Bài tập nâng cao giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

A. Lý thuyết

1. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình bằng cách:
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho chúng (thơng thường bài
tốn hỏi gì ta sẽ đặt ẩn như thế).
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích
hợp với bài tốn và kết luận.
2. Các dạng toán hay gặp
+ Dạng toán về chuyển động
+ Dạng toán về quan hệ các số
+ Dạng tốn làm chung cơng việc
+ Dạng tốn có nội dung hình học – hóa học
+ Dạng toán dân số, lãi suất, tăng trưởng

B. Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Trong một cuộc đua xe mô tô, ba tay đua khởi hành cùng một lúc. Mỗi
giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ
ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm
hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên.
Lời giải:
+ Đối 12 phút =

1

1
giờ, 3 phút =
giờ
5
20

+ Gọi x (km/h) là vận tốc của người thứ hai
đường đua

 x  3 ,

y (km) là chiều dài quãng

 y  0 .

+ Ta có vận tốc của mơ tơ thứ nhất là x  15 (km/h), vận tốc của mô tô thứ hai là
x  3 (km/h).
y
1
y
 x  x  15  5
 x  75  tm 

+ Theo đề bài ta có hệ phương trình: 
.
y
y
1
y


90
tm




 
 x  3 x 20

+ Vậy vận tốc của mô tô thứ nhất là 90km/h, vận tốc mô tô thứ hai là 75km/h và
vận tốc mô tô thứ ba là 72km/h.
Áp dụng: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình:
Bài 1: Một đồn khách du lịch đi tham quan bằng ơ tơ. Họ quyết định mỗi chiếc ô
tô phải chở một số hành khách như nhau. Ban đầu họ định cho mỗi ô tô chở 22
hành khách những như vậy thì thừa ra một người. Về sau khi bớt đi một ô tơ thì
có thể phân phối số khách hành như nhau lên mỗi xe ơ tơ cịn lại. Hỏi ban đầu có

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

1
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


bao nhiêu ơ tơ và có tất cả bao nhiêu hành khách du lịch, biết rằng mỗi ô tô chỉ
chở được không quá 32 người.
Đáp số: 24 chiếc ô tô và 529 hành khách
Bài 2: Đoạn đường AB dài 160km. Một ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B
đến A khởi hành cùng vào một thời điểm. Sau một thời gian hai xe gặp nhau tại
điểm C, đoạn đường AC dài 120km. Khi đi tới B, ô tô liền quay trở lại ngay và
đuổi kịp xe máy tại điểm D. Tính vận tốc của hai xe biết từ khi khởi hành tới lúc

hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ và vận tốc của hai xe không đổi?
Đáp số: 60km/h và 20km/h
Bài 3: Một bè nứa trôi tự do với vận tốc bằng vận tốc của dịng nước. Một ca nơ
cùng rời bến A để xi dịng song. Ca nơ xi dịng được 144km thì quay trở về
bến A ngay. Thời gian cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nơ trở về A, khi cịn
cách bến A 36km thì gặp bè nứa. Tìm vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dòng
nước.
Đáp số: 14km/h và 2km/h
Bài 4: Cùng một thời điểm, một chiếc xe tải xuất phát từ thành phố A đến thành
phố B và một chiếc xe con xuất phát từ thành phố B về thành phố A. Chúng
chuyển động với vận tốc không đổi và gặp nhau tại một điểm cách A 20km. Cả
hai xe đến A và B lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần 2 tại điểm C. Biết
thời gian xe con đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1
giờ.
Đáp số: 40km/h và 60km/h
Bài 5: Trên một đường giao thông đi qua 3 tỉnh A, B và C (B nằm giữa A và C) có
người thứ nhất chuyển động đều bằng ô tô xuất phát từ A, người thứ hai chuyển
động đều bằng xe máy xuất phát từ B. Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía C.
Đến C thì người thứ nhất quay trở lại ngay và về đến B đúng vào lúc người thứ
hai đến C. Tính quãng đường AC. Biết rằng quãng đường BC dài gấp đôi quãng
đường AB và khoảng cách giữa 2 địa điểm họ gặp nhau trên một đường đi (một
lần họ đi cùng chiều, một lần khi họ đi ngược chiều) là 8km.
Đáp số: AC = 31,5km
Bài 6: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc tại hai địa điểm A và B, đi ngược chiều
nhau. Sau khi khởi hành được 2 giờ thì họ gặp nhau cách trung điểm AB 15km.
Nếu vận tốc xe nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe gặp nhau sau
khi khởi hành 2 giờ 48 phút. Tìm vận tốc của mỗi xe?
Đáp số: 60km/h và 45km/h
Bài 7: Trên một quãng đường nối hai tỉnh A và B có hai người chuyển động đều.
Người X xuất phát từ A đi bằng ô tô đến B rồi quay trở lại A ngay. Người Y xuất

phát từ B đi bằng xe máy đến A rồi quay trở lại B ngay. Họ khởi hành cùng một
lúc. Lượt đi họ gặp nhau tại I và lượt về gặp nhau tại K. Biết AB = 120km, IB =
50km, tính AK?
Đáp số: AK – 30km

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

2
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Bài 8: Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/h. Sau đó một thời gian, một xe
con xuất phát từ A với vận tốc 40km/h và nếu khơng có gì thay đổi thì đuổi kịp
xe tải tại B. Nhưng ngay sau khi đi được nửa quãng đường thì xe con tăng vận
tốc thành 45km/h nên sau đó 1 giờ thì đuổi kịp xe tải. Tính qng đường AB?
Đáp số: 120km
Bài 9: Cùng một thời điểm, một xe máy xuất phát từ A đến B và một chiếc xe ô tô
xuất phát từ B đến A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp
nhau lần đầu tại một điểm cách A 20km. Cả hai chiếc xe đến A và B lập tức quay
trở lại và chúng gặp nhau lần 2 tại điểm C. Biết thời gian xe máy đi từ C tới B là
10 phút và thời gian giữa 2 lần gặp nhau là 1 giờ.
Đáp số: 40km/h và 60km/h
Bài 10: Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi
quay về A ngay với vận tốc riêng không đổi hết 2 giờ 15 phút. Khi ca nơ khởi
hành từ A thì lúc đó một đám bèo trơi tự do với vận tốc của dịng nước trôi từ A
và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8km. Tính vận tốc riêng
của ca nơ và vận tốc của dịng nước.
Đáp số: 36km/h và 4km/h
Ví dụ 2: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tại thành là 99. Tìm số đã

cho.
Lời giải:
+ Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (đơn vị, x  9, x  * ) và chữ số hàng
đơn vị là y (đơn vị, y  9, y   ).
+ Theo đề bài số mới hơn số đã cho 63 đơn vị. Hơn nữa tổng của hai số là 99 đơn
 x  1 tm 
.

 yx  xy  63  y  8  tm 
 xy  yx  99

vị. Suy ra ta được hệ phương trình: 

+ Vậy số cần tìm là 18.
Áp dụng: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ
chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Đáp số: 47
Bài 2: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng
chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó
giảm đi 99 đơn vị.
Đáp số: 746
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị là 2. Biết rằng nếu xen vào giữa hai chữ số trên chính chữ số phải tìm thì
số đó tăng thêm 5480 đơn vị.
Đáp số: 53

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

3

Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Bài 4: Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7 và chia số lớn cho 5
thì thương thứ nhất kém thương thứ hai 4 đơn vị. Tìm hai số đó.
Đáp số: 40 và 28
Bài 5: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu cộng thêm 18 đơn vị
vào số đó thì số mới chính là số cũ viết theo thứ tự ngược lại (hàng chục đổi
thành hàng đơn vị và hàng đơn vị đổi thành hàng chục). Hãy tìm số đó.
Đáp số: 24
Bài 6: Có 37 cây táo với số trái bằng nhau. Có 17 trái bị hỏng, số còn lại đem chia
đều cho 79 người. Hỏi mỗi cây có ít nhất bao nhiêu trái táo?
Đáp số: 9 trái
Bài 7: Một người dán tất cả các tem của mình vào 1 quyển vở. Nếu dán 20 tem
trên một tờ thì quyển vở khơng đủ để dán hết số tem. Nếu mỗi tờ dán 23 tem thì
ít nhất 1 tờ để trống. Nếu giả sử trên quyển vở đó, một tờ dán 21 tem thì tổng số
tem đem dán trên quyển vở đó với số tem thực của người đó có 500 tem. Hỏi
quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem người đó có là bao nhiêu?
Đáp số: 248 tem và 12 quyển vở
Ví dụ 3: Ba cơng nhân cùng làm 1 cơng việc thì xong sớm hơn 18h so với người
thứ 3 làm một mình, sớm hơn 3h so với người thứ 2 làm một mình và bằng một
nửa thời gian so với người 1 làm một mình. Tình thời gian của mỗi người khi làm
một mình.
Lời giải:
+ Gọi thời gian người 1, 2, 3 làm xong công việc lần lượt là x, y, z (giờ, x, y, z0).
+ Trong một giờ mỗi người làm được
cùng làm xong công việc là

1 1 1
, , công việc. Thời gian cả 3 người

x y z

1
giờ. Theo bài ta có phương trình:
1 1 1
 
x y z
1
x
 z  18  y  3 
1 1 1
2
 
x y z

+ Giải phương trình trên bằng cách tách thành những phương trình nhỏ, ta được:
x  4, y  5, z  20 .
Áp dụng: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ. Người A và C làm xong
công việc trong 63 giờ, người B và C làm xong công việc trong 56 giờ. Hỏi ba
người cùng làm sẽ hồn thành cơng việc trong bao lâu?
Đáp số: 42 giờ
Bài 2: Có ba thùng đựng nước:
Lần thứ nhất, người ta đổ ở thùng 1 sang hai thùng kia một số nước bằng số
nước ở mỗi thùng đó đang có.

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

4
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc



Lần thứ hai, người ta đổ ở thùng 2 sang hai thùng kia một số nước gấp đôi số
nước ở mỗi thùng đó đang có.
Lần thức ba, người ra đổ ở thùng 3 sang hai thùng kia một số nước bằng số
nước ở mỗi thùng đó đang có.
Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nước. Tính số nước ở mỗi thùng lúc đầu.
Đáp số: 38 lít, 26 lít, 8 lít
Bài 3: Cho ba vịi nước A, B, C cùng chảy vào một cái bể. Vòi A, B chảy đầy bể
trong 71 phút. Vòi A, C chảy đầy bể trong 63 phút. Vòi B, C chảy đầy bể trong 56
phút.
a, Mỗi vòi chảy đầy bể trong bao nhiêu phút, cả ba vịi cùng mở một lúc thì trong
bao phút thì đầy bể?
b, Biết vịi C chảy 10 lít ít hơn mỗi phút so với vòi A, B cùng chảy một lúc. Tính
sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi?
Đáp số: a, 168 phút, 126 phút,

504
phút, 42 phút
5

b, 2520 lít, 20 lít/phút, 20 lít/phút, 25 lít/phút
Ví dụ 4: Để lựa chọn học sinh khối 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để
tham dự kiểm tra đánh giá chất lượng học kì II , với tổng số 99 học sinh được các
thầy cô lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán, 45 học
sinh giỏi Văn, 48 học sinh giỏi Tiếng Anh, 25 học sinh giỏi cả Toán và Văn, 22 học
sinh giỏi cả Toán và Anh, 15 học sinh giỏi cả Văn và Anh, 6 học sinh không giỏi
bất cứ mơn nào trong các mơn trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 mơn Tốn, Văn,
Anh.
Lời giải:

+ Gọi số học sinh giỏi cả 3 mơn Tốn, Văn, Anh là x (học sinh, x  0, x   )
+ Số học sinh chỉ giỏi mơn Tốn là y  50  25   22  x  học sinh.
+ Số học sinh chỉ giỏi môn Văn là z  44  25  15  x  học sinh.
+ Số học sinh chỉ giỏi môn Anh là t  48  22  15  x  học sinh.
+ Do có 6 học sinh khơng giỏi bất kì mơn nào nên ta có: 99  6  y  z  t  x  12 .
+ Vậy số học sinh giỏi cả 3 môn là 12 học sinh.
Áp dụng: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi
chọn các môn Toán, Văn và Anh trên tổng số 111 học sinh. Kết quả có: 70 học
sinh giỏi Tốn, 65 học sinh giỏi Văn và 63 học sinh giỏi Anh. Trong đó, có 49 học
sinh giỏi cả Văn và Tốn, 32 học sinh giỏi cả Toán và Anh và 34 học sinh giỏi cả
Văn và Anh. Biết rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu, xác định số học sinh giỏi
cả 3 mơn Tốn, Văn, Anh.
Đáp số: 23 học sinh
Bài 2: Một trường có 2392 học sinh. Trong đó có một học sinh đạt giải trong kì thi
quốc tế, một số học sinh đạt giải quốc qua, một số đạt giải của tỉnh và một số đạt
giải của trường (khơng có học sinh nào đạt cả hai giải). Biết rằng số các học sinh
Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

5
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


đạt mỗi giải nói trên cũng là các chữ số của học sinh còn lại, và số học sinh đạt
giải quốc tế ít hơn số học sinh đạt giải quốc gia, số học sinh đạt giải quốc gia ít
hơn số học sinh đạt giải tỉnh và số học sinh đạt giải tỉnh ít hơn số học sinh đạt
giải trường. Hãy cho biết số học sinh đạt mỗi giải nói trên và số học sinh cịn lại
khơng đạt giải.
Đáp số: 2; 3; 5; 17; 2375 học sinh
Bài 3: Một đàn ngựa giá 204 triệu đồng. Có ba người mua ngựa nhưng mỗi người

đều khơng đủ tiền. Nên:
Người thứ nhất nói với 2 người kia là cho tôi vay một nửa tổng số tiền của họ
thì đủ tiền mua.
Người thứ hai nói với 2 người kia là cho tôi vay 1/3 tổng số tiền của họ thì đủ
tiền mua.
Người thứ ba nói với 2 người kia là cho tôi vay 1/4 tổng số tiền của học thì đủ
tiền mua.
Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền?
Đáp số: 60; 132; 156 triệu đồng
Bài 4: Một người mua 30 con chim gồm 3 loại chim sẻ, chim ngói và chim bồ câu
hết tất cả 30 đồng. Biết rằng 3 con chim sẻ giá 1 đồng, 2 con chim ngói giá 1 đồng
và mỗi con chim bồ câu giá 2 đồng. Hỏi mỗi loại có mấy con?
Đáp số: 9; 10; 11 đồng
Bài 5: Bốn người góp vốn kinh doanh tổng số tiền là 6 tỷ đồng. Số tiền người thứ
nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt bằng 1/3, 1/3 và 1/5 tổng số tiền của ba người cịn lại.
Hỏi người thứ tư góp bao nhiêu tiền?
Đáp số: 2,3 tỷ đồng
Bài 6: Trong một buổi liên hoan lớp học, có 15 vị khách đến dự. Vì lớp có 40 học
sinh nên phải kê thêm một dẫy ghế nữa mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi dãy ghế
số người ngồi như nhau và ngồi không quá 5 người. Hỏi lớp học lúc đầu có bao
nhiêu dãy ghế?
Đáp số: 10 dãy ghế
Tải thêm tài liệu tại:
/>
Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

6
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc