Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 1

Đ2 CệẽC TRề CUA HAỉM SO


CC DNG BI TP:
DNG 1: Tỡm cc tr ca hm s.
DNG 2: Tỡm iu kin hm s cú cc tr (hoc cú cc tr tha món iu kin cho
trc)


Dng 1: TM CC TR CA HM S

Quy tc 1:

- Tỡm TX ca hm s
- Tớnh
'( )fx
. Tỡm cỏc im ti ú
'( )fx
bng 0 hoc
'( )fx
khụng xỏc nh.
- Lp bng bin thiờn
- T bng bin thiờn duy ra cỏc im cc tr.

Quy tc 2:

- Tỡm TX ca hm s
- Tớnh

'( )fx
. Gii phng trỡnh
'( ) 0fx
v ký hiu
i
x


1,2,3, i
l cỏc nghim ca
nú.
- Tớnh

fx

v

i
fx


- Da vo u ca

i
fx

suy ra tớnh cht cc tr ca im
i
x
.


LUYN TP
Bi 1: Tỡm cỏc im cc tr ca cỏc hm s sau:
a)
23
32y x x

b)
2
36
2
xx
y
x




e)
2
25y x x

c)
4
2
3
22
x
yx


d)
2
4y x x

f)
2
2y x x x

Bi 2: Tỡm cỏc im cc tr ca cỏc hm s sau:
a)

2f x x x

c)

sin2 2f x x x

b)

2sin2 3f x x

d)

3 2cos cos2f x x x

Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 2

GII
a) TX: D=R

 
 
 

.
20
20.
x x voi x
fx
x x voi x





  



 Vi
0x 
:
 
2 2 0f x x

  
(vì
0x 
)
 Vi

0x 
:
 
22f x x

  
,
 
01f x x

   

Bng bin thiên:
0x 
,
 
0fx




x

-1 0


y


+ 0 - +

y
1 0

Kt lun:
o Hàm s đt cc đi ti
1x
,
 
11
CD
ff  

o Hàm s đt cc tiu ti
0x 
,
 
00
CT
ff

b) TX: D=R
 
4cos2f x x


,
 
0 cos2 0 2
2 4 2
f x x x k x k

  


        
,
k

 
8sin2f x x



Tính:
82
8sin
8 2 1
4 2 2


voi k n
f k k
voi k n
  



   

    


   

   

,
n

Kt lun:
 HS đt cc đi ti
4
xn



,
1
4
CD
f f n



   



 HS đt cc tiu ti
 
21
42

xn

  
,
3
2sin 2 3 2 3 5
2
CD
fn



       



c) TX: D = R

 
1 2cos2f x x


,
 
1
0 cos2 cos
2 3 6
f x x x k




       
,
k


 
4sin2f x x



Tính:
4sin 2 2 3 0
63
f k k


   

    
   
   

6
xk


  
là đim cc tiu
4sin 2 2 3 0

63
f k k


   

       
   
   

6
xk


   
là đim cc đi
Kt lun:
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 3
+ Hàm s đt cc đi ti
6
xk


  
,
3
2
6 6 2
CD

f f k k



       



+ Hàm s đt cc tiu ti
6
xk



,
3
2
6 6 2
CT
f f k k



     



d) TX: D=R
   
2sin 2sin2 2sin 4sin cos 2sin 1 2cosf x x x x x x x x


     

 
sin 0
0
1 2 2
1 2cos 0
cos cos 2
2 3 3
x k x k
x
fx
x
x x k









   



     




 
2cos 4cos2f x x x



Xét:
+
 
2cos 4cos 2 2cos 4 0f k k k k
   

    



HS đat cc tiu ti các đim
xk


,
 
3 2cos cos 2 2 2cos
CT
f f k k k k
   
     

+

2 2 4 1 1
2 2cos 4cos 2 4 3 0
3 3 3 2 2
fk
  

     

          
     
     



HS đat cc đi ti các đim
2
2
3
xk


  


2 2 4 9
2 3 2cos cos
3 3 3 2
CD
f f k
  



      























Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 4



Dng 2: TỊM IU KIN  HÀM S Cị CC TR

Lu ý:

1)  tính giá tr cc tr ca hàm bc 3:
 
32
f x ax bx cx d   
ta làm nh sau:

 
 
 
fx
x
Ax B
f x f x


  


     
f x Ax B f x x


    
(*)
Gi
i

x
là nghim ca pt
 
0fx


(
i
x
là các đim cc tr)

     
0
i i i
f x Ax B f x x



   


 
ii
f x x

  


Trong đó
x



là phn d ca phép chia
 
 
fx
fx


ng thng đi qua 2 đim cc tr là:
yx




( Vì to đ ca đim cc tr
 
;M x y
tho pt
 
0fx


, nên t (*) ta suy ra

yx


)


2) Tính giá tr cc đi, cc tiu ca hàm s:

 
 
2
ux
ax bx c
y
a x b v x




,
       
 
2
u x v x u x v x
y
vx







       
00y u x v x u x v x
  

   
(1)
Gi
i
x
là các nghim ca (1), t (1) ta suy ra:
       
0
i i i i
u x v x u x v x



 
 
 
 
ii
ii
u x u x
v x v x




Các giá tr cc tr là:
 
 
 
 

 
2
ii
i
i
ii
u x u x
ax b
yx
v x v x a


  


Do đó pt đng thng đi qua 2 đim cc tr là:
2ax b
y
a






Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 5
Bài 1: Cho hàm s:
 
3

22y m x mx   

Vi giá tr nào ca m thì đ th ca hàm s không có đim cc đi và đim cc tiu.
GII
TX: D =
o hàm:
 
2
32y m x m

  

 hàm s không có cc tr thì phng trình
0y


vô nghim hoc có nghim kép


0



 
0 4.3 2 0mm  



02m



Bài 2: Cho hàm s:
 
3 2 2
1
11
3
y x mx m m x     

Tìm m đ hàm s đt cc tiu ti đim
1x 

GII
TX: D =

o hàm:
22
21y x mx m m

    


22y x m



Hàm s đt cc tiu ti
1x 

 

 
10
10
y
y













2
3 2 0
2 2 0
mm
m

  








12
1
mm
m
  





Vy không có giá tr nào ca m đ hàm s đt cc tiu ti
1x 


Bài 3: Cho hàm s
32
3 3 2y x x x   

a) Tìm cc tr ca hàm s.
b) Vit phng trình đng thng đi qua các đim cc tr.

GII
a) TX: D =

o hàm:
2
63y x x


  

Cho
2
12
0 2 1 0
12
x
y x x
x



     





Chia
 
fx
cho
 
fx

, ta đc:

 
 

2
11
3 3 3 4 1
33
f x x x x x

     



Giá tr cc tr là:
 
00
41f x x  


 
 
1 2 3 4 2
1 2 3 4 2
f
f

   



   




Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 6
Lp bng bin thiên

C, CT.
b) Phng trình đng thng đi qua các đim cc tr là:
41yx  


Bài 4: Cho hàm s
 
32
6 3 2 6y x x m x m     

Xác đnh m sao cho:
a) Hàm s có cc tr.
b) Hàm s có hai cc tr cùng du.
GII
a) TX: D =

o hàm:
 
2
3 12 3 2y x x m

   

Cho
2

0 4 2 0y x x m

     
(*)

 
4 2 2mm

     

 hàm s có 2 cc tr thì:
0 2 0 2mm

      

b) Chia
 
fx
cho
 
fx

, ta đc:

   
2
12
3 12 3 2 4 2 2
33
f x x x m x x mx m



        






giá tr cc tr là:

      
0 0 0 0 0
4 2 2 2 2 2 2 2 1f x x mx m x m m m x           

Gi
1
x
,
2
x
là 2 đim cc tr
Hàm s có 2 cc tr cùng du
   
12
.0f x f x


    
12

2 2 1 2 2 1 0m x m x     


    
2
12
2 2 1 2 1 0m x x    


   
2
1 2 1 2
2 4 2 2 1 0m x x x x     


   
 
2
1 2 1 2
2 4 2 1 0m x x x x     
(1)
Mt khác:
12
12
4
3
xx  
,
12
.2x x m


Do đó (1)
   
2
2 4 2 2.4 1 0mm

     



   
2
2 4 17 0mm   
17
4
2
m
m










Kt hp vi điu kin có cc tr
2m

, ta đc:
17
2
4
m  

Bài 5: Cho hàm s:
   
32
11
1 3 2
33
y mx m x m x     

Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 7
Tìm m đ hàm s đt cc đi, cc tiu ti x
1,
x
2
tho
12
21xx

GII
TX: D =
o hàm:
   
2
2 1 3 2y mx m x m


    

Hàm s có 2 cc tr
   
2
0
1 3 2 0
m
m m m






     




2
0
2 4 1 0
m
mm





   


0
66
11
22
m
m





   


(*)
Gi
1
x
,
2
x
là 2 nghim ca phng trình
0y


thì:


 
 
 
 
 
12
12
12
2 1 1
21
2
32
.3
xx
m
xx
m
m
xx
m















T (1) và (2)
1
4
3x
m
  
,
2
2
1x
m
  

Thay vào (3)
 
32
24
13
m
m m m

  
    
  
  



2
3 5 4 0mm   

2
2
3
mm   
(Nhn so vi điu kin)
Vy:
2
2
3
mm  

Bài 6: Cho hàm s:
32
32
xx
y mx  
(H Y - Dc)
Tìm m đ hàm s đt cc đi và cc tiu có hoành đ ln hn m.
GII
TX: D =
o hàm:
2
y x x m

  


Hàm s đt cc tr ti nhng đim có hoành đ
xm


0y


có 2 nghim
1
x
,
2
x
tha
12
m x x


 
0
0
2
ym
s
m













2
1 4 0
20
1
2
m
mm
m




  






1
4
20
1

2
m
mm
m




    






2m  

Vy
2m  


Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 8
Bài 7: Cho hàm s:
     
32
2 3 1 6 2 1y f x x m x m x      
(1)
Tìm m đ (1) có cc đi, cc tiu và đng thng đi qua 2 đim cc đi, cc tiu
song song vi đng thng

34yx  

GII
TX: D =

o hàm:
   
2
6 6 1 6 2y x m x m

    

Cho
0y


   
2
1 2 0x m x m    

Hàm s (1) có cc tr
   
2
1 4 2 0mm      

 
2
3 0 3mm    

Ly (1) chia cho

 
1
6
fx

ta đc:
     
2
2
1
2 1 3 3 3
6
y x m f x m x m m

       

Phng trình đng thng đi qua 2 đim cc tr là:
 
2
2
3 3 3y m x m m     
(d)
 (d) song song vi đng thng
34yx
  
thì:
 
2
33m   


3 3 3 3mm      

Bài 8: Cho hàm s:
2
35
2
xx
y
x




a) Tìm cc tr ca hàm s.
b) Vit phng trình đng thng đi qua các đim cc tr.

GII
a) TX:
 
\2D 

o hàm:
 
2
2
41
2
xx
y
x





,
2
23
0 4 1 0
23
x
y x x
x

  

     

  



Giá tr cc tr là:

 
 
 
0
0
0
23

1
o
ux
x
yx
vx






 
2 3 1 2 3y     
,
 
2 3 1 2 3y     

Lp bng bin thiên

C, CT.
b) Phng trình đng thng đi qua 2 đim cc tr là:
23yx


Bài 9: Cho hàm s:
2
x mx m
y
xm





 
0m
. Tìm m đ hàm s:
a) Có cc đi và cc tiu.
b) Giá tr cc đi và giá tr cc tiu trái du.

Nguoithay.vn
Nguoithay.vn 9
GII
a) TX:
 
\Dm

o hàm:
 
22
2
2x mx m m
y
xm
  



,
22

0 2 0y x mx m m

     
(1)
Hàm s có cc đi, cc tiu

(1) có 2 nghim phân bit

 
22
0 0 0m m m m

        

b) Hàm s có 2 giá tr cc tr trái du khi và ch khi:

0y


có 2 nghim phân bit
 th không ct trc ox ( Pt
0y

vô nghim)

2
0
0
0
04

0 0 4
40
y
y
m
m
m
m
mm









     
  
   






Bài 10: Cho hàm s:
2
21

1
mx mx m
y
x
  



Tìm m đ giá tr cc đi và giá tr cc tiu ca hàm s cùng du
GII

TX:
 
\1D 

o hàm:
 
2
2
2 3 1
1
mx mx m
y
x
  



,
2

0 2 3 1 0y mx mx m

     

Hàm s có 2 giá tr cc tr cùng du khi và ch khi

0y


có 2 nghim phân bit

0y 
có 2 nghim phân bit (đ th ct trc hoành ti 2 đim phân bit)

2
0
40
0
0
y
y
mm
m


















1
0
1
4
4
0
mm
m
m

   

  





Vy
1

4
m