Chương 3
Đ NG L C H C V T R N QUAY
3.1 Phương trình cơ bản c a v t r n quay
3.1.1 Mô men l c:
a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay:
G

Lực F tác dụng lên vật rắn tại điểm M làm cho vật rắn quay xung quanh trục
Δ.(hình 3-1).

F2
F

Ft

O
M
Fn

F1

Hình 3-1
G

Ta phân tích F ra các thành phần như hình vẽ:
G G G
G G
G
F = F1 + F2 = F2 + Fn + Ft

trong đó:

G
F2 khơng gây ra chuyển động quay.
G
Fn không gây ra chuyển động quay.
G
Ft gây ra chuyển động quay.

Vậy: Trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh 1 trục, chỉ những thành phần
lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự.
b. Mô men của lực đối với trục quay:

Định nghĩa: Mô men của lực Ft đối với trục quay Δ là một véc tơ M xác định b i:

[

G

G

]

(3-1)

M = r.Ft

(3-2)

G
G G

M = r .Ft

G
G
G
M có phương trùng với trục quay Δ, có chiều thuận đối với chiều quay từ r sang Ft ,

có trị số:

[ ] = [Gr . FG ] = [Gr . FG ]

Nhận xét:
G
G G
- M = r .F

t

1

31


G
G
G
- M = 0 khi Ft = 0 hay Ft //Δ.
G

G


- M là mô men của Ft đối với điểm O.
3.1.2 Thiết l p phương trình cơ bản c a chuyển đ ng quay:

Mi là chất điểm thứ i bất kỳ của vật rắn nằm cách trục quay Δ một khoảng ri với

G
G
G
G
OM i = ri , có khối lượng là mi và chịu tác dụng của F ti ,gọi a ti là gia tốc tiếp tuyến của

Mi (hình 3-2), ta có:

G
G
m i a ti = Fti

[m i Gri . aG ti ] =

G

[Gr . FG ] = MG

Nhân hữu hướng 2 vế của biểu thức trên với r i :
i

ti

(3-3)


i

Mi

β

O ri

ati

Mi

Fti

Hình 3-2

[Gri .aG ti ] = [Gri .[β . Gri ]] = β ( Gri . Gri ) − Gri ( Gri .β ) = ri2 β

Ta có:

G

Vậy (3-3) thành

G

G
G
m i ri2 β = M i


G

G

(3-4)

Cộng các phương trình (3-4) vế với vế theo i, ta được:
G
G
(3-5)
∑ m i ri2β = ∑ M i

∑

G
M

∑m
i

i

Vậy:

i

G
= M


là tổng mô men các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục Δ.
i

i

r 2 = I gọi là mơ men qn tính của vật rắn đối với trục Δ.

i i

G
G
Iβ = M

(3-6)

(3-6) là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục.
Từ (3-6) suy ra:
G
G
M
β =
I

(3-7)

32


Kết luận: Gia tốc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỉ lệ với
tổng hợp mô men các ngoại lực và tỉ lệ nghịch với mô men qn tính của vật rắn đối

với trục.
3.1.3 Tính mơ men qn tính:

∑m r

Theo kết quả trên, ta có cơng thức tính mơ men qn tính:
I=

2
i i

i

∫r

Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục thì ta áp dụng cơng thức:
I=

2

dm

(3-8)

(tích phân trên tồn bộ vật rắn)
trong đó r là khoảng cách từ dm đến trục quay Δ.
Ví dụ 1: Tính mơ men qn tính I của một thanh đồng chất chiều dài l, khối lượng M
đối với trục Δ0 đi qua trung điểm G cuả thanh và vng góc với thanh.
Giải


Xét một phần tử của thanh khối lượng dm, chiều dài dx, cách G một đoạn x
(hình 3-3).
o

x

dx

G

l

Hình 3-3

Mơ men qn tính của dm đối với trục Δ0 là:
dI = x2dm
dm
dx
=
Vì thanh đồng chất nên:
M
l
M
dm = dx
Suy ra:
l
M
dI =
x 2 dx
(1) thành:

l
Suy ra:

M
I =
l

Ml
∫l x dx = 12
l
2

2

−

(1)

2

(2)

2

Ví dụ 2: Tính mơ men qn tính I của một đĩa đồng chất bán kính R, khối lượng M đối
với trục Δ0 đi qua tâm 0 cuả đĩa và vng góc với đĩa.
Giải

33



Chia đĩa thành nhiều phần tử hình vành khăn có bán kính là x, bề rộng của hình
vành khăn là dx (hình 3-4).
o

dx

x

O

Hình 3-4

diện tích của hình vành khăn là:
dS = d(πx2) = 2πxdx
dI = x2dm

Áp dụng công thức (1) :
Vì đĩa đồng chất nên:

dm
dS
2 π xdx 2xdx
=
=
=
2
M
πR
πR 2

R2

suy ra:

dm = 2

(1) thành

dI =

M
xdx
R2

2M 3
x dx
R2

2M
MR2
I = ∫ dI = 2 ∫ x 3dx =
R 0
2
R

Suy ra:

(3)

Mơ men qn tính của một số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng:

- Vành trịn bán kính R có trục quay đi qua tâm O và vng góc với mặt phẳng của
vành:
I = MR2
- Khối cầu bán kính R có trục quay đi qua tâm O:
2
I = MR 2
5

- Mặt chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b có trục quay đi qua tâm O và vng góc
với mặt phẳng của mặt chữ nhật:
I=

1
M(a 2 +b 2 )
12

Định lý Stene-Huygens:

trên ta đã tìm được mơ men qn tính của các vật rắn đối với trục đối xứng Δ0
(đi qua khối tâm G) của chúng. Trong nhiều trư ng hợp ta phải tìm mơ men qn tính

34


của các vật rắn đối với một trục bất kỳ. Khi đó ta có thể áp dụng định lý SteneHuygens, được phát biểu như sau:
Mơ men qn tính của 1vật rắn đối với 1trục Δ bất kỳ bằng mô men quán tính
của vật đối với trục Δ0 song song với trục Δ đi qua khối tâm G cuả vật cộng với tích
của khối lượng M của vật rắn với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục.
Xét trư ng hợp thanh đồng chất chiều dài l, khối lượng M, hai trục Δ0 và Δ cách
nhau một khoảng d,song song với nhau và cùng vng góc với thanh (hình 3-5).

Δ

Δ0

d

o

x

dx

G

l

Hình 3-5

Khi đó mơ men qn tính I của các vật rắn đối với trục Δ được xác định b i công thức
(3-9):
I = I0 + Md2
(3-9)
3.1.4

ng dụng

Bài tốn: Hai vật có khối lượng lần lượt là m1=2kg, m2=1kg, được nối với nhau bằng
1 sợi dây vắt qua rịng rọc có khối lượng m=1kg (hình 3-6). Tìm:
1. Gia tốc của các vật.
2. Sức căng T1 và T2 của các dây treo.

Coi ròng rọc là 1 đĩa trịn, các dây nối khơng giãn có khối lượng rất nhỏ, ma sát
khơng đáng kể.
Giải
Các lực tác dụng vào m1, m2 và rịng rọc như hình (3-6):
Áp dụng phương trình cơ bản của cơ học chất điểm cho 2 vật m1 và m2:
G
G
G
P1 + T 1 = m 1a
G
G
G
P2 + T2 = m 2a

(1)
(2)

Áp dụng phương trình cơ bản của vật rắn quay cho rịng rọc:
G
G G G
⎡⎣ R.(T1' + T2') ⎤⎦ = Iβ
(3)
Chiếu (1), (2) và (3) lên chiều dương đã chọn, ta được:
P1 - T1 = m1a
(1')
T2 - P2 = m2a
(2')
(3')
(T1' - T2').R =Iβ


35


và

a = βR

(4)

mR 2
Trong đó mơ men qn tính của ròng rọc là: I =
2

và T1 = T1' , T2 = T2'.

G
T2 '

R

G
T1 '

R

G
T2

G
T1


m2

+

G
P2

m1
G
P1

Hình 3-6

Giải 4 phương trình (1’),(2’),(3’) và (4), ta được:
(m1 − m 2 )g
m
m1 + m 2 +
2
m
m1 (2m 2 + )g
2
T1 =
m
m1 + m 2 +
2
m
m 2 (2m1 + )g
2
T2 =

m
m1 + m 2 +
2
a=

Thay các giá trị vào ta được kết quả :
a = 2,8m/s2
T1 = 14N
T2 = 12,6N
3.2 Mô men đ ng lượng c a m t hệ chất điểm
3.2.1 Đ nh nghĩa

Một hệ chất điểm M1, M2… Mi lần lượt có khối lượng m1, m2…mi …chuyển động
G G G
với những vận tốc v1 , v 2 ...v i ... đối với một hệ quy chiếu gốc O. Tại th i điểm t, vị trí

36


G G

G

những chất điểm ấy được xác định b i các véc tơ bán kính r1 , r2 ... ri ... . Mô men động
lượng của hệ đối với O được định nghĩa:

G
G
G
G

L = ∑ L i = ∑ ([ri . m i v i ])
i

(3-10)

i

bằng tổng mô men động lượng của các chất điểm trong hệ đối với O.
3.2.2 Trường hợp riêng

a. Hệ chất điểm quay xung quanh một trục Δ cố định
G
Mô men động lượng của chất điểm thứ i ( m i , ri ) là:
G
G
Li = Iiωi

(3-11)

Ii = miri2 là mơ men qn tính của chất điểm mi đối với trục quay Δ, ω i là vận tốc góc
G

của chất điểm mi trong chuyển động quay xung quanh Δ, khi đó mơ men động lượng
của hệ cho b i:
G
G
L = ∑ Ii ωi

b. Vật rắn quay xung quanh một trục Δ cố định
G G

G
G
G
Khi đó ω1 = ω2 =⋅⋅⋅ = ωi = ⋅⋅⋅= ωn = ω . Vậy:

(3-12)

i

G
G
G
L = (∑ I i )ω = Iω

trong đó I =

∑ I = ∑ (m r

2
i i

i

i

i

(3-13)

) là mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ.


i

3.2.3 Đ nh lý về mô men đ ng lượng c a m t hệ chất điểm
G

Đối với chất điểm ( m i , ri ) của hệ, khi áp dụng định lý về mô men động lượng ta
được:
G
G
dL i
= M/ O (Fi )
dt

Cộng các phương trình trên ta được

trong đó:
Ta có kết quả sau:

G
G
dL i
∑i dt = ∑i M/ O (Fi )
G
G
G dL
dL i d
∑i dt = dt ∑i L i = dt

G

G
d G
L = M/ O (Fi ) = M
dt

(3-14)

Định lý: Đạo hàm theo thời gian của mô men động lượng của một hệ bằng tổng mô
men các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một gốc điểm O bất kỳ).

37


Trường hợp riêng: hệ chất điểm là một vật rắn quay xung quanh trục Δ cố định thì mơ

men động lượng của hệ có dạng L = Iω . Khi đó định lý về mơ men động lượng có thể
G

G

viết như sau:
G
G
dL d(Iω) G
=
=M
dt
dt

Ta có:


G G
G t2 G
ΔL = L 2 − L1 = ∫ Mdt

(3-15)

t1

G
G
M
dt
gọi
là
xung
lượng
của
mô
men
lực
M
trong khoảng th i gian Δt = t2 - t1.
∫

t2

t1

Nếu M = const thì:

G

G G
ΔL = MΔt

(3-16)

Chú thích: Đối với vật rắn quay xung quanh một trục Δ cố định, mơ men qn tính
I = const do đó:
G
G
d(Iω) dω G G
=I
= Iβ = M
dt
dt

3.3 Đ nh lu t bảo tồn mơ men đ ng lượng
3.3.1 Thiết l p

Giả sử có một hệ chất điểm cơ lập hoặc có chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng
tổng mô men các ngoại lực ấy đối với điểm gốc O bằng 0, khi đó ta có: theo định lý về
mô men động lượng:
G
G
dL G
= M = 0 ⇒ L = const
dt

(3-17)


Vậy: Đối với một hệ chất điểm:
a. Cô lập
b. Chịu tác dụng của các ngoại lực sao cho tổng mô men của ngoại lực ấy đối
với điểm gốc O bằng 0
thì: Tổng mơ men động lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn.
3.3.2 Trường hợp hệ quay xung quanh m t trục cố đ nh

Áp dụng định lý về mô men động lượng:
G

Khi M = 0 ta được:

G
G
G
d G
(I1ω1 + I 2 ω 2 + .... + I i ω i ...) = M
dt

G
G
G
I1ω1 + I 2 ω 2 + .... + I i ω i ... = const

38

(3-18)



3.3.3 M t vài ng dụng c a đ nh lu t bảo tồn mơ men đ ng lượng

Đối với một hệ quay xung quanh một trục với vận tốc góc ω, nếu tổng hợp các
mơ men ngoại lực tác dụng lên hệ bằng khơng thì mơ men động lượng của hệ là một
đại lượng bảo tồn:
Iω = const
Nếu vì một lí do nào đó mơ men qn tính I của hệ tăng thì ω giảm, hệ quay chậm lại;
ngược lại nếu I của hệ giảm thì ω tăng, hệ quay nhanh lên. Ta xét một ví dụ sau:
Ví dụ: Giải thích hiện tượng một ngư i múa xoay trịn
Ngoại lực tác dụng vào ngư i là trọng lực và phản lực của đất; nếu bỏ qua ma sát
thì hai lực đó đều có phương thẳng đứng tức là song song với trục quay: mô men của
các lực đối với trục quay bằng không. Nếu ngư i giang tay ra (I tăng) thì vận tốc quay
sẽ giảm; Nếu ngư i co tay lại hay hạ hai tay xuống (I giảm) thì vận tốc quay sẽ tăng.

39


BÀI T P
3.1 Một đĩa tròn khối lượng m1=100 kg quay với vận tốc góc ω1=10 vịng/phút. Một
ngư i có khối lượng m2=60 kg đứng mép đĩa. Hỏi vận tốc của đĩa khi ngư i đó
đi vào đứng tâm của đĩa. Coi ngư i như một chất điểm.
Đáp số: ω = 22vịng/phút

3.2 Hai vật có khối lượng lần lượt bằng m1 và m2 (m1> m2) được nối với nhau bằng
một sợi dây vắt qua một rịng rọc (có khối lượng là M) (hình 1). Tìm:
a. Gia tốc của các vật.
b. Sức căng của sợi dây.
Coi ròng rọc là đĩa tròn, ma sát không đáng kể.
Đáp số: a/ a = ( m1 − m 2 ) g
m1 + m 2 +


m2
m1

Hình 1

m1 ( 2 m 2 +

M
2

M
M
)g
m 2 ( 2 m1 +
)g
;T =
2
2
b/ T =
2
1
M
M
m1 + m 2 +
m1 + m 2 +
2
2

3.3 Một hệ gồm một trụ đặc khối lượng M=2,54 kg và một vật nặng khối lượng m=0,5

kg được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua một rịng rọc (hình 2). Bỏ qua khối
lượng của dây, của rịng rọc và khung gắn với trụ. Tìm gia tốc của vật nặng và sức
căng của dây.
Đáp số: a = 1,16m/s
T= 4,42N

m

Hình 2

3.4 Một vật A khối lượng m trượt trên mặt phẳng nghiêng và làm quay một bánh xe có
bán kính R (hình 3). Mơ men qn tính của bánh xe đối với trục quay bằng I. Bỏ
qua khối lượng của dây. Tìm gia tốc góc của bánh xe.

40


R
α

A

Hình 3
Đáp số β = mgR (sin α − k2 cos α )
I + mR

3.5 Một rịng rọc có hai rãnh với bán kính lần lượt là R và r (R>r), mỗi rãnh có một
dây khơng dãn quấn vào, đầu tự do của các dây được nối vào một vật có khối
lượng lần lượt là m1 và m2 (m2>m1) (hình 4). Tìm:
a. Gia tốc góc của rịng rọc.

b. Lực căng của các dây treo.

m2
m1

Hình 4

Đáp số: β = ( m22 R − m1r2 ) g

m1r + m 2 R + I

T1 = m1(g + rβ); T2 = m2(g - Rβ)

3.6 Một bánh xe đang quay với vận tốc góc ω0 = 20π rad/s thì bị hãm, bánh xe quay
chậm dần đều rồi dừng lại sau th i gian t = 20s.
a. Gia tốc góc của bánh xe.
b. Số vịng mà bánh xe quay được kể từ lúc bị hãm đến lúc dừng.
Đáp số: a/ β = −3,14(rad / s 2 )
b/ N = 100 (vòng)

41