chuyen de ham so luong giac va phuong trinh luong giac pham hung hai 6664

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 66 trang )

Fly Education Thầy Hải Toán
K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng
SĐT: 0905958921

PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2021

MỤC LỤC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1

§0 –

Cơng thức lượng giác cần nhớ

1

§1 –

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

3

§2 –

§3 –

§4 –

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

B

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

B

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

29

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

B

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
A

i/63

17

48

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm
số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1.

ii

MỤC LỤC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B
§5 –

ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

57

A

Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

B

Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ

63

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

§6 –

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ii/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Chươ

ng

HÀM SỐ
SỐ LƯỢNG
LƯỢNG GIÁC
GIÁC VÀ
VÀ
HÀM
PHƯƠNG
TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
GIÁC
PHƯƠNG
LƯỢNG
HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁCTRÌNH
VÀ

1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1) Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác
sin x

Góc

(I)
(II) (III) (IV )
GTLG
sin α

+
+
−
−
cos α
+
−
−
+
tan α
+
−
+
−
cot α
+
−
+
−
(Nhất cả - Nhị sin - Tam tan - Tứ cos)

y

+

1
π
2
(II)

(I)
cos x
0
x
2π 1

π
−1

O
(III)

(IV )
3π
2
−1

−

2) Công thức lượng giác cơ bản

sin α
cos α
1
1 + tan2 α =
cos2 α

cos α
sin α
1

1 + cot2 α = 2
sin α

Cung (góc) đối nhau

Cung (góc) bù nhau

cos(−α) = cos α

sin(π − α) = sin α

sin(−α) = − sin α

cos(π − α) = − cos α

tan(−α) = − tan α

tan(π − α) = − tan α

cot(−α) = − cot α

cot(π − α) = − cot α

Cung (góc) phụ nhau
π
sin
− α = cos α
2
π
cos

− α = sin α
2
π
tan
− α = cot α
2
π
cot
− α = tan α
2

sin2 α + cos2 α = 1
tan α · cot α = 1

tan α =

cot α =

3) Cung góc liên kết

1/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

BÀI 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

2

0. Cơng thức lượng giác cần nhớ

Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH

Cung (góc) hơn kém π
cos(π + α) = − cos α
sin(π + α) = − sin α
tan(π + α) = tan α
cot(π + α) = cot α

π
Cung (góc) hơn kém
2
π
sin
+ α = cos α
2
π
cos
+ α = − sin α
2
π
tan
+ α = − cot α
2
π
+ α = − tan α

cot
2

4) Công thức cộng

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b
cos (a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b
tan a + tan b
tan a − tan b
tan (a + b) =
tan (a − b) =
1 − tan a · tan b
1 + tan a · tan b
1 + tan x
π
1 − tan x
π
+x =
và tan
−x =
Hệ quả: tan
4
1 − tan x
4
1 + tan x
5) Công thức nhân đôi - hạ bậc - nhân ba
Nhân đôi
sin 2α = 2 sin α · cos α

cos 2α = cos2 α − sin2 α
= 2 cos2 α − 1
= 1 − 2 sin2 α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan2 α
cot2 α − 1
cot 2α =
2 cot α

Hạ bậc
1 − cos 2α
sin2 α =
2

sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α

1 + cos 2α
2

cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α

cos2 α =

1 − cos 2α
1 + cos 2α
1 + cos 2α
cot2 α =
1 − cos 2α
tan2 α =

Nhân ba

tan 3α =

3 tan α − tan3 α
1 − 3 tan2 α

6) Cơng thức biến đổi tổng thành tích
a−b
a−b
a+b
a+b
cos a + cos b = 2 cos
· cos
cos a − cos b = −2 sin
· sin
2
2
2
2
a+b
a−b
a+b
a−b
sin a + sin b = 2 sin
· cos
sin a − sin b = 2 cos
· sin
2

2
2
2
sin(a + b)
sin(a − b)
tan a + tan b =
tan a − tan b =
cos a · cos b
cos a · cos b
sin(a + b)
sin(b − a)
cot a + cot b =
cot a − cot b =
sin a · sin b
sin a · sin b
Đặc biệt
√
√
π
π
sin x + cos x =
2 sin x +
sin x − cos x =
2 sin x −
4
4
√
√
π
π

2 cos x −
=
= − 2 cos x +
4
4
7) Cơng thức biến tích thành tổng
cos a · cos b =

2/63

1
1
[cos(a − b) + cos(a + b)]
sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
2
1
sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]
2
Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

3

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hàm số y = sin x

○ Tập xác định: D = R.

y

○ Tập giá trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R.
○ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số
nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

− π2
−π

x

Đồ thị hàm số y = sin x

○ Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2π,
nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z.

2.

π

π
2

Hàm số y = cos x

○ Tập xác định: D = R.
○ Tập giá trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R.

y

− π2

−π

π

○ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số
nhận trục Oy làm trục đối xứng.
○ Hàm số y = cos x là hàm số tuần hồn với chu kì T =
2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z.

3.

x

π
2

Đồ thị hàm số y = cos x

Hàm số y = tan x

π
○ Điều kiện cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.

2
π
Tập xác định: D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
2

y

○ Tập giá trị: R.
○ Là hàm số lẻ.
○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là
tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z.

4.

3/63

−π − π2
O

π
2

π

x

Hàm số y = cot x

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

1.

4

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

○ Điều kiện sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} .

y

○ Tập giá trị: R.
○ Là hàm số lẻ.
○ Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π, nghĩa là
cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z.

5.

−π

3π
2

− π2
O

x

π

π
2

Một số trường hợp đặc biệt

Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

sin

sin

sin

B
cos

O

sin x = 1 ⇔ x =

π
2

+ k2π

A

cos

O

A
cos

O

B
sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π

sin x = 0 ⇔ x = kπ

Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x
B

A

A
O

sin

sin

sin

cos

O

cos x = 1 ⇔ x = k2π

O

cos

B
cos x = 0 ⇔ x =

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

cos

π
2

+ kπ

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

○ y = tan f (x) =

π
sin f (x)
ĐKXĐ
−−−−−−−−−−−−−→ cos f (x) = 0 ⇔ f (x) = + kπ, k ∈ Z.
cos f (x)
2

○ y = cot f (x) =

cos f (x)
ĐKXĐ
−−−−−−−−−−−−−→ sin f (x) = 0 ⇔ f (x) = kπ, k ∈ Z.
sin f (x)

○ Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:
○ y=

4/63

1
ĐKXĐ
−−−−−−−−→ P(x) = 0.
P(x)

○ y=

2n

ĐKXĐ

P(x) −−−−−−−−→ P(x) ≥ 0.

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

5

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

○ y=

2n

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

1
ĐKXĐ
−−−−−−−−→ P(x) > 0.
P(x)

Khi tìm tập xác định, ta xem nó có mẫu khơng? có tan, cot khơng? có căn không?
○ Với k ∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:
π
+ k2π.
2
○ + sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π.

2
+ sin x = 0 ⇔ x = kπ.

+ cos x = 1 ⇔ x = k2π.
○ + cos x = −1 ⇔ x = π + k2π.
π
+ cos x = 0 ⇔ x = + kπ.
2

π
+ kπ.
4
○ + tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4
+ tan x = 0 ⇔ x = kπ.

π
+ kπ.
4
π
○ + cot x = −1 ⇔ x = − + kπ.
4
π
+ cot x = 0 ⇔ x = + kπ.
2

+ sin x = 1 ⇔ x =

Ą Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:
a) y =

2 sin x + 3
cos x

b) y =

1 + cos x
1 − cos x

c) y =

2 + 3 cos 2x
sin x

d) y =

1 + cos x
1 + sin x

e) y =

sin x − 3
cos x + 1

f) y =

2 sin x + 3
cos x + 2

g) y =

2 sin x + 3
sin x − 1

h) y =

√
j) y = 3 − 2 cos x.

2 sin x − 3
2 sin x + 3
√
cos x − 2
k) y =
1 + cos x

i) y = sin
…
l) y =

x−1
.
x+2

1 + cos x
1 − cos x

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................

..............................................................................................
..............................................................................................

Ą Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R.
a) y =

√
m − cos x

b) y =

√
2 sin x − m

c) y =

sin x − 1
cos x + m

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

Ą Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = cos2 x − (2 + m) · cos x + 2m có tập xác định

R.
ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
6/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

7

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

..............................................................................................
..............................................................................................
Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.
Nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D, suy ra D là tập đối xứng và chuyển sang bước tiếp theo.
Bước 2. Tính f (−x), nghĩa là ta sẽ thay x bằng −x, sẽ có hai kết quả thường gặp sau:
○ Nếu f (−x) = f (x) thì f (x) là hàm số chẵn.
○ Nếu f (−x) = − f (x) thì f (x) là hàm số lẻ.
○ Nếu D không là tập đối xứng (∃x ∈ D ⇒ −x ∈ D) hoặc ( f (−x) = f (x) và f (−x) = − f (x))
ta sẽ kết luận hàm số f (x) không chẵn, không lẻ.
○ Ta thường sử dụng cung góc liên kết trong dạng tốn này, cụ thể
cos(−a) = cos a, sin(−a) = − sin a, tan(−a) = − tan a, cot(−a) = − cot a.
○ Lũy thừa: sin2n (−α) = sin2n α, cos2n (−α) = cos2n α, tan2n (−α) = tan2n α, . . .
○ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ
O làm tâm đối xứng.
Ą Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Å
ã
9π
a) y = f (x) = sin 2x +
;
2

b) y = f (x) = tan x + cot x.
ɓ Lời giải.

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

7/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH

8

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

Ą Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x.

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác.
Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:
○ −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒

0 ≤ | sin x| ≤ 1
0 ≤ sin2 x ≤ 1

hoặc −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒

0 ≤ | cos x| ≤ 1
0 ≤ cos2 x ≤ 1.

○ Biến đổi về dạng: m ≤ y ≤ M.
Kết luận: max y = M và min y = m.
Phương pháp: Khảo sát parabol.
Trong trường hợp hàm số có dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác, ta có thể dụng phương pháp đặt
ẩn phụ để đưa về hàm bậc hai, sau đó khảo sát hàm này và kết luận.
Kiến thức cơ bản về parabol:
ã
Å

∆
b
2
.
○ Đỉnh parabol (P) : y = ax + bx + c là I − ; −
2a 4a
○ Bảng biến thiên:
○ a>0:

8/63

○ a<0:

x
00

−∞
10

b
−20
2a

+∞
30

x
00

−∞

10

01
y
02

11

21

31

11

12

∆
−22
4a

32

01
y
02

12

b
−20

2a
∆
−21
4a
22

Th.S Phạm Hùng Hải –

+∞
30
31
32

0905.958.921

9

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức.
○ Bất đẳng thức Cauchy:
a+b √
≥ ab. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0.
2
a+b+c √
≥ 3 abc. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ≥ 0.
○ ∀a, b, c ≥ 0 thì

3
○ ∀a, b ≥ 0 thì

○ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

○ ∀x, y ∈ R, a, b > 0 thì

(a2 + b2 ) (x2 + y2 ). Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi

x y
= .
a b

x2 y2 (x + y)2
x y
+ ≥
. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi = .
a
b
a+b
a b

Trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên
đoạn cho trước, ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác để giới hạn miền của sin hoặc cos. Sau đó
thêm bớt giống phương pháp 1 hoặc bậc 2 thì sử dụng parabol.
○ m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x).
x∈D

○ m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min f (x).
x∈D

Ą Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
1 − 2sin2 x
.
3

a) y = 2 sin x + 3.

b) y =

d) y = 4 sin x cos x + 1.

e) y = 4 − 3 sin2 2x.

g) y = sin4 x + cos4 x.

h) y = sin6 x + cos6 x.

c) y =

√
2 + cos x − 1.

f) y = (3 − sin x)2 + 1.

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
√
Ą Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất.
ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
Ą Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
√
a) y = 3 sin x + cos x

b) y = sin 2x − cos 2x

c) y = 3 sin x + 4 cos x

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
11/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Ą Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
ɓ Lời giải.

12

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

..............................................................................................

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
Ą Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
a) y = 2sin2 x − 3 sin x + 1

b) y = 2cos2 x + 3 cos x − 2

c) y = cos 2x − sin x + 3

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
12/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

13

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

Ą Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
ɓ Lời giải.

sin x + 3 cos x + 1
.
sin x − cos x + 2

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

Ą Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1.
ɓ Lời giải.

14

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y = cot x.
π
A D = R\ k |k ∈ Z .
2
C D = R\{k2π|k ∈ Z}.

B D = R\{kπ|k ∈ Z}.
π
D D = R\
+ kπ|k ∈ Z .
2

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1 − 3 cos x
là
Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y =
sin x
π
kπ

A x = + kπ, k ∈ Z.
B x = k2π, k ∈ Z.
C x=
, k ∈ Z.
2
2
2 sin x + 1
là
Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y =
1 − cos x
π
A x = k2π.
B x = kπ.
C x = + kπ.
2
π
Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x −
là
3
π
π
5π
π
A x = +k .
B x=
+ kπ.
C x = + kπ.
6
2
12

2
Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây?
A R.
B (−∞; 0].
C [0; +∞].

D x = kπ, k ∈ Z.

D x=

π
+ k2π.
2

D x=

5π
π
+k .
12
2

D [−1; 1].

Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là
A [−2; 2].
B [0; 2].

C [−1; 1].

Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.

B Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.

Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:
A y = sin2 x.
B y = x cos 2x.

C y = x sin x.

D [0; 1].

D y = cos x.

Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x.
π
kπ
A x = kπ, k ∈ Z.
B x = + kπ, k ∈ Z.
C x=
, k ∈ Z.
D x ∈ R.
2
2
2 cos 3x − 1
Câu 11. Tập xác định của hàm số y =
là

cos x + 1
A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}.
B D = R \ {k2π; k ∈ Z}.
π
C D = R \ { + kπ; k ∈ Z}.
D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}.
2
Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì π.
B Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì π.
C Hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì π.
D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.
Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là
π
A T = 2π.
B T= .
C T = π.
D T = 4π.
2
Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn?
π
π
A y = sin x +
.
B y = cos x +
.
C y = sin 2x.
D y = tan x − sin 2x.
2
2

Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y
1
−π

π
O

2π

x

−1
14/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

15

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A y = 1 + sin x.

B y = 1 − sin x.

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

C y = sin x.

D y = cos x.

Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?
y

2

1
−π

−

π O
2

π
2

π

x

C y = 2 cos x.
D y = cos2 x + 1.
√
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2.

A max y = 3 và min y = 1.
B max y = 3 và min y = 2.
C max y = 3 và min y = −2.
D max y = 3 và min y = −1.
√
Câu 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin x + 3.
√
√
√
A max y = 5, min y = 1.
B max y = 5, min y = 2 5.
√
√
C max y = 5, min y = 2.
D max y = 5, min y = 3.
π
Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x −
.
4
A min y = −2, max y = 4.
B min y = 2, max y = 4.
C min y = −2, max y = 3.
D min y = −1, max y = 4.
B y = 2 − sin x.

Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x.
A min y = 1, max y = 2.
B min y = 1, max y = 3.
C min y = 2, max y = 3.
D min y = −1, max y = 3.

√
Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + sin 2x.
√
√
A min y = 2, max y = 1 + 3.
B min y = 2, max y = 2 + 3.
√
C min y = 1, max y = 1 + 3.
D min y = 1, max y = 2.
4
.
Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =
1 + 2sin2 x
4
4
A min y = , max y = 4.
B min y = , max y = 3.
3
3
4
1
C min y = , max y = 2.
D min y = , max y = 4.
3
2
Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x.
3
A max y = 4, min y = .
B max y = 3, min y = 2.
4

3
C max y = 4, min y = 2.
D max y = 3, min y = .
4
Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1.
A max y = 6, min y = −2.
B max y = 4, min y = −4.
C max y = 6, min y = −4.
D max y = 6, min y = −1.
Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A min y = −6; max y = 4.
B min y = −6; max y = 5.
C min y = −3; max y = 4.
D min y = −6; max y = 6.
Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A max y = 4, min y = −6.
B max y = 6, min y = −8.
C max y = 6, min y = −4.
D max y = 8, min y = −6.
15/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

A y = cos x + 1.

16

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y =
A 4.

B 6.

1 2
3
sin x − cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của T .
2
4
C 7.
D 3.

Câu 28. Hàm số y = cos2 x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng
9
9
A 3; 1.
B 1; −1.
C ; 0.
D ; 2.
4
4
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos2 x − sin 2x + 5 là
√

√
√
√
A 6 + 2.
B 6 − 2.
C 2.
D − 2.
Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y =
A M = −2.

B M = −3.

sin x + 2 cos x + 1
.
sin x + cos x + 2
C M = 3.

D M = 1.

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

—HẾT—

16/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

17

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.

Phương trình sin x = a.

Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.
sin

sin

cos

O

sin x = 1 ⇔ x =

π
2

+ k2π

A

cos

O

A
O

B
sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π

cos

sin x = 0 ⇔ x = kπ

√
√ ´
1
2
3
Trường hợp a ∈ ± ; ±
;±
. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc β ◦ tương
2
2
2
ứng.
®

① Cơng thức theo đơn vị rad:
đ

x = α + k2π
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = π − α + k2π
② Cơng thức theo đơn vị độ:
đ
x = β ◦ + k360◦
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = 180◦ − β ◦ + k360◦

sin

N

a

M

O

Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.
ñ
x = arcsin a + k2π
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = π − arcsin a + k2π

Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)
ñ

sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔

2.

f (x) = g(x) + k2π
,k∈Z
f (x) = π − g(x) + k2π

Phương trình cosx = a.

Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.
17/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

sin

B

18

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH

sin

B

sin

A
cos

O

A

cos x = 1 ⇔ x = k2π

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

cos

O

cos

O

B
cos x = 0 ⇔ x =

π
2

+ kπ

√
√ ´
1
2
3
Trường hợp a ∈ ± ; ±
;±
. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc β ◦ tương
2
2
2
ứng.
®

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

① Cơng thức theo đơn vị rad:
ñ
x = α + k2π
cos x = a ⇔
,k∈Z
x = −α + k2π

M
cos

② Công thức theo đơn vị độ:

ñ
x = β ◦ + k360◦
cos x = a ⇔
,k∈Z
x = −β ◦ + k360◦

a

O

N

Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.

ñ
x = arccos a + k2π
cos x = a ⇔
,k∈Z
x = − arccos a + k2π

Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)

ñ
cos[ f (x)] = cos[g(x)] ⇔

3.

f (x) = g(x) + k2π
,k∈Z
f (x) = −g(x) + k2π

Phương trình tan x = a.

´
√
√
3
Trường hợp a ∈ 0; ±
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc β ◦ tương
3
ứng.
®

18/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

19

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

① Công thức theo đơn vị rad:

tang

tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

N

a

② Công thức theo đơn vị độ:
O

tan x = a ⇔ x = β ◦ + k180◦ , k ∈ Z
M

tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z.

4.

Phương Trình cot x = a
´
® √
√
3
1
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan
để đổi số a về góc α hoặc β ◦ tương
Trường hợp a ∈ ±
3
a
π
ứng. Riêng a = 0 thì α =
2

① Cơng thức theo đơn vị rad:

a

cot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

cotang

N

② Công thức theo đơn vị độ:

O
◦

◦

cot x = a ⇔ x = β + k180 , k ∈ Z
M

Trường hợp a khác các số ở trên thì
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z.

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hay xấu;
• Chọn và ráp cơng thức nghiệm.
Ą Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
√

3
π
a) sin 3x = −
b) 2 sin
−x = 1
2
5
19/63

c) 2 sin (x − 45◦ ) − 1 = 0
Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trường hợp a khác các số ở trên thì

20

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

ã
Å
2π
d) cos x −
=1
3

Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

e)

√
2 cos 2x − 1 = 0

f) 3 cos x − 1 = 0.

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

Ą Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a) sin 3x = sin 2x

b) sin 2x − sin x = 0

c) sin 5x + sin x = 0

d) cos 2x − cos x = 0

e) cos 8x + cos x = 0

f) cos 4x − sin x = 0

ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
21/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Ą Ví dụ 3 (A.2014). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

ɓ Lời giải.

22

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH

..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

Ą Ví dụ 5 (B.2013). Giải phương trình sin 5x + 2 cos2 x = 1
ɓ Lời giải.
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................
..............................................................................................

..............................................................................................
22/63

Th.S Phạm Hùng Hải –

0905.958.921

chuyen de ham so luong giac va phuong trinh luong giac pham hung hai 6664

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về