Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
KỲ THI OLYMPIC LỚP11
MƠN: TỐN
Năm học: 2016- 2017
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT THÁI PHIÊN
Đề tham khảo

Câu 1.(3 điểm) Giải phương trình sau:
a. cos2 2 x  3sin2 x  sin2 2 x  1  0


3x
x
b. (tan2 x.cot x  1)sin 4 x  sin( x  )  2cos .sin
3
2
2
u1  0; u2  1

Câu 2 .(4 điểm) Cho dãy số(un): u  un1  un , n  N* .
 n2
2
1
2

a.Chứng minh rằng: un 1   un  1 .
B. Xác định công thức un . Tính limun
Câu 3.(4 điểm)

a/ Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau,gồm 5 cuốn sách Toán,4 cuốn Văn và
3 cuốn Tiếng Anh.Thầy lấy 6 cuốn tặng đều cho 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách tặng mà
sau khi tặng xong thì mỗi loại sách cịn ít nhất 1 cuốn.
a/Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số .Lấy ngẫu nhiên một số từ A.Tính xác suất
để số lấy ra có tổng các chữ số của nó là một số chẵn và số đó phải khơng nhỏ hơn 50000.
c/Cho một lục giác đều có 2n cạnh (n>2),Biết số hình chữ nhật tạo bởi 4 đỉnh trong 2n
đỉnh của đa giác bằng
của đa giác đó. Tìm n?

7
số tam giác tạo bởi 3 đỉnh của đa giác và có một cạnh là cạnh
52

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
 3 x  1 2x  1  1
khi  0

x


4
Câu 4.(2 điểm)Cho hàm số y= f  x   m 2  m  khix  0
.
3

1 4
 2017

cos +
khi x<0
x
3
x


Tìm m để hàm số liên tục tại x =0
Câu 5.(3 điểm) Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R  R ' cắt nhau tại hai điểm
phân biệt A và B. Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại P và
P’. Gọi Q và Q’ lần lượt là chân đường vng góc hạ từ P và P’ xuống OO’.Các đường
thẳng AQ và AQ’ cắt các đường tròn (O) và (O’)tại M và M’.Chứng minh rằng M, M’, B
thẳng hàng
Câu 6.(3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
BAD bằng 1200.Hình chiếu vng góc của S lên đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC,
cạnh bên SD tạo với đáy (ABCD) góc 600.
a) Chứng minh tam giác SCD vuông.
b) Gọi M là trung điểm SD. Chứng minh AM  CD .
c) Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Hết

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT THÁI PHIÊN

KỲ THI OLYMPIC LỚP11

MƠN : TỐN
Năm học : 2016- 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
1a
1
Điểm

Nội dung

Điểm

cos2 2 x  3sin2 x  sin2 2 x  1  0
 2sin2 2 x  3sin2 x  2  0
1
 sin2 x    sin2 x  2(VN )
2

7
 2 x    k 2  2 x 
 k 2
6
6

7
 x    k  x 
 k ; k  Z
12
12


1b


3x
x
(tan2 x.cot x  1)sin 4 x  sin( x  )  2cos .sin
3
2
2 (*)
b.

2
Điểm

Điều kiện: sinx sin x  0; cos2x  0 ; khiđó phương trình (*) tương
đương

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188



Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
0.25đ

si n2 x.cos x  cos2xsinx

3x
x
.sin 4 x  sin( x  )  2cos .sin
cos2xsinx
3
2
2
1
3
 2sin2 x  sinx 
cosx  sin2 x  sinx
2
2
3
1

 sin2 x 
cosx  sinx  sin2 x  sin( -x)
2
2
3



 2 x  -x+k2  2 x    +x+k2
3
3
 k2
2
x +
x
+k2 ; k  Z
9
3
3
Kết

hợp với điều kiện, nghiệm
 k2
2 k2
x +
x
+
;k  Z
9
3
3
3

Câu 2
4điểm

phương


trình

0.25đ

là:

a.(1,5điểm)Chứng minh bằng phương pháp qui nạp
1
2

Tacó : u2  1   u1  1; u3 
n=1,n=2

u2  u1 1
1
   u2  1 .Công
2
2
2
1
2

thức đúng với 0.5đ

Giả sử công thức đúng với n = k , (k  2) ,tức là : uk 1   uk  1 .
Ta chứng minh cơng thức đúng với n=k+1.
Ta có : uk  2

u u
1

1
 k 1 k  uk 1  1  uk 1   uk 1  1
2
2
2

0.25đ
0.75đ

Vậy công thức đúng n  N *
b. .(2,5điểm)
Ta có:

1
2
1
2
un 1   un  1  un 1    (un  ).
2
3
2
3

2
1
1
Đặt : vn  un   vn 1   vn => ( vn ) là cấp số nhân với q  
3
2
2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5đ
0.5đ


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
0.5đ

2 1
vn  v1.q n 1   ( ) n 1
3 2
2 2 2 1 n 1
 un  vn    ( )
3 3 3 2

0.5đ
0.5đ

2
Vậy lim un 
3

Câu 3
a/Do tổng 2 loại sách nào cũng lớn hơn 6 nên khi 6 cuốn thì không thể hết
a
2 loại sách.
1,5điểm Số cách chọn 6 sách bất kì trong 12 cuốn để cho 6 học sinh là
A612=665280 .
Các trường hợp cho hết 1 loại là:

+Hết sách Tốn có : A65 .A71 =5040 cách
+ Hết sách Văn có: A64 .A82 =20160 cách
+ Hết sách Tiếng anh có: A63.A93 =60480 cách
Vạy số cách cần tặng là:665280-(5040+20160+60480) = 57960 ( cách)
b
1,5điểm

b/Số có 5 chữ số có 9.104=90000 số
n() =90000,Gọi A là biến cố” số lấy ra thỏa YCBT”


Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4a5 ;

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

Trong đó a1 >4 và a1 + a2 + a3+ a4 +a5 là số chẵn.


C
1 điểm

Trước hết ta tìm số có 4 chứ số: a1a2a3a4 có 5x103 số
1.Nếu a1 + a2 + a3+ a4 là số lẻ thì a5 phải là số lẻ.vậy có 5 cách chọn a5.
2. Nếu a1 + a2 + a3+ a4 là số chẵn thì a5 phải là số chẵn.Vậy cũng có 5 cách

chọn a5
=> có 5x103.5=25000 số.=> n(A)= 25000
P(A)= 5/18
+ Số hình chữ nhật là : Cn2
+ Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác: 2n(2n  4)
Cn2 

52
.2n(2n  4)
7

n=15 V n=0 (loại)

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0,25đ


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Câu4
2điểm


lim f ( x )  lim

x 0

lim f ( x )   lim
x 0

x 0

x 0

3

x  1( 2 x  1  1)  ( 3 x  1  1)

x

x  1( 2 x  1  1)
 lim
x 0
x

lim f ( x )  lim x 2017 cos

x 0

3

x 0


3

x 1 1
1 4
 1  .
x
3 3

0.5đ

1
x

1
1
| 1; x  0 | x 2017 cos || x 201`7 |
x
x
+
1
lim | x 2017 | 0  lim | x 2017 cos | 0
x 0
x 0
x
1
4
 lim x 2017 cos  0  lim f ( x ) 
x 0
x 0
3

x
4 4
Hàm số liên tục tại x=0 <=>m2-m+ = <= > m=0,m=1
3 3

0.25đ

| cos

Câu 5
3điểm

0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.5đ

P'
I
P
A

Q

O

J

Q'


O'

S
M

B

M'

Gọi S là giao điểm của d và OO’, khi đó S là tâm vị tự ngồi của hai
đường
Trịn
R'
, khi đó ta có.
R
V ( S , k ) : (O )  (O '), P  P ', Q  Q '

0.5đ

(O) và (O’). Đặt k 

Gọi I, J là giao điểm của AB với PP’ và OO’. Khi đó ta có
2

IP 2  IA.IB  IP '  IP  IP '

MàPQ // IJ // P’Q’ nên JQ = JQ’
Suy ra AB là trung trực của QQ’.
Mà OO’ là trung trực của AB. Vậy tứ giác AQBQ’ là hình thoi

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5đ


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Do đó Q’B //AQ hay Q’M’ // QM.
Giả sử V(S, k) biến M thành B’ khi đó QM // Q’B’
Mà M thuộc (O) suy ra B’ thuộc (O’) do đó B’ trùng với B.
Vậy V(S, k) biến M thành B.
Tương tự ta có V(S, k) biến M’ thành B.
Suy ra M, B, M’ thẳng hàng.

0.5đ
0.5đ

0.5đ
0.5đ

Câu6
4điểm

Hình vẽ
a) +Ta có: ABCD là hình thoi, góc BAD = 1200
 ABC  60 0  ABC và ACD đều.
+ G là trọng tâm tam giác ABC  AB  CG. (1)
+ Lại có: AB  SG (SG  ( ABCD ))(2) và CG  SG  C (3).
Từ (1), (2), (3)  AB  (SCG ).
+Mặt khác: AB // CD  CD  ( SCG )  CD  SC  SCD vng.
b) +Gọi I là trung điểm CD. Ta có: AI  CD ( đường trung tuyến trong tam

giác đều)(*)
+ MI là đường trung bình của tam giác SCD
 MI // SC mà SC  CD  MI  CD (**)
+ AM  MI  M (* * *) .
Từ (*),(**),(***) CD  ( AMI )  CD  AM .
c) + Ta có: AB//CD  ( SCD )  AB //( SCD )  d ( A, ( SCD ))  d ( B, ( SCD )).
+ Gọi G '  AI  BD  G ' là trọng tâm tam giác ACD. Khi đó ta có: BG =

0,25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ

0.5đ
0.25đ

2
3
BG 1
Từ đó suy ra:
  d ( B, ( SCD ))  3d (G , ( SCD )) .
BD 3

0.5đ

GH  SC ; GH  CD và SC  CD  C

0.25đ


GG’ = G’D = BO

+ Gọi H là hình chiếu của G lên SC. Ta có:

Suy ra: GH  ( SCD )  d (G; ( SCD ))  GH .
+ SD có hình chiếu lên (ABCD) là GD, SD tạo với đáy góc 600
 SDG  60 0 .
+Trong tam giác SDG ta có: GD 

2a 3
SG
và
 tan 60 0  3  SG  2a.
3
GD

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5đ


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
a 3
. Khi đó trong tam giác SGC tà có:
3
1
1
1
SG.GC

2a 13


 GH 

2
2
2
13
GH
SG
GC
SG 2  GC 2

+ Lại có: GC =

0.25đ
0.25đ

ĐỀ ĐỀ NGHỊ THI OLYMPIC LỚP 11

TRƯỜNG THPT NƠNG SƠN

NĂM HỌC : 2017-2018

TỔ TỐN – TIN

MƠN : TỐN

*****


Thời gian làm bài :180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

*************
Câu 1 (3,0 điểm).
Cho phương trình: sin 2 4 x  cos 2 6 x  sin(18.5  10 x) .


Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; ) .
2

Câu 2 (4,0 điểm).

1

u1  3
Cho dãy số (un) xác định bởi: 
Với mọi n  N *
n

1
u 
un
 n 1
3n

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) và tìm lim un .
b)Tính tổng S  u1 
Câu 3 (4,0 điểm).


u 2 u3
u
  .......  11
2
3
11
1
x

a) Trong khai triển ( x 2  ) n , n  N , n  2 .Tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai,
thứ ba là 46. Tìm hạng tử khơng chứa x trong khai triển trên.
b) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,9 có thể lập đượcbao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau
và chia hết cho 3.
Câu 4 (2,0 điểm).
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0.
2 1 x  3 1 x 1
, khi x  0

f ( x)  
x
2 x  m  1 ,
khi x  0

Câu 5 (3,0 điểm).
Cho đường tròn (O;R) và điểm cố định A trên (O;R). Một góc xAy có số đo khơng đổi, hai
cạnh Ax, Ay thay đổi cắt đường tròn (O) lần lượt tại B và C. Dựng hình bình hành ABDC. Chứng

minh rằng:
a) Trực tâm H của tam giác BCD là điểm cố định.
b) Trực tâm K của tam giác ABC thuộc đường trịn cố định.
Câu 6 (4,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a 2 , AD = a, SA vng góc
mp(ABCD) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AB.
a) Tính góc hợp bởi đường thẳng SM và mp(SBD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chြo nhau SM và DN.
---------------Hết-------------ĐÁP ÁN
Câu
Nội dung
2
2
Câu 1 Cho phương trình: sin 4 x  cos 6 x  sin(18.5  10 x) (1)
5,0

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; ) .
1  cos 8 x 1  cos 12 x
(1)

 cos 10 x
2
2
cos 12 x  cos 8 x

 cos 10 x  0
2
 cos10 x cos 2 x  cos10 x  0
 cos 10 x (1  cos 2 x)  0


2

2

 cos 10 x cos x  0


 cos10 x  0 (vì cosx>0, với mọi x thuộc khoảng (0; ) )
2
 k
x

(k  Z )
20 10



Vì 0  x   0  (1  2k ) 
2
20
2
Do đó k nhận các giá trị 0,1,2,3,4
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

Điểm
3,0
0,5
0,25
0,25
0,25

0,25
0,5
0.25
0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Vậy tập nghiệm của PT (1) trên (0; ) là:

Câu 2
4,0

  3 5 7 9 
T  ; ; ;
; .
 20 20 20 20 20 

2

0.25

1

u

1

3
a) Cho dãy số (un) xác định bởi: 

Với mọi n  N *
u  n  1 u
n
 n 1
3n

2,5

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) và tìm limun .
Với mọi n  N* ta có:
n 1
un
3n
u
1 un
 n 1 
n 1 3 n

u n 1` 

Đặt v n 

0,5

un
1
. Khi đó v n 1  v n
3
n


0,5
1
3

Vậy (v n ) là cấp số nhân co công bội q  và số hạng đầu v1 
n 1

1
1
 n , n  N *
3
3
n
Suy ra u n  n , n  N *
3
n
Vậy lim u n  lim n  0
3

Suy ra v n  v1  

b) b)Tính tổng S  u1 

u 2 u3
u
  .......  11
2
3
11


Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

1
3

0,5
0.25
0.25
0.5

1,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
S  v1  v 2  ......  v11
1
11
1
 . 3
1
3
1
3
11
3 1

2.311
88573

177147

1

0,5
0,25
0,25

1
Câu 3
a) Trong khai triển ( x 2  ) n , n  N , n  2 , tổng các hệ số của các hạng tử
4,0
x
thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46. Tìm hạng tử khơng chứa x trong khai triển
trên.

Theo đề ta có :

1,5

0,25

C n0  C n1  C n2  46

0,5
0,25

 n 2  n  90  0
n9

0,5


1
x

Từ khai triển ( x 2  ) 9 , Tìm được hạng tử không chứa x là C96

0.5

b) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,9 có thể lập đượcbao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3
chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

2,5

Gọi số cần tìm là x  abc a  0) 
Vì x chia hết cho 3 nên (a  b  c)  3
x là số chẵn nên c  0;2;6
a) Với c=0
(a  b)  3 có 2 khả năng
a, b  1;2. Khi đó có 2! cách chọn ab
a, b  3;6;9. Khi đó có A32 cách chọn ab
Suy ra 2 !  A32  8 số
b) Với c=2
Khi đó a hoặc b phải là chữ số 1, chữ số còn lại thuộc tập 0 ;3;6 ;9
a=1 , có 4 cách chọn b từ 0 ;3;6 ;9
b=1 , có 3 cách chọn b từ ;3 ;6 ;9
Suy ra 4+3=7 số
c) Với c=6
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,25
0,25

0,25
0,5

0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
a, b  1;2, có 2! cách chọn ab

a, b  0;3;9, ,có 2.2 cách chọn ab
Suy ra 2 !  4  6 số

0,5

Vậy 8+7+6 = 21 số thỏa u cầu bài tốn

0,25

Câu 4 Ta có: f(0) = m - 1
2,0
2 1 x  3 1 x 1

0,25

lim f ( x )  lim

x0

 2 lim (
x 0




2
3

x

x0

1 x 1
1 1 x
)  lim (
)
x 0
x
x
3

0,5

lim f ( x)  lim (2 x  m  1)  m  1

x 0 

0,5

x 0

0.25


Hàm số f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi:
lim f ( x)  lim f ( x)  f (0)

0,25

2
5
m
3
3

0,25

x 0 

 m 1 

x 0

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
3đ

K

Câu 5


A

3 điêm

B
I
C

O
D

H








a)
Gọi H/ là xuyên tâm của A trên (O;R), ta có: BH/  AB  BH/  CD, tương
tự CH/  BD. Vậy H/ trùng H.
A cố định nên H cố định.
b)
Gọi I là tâm hình bình hành ABDC suy ra hai tam giác BCD
CBA cũng đối
 và
xứng nhau qua I. Suy
 ra Kđối xứng với H qua I. Hay: HK  2HI .

H cố định nên từ HK  2HI , suy ra K là ảnh của I qua phြp vị tự tâm H, tỉ số
bằng 2.
Số đo góc xAy khơng đổi nên BC có độ dài khơng đổi
OI cũng có độ dài
khơng đổi. Suy ra, I thuộc đường trịn tâm O, bán kính OI.
I thuộc đường tròn (O;OI) nên K thuộc đường tròn ảnh của đường tròn
(O;OI) qua phြp vị tự tâm H tỉ số bằng 2.

1.0
0.5
0.5
2.0
0,5
0,5
0,5
0,5

S

Câu 6

E

4 điểm

P

K
B


N

A

H
D

O

G

M

C

a)
 Gọi G = AM  BD, G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng GP//SM, P  SA, ta
có góc giữa SM và mp(BCD) cũng là góc giữa PG và mp(BCD) và
1
SP= SA .
3
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

2.0
0,5

0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

 Gọi H là hình chiếu của A trên BD, ta có (SAH)  mp(BCD). Gọi K, E lần
lượt là hình chiếu của A và P trên SH, ta có AK và PE đều vng góc
mp(BCD). Như vậy, góc giữa PG và mp(BCD) là góc PGE .
2
5a
a 6
2a
1
2a
 Ta có: AH =
, AK =
, PE = AK 
và GP = SM 
.
3
3
3
3
7
3 7
2
2
 Trong tam giác vuông tại E, ta có: sin  
.
 = arcsin
5 7
5 7
Hay   80 41/
b)


0,5
0,5

S

A1
F3

A

N

B

F2

M

F1
D

N1

F

C

 Gọi N1 là trung điểm CD, là trung điểm CN1, ta có M //DN và
d(DN;SM) = d(DN;(SM )).
 Gọi 2 và 1 lần lượt là giao điểm của AC với DN và M , ta có:

1
1
3
1
2
a 6

 2
D 2 = DN 
, mặt khác:
 D
2
2
DA DC
2a
D 22
3
3

0,5
0,5
2

 AC.

Do đó M  AC, Suy ra mp(SM )  mp(SAC).
 Gọi A1 và 3 lần lượt là hình chiếu của A và 2 trên S 1, khi đó A1 và 3
cũng là hình chiếu của A và 2 trên (SM ) và 2 3 = d(DN;(SM )) =d(DN;
SM).
10a

1
1
1
73



 Ta có:
 AA1 =
2
2
2
2
AA1 SA A 1 100a
73

3
6a 73
AA1 
.
5
73
6a 73
.
Vậy d(DN; SM) =
73
và

2 3


=

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5
0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM 2018

QUẢNG NAM
THPT NGUYỄN HIỀN
Môn thi: TỐN – LỚP 11
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phuong trình sau:



 2017

 2x 
 2





a) cos x 1  2 3 sin 2 x  cos 3 x  4 cos 

b) Tính tổng các nghiệm của phương trình:

Câu 2 (4,0 điểm). Cho dãy số  un 

1  cot 2 x
 1  cot 2 2 x thuộc  0;10  .
1  cos 2 x

u1  2018

xác định bởi 
un4  20172
*
un1  u 3  u  4034 , n  N
n
n


a) Chứng minh rằng un  2017, n  N *
1
, n  N * . Tìm limSn .
k 1 u  2017
n

b) Đặt S n  

3
k


 3 x  1. 2 x  1  1
khi x  0

x

4

khi x  0
Câu 3 (2,0 điểm). Cho hàm số y  f  x   m 2  m 
3

1 4
 2017
khi x  0
 x .cos x  3


Tìm m để hàm số liên tục tại x  0
Câu 4 (4,0 điểm)

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
a) Xếp ngẫu nhiên 14 học sinh của 3 khối gồm 7 học sinh khối 10; 4 học sinh khối 11; 3 học
sinh khối 12 thành một hàng ngang. Tính xác suất để các học sinh cùng một khối khơng đứng
cạnh nhau.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 5 và đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:
+ Tổng các chữ số của nó là số lẻ.

+ Tổng của sáu chữ số đầu của nó (khơng kể chữ số hàng đơn vị) là một số lẻ.
+ Tổng của năm chữ số đầu (không kể hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục) là một số lẻ.
Câu 5 (3,0 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD khơng phải là hình bình hành, dựng về phía ngồi tứ
giác đó bốn hình vng lần lượt có các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O1, O2, O3, O4 lần lượt là tâm
của các hình vng trên theo thứ tự đó. Chứng minh rằng, trung điểm các đường chြo của tứ giác
ABCD và O1O2O3O4 là bốn đỉnh của một hình vng.
Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  a ,
SA   ABC  , SA  a 2 .

a) Gọi  là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính tan  .
b) Tính khoảng cách giữa AB và SC
---------------------Hết----------------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH

QUẢNG NAM

Năm học 2017 – 2018
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Mơn thi: TỐN

Câu 1 (3,0 điểm)

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí


a

 2017

cos x 1  2 3 sin 2 x  cos 3 x  4 cos 
 2x 
 2






1,5

 2017

cos x 1  2 3 sin 2 x  cos 3 x  4 cos 
 2x 
 2






 cos x  2 3 sin 2 x.cos x  cos 3 x  4sin 2 x

0.25


  cos 3 x  cos x   2 3 sin 2 x.cos x  4sin 2 x
 2sin 2 x.sin x  2sin 2 x
 2sin 2 x





3 cos x  2



0.25



3 cos x  sin x  2  0

0.25

k

sin 2 x  0  x  2

 k Z 
 3 cos x  sin x  2  0  x  7  k 2 

6

0.25


0.25
 7

k
 k 2 ,
k Z
2
 6


Vậy S  

b

Tính tổng các nghiệm của phương trình:

 0;10  .
1  cot 2 x
 1  cot 2 2 x
1  cos 2 x

0.25
1  cot 2 x
 1  cot 2 2 x thuộc
1  cos 2 x

1,5

1


sin 2 x  0
k
 x
k  Z 
2
cos 2 x  1

ĐK: 

0.25

1  cot 2 x
1  cot 2 x
1
 1  cot 2 2 x 

2
1  cos 2 x
2sin x
sin 2 2 x

0.25

 cos 2 x  sin x  cos x   0

0.25

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188



Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
 k

 cos 2 x  0  x  4  2

sin x  cos x  0  x     k 

4
x

 k

4 2

0  x  10  

0.25
1
39
 k  , k  Z  k  0,1, 2,3,...,19
2
2

0.25

Gọi S à tổng các nghiệm của phương trình (1) (gồm 20 số hạng)
Ta có: S 




 19.20
 20   0  1  2  3  ...  18  19   5  .
 100
4
2
2 2

0.25

Câu 2 (4,0 điểm)
a

Chứng minh rằng un  2017, n  N *

1,0

Bước 1: u1  2018  2017 (đúng)

0.25

Bước 2: Giả sữ mệnh đề đúng với n  k  1 , ta có uk  2017

0.25

Ta cần chứng minh, uk 1  2017







 uk  2017  uk3  2017
uk4  20172
 2017 
0
Ta có: uk 1  2017  3
uk  uk  4034
uk uk2  1  4034



2x0.25

 đpcm

b

1
, n  N * . Tìm limSn .
k 1 u  2017
n

Đặt S n  

3
k

3,0


Rút gọn S n

 uk  2017   uk3  2017 
Ta có: uk 1  2017  3
 uk  2017    uk  2017 

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí



1
1
1

 3
uk 1  2017 uk  2017 uk  2017

0.25



1
1
1



u  2017 uk  2017 uk 1  2017

0.25

3
k

 Sn 

1
1
1

 1
u1  2017 uk 1  2017
uk 1  2017

0.25

Chứng minh  un  là dãy số tẳng
Ta xြt: un 1  un 
Giả sử: lim un  a
Ta có: a 

 un  2017 



2

n

2



un u  1  4034

 0, n  N *

 a  2018

0.25x2
0.25

a 4  20172
2
 a  2017   0  a  2017 (vô lý)
3
a  a  4034

0.25x3

Nên ta có: lim un  

0.25

Vậy lim S n  1

0.25

Câu 3 (2,0 điểm)

 3 x  1. 2 x  1  1
khi x  0

x

4

khi x  0
Cho hàm số y  f  x   m 2  m 
3

1 4
 2017
khi x  0
 x .cos x  3


Tìm m để hàm số liên tục tại x  0
lim f  x   lim

x 0

x 0

3

x 1




 

2x  1 1 

3

x 1 1



x

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
3

 lim
x 0

x 1



2x  1 1

x

  lim 

3

x 1 1

x  0

x

  1 1  4
3

3

0.25x2

1 4

lim f  x   lim  x 2017 .cos  
x 0
x 0 
x 3
cos

1
1
 1, x  0  x 2017 .cos  x 2017

x
x

lim x 2017  0  lim x 2017 .cos

x 0

x 0

 lim x 2017 .cos
x 0

0.25

1
0
x

0.25

1
4
 0  lim f  x  
x

0
x
3

0.25

4
3

Vậy hàm số liên tục tại x  0  m 2  m  

4

3

m  1
m  0


0.25x2

Câu 4 (4,0 điểm)
a

Xếp ngẫu nhiên 14 học sinh của 3 khối gồm 7 học sinh khối 10; 4
học sinh khối 11; 3 học sinh khối 12 thành một hàng ngang. Tính xác
suất để các học sinh cùng một khối không đứng cạnh nhau.

2,0

Không gian mẫu là xếp 14 học sinh thành một hàng
ngang  n     14!

0.25

Gọi A: “ Trong 14 học sinh, không có hai học sinh cùng khối đứng

cạnh nhau”.
Ta xếp như sau:
Đầu tiên xếp 7 học sinh khối 12 có 7! Cách. Khi đó giữa 7 học sinh
khối 12 có tất cả 8 chỗ trống (gồm 6 chỗ trống ở giữa và 2 chỗ trống ở
trước và sau).

0.25x2

Ta xြt 2 trường hợp sau:
+TH1: Có 1 học sinh khối 10 hoặc khối 11 ở phía ngồi (trước hàng
hoặc sau hàng) cịn 6 học sinh còn lại xếp vào chỗ trống ở giữa các bạn
học sinh khối 12 có 2x7! Cách.

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25x2


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
+TH2: Có một cặp học sinh (gồm 1 học sinh khối 10 và 1 học sinh
khối 11) xếp vào một chỗ trống, 5 học sinh còn lại xếp vào 5 vị trí cịn
lại có 4  3  2!C16  5! cách.





 n  A   7! 2  7! 4  3  2  C61  5!

Vậy P  A  

b

n  A

n 



0.25
0.25

19
12012

0.25

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 5 và đồng thời
thỏa mãn các điều kiện sau:
+ Tổng các chữ số của nó là số lẻ.
+ Tổng của sáu chữ số đầu của nó (khơng kể chữ số hàng đơn vị) là
một số lẻ.

2,0

+ Tổng của năm chữ số đầu (không kể hai chữ số hàng đơn vị và
hàng chục) là một số lẻ.

Số tự nhiên cần tìm có dạng

a1a2 a3a4 a5 a6 a7


, ai  0,1, 2,...,8,9

Do số tự nhiên chia hết cho 5 nên a7  0 hoặc a7  5

0.25

Vì a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 là số lẻ và a1  a2  a3  a4  a5  a6 là
số lẻ và a1  a2  a3  a4  a5 là số lẻ, ta có a7 là số chẵn nên a7  0 có 1
cách chọn và a6 là số chẵn nên a6 có 5 cách chọn và a1  a2  a3  a4  a5

0.25x2

là số lẻ.
Xြt a1  a2  a3  a4  a5 là số lẻ
+ Nếu a1  a2  a3  a4 là số lẻ thì a5 là số chẵn  a5 có 5 cách
+ Nếu a1  a2  a3  a4 là số chẵn thì a5 là số lẻ  a5 có 5 cách

 số cách chọn a1a2 a3a4 a5 là 9  103  5
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25

0.25x3


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Vậy có 5  9  103  5  225000 số

0.25


Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD khơng phải là hình bình hành, dựng về phía ngồi tứ giác đó bốn hình
vng lần lượt có các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O1, O2, O3, O4 lần lượt là tâm của các hình
vng trên theo thứ tự đó. Chứng minh rằng, trung điểm các đường chြo của tứ giác ABCD
và O1O2O3O4 là bốn đỉnh của một hình vng.

Ta cần chứng minh tứ giác ILKJ là hình vng
Xြt Q B ,90  E   A
 

0.25

Q B ,900  C   H

0.25

 EH  AC ; EC  AH

0.25

0





KO1 , KO2 là đường trung bình của AEC , CAH
 KO1 / / 


1
1
EC ; KO2 / /  AH
2
2

 KO1  KO2 ; KO1  KO2
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25
0.25


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Chứng minh tương tự ta có  KO3  KO4 ; KO3  KO4
Như vậy, Q K,90  O2   O1 ; Q K,90  O4   O3
 
 
0

0

 KO2O4  KO1O3

0.25
0.25x2
0.25

Mà KJ, KL lần lượt là hai đường trung tuyến của hai tam giác
KO2O4 , KO1O3

 KJ  KL; KJ  KL

0.25

Chứng minh tương tự, ta có:  IJ  IL; I J  IL

0.25

Vậy tứ giác IJLK là hình vng

0.25

Câu 6 (4,0 điểm)
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  a , SA   ABC  ,
SA  a 2 .

a) Gọi  là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính tan  .
b) Tính khoảng cách giữa AB và SC

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
(hình vẽ phục vụ câu a – điểm)

a

Gọi  là góc giữa (SBC) và (SAC). Tính tan  .

2,0


Từ B hạ BH  AC trong (ABC)

0.25

Từ B hạ BK  SC trong (SBC)

0.25

  BHK    SCB  và  BHK    SAC 

0.25

Mà  BHK    SAC   HK ;  BHK    SBC   BK

Nên góc giữa (SBC) và (SAC) là   HKB

Ta có: HB 

1
1
a 2
AC  a 2 
2
2
2

CHK đồng dạng CSA 

HK CH


SA CS

a 2
.a 2
SA.CH
a
2
 HK 


CS
2
a 2. 2
 tan  

b

HB a 2

 2
HK 2. a
2

0.25
0.25
0.25

0.25


0.25

Tính khoảng cách giữa AB và SC

2,0

Từ C kẻ Cx / / AB ; Từ A kẻ AI  IC

0.25

Lúc đó, AB / /  SIC   d  AB, SC   d  A,  SIC  

0.25

Mà IC  AI , IC  SA, AI  SA trên (SAI)  IC   SAI    ICS    SAI 

0.25

Do

 AIS    SIC   SI

Nên d  A,  SIC    d  A, SI 

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Xြt SAI vng tại A có SA  a 2; AI  a (do AICB là hình chữ nhật)


1
1
1
1
 2 2
2
AJ
SA
AI
a 2



Vậy d  AB, SC  



2



1
3
a 6
 2  AI 
2
a

2a
3

0.25x2

a 6
3

SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH

0.25

0.25

KÌ THI OLYMPIC
MƠN: TỐN 11- NĂM HỌC 2016-2017
Thời gian: 150’ (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
9

Câu 1 (3,0 điểm). Giải phương trình : cos 2 x  3sin 2 x  5 2 sin  x 
4



  3;



Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A, BC = a, AB = c, AC = b thì với mọi số
tự nhiên n  2 thì bn  c n  a n .
u  3
b) Tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số  un  biết  1
 2un 1  un  4, khi n  1

Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm hệ số của x10 trong khai triển thành đa thức của  3  2 x  biết rằng
n

3n Cn0 - 3n-1 Cn1 + 3n-2 Cn2 + ... + (-1)n Cnn = 2048, n ẻ Ơ .
2) Xp 24 thớ sinh ngi vo một phòng thi gồm 12 bàn, mỗi bàn đủ 2 thí sinh. Tính xác suất
để hai thí sinh A và B ngồi cùng một bàn.

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188