Trường THPT Mỹ Đức A
ĐỀ CHÍNH THỨC
--------

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020
Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
------------------- oOo -------------------

Họ và tên thí sinh: ………………………………………..….. Số báo danh: …………
Câu 1. (5 điểm)




a) Giải phương trình lượng giác: sin x  sin 5 x  2cos2   x   2cos2   2 x  .
4

4


b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2sin 2 x  3sin x cos x  5cos 2 x .
Câu 2. (4 điểm)

a) Cho n  , n  2 hãy tính tổng S sau: S  2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4  ...  n  n  1 Cnn .
b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
1;20. Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.

Câu 3. (5 điểm)
a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần
số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.

u1  1
b) Cho dãy số  un  được xác định bởi 
.
n

u

2
u

3
,

n


n
 n1
Tìm công thức của số hạng tổng quát u n theo n .
Câu 4. (5 điểm)
Cho mặt phẳng   và hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cắt   tại A, B . Gọi  là
đường thẳng thay đổi luôn song song với   , cắt d1 tại M , cắt d 2 tại N . Đường
thẳng d qua N luôn song song với d1 cắt   tại N  .
a) Tứ giác AMNN  là hình gì?
b) Tìm tập hợp các điểm N .
c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng OI là
đường thẳng cố định khi M di động.
Câu 5. (1 điểm)
Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức H biết:


VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí


H

x2  y  z 
y y  2z z



y2  z  x
z z  2x x



z2  x  y 
x x  2y y

.

------------------- HẾT ------------------HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP 11
Câu 1
5,0 đ

Nội dung



 



PT  sin x  sin 5 x  1  cos   2 x    1  cos   4 x  
2
 
2


 sin x  sin 5 x  sin 2 x  sin 4 x

a)
3,0 đ

Điểm
0,5 đ
0,5 đ

 2sin3x cos2 x  2sin3x cos x

0,5 đ

sin 3x  0

cos 2 x  cos x

0,5 đ

3 x  k
  2 x  x  k 2
 2 x   x  k 2


0,5 đ

k

x  3

k
  x  k 2  x 
3

k 2
x 
3


0,5 đ

y  2sin 2 x  3sin x cos x  5cos 2 x

b)
2,0 đ

1  cos 2 x 
3
 1  cos 2 x   sin 2 x  5.
2
2
3
3

7
 cos 2 x  sin 2 x 
2
2
2


3 2
 7

cos  2 x   
2
4 2


0,5 đ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số : ymin 

7 3 2
5

đạt được tại x 
 k , k  Z
8
2
2

0,5 đ


Giá trị lớn nhất của hàm số : ymax 

7 3 2


đạt được tại x   k , k  Z
2
2
8

0,5 đ

Câu 2
4,0 đ
a)

0,5 đ

Nội dung
Số hạng tổng quát uk  k  k  1 Cnk

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí

Điểm
0,5 đ


2,0 đ

un  k  k  1



n!
k ! n  k !

n  n  1 n  2 !

0,5 đ

 k  2 !  n  2   k  2  !
 n  n  1 C nk22  2  k  n 
S  n  n  1 C n0 2  C n1 2  C n33  ...  C nn22

b)
2,0 đ

0,5 đ

Số phần tử của không gian mẫu là: n     203

0,25 đ

Đoạn 1;20 có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư

0,25 đ

2.
Với mọi số tự nhiên n ta ln có n3  n  n  n  1 n  1 3 .
Do đó tổng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số đó chia
hết cho 3.

TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có 63 khả năng xảy ra
TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có 73 khả năng xảy ra.
TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có 73 khả năng xảy ra.
TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3
dư 2: có 6.7.7.3! khả năng xảy ra
63  73  73  6.7.7.3!  2666
Số kết quả thuận lợi là

63  73  73  6.7.7.3! 1333

203
4000

Nội dung

b)

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ
0,25 đ

Điểm

Giả sử bốn góc A, B, C, D  A  B  C  D  theo thứ tự lập thành cấp số nhân
 B  qA

với cơng bội q . Ta có C  q 2 A

 D  q3 A


a)
2,5 đ

0,5 đ

S  n  n  1 .2n2

Xác suất cần tính là P 
Câu 3
5,0 đ



 A  B  C  D  360
Ta có hệ 
D  8 A
 A 1  q  q 2  q 3   360 

3
 A.q  8 A
q  2


 A  24

0,5 đ


0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

Suy ra B  48 ,C  96 , D  192

0,5 đ

Với mọi n  , ta có : un 1  2un  3n  un 1  3n 1  2 un  3n 

0,5 đ

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí


2,5 đ

Xét dãy số  vn  , với vn  un  3n , n   . ta có vn1  2vn .

Do đó, dãy số  vn  là 1 cấp số nhân có cơng bội q  2 và số hạng đầu bằng -2

0,5 đ
0,5 đ

Suy ra vn  v1.q n 1  2n

0,5 đ

Vậy un  vn  3n  3n  2 n


0,5 đ

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí


Câu 4
Nội dung
5,0 đ

Điểm

0,5 đ
a)
2,0 đ
Có AM // NN’

Do d // d1 nên tồn tại mặt phẳng    chứa d và d1
       AN '
 AN '/ / MN .

 MN     , MN / /  
 AMNN  là hình bình hành

b)
2,0 đ

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d2, vì d // d1 nên (P) // d1.
Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 và song song với đường thẳng cố định d1 nên (P) cố
định.


0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

N’ là điểm chung của (α) và (P) nên N '      P 

0,5 đ

Gọi     P   b. Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b.

0,5 đ

0,5 đ

c)
1,0 đ

Dựng đường thẳng qua E và song song với d1 cắt d2 tại N0, Dựng đường thẳng  0 qua N0
song song với AE, đường thẳng này cắt d1 tại M0.

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí

0,5 đ


Câu 5
1,0 đ


Nội dung

Điểm

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
x 2 2 yz

H



y y  2z z
2 x x xyz
y y  2z z
2x x
y y  2z z





y 2 2 zx
z z  2x x
2 y y xyz
z z  2x x
2y y
z z  2x x






z 2 2 xy
x x  2y y
2 z z xyz

0,25 đ

x x  2y y
2z z
x x  2y y

1

x
x

 2a  4b  c 

a  y y  2 z z
9


1

Đặt: b  z z  2 x x   y y  a  2b  4c 
9


c


x
x

2
y
y
1


 z z  9  4a  b  2c 

Khi đó
2  2a  4b  c a  2b  4c 4a  b  2c 
H 



9
a
b
c



2
 b a c   c a b 
6  4          

9

 a c a   a b c 



2
b a c
c a b
 6  4.3. 3    3. 3   
9
a c a
a b c

0,25 đ

0,25 đ

2

H  2 khi a  b  c  x  y  z  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 2.

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí

0,25 đ


Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác ngồi đáp án và vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa của câu đó.
Mời bạn đọc cùng tham khảo />
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí