)(1 y )
P B P A1 .P A2 .P A3 0, 6 xy 0,336 hay là xy
14
(2)
25
14
xy 25
Từ (1) và (2) ta có hệ:
, giải hệ này kết hợp với x y ta tìm
x y 3
2
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1,0
điểm
0,5
điểm
được
x 0,8 và y 0, 7 .
Ta có: C A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
Nên P (C ) (1 x) y.0, 6 x(1 y ).0, 6 xy.0, 4 0, 452 .
a. Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a .
Kẻ DT / / AC ( T thuộc BC ). Suy ra CT AD a và DT vng góc SD .
Ta có: DT AC a 3 .
S
Xét tam giác SCT có
SC 2a, CT a,
K
SCT 1200 ST a 7
Xét tam giác vng SDT có
DT a 3 ,
ST a 7 SD 2a
Q
B
C
J
Câu 3
(6điểm)
A
N
T
P
O
b. Qua M kẻ đường
thẳng song song với
AC cắt AD, DC lần
lượt tại N , P.
2 ,0
điểm
M
D
1,0
điểm
Qua M , N , P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần lượt
tại K , J , Q . Thiết diện là ngũ giác NPQKJ .
Ta có: NJ , MK , PQ cùng vng góc với NP .
1
1
dt NPQKJ dt NMKJ dt MPQK = ( NJ MK ) MN ( MK PQ ) MP
2
2
1
( NJ MK ).NP do NJ PQ .
2
NP MD
AC .MD x .a 3
Ta có:
NP
3x .
a
AC OD
OD
3
a
2a.
x
NJ AN OM
SD .OM
3
2(a x 3)
NJ
a
SD AD OD
OD
3
KM BM
SD.BM 2a. a 3 x
2
KM
(a 3 x)
SD
BD
BD
a 3
3
1
2
Suy ra: dt NPQKJ 2( a x 3)
( a 3 x) 3 x 2(3a 2 3 x) x
2
3
1
3
(3a 2 3 x)2 3 x
1,5
điểm
2
1
3 3a2
(3
a
2
3
x
)
2
3
x
4
4 3
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1,5
điểm
3 3 2
3
a khi x
a
4
4
Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng
a. Ta có:
k
1
1
1
nên xk 1
.
(k 1)! k ! (k 1)!
(k 1)!
1
1
Suy ra xk xk 1
0 xk xk 1 .
(k 2)! (k 1)!
1,0
điểm
n
n 2019 x2019 .
Mà: x2019 n x1n x2n ... x2019
Mặt khác: lim x2019 lim n 2019 x2019 x2019 1
Vậy lim un 1
Câu 4
(4điểm)
1
.
2020!
1
2020!
2
x x y 1 0
b. Điều kiện 2
y x y 1 0
Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được
x 2 x y 1 y 2 x y 1 10
x y 8
Thế y=8-x vào phương trình trên ta được
2
2
x 9 x 16 x 73 10
1,0
điểm
1,0
điểm
2
( x 9)( x 2 16 x 73) x 2 8 x 9
( x 2 32 ) ( x 8)2 32 ) 9 x(8 x) (1)
Trong hệ trục tọa độ xét a ( x;3) ; b (8 x;3)
Khi đó
| a |.| b |= ( x 2 32 ) ( x 8)2 32 )
a . b = 9 x(8 x)
Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a . b (2)
Ta có | a |.| b | a . b
Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc a 0 hoặc b 0 (không xảy
8 x
ra) hoặc a cùng hướng b suy ra
1 0 x=4.
x
KL: Nghiệm của hệ là (4;4)
Xem thêm các bài tiếpt heo tại: />
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1,0
Điểm
