ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
MÔN THI : TỐN
-------------------------------------KHỐI 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Ngày thi : Thứ Hai 02/5/2019
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
---------------------------------------------Bài 1. (1,5đ) Tính các giới hạn sau:
a) lim

x 





9 x  12 x  3x .
2

b) lim

3 x

x 3

x 2  7  4( x  3)
.
( x  3)2

Bài 2. (1đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y  cos 2 (1  2 x 2 ).

a) y  (1  2 x) 1  x  2 x .
2

2
3
3
2
Bài 3. (1đ) Chứng minh phương trình (m  2m  3)( x  3 x  4)  m x  0 có ít nhất một nghiệm

với mọi số thực m.
 2 x  2 x

, khi  2  x  0 liên tục trên [2;2] .
x
m  2 x,
khi 0  x  2

Bài 4. (1đ) Tìm m để hàm số y  f ( x)  

Bài 5. (1,5đ) Cho hàm số y  f ( x) 

2x  1
(C).
1 x

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y  2 x  1 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
x  3y 1  0 .

Bài 6. (4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a,
(𝐴𝐵𝐶𝐷), SA  a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).
a) Chứng minh BD  (SAC) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).

HẾT

, SA ⊥


Đáp án và cho điểm
Bài 1

a)

b)

Bài 2

Tìm giới hạn







12 x

9 x 2  12 x  3x  lim 

2
x 
x 
 9 x  12 x  3x 




12

 lim 
x  
12

  9 2 3
x


 2
lim

3  x x 2  7  4( x  3)
x2  7  4
lim

lim
x 3
x 3

( x  3) 2
( x  3)
x3
 lim
2
x 3
x 7 4
3

4
Tính đạo hàm hàm số

y  (1  2 x) 1  x  2 x 2 .
y'  (1  2 x)' 1  x  2 x 2  (1  2 x)

 2 1  x  2 x 2  (1  2 x)



1  x  2 x2



'

1  4x

2 1  x  2 x2
4(1  x  2 x 2 )  (1  2 x)(1  4 x) 16 x 2  10 x  3



2 1  x  2 x2
2 1  x  2 x2

b) y  cos 2 (1  2 x 2 )

y'  2 cos(1  2x 2 ). cos(1  2x 2 )  '
 2cos(1  2 x 2 ).sin(1  2 x 2 ). (1  2 x 2 )'
= 8 x cos(1  2 x 2 ).sin(1  2 x 2 ).
 4 x.sin(2  4 x 2 ).
Bài 3

Chứng minh rằng phương trình

(m 2  2m  3)( x3  3 x  4)3  m 2 x  0

một nghiệm với mọi số thực m.
Đặt

f ( x)  (m 2  2m  3)( x 3  3x  4)3  m 2 x .

(1) có ít nhất


Hàm số

f ( x ) xác định và liên tục trên R

Hàm số


f ( x ) liên tục trên [-1;1]




3
2
2
f (1)  (8) (m  2m  3)  m  0 

f (1)  m2  0

 f (1). f (1)  0, m
 x1  [1;1] sao c ho f ( x1 )  0.
Vậy pt (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.

 2 x  2 x

, khi  2  x  0
x
m  2 x,
khi 0  x  2

Bài 4

(1đ) Tìm m để hàm số y  f ( x)  

liên tục trên

[2;2] .


lim f ( x)  lim

x 0

x 0

2 x  2 x
2
1
 lim

x 0
x
2 x  2 x
2

lim (m  2 x)  m

x  0

f (0)  m
Hàm số liên tục trên

[2;2]

khi và chỉ khi

lim f ( x)  lim ( f ( x)  f (0)


x  0

m

x 0

1
2

Bài 5
Cho hàm số

y  f ( x) 

2x  1
1 x

có đồ thị (C).

a)Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng

y '  f '( x) 

3
(1  x)2

.

2x  1
 2 x  1;

Pthđ giao điểm :
1 x

1

x

(x  1)  
2

x  0

1
1 4

x
 y  0; f '( ) 


2
2
3

 x  0  y  1; f '(0)  3

y  2 x  1.


Tại


4
2
 1 
M 1  ;0  , pttt : y  x 
3
3
 2 

Tại M2(0;1),

pttt : y  3x  1

b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng

x  3y 1  0 .

Gọi M(xo;yo) là tọa độ tiếp điểm. tt song song với (d):

3
1

2
(1  x0 )
3
 x  2  y0  1

 x  4  y0  3

Bài 6


pttt tại M(-2;-1);

1
1
y x
3
3

pttt tại M(4;-3);

1
13
y x
3
3

( loại)

(4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a,
(𝐴𝐵𝐶𝐷),

, SA ⊥

SA  a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).

a) Chứng minh

BD  (SAC)


. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
S

K

H
D

C
O
A

B

I

a) Học sinh chứng minh

BD  (SAC)

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là OK.


* Tam giác SAC có

Suy ra


OK 

SA  AC  a 3 . Gọi M là trung điểm SC

1
1
a 6
AM  SC 
2
4
4

b)Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
Xác định SH là hình chiếu vng góc của SA lên (SBD), suy ra góc

[ SA;( SBD)]  ASH  ASO

tan ASO 

1
 ASO  26034'
2

c)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

d[C;(SBD)]  d[A;(SBD)]
AH  (SBD)  d[A;(SBD)]  AH
1
1

1
a 15



AH

AH 2 SA2 AO 2
5

d)Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
Xác định đúng

[( KBC );(OBC )]  [( SBC );( ABC )]  SIA

AI .BC  AC.BO  2S ABC 
 AI 

a2 3
4

a 3
2

tan SIA 

SA
2
AI


 [(KBC);(OBC)]  [(SBC);( ABC)]  SIA  63026 '