ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH
(2021-2022)

Đề tài 4:

“Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải một số
bài tốn trong giải tích”
GVHD:

Ths. Đậu Thế Phiệt
Lớp: L24
Nhóm số: 12

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN VẬT LÝ 1
ĐỀ TÀI 4
“Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải một số bài tốn trong giải tích”

GVHD: Ths. Đậu Thế Phiệt
Lớp: L24
Nhóm số: 12
Danh sách thành viên:

Họ tên

MSSV

1.

Lê Minh Hồng (nhóm trưởng)

2113398

2.

Hồ Quang Thiện

2114866

3.

Lê Khánh Huy

4.

Nguyễn Chí Trung

2115117

5.

Phạm Tiến Đạt


2113156

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021

2110197


MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ẢNH......................................................................................iii
DANH MỤC BẢNG BIỂU.................................................................................... iv
TĨM TẮT................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU........................................................................................... 2
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT....................................................................... 4
CHƯƠNG 3. MATLAB.......................................................................................... 9
CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN........................................................... 13
4.1. Kết quả......................................................................................................... 13
4.2. Kết luận........................................................................................................ 13
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 14
PHỤ LỤC (nếu có)................................................................................................ 15

ii


DANH MỤC HÌNH ẢNH
Ví dụ

Hình 1.1………………………………………………………………………………1
Hình 1.2………………………………………………...…………………………….2


iii


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Ví dụ:
Bảng 1.1……………………………………..…………………………………………1
Bảng 1.2………………………………………………...…………………..………….2

iv


TĨM TẮT
I.
-

Tóm tắt đề tài:

Giải tích hàm số là một biến số là môn học quan trọng đối với sinh viên cá ngành

khoa học tự nhiên và kỹ thuật, trong suốt chương trình thầy cơ đã xây dựng các đề mục

để sinh viên dễ dàng tiếp thu kiến thức, trong đó có chương đạo hàm và vi phân của
hàm số một biến số một chương khá quen thuộc mà chúng ta đã được tìm hiểu từ cấp
ba. Các bài tốn trong bài báo cái này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm của đạo
hàm và vi phân của hàm số một biến số đồng thời ứng dụng công cụ Matlab để trình
bày kết quả một cách nhanh chóng giúp nâng cao khả năng lập trình Matlab cũng như
đưa đến một cách nhìn khách quan về bài tốn.
-

Trong cơ học phương trình chuyển động là các phương trình mơ tả hành vi của


một hệ vận động về chuyển động của nó như một hàm số theo thời gian. Phương trình
quỹ đạo của một chất điểm chuyển động là phương trình mơ tả những điểm mà chất
điểm đi qua, cịn gọi là quỹ đạo hay quỹ tích. Phương trình quỹ đạo chỉ nói đến mối
liên hệ giữa các thành phần của tọa độ mà khơng nói đến yếu tố thời gian trong chuyển
động đó. Phương trình quỹ đạo có thể tìm được từ phương trình chuyển động, sau khi
đã tích phân theo thời gian để loại bỏ tham số thời gian.
Trong chuyển động trịn đều, vận tốc tuy có độ lớn không đổi, nhưng hướng
luôn

thay đổi, nên chuyển động này có gia tốc. Gia tốc trong chuyển động trịn đều luôn
hướng vào tâm của quỹ đạo nên gọi là gia tốc hướng tâm.

II.
-

Hướng giải quyết và ý nghĩa bài toán:

Hướng giải quyết đề tài: Sử dụng kiến thức của chương đạo hàm vi phân, tìm

hiểu thêm về cơng thức hình thang, cơng thức euler. Qua đó giải quyết các bài tốn.
Đồng thời sử dụng kiến thức về lập trình matlab để biểu diễn hình học phương trình
chuyển động, phương trình tiếp tuyến,…
-

Ý nghĩa bài toán: Bài toán giúp chúng ta hiểu hơn về vi phân, đạo hàm, biết

thêm một số cơng thức mới trong giải tích, năng cao khả năng vận dụng kiến thức để
giải các bài toán thực tế. Bên cạnh đó giúp chúng ta có một cái nhìn trực quan thơng
qua giải tốn và biểu diễn các phương trình tốn học bằng cơng cụ hỗ trợ Matlab.


1


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
-

Giải tích là một trong những mơn học có tính ứng dụng vào đời sống thực tiễn

cao. Vì thế, những bài tốn thực tế đang được đưa vào chương trình dạy học ngày càng
nhiều để tăng tính thực tiễn cho học sinh sinh viên. Quá trình giải bài tập yêu cầu vận
dụng lý thuyết vào việc giải các nhiệm vụ học tập cụ thể, qua đó rèn luyện được khả
năng vận dụng tri thức, rèn luyện được tính kiên trì, tính chủ động và sáng tạo của
người học.
- Các kĩ năng tính toán, sử dụng phần mềm ngày càng được ứng dụng nhiều
hơn
vào trong quá trình giải bài tập, đặc biệt là phần mềm lập trình MATLAB. Đây là một
cơng cụ thơng dụng và hiệu quả cho sinh viên. Do đó chúng tôi đã lựa chọn đề tài
“Ứng dụng đạo hàm vi phân để giải một số bài tốn trong giải tích” và giải quyết bài
toán được đề ra bằng MATLAB để nghiên cứu và trình bày đưới đây.
-

Ví dụ thực tiễn một số bài toán như khi một chiếc xe máy đang chuyển động kim

chỉ trên đồng hồ công-tơ-mét của xe máy sẽ di chuyển và chỉ số vận tốc xe máy đạt được
chiếc kim tốc độ đó tượng trưng cho đạo hàm quãng đường xe đi được theo thời gian tại
từng thời điểm. Khi xe dừng lại, kim tốc độ chỉ 0, tức là quãng đường không tăng và

không giảm, có nghĩa là xe đứng yên.


2. Mục tiêu để tài:
-

Áp dụng những kiến thức giải tích về đạo hàm và vi phân đã được học vào việc

giải quyết các bài tập đã được đề ra ban đầu .
- Hướng đến việc tiếp xúc, sử dụng các thuật tốn, chương trình matlab để có
thể
dễ dàng trong việc giải tốn trình bày bài toán một cách trực quan dễ tiếp cận:
+

Đối tượng: Các khái niệm về đạo hàm, vi phân, các phương pháp giải tích;

Cách sử dụng matlab cơ bản để hiểu hơn về các thuật toán , cách vẽ đồ thị , quỹ đạo
.
+
Phạm vi: Bài báo cáo trình bày sơ lược các kiến thức trong phần
“Đạo hàm,
vi
phân của một hàm số theo biến số”, tập trung chủ yếu về các khái niệm, công
thức,


2


các loại phương trình cơ bản, kiến thức giải tích có sự tương quan đến việc xử bài
tốn và nâng cao kĩ năng trong lập trình Matlab.


3


CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I.

Khái niệm đạo hàm của một biến:

Trong giải tích tốn học, đạo hàm của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến

-

thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích.
Tức là giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại 0, khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số = ( ) tại điểm 0.

Đạo hàm của hàm số

= ( ) được ký hiệu là ′( 0) hoặc ′( 0):

′

(

hoặc
′(

+
+

∆


) = lim

0

∆

Số gia của đối số là= −
Số gia của hàm số là= −

∆ →

0
0



Nói 1 cách dễ hiểu đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ

-

Giá trị đạo hàm tại 1 điểm

0

thể hiện:

+
Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo
hàm tại

đây dương + hay âm -)
+
Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng
bằng
delta x)
-

Trong q trình tính đạo hàm cịn xuất hiện khái niệm đạo hàm một bên chỉ giá trị của x chỉ tiến đến bên trái hoặc bên phải giá trị của

+ Đạo hàm bên trái của hàm số = ( ) tại

0

là khi ∆ → 0− (tức →

4

0

và nhỏ hơn 0)

0


( )− ( )
′( −)

=

0


lim
0

+ Đạo hàm bên phải của hàm số = ( ) tại
′( +)

=

0

+
là khi khi ∆ →( 0
(tức →
)− ( )

lim
0

′

′
− ( 0)

và lớn hơn 0)

Hàm số = ( ) có đạo hàm tại

-


Đạo hàm cịn gồm có nhiều cấp như đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai,…

II.

<=>

=

′
+ ( 0)

-

0

( 0) =

0

0

Khái niệm vi phân hàm một biến:

- Phép tốn để tính đạo hàm được gọi là vi phân hay nói cách khác vi phân là q
trình tính đạo hàm dùng để khảo sát tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi.
- Vi phân cấp một của hàm số
= ( ) tại điểm 0 ( 0)= ′( 0)

-


Ngoài ra cũng giống như đạo hàm vi phân cũng gồm nhiều cấp như vi phân cấp

một, vi phân cấp hai,…

III. Cơng thức hình thang:
-

Cơng thức hình thang hay cịn được gọi là cơng thức gần đúng tích phân là
cơng
thức dùng để tính tích phân của các hàm không thể biểu diễn nguyên hàm như các hàm
sơ cấp thông thường.
-

Công thức: ∫ ( )≈
−

Trong đó: ℎ =

ℎ
2

[()+ ()+2∑

=1

−1

( )]

với n là số đoạn được chia trên đoạn [ , ]

0=

,= ,

=

0

̅
+ ℎ, = 1,

Vấn đề sai số: ∈<

IV. Cơng thức Euler:
- Trong tốn học có nhiều cơng thức quan trọng ảnh hưởng đến nhiều bài tốn
trong đó có một cơng thức được mệnh danh là cơng thức tốn học đẹp nhất bao hàm
nhiều ý tưởng toán học cực kỳ sâu sắc và cũng bao hàm cả triết lý vũ trụ.

5


- Cụ thế Công thức Euler là một công thức tốn học trong ngành giải tích phức,
được xây dựng bởi nhà tốn học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Cơng thức chỉ ra mối
liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.
Cơng thức Euler:

= cos

+ sin


Trong đó:

-

+

Số e là cơ số logarit tự nhiên.

+

i là đơn vị của số phức.

+

Cos, sin là các hàm số lượng giác cosin và sin.

Trục tọa độ biểu diễn cơng thức euler:

V.

Bài tốn:

1. Tìm hiểu đề bài:
a) Bài tốn 1:
Đề bài: Cho đường cong tham số
{

( )=−2

2


+1

Viết phương trình đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm tự cắt.
Sử dụng Matlab hoặc Python, minh họa đường cong và tiếp tuyến tại điểm tự cắt đó.
b) Bài tốn 2:
Đề bài: Một xe di chuyển trên cung đường có dạng đường cong

6


y = xex . Tại từng thời điểm, vệt sáng trung tâm của đè xe xem như một đường tiếp
tuyến của cung đường, tiếp điểm là vị trí giữa đầu xe. Bên đường có một bức tượng ở
tọa độ (0.35, 0.37) (km). Giả sử xe chạy với vận tốc không đổi 60 km/h. Mất bao lâu
để xe di chuyển từ điểm
A có hồnh độ x = −0.6 (km) đến điểm B mà tại đó vệt sáng trung tâm
chiếu thẳng vào bức tượng.
số.

Tìm hiểu cơng thức hình thang để tính gần đúng tích phân của hàm

-

Tính quãng đường AB trên bằng phương pháp hình thang.

c) Bài tốn 3:
Đề bài: a) Tìm hiểu về công thức Euler để xấp xỉ nghiệm của phương trình
vi phân bậc nhất với điều kiện đầu.
b) Viết một chương trình sử dụng phương pháp Euler, tìm giá trị (1) với ( ) là nghiệm của phương trình vi phân điều kiện
đầu


+3

với (i) h=1 (ii) h=0.1 (iii) h = 0.01 (iv) h =0.001
(c) Chứng minh rằng y = 2 + e−x3
là nghiệm chính xác của phương
trình trên. Tìm sai số của phương pháp Euler khi tính y(1) với từng
bước nhảy h trên. Vẽ hình minh họa.
7

2

=6

2

,(0) = 3


2. Hướng giải bài toán:
a) Bài toán 1:
-

Đạo hàm cấp 1 phương trình tham số theo quy tắc đạo hàm tham số.

-

Sử dụng cơng cụ Matlab biểu diễn phương trình tham số và phương

trình đường tiếp tuyến tại điểm tự cắt.

b) Bài tốn 2:
-

Đạo hàm cấp 1 phương trình chuyển động của xe thu được phương

trình tiếp tuyến cũng chính là phương trình của vệt sáng trung tâm
-

Dựa vào tọa độ của bức tượng tìm được tạo độ của xe tại thời điểm

vệt sáng trung tâm chiếu thẳng vào bức tượng.
-

Dựa vào cơng thức hình thang giải được bài tốn.

c) Bài toán 3:
-

8


CHƯƠNG 3. MATLAB
Trong đề tài này chúng em chủ yếu chỉ sử dụng cộng cụ Symbolic Math Toolbox
có trong MATLAB. Đây là một công cụ mạnh của MATLAB hỗ trợ trong việc tính
tốn các biểu thức tốn học như đạo hàm, tích phâm, vi phân,…

I.

Các câu lệnh Matlab được sử dụng:


Trước khi đi sâu vào các dòng lệnh,
ta cần phải biết đối tượng đặc trưng (symbolic) là gì ? Sự khác biệt giữa đối tượng th
ông thường (biến số) với đối tượng đặc trưng và chức năng của chúng là gì ?
- Symbolic thay thế các trị số/giá trị bằng một ký tự (gọi là đối tượng đặc trưng
- sym). Để biến đổi một số, một biến hay một đối tượng nào đó thành kiểu Symbolic
ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
> x = sym(‘1/3’)
> a = sym(‘a’)
> z = sym(A)
>>syms ( ‘b’, ‘c’, ‘d’ )
>>syms b c d
Lưu ý:

Trong ví dụ số 4, syms (‘b’,

‘c’,

‘d’) tương đương b = sym (‘b’) ; c

= sym (‘c’) ; d
= sym (‘d’). Và ví dụ số 4, số 5 là tương đương nhau, như các bạn đã thấy thì ví dụ 5
s
ẽ dễ thực hiện hơn.
-

Symbolic giúp tính tốn những biểu thức toán học phức tạp bằng cách sử dụng

đạo hàm, tích phân, khai triển Taylor, giải phương trình vi phân,…bằng cách sử dụng
những biểu thức có chứa các đối tượng toán học (sym) thay cho các số, hàm, toán tử, b
iến.

- Sau đây là một số hàm cơ bản dùng cho đề tài :
Bảng những hàm được sử dụng trong đề tài
Tên hàm
diff
fplot
subs


grid on
disp

1. Hàm diff
- Là đạo hàm cấp k theo một biến. Cú pháp:
>> diff( f, x, k );
Trong đó :
f - hàm theo biến x (nếu hàm chỉ có 1 biến thì bỏ qua tham số x)
x - ấn số
k - cấp đạo hàm
Ví dụ : Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm số f =
x3+2x+5x3+2x+5
> syms x;
> f = x^3 + 2*x + 5;
> diff (f)
ans =
3*x^2 + 2
2. Hàm fplot – Vẽ đồ thị 2D
- Dùng để vẽ đồ thị. Cú pháp:
>> syms x
>> y = x^2 +5;
>> fplot (x , y , [-10 10] )


10


3. Hàm subs
-

Dùng để đổi biến số kiểu sym thành kiểu trị

số. Cú pháp: >> y = x^2 + 5;
>> subs ( y , x , 2 )

% thay x = 2 vào biểu thức trên

ans= 9

11


4. Hàm grid on
-

Dùng để mở lưới trong cửa sổ figure khi vẽ đồ thị.

Cú pháp: >> grid on
Có lưới

Khơng có lưới

5. Hàm disp

-

Dùng để xuất dữ liệu ra màn hình Command Window từ file.m.

Cú pháp: disp (‘ Du lieu , sentence,…’);

12


II.

Thuật toán và code:

CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN
I. Kết quả
-

SV trình bày minh hoạ kết quả đạt được ở một vài trường hợp và nhận xét,

diễn giải kết quả đạt được?
-

Ví dụ như: Hình 4.1 chỉ ra điều gì,……….

Hình 4.2 chỉ ra điều gì, tại sao như vậy, nhận xét, bình luận về kết quả thu được

Hình 4.1 Kết quả chạy được từ cửa sổ command window.

Hình 4.2. Kết quả quỹ đạo chuyển động của chất điểm.


II. Kết luận
Kết luận về nội dung đã thực hiện trong đề tài này?
13


Ví dụ: Đề tài này đã hỗ trợ xác định quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng
trường có lực cản môi trường. Với phương pháp sử dụng phần mềm Matlab có thể
giúp thuận tiện và dễ dàng hơn trong việc giải các bài tốn tương tự mà khơng thể
giải được bằng tay.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]

Ví dụ:
[1]

Lỗ đen vũ trụ. Truy cập 25/12/2012/http:// Wikipedia.com

[2]
Hồ Phan Minh Đức & cộng sự (2010), Nghiên cứu tình hình vận dụng chế
độ kế
tốn của các doanh nghiệp trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế, Tạp chí Khoa học Đại
học Huế, Tập 62, Số 28, tr. 45 – 55.
[3] ….

14



PHỤ LỤC
Đoạn code chúng em sử dụng trong ứng dụng MATLAB:

syms x y t; % tạo biến kiểu symbolic
x = 3*t^2 - (4/3)*t^3; % biến x kiểu symbolic
y = 8*t; % biến y kiểu symbolic
v = diff(y) / diff(x); % hàm diff nghĩa là đạo hàm
a = diff(v); % đạo hàm vận tốc (v) r =
(v^2)/a; % bán kính cong fplot(x,y,[0 5]);
% vẽ quỹ đạo từ t=0->t=5 grid on; % tạo
lưới trong đồ thị
disp('Ban kinh cong quy dao tai t=1(s) la: '); % xuất dịng chữ ra màn
hình disp(subs(r,1)); % xuất kết quả ra màn hình

15