Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
TRƯỜNG THPT CẨM XUN
TỔ: TỐN – TIN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN TỐN LỚP 11
(Thời gian làm bài : 150 Phút)
(Đề có 8 câu )
Câu 1. (4.5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x cos x 0 .
c) 4Cxx 2 Ax23 70 .
3 sin 2 x 2cos 2 x 3 .
b)
Câu 2. (3.0 điểm)
13
3
a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn 2x 2 .
x
8
b) Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên d1 lấy 6 điểm phân biệt và trên d 2 lấy 8 điểm
phân biệt. Hỏi từ 14 điểm đã cho tạo được bao nhiêu tam giác?
Câu 3. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng Δ : 2 x 3 y 6 0 . Gọi Δ ' là ảnh của Δ qua
phép tịnh tiến theo vectơ u 1;3 . Tính diện tích tứ giác được tạo thành bởi hai đường thẳng Δ,Δ ' và
hai trục tọa độ.
Câu 4. (1.5 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
SP
điểm SB, SD . Tìm giao điểm P của đường thẳng SC với mặt phẳng AMN và tính tỉ số
.
SC
Câu 5. (2.0 điểm) Tìm m để phương trình : sin 3 x 2sin 2 x 5 4m sin x 0 có đúng ba nghiệm thuộc
π
khoảng ; π .
2
Câu 6. (4.0 điểm)
a) Gọi T là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số
0,1, 2,3, 4,5,6,7,8 . Chọn ngẫu nhiên một số từ T , tính xác suất để số đó chia hết cho 9.
b) Tính tổng: S
1
1
1
1
...
.
2!.2019! 4!.2017! 6!.2015!
2020!
Câu 7. (2.0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a và các cạnh bên đều bằng a .
Gọi M là trung điểm của SB . Gọi P là mặt phẳng chứa CM và song song với SA . Tính theo a diện
tích thiết diện tạo bởi P và hình chóp S . ABCD .
Câu 8. (1.5 điểm) Cho A, B, C
C 90 là ba góc của tam giác
0
ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
2cos 2 A 2sin 2 B 1
thức: P
.
sin C 1
-----HẾT----Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu, giám thị khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………………………...…………………………Số báo danh: .............
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
TRƯỜNG THPT CẨM XUN
TỔ: TỐN – TIN
KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021
Đáp án mơn: Tốn 11
Thời gian làm bài 150 phút
Câu
Nội dung
Điểm
Giải các phương trình sau:
0,5
a) sin 2 x cos x 0 cos x 2sin x 1 0
x k 2π
cos x 0
π
x k 2π . Vậy …..
1
sin x
6
2
5π
x
k 2π
6
b) 3 sin 2 x 2cos2 x 3 3 sin 2 x cos 2 x 2
Câu 1b
(1.5 điểm) sin 2 x 1 2 x k 2 x k . Vậy….
6
6 2
6
c) 4Cxx 2 Ax23 70
ĐK: x , x 1 .
x 2 ! x 3!
4Cxx 2 Ax23 70 4
70
Câu 1c
2!.x !
x 1!
Câu 1a
(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
1,0
0,5
1,0
2 x 2 x 1 x 3 x 2 70
0,5
x 8 Tm
x 2 x 72 0
. Vậy….
x
9
L
0,5
13
3
Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn 2x 2 .
x
8
Câu 2a
(1.5 điểm)
Câu 2b
1.5 điểm
Câu 3
1.5 điểm
13
3
k 13k
Số hạng tổng của khai triển 2x 2 là: Tk 1 C13
2
3k .x 263k
x
0,5
Hệ số của x8 tương ứng với 26 3k 8 k 6
0,5
6 7 6
Vậy Tìm hệ số của x 4 trong khai triển đã cho là C13
.2 .3 .
Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên d1 lấy 6 điểm phân biệt và trên
d 2 lấy 8 điểm phân biệt. Hỏi từ 14 điểm đã cho tạo được bao nhiêu tam giác?
0,5
TH1: Hai đỉnh thuộc d1 và một đỉnh thuộc d 2 có C62 .C81 tam giác.
0,5
TH2: Hai đỉnh thuộc d 2 và một đỉnh thuộc d1 có C61 .C82 tam giác.
0,5
Vậy có C62 .C81 C61 .C82 288 tam giác.
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng Δ : 2 x 3 y 6 0 . Gọi Δ ' là ảnh
của Δ qua phép tịnh tiến theo vectơ u 1;3 . Tính diện tích tứ giác được
tạo thành bởi hai đường thẳng Δ,Δ ' và hai trục tọa độ.
0,5
2,0
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
x ' x 1
Biểu thức tọa độ của Tu là:
.
y' y 3
0,5
Lấy A 3;0 . Khi đó A ' 4;3 là ảnh của A qua Tu A ' ' .
' đi qua A , song song hoặc trùng ' : 2 x 3 y 17 0 .
Ta có: A 3;0 , B 0; 2 lần lượt là giao điểm của với Ox, Oy và
17 17
D ;0 , C 0; lần lượt là giao điểm của ' với Ox, Oy .
2 3
0,5
1
1
289
Ta có: SOAB .OA.OB 3 , SOAB .OC.OD
.
2
2
12
S ABCD SOCD SOAB
0,5
289
253
3
(đvdt).
12
12
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm SB, SD . Tìm giao điểm P của đường thẳng SC với mặt
SP
phẳng AMN và tính tỉ số
.
SC
1,5
S
P
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
M
Trong mặt phẳng SBD có SO cắt
MN tại I .
Câu 4
1,5 điểm
I
Q
N
B
0,5
C
O
A
D
Trong mặt phẳng SAC có AI cắt SC tại P . Điểm P chính là giao điểm
của đường thẳng SC với mặt phẳng AMN .
0,5
Trong mặt phẳng SAC , kẻ đường thẳng qua O , / / AP cắt SC tại Q .
Ta có:
CQ CO 1
SP SI 1
CQ QP và
SP PQ
CP CA 2
SQ SO 2
0,5
SP 1
.
SC 3
Tìm m để phương trình : sin 3 x 2sin 2 x 5 4m sin x 0 có đúng ba
Câu 5
(2.0 điểm)
π
nghiệm thuộc khoảng ; π .
2
sin x 0
PT sin x cos 2 x cos x m 1 0 2
cos x cos x m 1 0
0,5
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
π
PT: sin x 0 có duy nhất một nghiệm x 0 trên khoảng ; π .
2
π
PT
đã
cho
có
ba
nghiệm
thuộc
khoảng
;π
2
cos 2 x cos x m 1 0 * có hai nghiệm phân biệt khác 0 thuộc khoảng
0,5
π
;π.
2
π
Đặt t cos x , x ; π t 1;1 . * m t 2 t 1 ** .
2
Xét hàm số f t t 2 t 1 , t 1;1 .
BBT:
x
-1
0
1
1/2
3
y
1
1
3/4
y
0,5
-1
O
1/2
1
x
π
2
kép thuộc 0;1 hoặc có duy nhất một nghiệm thuộc 0;1 và nghiệm cịn lại
(*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 thuộc khoảng ; π (**) có nghiệm
khơng thuộc 1;1 hoặc hai nghiệm phân biệt thuộc 1;0 .
Từ BBT m 3 / 4 .
0,5
Gọi T là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ
số 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8 . Chọn ngẫu nhiên một số từ T , tính xác suất để số đó
chia hết cho 9.
Câu 6a
(2.0điểm)
n 8. A86 161280
Đặt A 0;1;2;3; 4;5;6;7;8
Ta có: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 36 chia hết cho 9. Do đó, số cần lập
chia hết cho 9 được tạo thành từ các tập sau: A \ 1;8 , A \ 2;7 , A \ 3;6 ,
0,5
0,5
A \ 4;5 .
Mỗi tập như thế tạo thành 6.6! số có 7 chữ số khác nhau chia hết cho 9
0,5
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
có 4.6.6! 17280 số.
17280
3
.
161280 28
1
1
1
1
Tính tổng: S
...
.
2!.2019! 4!.2017! 6!.2015!
2020!
Vậy xác suất cần tìm là P
0,5
2
4
6
2020
Ta có: S .2021! C2021
C2021
C2021
... C2021
0,5
0
1
2
3
4
5
2020
2021
Do C2021
C2021
C2021
C2021
C2021
C2021
... C2021
C2021
22021
Câu 6b
(2.0 điểm)
0,5
0
1
2
3
4
5
2020
2021
và C2021
C2021
C2021
C2021
C2021
C2021
... C2021
C2021
0
0
2
4
2020
3
5
2021
C2021
C2021
C2021
... C2021
C12021 C2021
C2021
... C2021
0,5
22021
22020
2
2
C2021
4
C2021
2020
... C2021
2
2020
22020 1
1 S
.
2021!
0,5
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và các cạnh bên đều
bằng a . Gọi M là trung điểm của SB . Gọi P là mặt phẳng chứa CM và
song song với SA . Tính theo a diện tích thiết diện tạo bởi P và hình chóp
S . ABCD .
0,5
S
Gọi N là trung điểm của AB ,
MN / / SA thiết diện cần tìm là
tam giác CMN .
0,5
M
D
C
Câu 7
(2.0điểm)
A
N
B
a
a 3
a 5
, MC
và CN BC 2 BN 2
2
2
2
2
2
2
MN MC CN 1
cos CMN
2.MN .MC
2 3
Ta có: MN
2
1 1 33 .
sin CMN
6
2 3
2
1
a 11 (đvdt)
Diện tích tam giác CMN là S .MN .MC.sin CMN
2
16
Cho A, B , C C 900 là ba góc của tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của
2cos 2 A 2sin 2 B 1
biểu thức: P
.
sin C 1
0,5
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Câu 8
(1,5điểm)
cos 2 A cos 2 B 1
P sin C 1 2cos A B cos A B 1
sin C 1
P sin C 1 2cos C.cos A B 1
P
0,5đ
P sin C 2 cos A B .cos C P 1 *
(*) có nghiệm P 2 4cos 2 A B P 1 P 1 P 2 4
2
2
3
P .
2
P
A B
A B
3
3
với
sin
.
0
2
5
3sin C 4cos C 5 C 90
3
.
2
Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa.
Vậy max P
0,5đ
0,5đ
