Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

TRƯỜNG THPT ĐƠNG HÀ
TỔ TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
NĂM HỌC 2020 - 2021
Mơn: TỐN
Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15 /4/2021

Câu 1. (5,0 điểm).
1. Tìm số nguyên dương n biết rằng:

C 21n 1  C 23n 1  C 25n 1  ...  C 22nn11  1024 .
2. Một trường có 50 học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp anh em sinh đơi. Cần chọn ra 3 học
sinh trong số 50 học sinh để tham gia trại hè. Tính xác suất để 3 em được chọn khơng
có cặp anh em sinh đơi.

x

Câu 2. (2,0 điểm). Giải phương trình x 

x 1
2

2 2.

Câu 3. (5,0 điểm).
1. Cho ba số a  0, b  0, c  0 thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng

a3

b2  3



b3

c2  3



c3

a2  3



3
.
2

2. Chứng minh dãy số un  với un 

1
1
1
 2  ...  2 là một dãy số tăng và bị chặn.
2

1
2
n

Câu 4. (2,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  1  x 2  y 2  2y  9  x 2  y 2  6y
trong đó x , y là các số thực thỏa mãn x 

y
 1.
2

Câu 5. (6,0 điểm).
1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a,
SA  ( ABCD ) và SA  a , M là trung điểm của CD .
a) Tính góc giữa SM và mp (SAB ) .
b) Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBM )
2. Cho M , N , P lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, CA, AB của ABC . Gọi H , G, O
lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , I là tâm đường tròn ngoại
tiếp MNP . Chứng minh H , G, O, I thẳng hàng.
.........HẾT........
Họ và tên:………………………….……… Lớp:………SBD:……
Đề thi gồm 1 trang


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2020-2021.

MƠN TỐN
Câu

Nội dung

Câu
1.1

+Xét khai triển

(2
điểm)

(1  x )2n 1  C 20n 1  C 21n 1x 1  C 22n 1x 2  ...  C 22nn11x 2n 1(2)

Điểm

(1  x )2n 1  C 20n 1  C 21n 1x 1  C 22n 1x 2  ...  C 22nn11x 2n 1(1)

0.5

+Trừ từng vế (1), (2) ta có

(1  x )2n 1  (1  x )2n 1  2(C 21n 1x 1  C 23n 1x 3  C 25n 1x 5  ...  C 22nn11x 2n 1 ) (3)
+Thay x  1 vào (3) rồi chia hai vế cho 2 ta có

C 21n 1  C 23n 1  C 25n 1  ...  C 22nn11  22n
+Suy ra 2

2n


0.5
0.5
0.5

 1024  210  2n  10  n  5

Câu
1.2

+Số cách chọn 3 học sinh bất kì từ 50 học sinh là C 503    C 503  19600

(3
điểm)

+Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi là 4.48

1
0,5

Gọi biến cố A: “Chọn được 3 học sinh khơng có cặp anh em sinh đơi”
+Ta có A  C 503  4.48  19408

P (A) 
+

A





1

19408 1213

19600 1225

Câu 2

+Điều kiện x  1  x  1 hoặc x  1

(2
điểm)

x  1  Phương trình vơ nghiệm
+Xét x  1 : Đặt x 

0.5

0.5

 
1
, t  0; 
 2 
cos t

Ta có phương trình

1

1

 2 2  sin t  cos t  2 2 sin t cos t
cos t sin t





 2 sin t    2 sin 2t  sin 2t  sin t  


4 
4 

1

Đề thi gồm 1 trang


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí



2t      k 2
t    k 2


4
4



(k  )



2t        k 2

2



t  4  k 3

4 



  
0;   t    x 
t

+
 2 
4

1


cos

4

 2 thỏa x  1
0.5

Vậy nghiệm của phương trình là x  2
Câu
3.1
(3
điểm)

+Ta có

b2  3
a6
3
3


3
 a 2 (1)
16
64
4
2 b2  3 2 b2  3
b3
b3
c2  3
b6
3

3


3
 b 2 (2)
16
64
4
2 c2  3 2 c2  3
c3
c3
a2  3
c6
3
3


3
 c 2 (3)
16
64
4
2 a2  3 2 a2  3
a3

a3

1.5

+Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có


a 2  b2  c2  9 3 2
 (a  b 2  c 2 )
16
4
12 9
9 12 3
P
 P 

16 4
4 16 2

P

1.5

Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1
Câu
3.2

Ta có n  N * : un 1  un 

(2
điểm)

 Dãy (un ) tăng

1
 un 1  un , n  N *

2
(n  1)
0.5

(un ) tăng  un  u1  1, n  N *

0.25

1
1
1
1
1
1


...


1



...

1.2 2.3
(n  1).n
22 32
n2







1
1 1
1
1
1
 1  1        ...  
   2   2

 n  1 n 
2   2 3 
n

un  1 

1.0

 1  un  2 , n  N *
 (un ) bị chặn

0.25

Đề thi gồm 1 trang


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí


Câu 4
(2
điểm)

0.5

+Ta có P  x 2  (y  1)2  x 2  (y  3)2
Đường thẳng  : 2x  y  2  0
+Lấy M (x ; y )   , hai điểm A(0; 1), B(0; 3)

0.5

 P  AM  BM

A, B nằm cùng phía đối với  , lấy A’ đối xứng với A qua 

4
7
 A '  ;  , MA '  MA
 5
5 

0.5

+ P  AM  BM  A ' M  BM  A ' B  2 5
+ min P  2 5 khi A’, B, M thẳng hàng

2
2

Khi M  A ' B    M  ;  
 3
3 
Vậy min P  2 5 khi x 

0.5

2
2
;y  
3
3

Câu
5.1
(4
điểm)

a) +Gọi E là trung điểm AB

ME / /AD

 ME  (SAB )


AD

(
SAB
)




 (00    900 )
 Góc giữa SM và (SAB) là góc   MSE
+Tính tan  : ME  AD  2a

1

a2
a 5
SE  AS  AE  a 

4
2
  ME  2a  4 5
 tan   tan MSE
SE
5
5
a
2
2

2

2

1


Đề thi gồm 1 trang


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

b. + AN  BM  (SAN )  (SBM )
0.5

Kẻ AK  SN  AK  (SBM )

AK  d (A,(SBM ))
+Tính AK : S ABM  S ABCD  (S ADM  S BCM )

 S ABCD  2S ADM  2a 2  a 2  a 2

2S
1
S ABM  AN .BM  AN  ABM 
2
BM
2
2a
4a


17
a2
4a 2 
4
+


0,5

2a 2

BC 2  BM 2

0.5

1
1
1
4a
4a


 AK 
 d (A,(SBM ))  AK 
2
2
2
AK
SA
AN
33
33

Câu
5.2


V 1 : ABC  MNP
(G , )
2
+

(2
điểm)


PN / /BC
+Ta có 
 MO  PN


MO

BC



0.5

Tương tự NO  PM

V 1
(G , )
2
+

0,5


0.5

 O là trực tâm tam giác MNP

1 
: H  O  GO   GH  H ,G,O thẳng hàng
2

0.5


1 
V 1 : O  I  GI   GO  I ,G,O thẳng hàng
(G , )
2
2
+
0.5

Vậy H , G, O, I thẳng hàng.
.........HẾT........

Đề thi gồm 1 trang