ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11- LẦN 2
NĂM HỌC 2019-2020
Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG

Câu 1. (6,0 điểm).
a. Giải phương trình
b. Giải phương trình

1
3
+
= 4
cosx sin x
x-

1
+
x

1-

1
= x (x Ỵ ¡ ).
x

Câu 2. (4,0 điểm).

a. Cho đa giác đều có 60 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là đường chéo của đa giác đó?
b. Cho khai triển (x + 1)n + (x 2 + 1) 2n = a 0 + a 1x + a 2x 2 + ... + a 4 nx 4n , với n là số tự nhiên, n ³ 1 . Tìm
n biết a1, a2, a3 lập thành một cấp số cộng.
ìï u = 2
1

Câu 3. (2,0 điểm). Cho dãy số (un ) thỏa mãn ïí

ïï u1 + u2 + ... + u n = n 2.u n
ùợ

,n

Ơ,n

2. Tỡm cụng thc s

hng tng quỏt un v tính tổng S = u1 + u2 + ... + u2020 .
Câu 4. (2,0 điểm). Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(2; 5) và H là hình chiếu vng
góc của A lên cạnh BC . Gọi I , J (2; - 1) và K (6;1) lần lượt là tâm đường nội tiếp của tam giác
ABC , ABH , ACH . Chứng minh I là trực tâm của tam giác AJK và tìm tọa độ các đỉnh B , C .

Câu 5. (4,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm G, cạnh AB = a; O là tâm của tam giác BCD
và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (BCD ) . Gọi H , K , L lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các
mặt phẳng (A CD ), (A BD ), (A BC ) .
a. Mặt phẳng (P ) bất kỳ đi qua trọng tâm G, cắt các cạnh AB , AC , AD lần lượt tại B ',C ', D '. Chứng
minh

AB
AC

AD
+
+
= 4.
AB ' AC ' AD '

b. Chứng minh đường thẳng GM luôn đi qua trọng tâm E của tam giác HK L .
Câu 6. (2,0 điểm). Cho x, y, z ³ 0 thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x 2y + y 2z + z2x

---------- Hết -------1

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí


Lưu ý. Thí sinh khơng được phép sử dụng máy tính bỏ túi. Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TỐN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 2020
Điểm
Nội dung

Câu
1.a
(3 đ) Điều kiện: cos x

0, sin x

0

kp

.
2

x

0.5
1

PT sin x + 3 cosx = 4 sin x. cosx
p
)
3
p
2p k2p
Û x = + k 2p; x =
+
, k ẻ Â.
3
9
3
1
1
K: x 0;1
0; x 0
1
x
x

1


sin 2x = sin(x +

1.b
(3 đ)

C1 (Bình phương): x Nếu x ³ 1 thì x -

1
= xx

1-

0.5
x

0; x

1

0.5

1
. Nếu - 1 £ x < 0 thì PT vơ nghiệm.
x

1
1
1
= x 2 - 2x 1 + 1x
x

x

Û (x 2 - x ) - 2 x 2 - x + 1 = 0 Û x 2 - x - 1 = 0 Û x =

1
1-

5
2

(Loai ), x =

C2 : (Đặt 2 ẩn phụ chuyển về HPT) ĐK PT có nghiệm x ³ 1. Đặt a = x ïìï a + b = x
a 2 - b2 = x - 1
ïỵ

ìï a + b = x
ïï
x- 1
a- b=
ïïỵ
x

a

1.5

1+ 5
(T/ m)
2

1
,b =
x

1-

1
x

1
1
(x + 1 - )
2
x

1
1
1- 5
1+ 5
)- 2 x + 1= 0 Û x2- x - 1= 0 Û x =
(Loai); x =
(T m)
x
x
2
2
a+b
, " a, b ³ 0.
C3 : (Đánh giá theo BĐT Cauchy) ĐK có nghiệm x ³ 1. BĐT ab £
2

1 1
1
1
1+ x + x- 1
1+ x + x- 1
1
1
1
x
x
x
x
VT
+
= x = VP
1(x - ) £
; 1=
.(x - 1) £
2
2
x
2
x
x
2
(x -

Phương trình tương đương với dấu bằng xảy ra 1 = x 2.a

(2 đ)


C1 : Chọn 1 đỉnh A có 60 cách, giả sử chọn thêm 2
đỉnh B, C thỏa mãn, hay AB, BC, CA là đường chéo

1 1
; = x - 1, x
x x

1

x=

1+ 5
2

» , BC
» ln có ít
¼ ,CA
của đa giác do đó giữa cung AB
nhất 1 đỉnh của đa giác.
Giả sử x, y, z là số đỉnh của đa giác nằm trên cung

0.5

0.5
2

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí



ằ ,CA
ằ , BC
ẳ , trong ú x, y, z
AB

 ; x, y, z

1

Bài tốn trở thành tìm số nghiệm nguyên dương của
phương trình x + y + z = 57
57 = 1144
+42.. 444
+1
+42.. 444
+1
+42.. 444
+1
3+ 1144
3+ 1144
3 (có 56 dấu + )
x

y

0.5

z

Do vai trò của 3 đỉnh như nhau nên có


2
60.C 56

3

2
= 20C 56

0.5

tam giác thỏa mãn.
C2 : Số tam giác tạo thành là C n3 . Số tam giác có 1 cạnh của đa giác là nC n1- 4 . Số tam giác
có 2 cạnh là cạnh của đa giác bằng n .
Số tam giác thỏa mãn là C n3 - nC n1- 4 - n =
2.b

(2 đ)

a1 = C n1 ;a2 = C n2 + C 21n ;a3 = C n3
a1, a2, a3 là một cấp số công nên a1 + a3 = 2a2
C n1 + C n3 = 2(C n2 + C 21n ) Û n +

3
(2 )

n 2
C
3 n- 4


n(n- 1)(n- 2)
n(n - 1)
ữ
= 2ỗ
+ 2n ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
6
2

0.5
0.5
0.5

n 2 - 9n - 10 = 0 Û n = - 1(Loai ); n = 10(Tm)

0.5

(n - 1)2un - 1 + un = n 2.un

0.5

2

2

Û (n - 1) un - 1 = (n - 1).un

Û un =
un =

0.5

n- 1
u
n + 1 n- 1

0.5

n- 1 n- 2 1
4
.
... u 1 =
n+1 n
3
n (n + 1)

Tổng S = u1 + u2 + ... + u2020 = 20202.u2020 =

4.20202
8080
=
2020.2021 2021

0.5

4
Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác

(2 đ) ABC là trực tâm của tam giác AJK.
·
·
·
·
·
·
ABC
= HAC
Þ ABJ
= JBH
= HAK
= KAC

·
·
·
·
·
900 = BAC
= BAK
+ KAC
= BAK
+ ABJ
Þ AK ^ BJ .
Tương trự chứng minh CK ^ AJ
Do đó I là trực tâm của tam giác AJK.
uur uuur
ìï
ïï AI JK = 0

Gọi I (a; b) ta có í uur uuur
ïï KI AJ = 0
ïỵ
4(a - 2) + 2(b- 5) = 0
a= 4
I (4;1)
0(a - 6) - 6(b - 1) = 0
b= 1

Phương trình BI : x - y - 3 = 0
Phương trình CI : y - 1 = 0

0.5

0.5

0.25
3

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí


r

1 uur
AI = (1; - 2) . Gọi một vecto chỉ phương
2
r
của đường thẳng chứa cạnh A B hoặc cạnh AC là u '(t , k )
r r

I·AB = I·AC = 450 Þ cos450 = | cos(u , u ') |Û 2 | t - 2k |= 5(t 2 + k 2 ) Û 3t - k = 0, t + 3k = 0 .
r
r
Với 3t - k = 0 chọn t = 1, k = 3 Þ u '(1; 3). Với t + 3k = 0 chọn t = 3, k = - 1 Þ u ' = (3; - 1)

0.5

Phương trình AB: 3x - y - 1 = 0. Phương trình AC: x + 3y - 17 = 0;
{ B } = BI A B
B (- 1; - 4) ; { C } = CI A C
C (14;1)

0.25

Một vecto chỉ phương của đường thẳng AI là u =

uuur
uuur uuur
5.a
4 uuur
Tính
chất
trọng
tâm
G
của
tứ
diện
ABCD
AO

=
4
GO
;
AO
=
GA
(2 đ)
3
uuur

uuur

uuur

0.5

r

O là trọng tâm của tam giác BCD nên OB + OC + OD = 0
uuur uuur
Û AB + AC +
AB uuuur
Û
.AB ' +
AB '

uuur
uuur
AD = 3AO

uuur
AC uuuur
AD uuuur
.AC ' +
AD ' = 4AG .
AC '
AD '
Do đúng với mọi điểm A và 4 điểm B ',C , D ',G cùng thuộc mặt phẳng (P) nên

0.5

AB
AC
AD
+
+
= 4.
AB ' AC ' AD '

0.5

0.5

4

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí


5.b Độ dài đường cao trong tam giác BCD là
a 3

(2 đ)
hTG =

2

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD là
a 6
3
MM 1
MH
. Tương tự
=
hT D
hT G

hTD =

MM 2 ML
MM 3
MK
;
=
=
hT D
hT G
hT D
hT G

Mặt khác
SD BCD =

Û

a2 3
= SD MBC + SD MCD + SD MBD
4

1
a2 3
a(MM 1 + MM 2 + MM 3 ) =
2
4

a 3
2
Ta có MM 1 + MM 2 + MM 3 = hT G
Û MM 1 + MM 2 + MM 3 =

Û

MM 1

MM 2

+

MM 3

= 1
hT G
hT G

uuur
MM 1 uuur MM 2 uuur MM 3 uuur
Þ
.GB +
.GC +
.GD = GM
hT G
hT G
hT G
hT G

+

0.5

0.5

Do E là trọng tâm của tam giác HKL nên ta
uuur
uuuur uuuur uuur
có 3ME = MH + MK + ML
= -

0.5
0.5

4 uuur
4 ỗMM 1 uuur MM 2 uuur MM 3 uuur ữ
ữ
ỗ

=
GM
.
GB
+
.
GC
+
.
GD
ữ
ữ
ỗ hT G
3
3ỗ
hT G
hT G

Gi s y nm gia x và z Þ z(x - y )(y - z) ³ 0
6
2
2
2
2
2
2
(2 đ) Þ xyz + z(x - y )(y - z) ³ 0 ; P = x y + y z + z x £ x y + y z + z x + xyz + z(x - y)(y - z)

= x 2y + yz2 + 2xyz = y(x + z)2
3

1
1
= (2y)(x + z)(x + z) £
2y + x + z + x + z ) =
(
2
2.27
4
2
1
đạt được khi x = , y = , z = 0
max P =
27
3
3

(2(x + y + z) )

3

54

=

4
27

0.5
0.5
0.5


0.5

Ghi chú: Học sinh giải cách khác, nếu đúng thì cho điểm tối đa.

5

VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí