SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA

TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI
10 BÀI TỐN CỰC TRỊ ĐIỂN HÌNH CỦA HÌNH HỌC
TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN LỚP 12-THPT; GIÚP HỌC SINH
GIẢI NHANH VÀ ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KÌ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Lưu Thị Huyên
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học

THANH HĨA NĂM 2018

SangKienKinhNghiem.net


MỤC LỤC
Phần 1: MỞ ĐẦU .....................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài: ..................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài............................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi đề tài nghiên cứu. .............................................................1
3.1. Đối tượng nghiên cứu:.......................................................................................1
3.2. Phạm vi nghiên cứu: ..........................................................................................2
4. Thời gian nghiên cứu: ........................................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu: .....................................................................................2

6. Những nét đổi mới, sáng tạo và tạo ra giá trị mới nếu áp dụng sáng kiến: ..........2
Phần 2: NỘI DUNG ..............................................................................................3
1. Cơ sở lí luận của đề tài : .......................................................................................3
1.1. Cơ sở khoa học của đề tài:.................................................................................3
1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài: ................................................................................3
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: ...................................................................................3
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện – Kiểm nghiệm : ................................................3
3.1. Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ khơng gian lớp 12THPT: .......................................................................................................................3
3.2. Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan:..........................................................4
3.3. 10 bài tốn cực trị điển hình của hình học tọa độ khơng gian lớp 12-THPT: ...6
Bài tốn 1: Tìm M thuộc đường thẳng  ( hoặc mặt phẳng P  ) sao cho
P  1MA12   2 MA2 2  ...   n MAn 2 nhỏ nhất hoặc lớn nhất ……………………..........6
Bài tốn 2: Tìm M thuộc đường thẳng  ( hoặc mặt phẳng P  ) sao cho
uuuur
uuuur
uuuur
P  1 MA1   2 MA2  ...   n MAn

nhỏ nhất , trong đó

n


i 1

i

 0 . .........................................8

Bài tốn 3: Tìm M  P  sao cho MA  MB nhỏ nhất . .......................................................9

Bài tốn 4: Tìm M  P  sao cho MA  MB lớn nhất , với d A, P   d B, P  . ....10
Bài tốn 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z 2  và
x  x0 y  y0 z  z0


. Tìm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất . .....12
a
b
c
Bài tốn 6: Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và cách A một khoảng lớn

đường thẳng :

nhất. .............................................................................................................................................13
Bài tốn 7: Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và tạo với P  một góc nhỏ
nhất. .............................................................................................................................................14
Bài tốn 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa A, B và tạo với  một góc lớn
nhất. .............................................................................................................................................15

SangKienKinhNghiem.net


Bài tốn 9: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x1 ; y1 ; z1  và cắt đường
x  x0 y  y0 z  z0


sao cho khoảng cách từ B x2 ; y 2 ; z 2  đến đường
a
b
c

thẳng d là lớn nhất hoặc nhỏ nhất.......................................................................................16
Bài tốn 10: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x1 ; y1 ; z1  và cắt đường

thẳng d ' :

x  x0 y  y0 z  z0


sao cho khoảng cách giữa d và
a
b
c
x  x2 y  y2 z  z2
:


là lớn nhất. ....................................................................................18
a'
b'
c'

thẳng d ' :

3.4. Hiệu quả của việc sử dụng sơ đồ tư duy trong khi giải bài tốn hình học tọa độ
không gian lớp 12- THPT, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:...................19
Phần 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.......................................................................20
Mục lục
Tài liệu tham khảo
Danh mục các sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp
Sở GD&ĐT xếp loại C trở lên

Phụ lục

SangKienKinhNghiem.net


Phần 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Thực hiện chủ trương đổi mới giáo dục nước ta về mục tiêu, nội dung
chương trình và phương pháp giảng dạy, đặc biệt là đổi mới nội dung chương trình
sách giáo khoa và cách thức thi, kiểm tra, đánh giá học sinh. Trong kì thi THPT
quốc gia, đề thi mơn tốn có 50 câu trắc nghiệm, học sinh hoàn thành bài với thời
gian 90 phút. Làm thế nào để trong khoảng thời gian ngắn như thế, mà được điểm
cao thật không dễ! Rõ ràng, cách dạy trình bày lí luận khơng cịn phù hợp, thay
vào đó chúng ta phải dạy thế nào để học sinh ghi nhớ tốt nhiều công thức, nhiều
phương pháp, phát huy tính sáng tạo chủ động của học sinh, thì mới trả lời đúng
được nhiều câu hỏi trong thời gian nhanh nhất. Chính vì thế, tơi chọn đề tài: “Sử
dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài tốn cực trị điển hình của hình học
tọa độ không gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh và đạt điểm cao
trong kì thi trung học phổ thông quốc gia”.
Thực tế giảng dạy cho thấy rằng: học sinh thích học đại số hơn học hình học
và sợ học mơn hình học. Lí do là sao vậy? Hầu hết trong số các lí do là người học
thiếu phương pháp làm bài một cách khoa học và dễ nhớ, giống như một người
cần một đèn pin soi đường trong đêm tối, một người học khơng có phương pháp,
thì khơng thể học tốt được. Trong phạm vi của đề tài, tơi chỉ nghiên cứu về 10 bài
tốn cực trị điển hình của hình học tọa độ khơng gian lớp 12- THPT. Thiết nghĩ,
nếu một bài tốn hình học chỉ được trình bày đơn thuần từ đầu đến cuối, học sinh
sẽ dễ nhàm chán, không nắm được phương pháp; sử dụng sơ đồ tư duy, với ưu
điểm: có màu sắc, hình vẽ minh họa, đảm bảo tính khoa học – logic, học sinh dễ
học - dễ nhớ; sẽ soi đường, chỉ lối cho các em tìm ra phương pháp học đạt hiệu
quả cao.

Trong xu thế hội nhập vào nền cách mạng công nghiệp 4.0, học sinh của
chúng ta phải đáp ứng được nhiều tiêu chí: thơng minh, nhanh nhẹn, làm việc khoa
học - sáng tạo. Tôi hi vọng đề tài này giúp học sinh có được các tiêu chí trên, đặc
biệt nhiệm vụ trước mắt là giải quyết những câu khó dành điểm 9,10 trong đề thi
THPTQG, là tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, của các em học sinh và mong
nhận được sự chia sẻ, góp ý, để đề tài được ứng dụng rộng rãi hơn.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Qua nghiên cứu đề tài, giáo viên phải nắm được phương pháp giải 10 bài tốn
điển hình của hình học tọa độ khơng gian lớp 12-THPT, qua đó giúp học sinh áp
dụng giải các bài tập tương tự theo sơ đồ đã cho. Từ đó khơi nguồn và tạo cảm hứng
trong việc dạy - học tập và sự tìm tịi của những ai u thích mơn tốn học này.
3. Đối tượng và phạm vi đề tài nghiên cứu.
3.1. Đối tượng nghiên cứu:
Các bài tập cực trị hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT; áp dụng dạy
cho học sinh các khối, lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy từ năm 2016
đến nay. Cụ thể như sau: - Lớp 12A2, 12A4 năm học 2016– 2017 trường THPT
Đông Sơn 1.
1
SangKienKinhNghiem.net


3.2. Phạm vi nghiên cứu:
- Chương trình SGK Hình học lớp 12 chưa cải cách (NXB GD năm 2000)
- Chương trình SGK Hình học , lớp 12 cải cách (NXB GD năm 2006).
4. Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9 năm 2016 đến tháng 3 năm 2018.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề
ra trong q trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
+ Nghiên cứu tài liệu.
+ Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.

+ Thực nghiệm sư phạm.
+ Phân tích và tổng hợp lý thuyết.
+ Phân loại và hệ thống lý thuyết.
+ Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài
tập, củng cố bài học, hướng dẫn HS chuẩn bị bài, kết hợp với kiểm tra, đánh giá).
6. Những nét đổi mới, sáng tạo và tạo ra giá trị mới nếu áp dụng sáng kiến:
- Sáng tạo hơn: học sinh có hướng tư duy mới khi giải bài tốn hình học
cùng dạng và những dạng khác có liên quan;giúp học sinh học tập chủ động tích
cực, phát huy khả năng tự học ở nhà.
- Tiết kiệm thời gian: đây là sổ tay ghi nhớ, là cẩm nang để bàn giúp học sinh
chỉ cần nhìn vào sơ đồ là biết cách làm bài; giúp học sinh làm đúng và nhanh nhiều
bài tập tắc nghiệm trong thời gian ngắn, đạt điểm cao 9 - 10 trong các kì thi.
- Ghi nhớ tốt hơn: sơ đồ tư duy với hình vẽ bắt mắt, chữ viết màu sắc, giúp
học sinh dễ học dễ nhớ.
- Nhìn thấy bức tranh tổng thể: học sinh nắm được các bước rõ ràng đảm
bảo tính logic, hệ thống, tổng quát các bài tập từ đầu đến cuối.
- Phát triển nhận thức tư duy: học sinh có thể áp dụng cách học này cho
nhiều bài tập khác, môn học khác ; đồng thời thay đổi cách suy nghĩ cũ:“ thấy hình
học là khó”, mà u thích học mơn tốn, đặc biệt là mơn hình học khơng gian.
- Đây là tài liệu bổ ích giúp giáo viên giảng dạy và ôn tập hiệu quả cao.

2
SangKienKinhNghiem.net


Phần 2: NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của đề tài:
1.1. Cơ sở khoa học của đề tài:
- Sơ đồ tư duy các bước giải là hình thức ghi chép nhằm tìm tịi, đào sâu,
mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức bằng cách kết

hợp việc sử dụng màu sắc, chữ viết, hình vẽ minh họa với sự tư duy tích cực.
- Sơ đồ tư duy chú trọng đến màu sắc, các nhánh, các bước liên đới với
nhau. Có thể sử dụng sơ đồ vào dạy học các bài mới, ôn tập chương – kì.
- Sơ đồ tư duy giúp người học phát huy tối đa tính chủ động, tích cực,tính
sáng tạo của các em.
- Sơ đồ tư duy là cách ghi chép hiệu quả, sắp xếp bố cục thông tin cần thiết
nhất và logic.
1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài:
- Học sinh chưa có phương pháp học hiệu quả.
- Thời gian học tập ở nhà cịn ít.
- Kĩ năng giải tốn và trình bày bài giải cịn hạn chế.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
- Phần lớn học sinh không nhớ các kiến thức hình học lớp 10,11; các kiến
thức lớp 12 nhớ không chắc chắn, lúc nhớ lúc quên.
- Kĩ năng tự học, học và làm bài về nhà của học sinh còn hạn chế; các em
còn bị phân tán nhiều bởi các trò chơi và mạng xã hội.
- Kĩ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình
học tọa độ cịn nhiều lúng túng.
- Giáo viên bộ môn chưa chú trọng nhiều đến việc hướng dẫn học sinh kĩ
năng tự học, kĩ năng tìm cách giải bài tốn bằng sơ đồ tư duy, đây là kĩ năng được
đánh giá là giúp học sinh giải những câu có nội dung kiến thức vận dụng cao
(chống máy tính CASIO).
Chính vì thế, việc sử dụng sơ đồ tư duy vào giải các bài tốn hình học tọa
độ không gian giúp học sinh ghi nhớ rất tốt, chỉ nhìn vào sơ đồ biết ngay cách làm,
các thao tác lặp lại nhiều lần sẽ hình thành kĩ năng học tập và giải toán tốt hơn;
đồng thời học sinh nhìn được bức tranh tổng thể, có thể tự phân tích các mối quan
hệ giữa các đối tượng, từ đó khả năng tự học được phát huy. Qua đó, việc truyền
thụ kiến thức đến học sinh của các thầy cơ nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn; các em
thích học hình học và đam mê học tốn hơn.
3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN - KIỂM NGHIỆM :

3.1. Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ không gian
lớp 12-THPT:
Trong không gian Oxyz cho: A x A ; y A ; z A , B x B ; y B ; z B  và
r
r
a  a1 ;a 2 ;a 3 , b  b1 ; b 2 ; b3 . Khi đó:
uuur
+) AB  x B  x A ; y B  y A ; z B  z A 

+) AB 

x B  x A   y B  y A   z B  z A 
2

2

2

3
SangKienKinhNghiem.net


r

r

+) a  b  a1  b1;a 2  b 2 ;a 3  b3 
+)
+)
+)

+)
+)
+)
+)
+)
+)

r
k.a  ka1 ; ka 2 ; ka 3 
r
a  a12  a 22  a 32
r r
a  b  a1  b1 ;a 2  b 2 ;a 3  b3
rr
a.b  a1.b1  a 2 .b 2  a 3 .b3
r r
r
r
r r
r
a
a
a
a / /b  a  k.b  a, b   0  1  2  3
b1 b 2 b3
r r
rr
a  b  a.b  0  a1.b1  a 2 .b 2  a 3 .b3  0
r r
 a a 3 a 3 a1 a1 a 2 

a, b    2
;
;

 
b
b
b
b
b1 b 2 
2
3
3
1

r r r
r r r
r
r
r
a, b,c đồng phẳng  m, n  ¡ : a  mb  nc hay a, b  .c  0
r r r
r r r
r
r
r
a, b,c không đồng phẳng  m, n  ¡ : a  mb  nc hay a, b  .c  0 .

+) M chia đoạn AB theo tỉ số


uuuur
uuur
 x  kx B y A  ky B z A  kz B 
k  1  MA  kMB  M  A
;
;
.
1 k
1 k 
 1 k
 x  x B yA  yB zA  zB 
Đặc biệt: M là trung điểm AB: M  A
;
;
.
2
2
2 

 x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  zC 
+) G là trọng tâm tam giác ABC: G  A
;
;

3
3
3




+) G là trọng tâm tứ diện ABCD:
 x  x B  x C  x D y A  y B  yC  y D z A  z B  zC  z D 
G A
;
;

4
4
4


r
r
r
+) Véctơ đơn vị: i  (1;0;0); j  (0;1;0); k  (0;0;1)
+) Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0)  Ox; N(0; y;0)  Oy; K(0;0; z)  Oz

+) Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ:

M(x; y;0)  Oxy ; N(0; y; z)  Oyz ; K(x;0; z)  Oxz .
1 uuur uuur
+) Diện tích tam giác ABC: SABC   AB, AC 
2
uuur uuur
+) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD   AB, AC 
1 uuur uuur uuur
+) Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD   AB, AC  .AD
6
uuur uuur uuuur
+) Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C 'D ' : VABCD.A ' B 'C ' D '   AB, AD  .AA '


3.2. Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan:
+) Góc của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 và  ' : A ' x  B' y  C 'z  D '  0

4
SangKienKinhNghiem.net


Gọi  là góc của hai mặt phẳng, ta có: cos  

AA ' BB' CC '
A 2  B2  C 2 . A '2  B'2  C '2

+) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho mp   : Ax  By  Cz  D  0 và điểm M 0 x 0 ; y0 ; z 0  . Khi đó:
d M 0 ;   

Ax 0  By 0  Cz 0  D
A 2  B2  C 2

+) Góc giữa hai đường thẳng.


Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  a; b;c  và đường thẳng d ' có vectơ


chỉ phương u '  a '; b ';c ' . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:





u. u'

cos  

 

u u'



a.a ' bb ' cc '
a  b  c . a '  b'  c'
2

2

2

2

2

2

(0    900 )

+) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.



Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  a; b;c  và mặt phẳng   có vectơ
r

pháp tuyến n  A; B;C  . Gọi  là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng   ta
có:
 

u.n

sin  





u.n



Aa  Bb  Cc
A 2  B2  C 2 . a 2  b 2  c 2


+) Khoảng cách từ điểm M1 x1; y1; z1  đến đường thẳng  có vectơ chỉ phương u
:
Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng   qua M1 và vng góc với  .
- Tìm tọa độ giao điểm H của  và mặt phẳng   .
- d M1;    M1H .

uuuuuur r
 M1M 0 , u 
Cách 2: Sử dụng công thức: d M1;     r 
u

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.


Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M 0 x 0 ; y0 ; z 0  và có vectơ chỉ phương u


và đường thẳng  ' đi qua M '0 x '0 ; y '0 ; z '0  và có vectơ chỉ phương u ' .
Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và song song với  ' .
- Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng   .
5
SangKienKinhNghiem.net


-

d(,  ')  d(M '0 ,()) .

r ur uuuuuur
 u, u ' .M 0 M '0


Cách 2: Sử dụng công thức: d(,  ') 
.
r ur

 u, u '



+) Áp dụng bất đẳng thức: a 2  b 2  c 2  d 2  a  c   b  d 
2

đẳng thức xảy ra khi

2

a c
 .
b d

3.3. 10 bài tốn cực trị điển hình của hình học tọa độ khơng gian lớp 12THPT:
Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách:
Cách 1:Sử dụng phương pháp hình học.
Cách 2:Sử dụng phương pháp đại số.
Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 ,..., An . Tìm M thuộc đường
thẳng  ( hoặc mặt phẳng P  ) sao cho P  1MA12   2 MA2 2  ...   n MAn 2
a) Nhỏ nhất khi 1   2  ...   n  0 .
b) Lớn nhất khi 1   2  ...   n  0 .

Phân tích sơ đồ: Trong sơ đồ
các uuu
bước
giải uuu
bài
toán 1a, gồm các bước sau:

uur
r
r r
Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn: 1 IA1   2 IA2  ...   n IAn  0
Bước 2: Biến đổi P  1   2  ...   n  MI 2  1 IA12   2 IA2 2  ...   n IAn 2
Bước 3: Nếu 1   2  ...   n  0 thì P lớn nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình
chiếu vng góc của I lên đường thẳng  hoặc lên mặt phẳng P  .

6
SangKienKinhNghiem.net


Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
- Học sinh nắm được dữ kiện của bài toán song biểu thị biểu thức véc tơ còn lúng
túng.
- Học sinh sai lầm trong cách tính véc tơ.
- Học sinh chưa biết điều kiện để MI lớn nhất hay nhỏ nhất.
Cách khắc phục:
Giáo
viên gợi ý, hướng dẫn học sinh biểu thị véc tơ:
uur uuur
uuur
- Tính các véc tơ IA1 , IA2 ,..., IAn
uur
uuur
uuur r
- Thực hiện phép toán cộng, trừ, nhân véc tơ sao cho 1 IA1   2 IA2  ...   n IAn  0 .
- Tìm ra điểm I.
- Biến đổi biểu thức P  1MA12   2 MA2 2  ...   n MAn 2 .
- Biện luận theo 1   2  ...   n .Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P .

Lưu ý:Các sơ đồ tiếp theo được hiểu thứ tự các bước giải như sơ đồ các
bước giải bài tốn 1a. Ngồi ra, có thể tìm thêm cách khác để giải bài tốn này.
Từ đó, ta lập một sơ đồ các bước giải tương ứng.
Bài tập áp dụng bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho 3 điểm
A 2; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1. Tìm M thuộc mặt phẳng   : 2 x  y  2 z  9  0 sao
cho S  2MA2  3MB 2  4MC 2 nhỏ nhất.
Bài giải:
uur uur
uur r
Gọi I x; y; z  là điểm thỏa mãn điều kiện 2 IA  3IB  4 IC  0 .
uur
 IA  2  x; 2  y;3  z ;
 uur
Mà  IB  1  x;  y; 3  z ; .
 uur
 IC  2  x; 3  y; 1  z 
Do đó I 7;16;1

Khi đó :

uuur uur 2
uuur uur 2
uuur uur
S  2 MA2  3MB 2  4 MC 2  2 MI  IA  3 MI  IB  4 MI  IC



 

 




2

 IM 2  2 IA2  3IB 2  4 IC 2

Do 2 IA2  3IB 2  4 IC 2 không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất
khi và chỉ khi M là hình chiếu vng góc của I lên mặt phẳng   .
 x  7  2t
Ta có: IM     Phương trình đường thẳng IM :  y  16  t
 z  1  2t

 x  7  2t
 x  5
 y  16  t


Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
  y  17
 z  1  2t

 z  1
2 x  y  2 z  9  0
Vậy M 5;17; 1 là điểm cần tìm.

Bài tập tương tự bài toán 1:

7
SangKienKinhNghiem.net



Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A 1; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1 . Tìm M thuộc
mặt phẳng   : 2 x  y  2 z  1  0 sao cho S  2MA2  5MB 2  3MC 2 nhỏ nhất.
Bài toán 2: Trong không gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 ,..., An . Tìm M thuộc đường
uuuur
uuuur
uuuur
thẳng  ( hoặc mặt phẳng P  ) sao cho P  1 MA1   2 MA2  ...   n MAn nhỏ nhất ,
trong đó

n


i 1

i

0.

Bài tập áp dụng bài tốn 2: Trong khơng gian Oxyz, cho 3 điểm

x 1 y 1 z 1


A 2; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1. Tìm M thuộc đường thẳng  :
2
3
1
uuur uuur

uuuur
sao cho P  2MA  3MB  4MC nhỏ nhất.

Bài giải:
uur uur
uur r
Gọi I x; y; z  là điểm thỏa mãn điều kiện 2 IA  3IB  4 IC  0 .
uur
 IA  2  x; 2  y;3  z ;
 uur
Mà  IB  1  x;  y; 3  z ; . Do đó I 7;16;1
 uur
 IC  2  x; 3  y; 1  z 

Khi đó :

uuur uuur
uuuur
uuur uur
uuur uur
uuur uur
P  2 MA  3MB  4 MC  2 MI  IA  3 MI  IB  4 MI  IC  MI



 

 




Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu
vng góc của I lên đường thẳng  .
uuur
Ta có: M    M 1  2t ; 1  3t ;1  t   IM  2t  8;3t  17; t 

8
SangKienKinhNghiem.net


Vì IM    2 2t  8   3 3t  17   t   0  t 

5
2

13 3

Vậy M  6; ;  là điểm cần tìm.
 2 2 
Bài tập tương tự bài tốn 2:
Trong khơng gian Oxyz, cho 3 điểm A 1; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1 . Tìm M
uuur
uuur
uuuur
x 1 y 1 z 1


sao cho P  3MA  4MB  6MC lớn nhất.
2
3

1
Bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z 2  và mặt

thuộc đường thẳng  :

phẳng P : ax  by  cz  d  0 . Tìm M  P  sao cho MA  MB nhỏ nhất .

Bài tập áp dụng bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A 4; 2;6 , B 3; 2;1 và mặt phẳng   : 2 x  y  2 z  4  0 . Tìm M    sao cho
MA  MB nhỏ nhất .
Bài giải:
uur
Mặt phẳng P  có nP  2; 1; 2  là véc tơ pháp tuyến.

9
SangKienKinhNghiem.net


Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình của P  ta được 18 và 6 nên
hai điểm A,B nằm về cùng một phía so với P  .
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua P  .
Khi đó A’ và B ở khác phía so với P  và với mọi điểm M  P  ta có: MA  MA ' .
Do đó M  P  : MA  MB  MA ' MB  A ' B mà A’B không đổi và đẳng thức xảy ra
khi M  A ' B  P  suy ra MA +MB nhỏ nhất  M  A ' B  P .
 x  4  2t
Ta có: AA '  P   AA ' :  y  2  t .
 z  6  2t


Tọa độ giao điểm H của AA’ và P  là nghiệm của hệ:

 x  4  2t
x  0
 y  2  t


  y  0  H 0;0; 2 

 z  6  2t
z  2
2 x  y  2 z  4  0 
 x A '  2 xH  x A  4
H là trung điểm của AA’   y A '  2 yH  y A  2  A ' 4; 2; 2 
 z  2 z  z  2
H
A
 A'
 x  4  7t
uuuur
Suy ra A ' B  7; 4;3 , phương trình A ' B :  y  2  4t , t  R
 z  2  3t

5

 x  4  7t
x

4
 y  2  4t

1


5
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
  y  1  M  ; 1;  .
4
4
 z  2  3t

1
2 x  y  2 z  4  0  z 
4

5
1
Vậy M  ; 1;  là điểm cần tìm.
4
4

Bài tập tương tự bài tốn 3:
Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 5; 2;6 , B 3; 2;1 và mặt phẳng
 : x  3 y  2 z  7  0 . Tìm M    sao cho MA  MB nhỏ nhất .
Bài tốn 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z 2  và mặt
phẳng P : ax  by  cz  d  0 . Tìm M  P  sao cho MA  MB lớn nhất , với
d A, P   d B, P  .

10
SangKienKinhNghiem.net


Bài tập áp dụng bài tốn 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm

A 4; 2;6 , B 3; 2; 2  và mặt phẳng P  : 2 x  y  2 z  6  0 . Tìm M  P  sao cho
MA  MB lớn nhất.
Bài giải:
uur
Mặt phẳng P  có nP  2; 1; 2  là véc tơ pháp tuyến.
Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình của P  ta được 16 và -2 nên
hai điểm A,B nằm khác phía so với P  .
Vì A,B nằm khác phía so với P  nên với mọi ta ln có AM  MB  AB , đẳng
thức xảy ra khi M  AB  P  .
x  4  t
Phương trình AB:  y  2
 z  6  8t

28

x  4  t
x

9
 y  2

10 
 28
Tọa độ M: 
  y  2  M  ; 2;

9 
 9
 z  6  8t


10
2 x  y  2 z  6  0  z 
9

10


Vậy M  ; 2;
 là điểm cần tìm.
9 
 9
Bài tập tương tự bài tốn 4:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 5; 2;6 , B 3; 2;1 và mặt phẳng
P : x  2 y  3z  6  0 . Tìm M  P  sao cho MA  MB lớn nhất.
28

11
SangKienKinhNghiem.net


Bài tốn 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z 2  và
đường thẳng :

x  x0 y  y0 z  z0


. Tìm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất .
a
b
c


Bài tập áp dụng bài tốn 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm
A 2; 2; 2 , B 1; 2;1 và đường thẳng :

x y z 1
 
. Tìm M   sao cho MA  MB
1 2
1

nhỏ nhất .
Bài giải:
Vì M    M t ; 2t ;1  t ,

uuuur
uuuur
AM  t  2; 2t  2; t  3, BM  t  1; 2t  2; t .

Ta có MA  MB  6t 2  18t  17  6t 2  6t  5
2

2

2

3 6
  7

6  7
 

 6t   
   6t 
  

2
2
2

 


  2

2

Áp dụng bất đẳng thức : a 2  b 2  c 2  d 2  a  c   b  d 
2

đẳng thức xảy ra khi

2

a c
 .
b d
2

2

3 6

6  7
 6t  6t 
Ta có: MA  MB  
 2
  38
2   2 
 2

Đẳng thức xảy ra 

3 6
6
1
 6t  6t 
t .
2
2
2

Vậy M  ;1;  là điểm cần tìm.
2 2
Bài tập tương tự bài tốn 5:
1

1

12
SangKienKinhNghiem.net



Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3; 2; 1, B 1; 2;1 và đường thẳng
x 1 y  2 z

 . Tìm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất .
1
2
1
x  x0 y  y0 z  z0


Bài tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng :
và
a
b
c
điểm A cho trước. Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và cách A một
:

khoảng lớn nhất.
Cách 1: Phương pháp hàm số:

Cách 2: Dùng hình học:
Gọi K,H lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên  và P  . Khi đó
d A, P   AH  AK , ta có, mà AK khơng đổi. Do đó, d A, P  lớn nhất  H  K .
uuur
Hay P  là mặt phẳng đi qua K, nhận AK làm véctơ pháp tuyến.
Bài tập áp dụng bài tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng
:

x 1 y z 1

, điểm A(1;-1;0). Viết phương trình mặt phẳng Q  chứa  và
 
2
1
1

cách A một khoảng lớn nhất.
Bài giải:
r
Đường thẳng  đi qua B(1;0;-1) và có u  2;1; 1 là véc tơ chỉ phương.
r
Giả sử n  a; b; c  là véc tơ pháp tuyến của Q  , suy ra phương trình của mặt
phẳng Q  có dạng: Q  : a( x  1)  by  c(z  1)  0  ax  by  cz  a  c  0 1
Do   Q  nên 2a  b  c  0  c  2a  b .
c b

2a

4a 2
Do đó: d A, Q   2 2 2 

5a 2  4ab  2b 2
a b c
5a 2  4ab  2b 2

13
SangKienKinhNghiem.net


Nếu b  0  d A, Q  


2
5

4a 2
4t 2
a
 2
 f t  thì đặt t  , xét hàm số f t  với
Nếu b  0  2
2
5a  4ab  2b
5t  4t  2
b
tR
4
16t 2  16t
Ta có f ' t  
, f ' t   0  t  1, t  0 . Ta lại có: lim f (t ) 
2
t 
5
5t 2  4t  2 

4
3
Chọn b  1 ta tìm được a  1, c  1 .

Suy ra maxf t   f 1  , do đó maxd A, Q  
Vậy phương trình mặt phẳng Q  : x  y  z  0 .

Bài tập tương tự bài tốn 6:
Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng :

2 3
đạt được khi t  1 .
3

x  2 y z 1
 
, điểm A(1;-1;1). Viết
1
2
1

phương trình mặt phẳng Q  chứa  và cách A một khoảng lớn nhất.

x  x0 y  y0 z  z0


,
a
b
c
mặt phẳng P : ax  by  cz  d  0 . Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và tạo

Bài toán 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
với P  một góc nhỏ nhất.

Bài tập áp dụng bài tốn 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng


x 1 y z 1
và mặt phẳng P : 2x-y  2 z  8  0 . Viết phương trình mặt phẳng
 
2
1
1
R  chứa  và tạo với P  một góc nhỏ nhất.
:

Bài giải:
uur
Mặt phẳng P  có nP  2; 1; 2  là véc tơ pháp tuyến.
r
Đường thẳng  đi qua B(1;0;-1) và có u  2;1; 1 là véc tơ chỉ phương.

14
SangKienKinhNghiem.net


r

Giả sử n  a; b; c  là véc tơ pháp tuyến của R  suy ra phương trình của mặt phẳng
R  có dạng:

R : a( x  1)  by  c(z  1)  0  ax  by  cz  a  c  0 1
Do   R  nên 2a  b  c  0  c  2a  b .
suy ra phương trình của mặt phẳng R  có dạng: R  : ax  by  2a  b  z  a  b  0 .
Gọi   ·P , R , 00    900 .
Ta có cos 


2a  b  2 2a  b 
3 a 2  2a  b   b 2

Nếu a  0  cos 

2



1 36a 2  12ab  b 2
.
3 5a 2  4ab  2b 2

1
3 2

36a 2  12ab  b 2 t 2  12t  36
b
 2
 f t .
thì ta có 2
5a  4ab  2b 2
2t  4t  5
a
1
 7  53
maxf t   f    
f (t ) 
Khảo sát hàm số f t  , có: tlim
ta

tìm
được
.

2
 10  6
b
7
Suy ra max cos  khi   chọn b  7  a  10 .
a
10
Vậy phương trình R  :10 x  7 y  13z  3  0.

Nếu a  0 đặt t 

Bài tập tương tự bài toán 7:

x  3 y 1 z


và mặt phẳng
2
1
1
P : 2x-y  2 z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng R  chứa  và tạo với P  một

Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng :
góc nhỏ nhất

x  x0 y  y0 z  z0



và
a
b
c
hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y 2 ; z 2  . Viết phương trình mặt phẳng   chứa A, B và

Bài tốn 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
tạo với  một góc lớn nhất.

15
SangKienKinhNghiem.net


Bài tập áp dụng bài tốn 8: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng

x  4 y  3 z 1
và hai điểm M 2;1;1, N 1; 2; 1. Viết phương trình mặt


2
1
1
phẳng   chứa M , N và tạo với  một góc lớn nhất.
:

Bài giải:
r
Đường thẳng  có u  2;1; 1 là véc tơ chỉ phương.

Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng:   : a x  by  cz  d  0 .
3a 1

c   2  2 b
 2a  b  c  d  0

Do M , N    nên 
.
a
3
 a  2b  c  d  0
d    b

2 2
Ta có dạng phương trình của   : 2 a x  2by  3a  b  z  a  3b  0
uur
Suy ra n  2 a; 2b; 3a  b  là véc tơ pháp tuyến của   . Gọi

  · ,  , 00    900 .

uur r
n .u
4a  2b  3a  b
1 49a 2  14ab  b 2
Ta có: sin   uur r 
.

2
2
2

6 13a  6ab  5b
n . u
6 4a 2  3a  b   4b 2

Nếu a  0  sin  

1
30

49a 2  14ab  b 2 t 2  14t  49
b

 f t  , t  R .
thì ta có
13a 2  6ab  5b 2 5t 2  6t  13
a
9
 17  75
f (t )  , suy ra maxf t   f   
Xét hàm số f t  , ta có: tlim
.

5
 19  14
b 17
Do đó max  sinmax  
chọn b  17, a  19 .
a 19
Vậy phương trình   :19 x  17 y  20 z  35  0.


Nếu a  0 đặt t 

Bài tập tương tự bài tốn 8: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng

x 1 y  2 z
và hai điểm M 1;1;1, N 1; 2; 1 . Viết phương trình mặt phẳng


2
1
1
  chứa M , N và tạo với  một góc lớn nhất.
:

Bài tốn 9: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x1 ; y1 ; z1  và cắt đường
thẳng d ' :

x  x0 y  y0 z  z0


sao cho khoảng cách từ B x2 ; y 2 ; z 2  đến đường
a
b
c

thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.

16
SangKienKinhNghiem.net



Bài tập áp dụng bài tốn 9:
Lập phương trình đường thẳng d đi qua A 0; 1; 2  và cắt đường thẳng
d ':

x 1 y z  2
 
sao cho khoảng cách từ B 1;1;1 đến đường thẳng d là
2
1
1

a) lớn nhất.
b) nhỏ nhất.
Bài giải:
Giả sử d cắt d’ tại điểm M thì M 1  2t ; t ; 2  t , t  R.
uuuur
AM  2t  1; t  1; t  là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
uuur

uuur uuuur

Ta có AB  1; 2; 1 nên  AB, AM   1  t ;1  t ;3  3t  .
Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là:
uuur uuuur
 AB, AM 


d B, d  
uuuur

AM

11t 2  22t  11
 f t 
6t 2  2t  2
22 5t  11  t 
11t 2  22t  11
11
f (t ) 
Ta có f t   2
nên f ' t  
. Ta lại có: tlim
.
2

6t  2t  2
6
6t 2  2t  2 


1
Từ đó tìm được maxf t   f    6 , minf t   f 1  0 .
 5 

Do đó
a) maxd B, d   6 đạt được khi t 
thẳng cần tìm d :

x
y 1 z  2



.
7
4
1

1 uuuur 1
 AM  7; 4;1 nên phương trình đường
5
5

17
SangKienKinhNghiem.net