Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN THI: TỐN 11
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm: 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,5 điểm) Giải phương trình cos 2 x = 2sin 2 x + 4cos x
Câu 2. (4,5 điểm)
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
a. Giải hệ phương trình : 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

b. Tính giới hạn I = lim
x →1

2020(2021 − x 2 ) − 2020
x −1

Câu 3. (3,0 điểm)
15

3


a. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn  2x 2 − 
x

b. Cho một đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 ... A30 . Gọi X là tập hợp các tam giác có 3
đỉnh là 3 đỉnh của ( H ) . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X . Tính xác suất để chọn được 2
tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác ( H ) .
7

 u1 = 2
Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi: 
(n   )
7
u
+
4
un+1 = n
2un + 5

u −2
a. Gọi ( vn ) là dãy số xác định bởi vn = n
. Chứng minh rằng dãy số ( vn ) là một
un + 1
cấp số nhân lùi vơ hạn.
9

b. Tính giới hạn của dãy số ( un )
Câu 5. (5,0 điểm)
a. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt phẳng thay đổi
qua AB và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại M , N ( M khác S , C và N khác S , D . Gọi K là

AB BC
−
giao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức T =
có
MN SK
giá trị khơng đổi.
b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên
đều là hình vng. Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA ', A ' C ' . Tính
diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC . A ' B ' C ' bởi mặt phẳng ( MNE ) .
Câu 6. (2,0 điểm) ). Cho x, y , z là 3 số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2 . Tìm giá trị lớn

xy
yz
zx
+
+
xy + 2 z
yz + 2 x
zx + 2 y
------------------ Hết -----------------Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh: ………………………………….....… Số báo danh:……………

nhất của biểu thức: P =


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN
- THẠCH THẤT -


Câ
u
1

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11
NĂM HỌC: 2020-2021
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút

Nội dung

Điể
m

Giải phương trình sau: cos 2 x = 2sin 2 x + 4cos x

2.5

cos 2 x = 2sin x + 4cos x
 2cos 2 x − 1 = 2(1 − cos 2 x) + 4cos x
2

 4cos 2 x − 4cos x − 3 = 0
3

cos
x
=


2

cos x = − 1

2
3
+ cos x = (vô nghiệm)
2
1
2
+ k 2 , k 
+ cos x = −  x = 
2
3

2
+ k 2 , k 
3
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
a. Giải hệ phương trình : 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

1.5

1.0

KL: Vậy phương trình có nghiệm x = 
2.a

(1)

( 2)

2.0

ĐK: x  1; y  0

(1)  xy + y 2 + x + y = x 2 − y 2
 y ( x + y ) + ( x + y ) = ( x − y )( x + y )

0.5

 ( x + y )( y + 1 − x + y ) = 0
 x+ y =0

x = 2y +1
+) x + y = 0 (Loại do x  1; y  0 )
+) x = 2 y + 1 thế vào (2) ta được

0.5

(2 y + 1) 2 y − y 2 y = 4 y + 2 − 2 y
 2 y ( y + 1) = 2 y + 2
 ( y + 1)( 2 y − 2) = 0
y = −1


 2 y = 2  y = 2
+) Với y = −1 ( L)
+) Với y = 2  x = 5 (TM )


Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm ( x; y ) = ( 5;2 )

0.5

0.5


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

2.b

2020(2021 − x 2 ) − 2020
Tính giới hạn I = lim
x →1
x −1

2,5

2020 ( 2021 − x 2 ) − 2020 2
2020(2021 − x 2 ) − 2020
I = lim
= lim
x→1
x→1
x −1
( x − 1) 2020(2021 − x 2 ) + 2020

1.0

(


= lim
x→1

2020 (1 − x 2 )

( x − 1) (

2020(2021 − x 2 ) + 2020

)

= lim
x→1

(

)

2020 ( −1 − x )
2020(2021 − x 2 ) + 2020

)

=

−2 1.5
= −1
2


15

3.a

3

Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn  2x 2 − 
x

9

15

15
15 − k 
3
 2 3
2
x
−
=
C15k . ( 2 x 2 )  − 



x
k =0

 x
15


1.5

k

=  C15k .215− k . ( −3) .x 30−3k

0.5

k

k =0

Hệ số của x 9 trong khai triển tương ứng với k thỏa mãn: 30 − 3k = 9  k = 7

0.5

15

3

Hệ số của x 9 trong khai triển  2x 2 −  là: C157 .28.(−3)7 = −C157 .28.37
x


0.5

Cho một đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 ... A30 . Gọi X là tập hợp các tam 1.5
3.b


giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của ( H ) . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X .
Tính xác suất để chọn được 2 tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của
đa giác ( H ) .
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác ( H ) là: C303 = 4060
2
Số phần tử của không gian mẫu n() = C4060

0.5

Gọi A là biến cố: ’’Hai tam giác được chọn là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của
đa giác ( H ) ”.
+)Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của ( H ) :
- Chọn ra một cạnh của đa giác ( H ) có C301
1
- Chọn ra 1 trong 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh đã chọn của ( H ) có C26
1
1
 Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của ( H ) là C30
.C26
= 780

2
 n( A) = C780
2
C780
247
 P( A) = 2 =
C4060 6699

KL: Vậy xác suất để chọn được 2 tam giác là tam giác có 1 cạnh là cạnh của

đa giác ( H ) là

247
6699

0.5

0.5


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

4

7

3.0
 u1 = 2

Cho dãy số ( un ) xác định bởi: 
(n  )
un+1 = 7un + 4
2un + 5

u −2
a. Gọi ( vn ) là dãy số xác định bởi vn = n
. Chứng minh rằng dãy số
un + 1
( vn ) là một cấp số nhân lùi vơ hạn.


b. Tính giới hạn của dãy số ( un )
Ta có:
7u n + 4
−2
un +1 − 2 2un + 5
3u − 6 1 un − 2 1
vn +1 =
=
= n
= .
= vn
un +1 + 1 7un + 4 + 1 9un + 9 3 un + 1 3
2un + 5

1.0

1
u − 2 1 1.0
1
=
Suy ra vn+1 = vn . Vậy ( vn ) là một cấp số nhân với công bội q = , v1 = 1
3
3
u1 + 1 3
Vì q  1 nên ( vn ) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
+) vn = v1.q
Ta có vn =

n −1


1 1
=  
3 3 

1
= 
3

un − 2
2 + vn
 un =
un + 1
1 − vn

Do đó lim un = lim
5a

n −1

n

 lim vn = 0

0.5

0.5

2 + vn
=2
1 − vn


Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt 2.0
phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại M , N . Gọi K là
giao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức
AB BC
T=
−
có giá trị không đổi.
MN SK


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
K

S

N

M
A

Ta có

D

C

B

 ( )  AB


+)  MN = ( )  ( SCD )  MN AB CD
 AB CD


0.5

 SK = ( SAD )  ( SBC )
+) 
 SK AD BC
AD BC


0.5

Từ đó suy ra:
0.5

AB CD CS
=
=
MN MN MS
BC CM
=
SK SM

0.5

AB BC CS CM MS
−

=
−
=
=1
MN SK MS SM MS
Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các 3.0


5b

mặt bên đều là hình vng. Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, AA ', A ' C ' . Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC . A ' B ' C '
bởi mặt phẳng ( MNE ) .

*) Dựng thiết diện
I

A

C
M
H
B

N

0.5
E
C'


A'
F
B'

J


Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trên ( ACC ' A ') gọi NE  AC = I ; NE  CC ' = J  AI=C'J=
Trên ( ABC ) gọi IM  BC = H  BH =
Trên

( BCC ' B ') gọi

a
2

a
4

HJ  B ' C ' = F  FC '=

 Thiết diện là ngũ giác MNEFH
Tính diện tích thiết diện

1.0

a
4


0.5

a 3 3a 3
3a 2 3a 2 3a 5
18a 2
2
IH = 3MH = 3
=
; HJ = ( ) + ( ) =
; IJ =
4
4
4
2
4
4
 HIJ vuông tại H
S MNI IM .IN 2 1 2
=
= . = ;
S IHJ
IH .IJ 3 3 9

 S MNEFH = S IHJ − S MNI − S JEF

6

S EFJ JE.JF 1 1 1
=

= . =
S HIJ JI .JH 3 3 9
2
1 3a 3 3a 5 3a 2 15
= S HIJ = .
.
=
3
3 4
4
16

0.5

0.5

Cho x, y , z là 3 số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2 . Tìm giá trị lớn nhất 2.0

xy
+
xy + 2 z

của biểu thức: P =

yz
zx
+
yz + 2 x
zx + 2 y


Ta có:
xy
=
xy + 2 z

xy
=
xy + z ( x + y + z )

Đẳng thức xảy ra 
Tương tự :

1 x
y 
 
+
( x + z )( y + z ) 2  x + z y + z 
xy

0.5

x
y
=
x= y
x+z y+z

yz
1 y
z 

 
+

yz + 2 x 2  y + x z + x 

Đẳng thức xảy ra  y = z
0.5

zx
1 z
x 
 
+
 Đẳng thức xảy ra  z = x
zx + 2 y 2  z + y x + y 
P=

xy
+
xy + 2 z

yz
zx
1 x+ y y + z z + x  3
+
 
+
+
=
yz + 2 x

zx + 2 y 2  x + y y + z z + x  2

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =
Vậy Pmax =

3
2
khi x = y = z =
2
3

0.5

2
3
0.5

Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì
vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.