Nguyễn Ngơ Phong, Nguyễn Chí Ngơn, Ngơ Quang Hiếu
74
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT HỆ NÂNG VẬT TRONG TỪ TRƯỜNG
DÙNG MẠNG NƠ-RON HÀM CƠ SỞ XUYÊN TÂM
SLIDING MODE CONTROL FOR MAGNETIC LEVITATION SYSTEM
USING RADIAL BASIS FUNCTION NEURAL NETWORK
Nguyễn Ngơ Phong1, Nguyễn Chí Ngơn2, Ngô Quang Hiếu2
1
Học viên CH ngành Kỹ thuật Điều khiển và Tự động hóa, Trường Đại học Cần Thơ;
2
Trường Đại học Cần Thơ; ,
Tóm tắt - Nghiên cứu này nhằm mục tiêu áp dụng bộ điều khiển
trượt dùng mạng nơ-ron hàm cơ sở xuyên tâm, gọi tắt là mạng nơron RBF (Radial Basis Function Neural Networks) cho hệ nâng vật
trong từ trường. Giải thuật điều khiển trượt đảm bảo tính ổn định
của hệ thống điều khiển ngay cả khi có sự tác động của nhiễu cũng
như khi giá trị của các thơng số trong mơ hình thay đổi. Nghiên cứu
đề xuất sử dụng mạng nơ-ron RBF để xấp xỉ các hàm phi tuyến
mô tả trạng thái trong luật điều khiển trượt thay vì sử dụng mơ hình
tốn. Tính ổn định của giải thuật điều khiển được chứng minh thỏa
điều kiện ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng cho thấy bộ điều
khiển bền vững dưới tác động của nhiễu và sự biến thiên của thơng
số mơ hình đối tượng, đáp ứng của hệ thống có thời gian xác lập
là 0,15±0,03s, không xuất hiện vọt lố, không dao động và sai số
xác lập bị triệt tiêu.
Abstract - This study presents the application of a sliding mode
controller based on radial basis function (RBF) neural networks for
a magnetic levitation system. The sliding mode control (SMC)
algorithm keeps the system stable even under the effects of
disturbances and even when the value of parameters of the model
varies. The study proposes using the RBF neural networks to
estimate the nonlinear functions which express the status of
system for generating the sliding control signal instead of using
mathematical model. The stability of the closed-loop control system
is proved to satisfy the Lyapunov‘scondition. Simulation results
indicate that the proposed controller is stable and robust in several
conditions of noise affection and modeling uncertainties; the
response of system has a settling time about 0.15±0.03s, without
overshoot, fluctuation and steady-state error.
Từ khóa - Mạng hàm cơ sở xuyên tâm; điều khiển trượt; hệ nâng
vật trong từ trường; mô hình tốn hệ thống; hàm phi tuyến.
Key words - Radial basis function; sliding mode control; magnetic
levitation system; mathematical model; nonlinear function.
1. Đặt vấn đề
Hệ nâng vật trong từ trường đã và đang được ứng dụng
rộng rãi trong thực tế ở nhiều lĩnh vực khác nhau như: kỹ
thuật robot, các phương tiện giao thông chạy trên đệm từ với
tốc độ cao, các đệm từ triệt tiêu ma sát ở các ổ trục quay thay
cho các ổ đỡ cơ khí truyền thống [3, 4]. Hệ thống có tính phi
tuyến đặc biệt cao, đòi hỏi các nhà nghiên cứu làm việc trong
lĩnh vực này phải phát triển những giải thuật thích hợp để có
thể điều khiển được chính xác vị trí vật nặng của hệ nâng vật
trong từ trường [1-5, 16]. Do đặc tính phi tuyến cao đó,
nghiên cứu này chọn hệ nâng vật trong từ trường để làm đối
tượng kiểm chứng cho giải thuật điều khiển đề xuất.
Hiện nay, đã có nhiều giải thuật được các nhà nghiên cứu
đề xuất nhằm giải quyết bài toán điều khiển hệ nâng vật trong
từ trường, từ các phương pháp cổ điển [1, 2] đến các cách
tiếp cận hiện đại [3, 4]. Đồng thời, các giải thuật điều khiển
tuyến tính cũng được nhiều nghiên cứu quan tâm phát triển
[5, 6]. Tuy nhiên, việc tinh chỉnh các thơng số điều khiển của
các giải thuật này để có thể áp dụng lên hệ thời gian thực
không phải là một vấn đề đơn giản với ảnh hưởng của các
thành phần khơng chắc chắn từ mơ hình tốn của hệ thống
cũng như sai lệch giá trị từ các công cụ đo. Ngoài ra, các giải
pháp điều khiển tối ưu [7-9] cũng được sử dụng khá phổ biến
để điều khiển hệ nâng vật trong từ trường. Trong đó, các giải
pháp này gặp phải một hạn chế là rất nhạy với các điều kiện
được thiết lập ban đầu, cũng như với tác động nhiễu và sự
thay đổi của các giá trị tham số hệ thống.
Nhằm giải quyết các vấn đề về sự khơng chính xác của các
tham số trong mơ hình hệ thống, các nhà nghiên cứu đã đề
xuất nhiều phương pháp, trong đó có thể kể đến: kỹ thuật điều
khiển mờ [10-12] và điều khiển thích nghi [13-15]. Với việc
tích hợp sẵn các hệ thống tự chỉnh, các giải thuật điều khiển
thích nghi khơng u cầu sự chính xác về giá trị của tham số
trong mơ hình, các thơng số này sẽ tự động được cập nhật,
chỉnh sửa trong suốt quá trình vận hành. Với giải thuật điều
khiển mờ, kinh nghiệm thực tế của người thiết kế sẽ quyết
định chủ yếu đến chất lượng đáp ứng của hệ thống, khi mà
phương pháp này khơng quan tâm nhiều đến mơ hình tốn
cũng như các đặc tính động học của đối tượng cần điều khiển.
Từ các cơ sở nêu trên, nghiên cứu này đề xuất tiếp cần
điều khiển trượt dựa trên mạng nơ-ron RBF cho hệ nâng
vật trong từ trường, được phát triển thơng qua mơ hình tốn
mơ tả đối tượng [5, 16]. Để giải quyết vấn đề liên quan đến
việc xác định mơ hình tốn của đối tượng khi xây dựng luật
điều khiển trượt, nghiên cứu phát triển các mạng nơ-ron
RBF với thuật huấn luyện trực tuyến (online training) để
xấp xỉ các hàm phi tuyến trong luật điều khiển trượt. Bên
cạnh đó, nghiên cứu cũng khảo sát tính ổn định bền vững
của giải thuật điều khiển thông qua việc tác động nhiễu và
thay đổi thông số của đối tượng.
2. Giải quyết vấn đề
2.1. Mơ hình đối tượng điều khiển
Với giải thuật tiếp cận như đề nghị, việc xác định mơ
hình tốn cho hệ nâng vật trong từ trường là không cần
thiết. Tuy nhiên, để thuận lợi cho việc kiểm nghiệm khả
năng điều khiển của phương pháp đề xuất mà khơng cần bố
trí các thiết bị cần thiết, mơ hình tốn của đối tượng trong
nghiên cứu này được phát triển dựa trên [5, 16].
Mơ hình của hệ nâng vật trong từ trường có dạng như
Hình 1. Trong đó, e là ngõ vào điều khiển đối tượng, được
thay đổi nhằm kiểm soát lực điện từ FE để nâng hoặc hạ
hòn bi một khoảng p so với nam châm điện. Vị trí p giữa
hịn bi và nam châm cũng là ngõ ra của đối tượng.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(88).2015
75
Hình 2. Sơ đồ điều khiển hệ thống
Hình 1. Mơ hình hệ nâng vật trong từ trường [16]
Dựa trên [5, 16], mơ hình tốn của hệ nâng vật trong hệ
từ trường có dạng như sau:
dp
= v,
dt
d ( L(p)i )
(1)
Ri +
= e,
dt
2
i
mdv
= mg c − C ,
dt
p
Trong đó, p là vị trí hòn bi (m); v là vận tốc hòn bi (m/s);
i là dòng điện qua cuộn dây (A); e là điện áp cấp cho cuộn
dây (V); R, L lần lượt là điện trở và điện cảm của cuộn dây
nam châm điện (, H); C là hằng số lực từ (Nm2/A2); m là
khối lượng hòn bi (kg) và g là gia tốc trọng trường (m/s2).
Theo [5,16], điện cảm của cuộn dây là một hàm theo vị
trí của hịn bi, xác định như công thức (2):
2C
(2)
L(p) = L1 +
.
p
Đặt biến trạng thái như sau:
x1 = p,
x2 = v,
x3 = i,
u = e.
Ta có:
dx1
= x2 ,
dt
2
dx2
Cx
= gc − 3 ,
dt
m x1
dx3
R
2C x2 x3
= − x3 +
dt
L
L x12
(3)
1
+ u.
L
T
Nếu gọi xd = x1d , x2d , x3d là tập vector trạng thái
mong muốn, thì:
Mục tiêu điều khiển là giữ ổn định x xung quanh xd dưới sự
biến đổi của thơng số mơ hình, cũng như tác động của nhiễu.
2.2. Bộ điều khiển trượt dùng mạng nơ-ron RBF
Sơ đồ điều khiển đề nghị cho hệ nâng vật trong từ
trường có dạng như hình Hình 2. Việc thiết kế luật điều
khiển trượt dùng mạng nơ-ron RBF sẽ bao gồm hai giai
đoạn: (i)Thiết kế bộ điều khiển trượt; (ii)Xây dựng các
mạng nơ-ron RBF để nhận dạng các hàm phi tuyến của luật
điều khiển trượt.
2.2.1. Thiết kế bộ điều khiển trượt
Dựa trên [16], thực hiện phép biến đổi tọa độ để đưa (3)
về (4):
z1 = x1 − x1d ,
z2 = x2 ,
(4)
2
z3 = gc −
C x3
.
m x1
Khi đó, cần xác định điện áp điều khiển sao cho
z1 , z2 , z3 → 0 khi t → để x → xd như mục tiêu điều khiển
đặt ra ban đầu.
Từ (4), phương trình động học của hệ nâng vật trong từ
trường được biểu diễn lại như sau:
z1 = z2 ,
(5)
z2 = z3 ,
z3 = f ( z ) + g ( z ) u.
Trong đó,
z2
2C
R
f ( z ) = 2 ( g c − z3 ) 1 −
+ ,
L ( z1 + x1d ) z1 + x1d L
g (z) =
(6)
−2
C
( gc − z3 ).
L ( z1 + x1d ) m
Theo (6), hàm f(z) và g(z) và được viết dưới dạng của
hệ tọa độ ban đầu như sau:
2C 2C x2 x32 R x32
f ( x) =
+
1 −
,
m Lx1 x13
L x12
(7)
2Cx3
g ( x) = −
.
Lmx12
với f ( z ) = f ( x ) , g ( z ) = g ( x ) .
Đặt ngõ ra của hệ thống là: e = z1 = x1 − x1d .
(8)
Từ (5), (7) và (8), mối liên hệ giữa ngõ ra và ngõ vào
của hệ thống trong tọa độ ban đầu được thiết lập như sau:
3
e( ) = f ( x ) + g ( x ) u.
Chọn mặt trượt của bộ điều khiển là:
s = e + a1e + a0 e.
(9)
(10)
Với các hệ số a1, a0 được chọn sao cho phương trình
đặc trưng p 2 + a1 p + a0 = 0 là đa thức Hurwitz.
Khi đó, luật điều khiển trượt được đề nghị như sau:
1
u=
− f ( x ) − a1 z3 − a0 x2 − Ksgn ( s ) ,
(11)
g ( x)
Nguyễn Ngơ Phong, Nguyễn Chí Ngơn, Ngơ Quang Hiếu
76
với K là một hằng số dương.
2.2.2. Thiết kế bộ điều khiển trượt dùng mạng nơ-ron
a. Nhận dạng đối tượng dùng mạng nơ-ron
Để thiết kế bộ điều khiển trượt dùng mạng nơn-ron RBF
cho hệ nâng vật trong từ trường, ta tiến hành nhận dạng các
hàm f ( x ) , g ( x ) của luật điều khiển (11) bằng các mạng nơron RBF. Các mạng nơ-ron này gồm 2 lớp: một lớp ẩn phi
tuyến với 5 nơ-ron và lớp ra tuyến tính với 1 nơ-ron, cấu
trúc truyền thẳng được mơ tả ở Hình 3.
g = g − g = wTg hg ( x) + g − wˆ Tg hg ( x) = wTg hg ( x) + g ,
(17)
Với f , g là sai số ước lượng của mạng RBF.
Xét hàm Lyapunov dương tùy ý:
1
1 T
1 T
V = s2 +
wf wf +
wg wg .
2
2 1
2 2
Đạo hàm hai vế (18), ta được:
1
1 T
V = ss + wTf w f +
w w .
1
2 g g
(18)
(19)
Thay (16) vào (19), ta có:
1
V = wTf sh f ( x) − wˆ f
1
(
Gọi fˆ ( x ) và gˆ ( x ) là kết quả nhận dạng được thì:
Thay (13) vào (20):
x−c 2
j
,
ˆf ( x ) = wˆ h ( x) = wˆ exp
f f
f
2b 2
j
(12)
2
x−c
j
.
gˆ ( x ) = wˆ g hg ( x) = wˆ g exp
2b 2
j
Với ( wˆ f , b j , c j ) và ( wˆ g , b j , c j ) lần lượt là ma trận trọng
số kết nối, vec-tơ độ lệch chuẩn và ma trận tâm của hàm
Gauss của hai mạng nơ-ron nhận dạng ( f RBFF , f RBFG ), giải
thuật điều khiển thích nghi được sử dụng để cập nhật ma
trận trọng số, theo công thức (13):
wˆ f = 1sh f ( x),
(13)
wˆ g = 2 shg ( x) u .
b. Thiết kế bộ điều khiển trượt dùng mạng nơ-ron
Thông qua mạng nơ-ron RBF, các hàm f ( x ) , g ( x ) đã
được xấp xỉ một cách thích hợp bởi các hàm fˆ ( x ) , gˆ ( x ) . Khi
đó, luật điều khiển đề nghị ở (11) có thể được viết lại như sau:
1 ˆ
u=
− f ( x ) − a1 z3 − a0 x2 − K sgn ( s ) . (14)
gˆ ( x )
2.2.3. Phân tích tính ổn định của giải thuật điều khiển
Đạo hàm hai vế của mặt trượt, kết hợp với các phương
trình đã xây dựng, có được:
s = e + a1e + a0 e
(15)
= f ( x ) + g ( x ) u + a1 z3 + a0 z2 ,
Thay luật điều khiển (14) vào (15), ta có:
s = f ( x) − fˆ ( x) − K sgn(s) + ( g( x) − gˆ ( x) ) u
)
= f ( x) − K sgn(s) + g ( x) u
(
)
)
1
shg ( x) u − wˆ g
2
(20)
+ s f + g u − K sgn( s ) .
Hình 3. Cấu trúc mạng nơ-ron nhận dạng đối tượng
(
T
+ wg
(
)
V = s f + gu − K s ,
(21)
Với f , g có giá trị hữu hạn và khơng đáng kể, có thể
thiết kế sao cho K f + g u . Từ đó V 0 . Suy ra
V V (0) hay s bị chặn. Áp dụng định lý Barbalat [17] có
được s → 0 khi t → .
Chú ý: Để loại bỏ hiện tượng chattering trong luật điều
khiển xảy ra (14) do thành phần sgn( s), hàm bão hòa
sat ( s, ) được định nghĩa như sau [17]:
s
, s
sat ( s, ) =
,
sgn ( s, ) , s
Với là một hằng số dương tùy ý.
(22)
3. Kết quả nghiên cứu và bình luận
Hệ nâng vật trong từ trường được mơ phỏng trên
MATLAB/Simulink theo sơ đồ điều khiển Hình 4. Ở đó,
đối tượng điều khiển và bộ điều khiển trượt dùng mạng nơron RBF được tổ chức dưới dạng 2 hàm s-function. Các
tham số của mơ hình được thiết lập như sau: hịn bi thép có
khối lượng m=11,4g; điện trở cuộn dây R=26,4; điện
cảm L = 0,6H; hằng số lực từ C = 1,4x10-4Nm2/A2; và gia
tốc trọng trường g=9,8m/s2.
Hình 4. Sơ đồ mô phỏng
(16)
= wTf h f ( x) + f − K sgn(s) + wTg hg ( x) + g u,
Với:
w f = w f − wˆ f , wg = wg − wˆ g ,
f = f − fˆ = wTf h f ( x) + f − wˆ Tf h f ( x) = wTf h f ( x) + f ,
Hình 5 và 6 trình bày kết quả mơ phỏng hệ thống điều
khiển trượt dùng mạng nơ-ron RBF với luật điều khiển
(17), tương ứng với trường hợp vị trí tham khảo có giá trị
là hằng số (0,01m) (Hình 5) và có giá trị thay đổi theo thời
gian (Hình 6). Đáp ứng của hệ thống đạt được những tiêu
chuẩn điều khiển khi: (i) vị trí của hịn bi bám theo vị trí
tham khảo; (ii) thời gian xác lập phù hợp thực tế; (iii) đáp
ứng của hệ ổn định và triệt tiêu được sai số xác lập.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(88).2015
lập hợp lý, đạt 0,15 0,03 giây; không xuất hiện vọt lố và
sai số xác lập được triệt tiêu
20
40
0
-20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
Control Signal (V)
Control Signal (V)
40
1
0.02
20
0
-20
Response
Reference
0.015
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
0.02
0.01
0.005
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
Position (m)
Position (m)
77
Response
Reference
0.015
0.01
Hình 5. Đáp ứng với tín hiệu tham khảo là 0.01m
0.005
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
Hình 7. Đáp ứng của hệ thống với m=m+20%
35
20
40
5
-10
0
1
2
3
4
5
6
Control Signal (V)
Control Signal (V)
50
7
Time (s)
0.02
20
0
-20
Reference
0.005
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
0.02
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
Time (s)
Position (m)
Position (m)
Response
0.015
0.01
Hình 6. Đáp ứng với tín hiệu tham khảo
có giá trị thay đổi theo thời gian
Tóm lại, từ các kết quả mơ phịng ta thấy bộ điều khiển
đề xuất hoạt động ổn định với sự biến thiên thông số đối
tượng và sự tác động của nhiễu; đáp ứng có thời gian xác
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
Hình 8. Đáp ứng của hệ thống với m=m-20%
Bảng 1. Thời gian xác lập của hệ thống
Adaptive
Law
0,186𝑠
0,145𝑠
0,122𝑠
𝑚
𝑚 + 20%𝑚
𝑚 − 20%𝑚
Gradient
Gradient
Descent (i) Descent (ii)
0,208𝑠
0,192𝑠
0,155𝑠
0,133𝑠
0,164𝑠
0,153𝑠
Amplitude
-5
Control Signal (V)
Ngoài ra, kết quả điều khiển của giải thuật đề xuất cũng
lần lượt được so sánh với phương pháp Sliding RBF sử dụng
thuật huấn luyện Gradient Descent trong hai trường hợp: (i)
chỉ cập nhật ma trận trọng số; (ii) cập nhật ma trận trọng số,
vector độ lệch chuẩn và ma trận tâm. Trong cả ba trường
hợp, các giải thuật điều khiển đề xuất đều đảm bảo được tính
ổn định của hệ thống. Tuy nhiên, luật cập nhật trong số thông
qua giải thuật thích nghi và phương pháp Gradient Descent
(ii) cho kết quả thời gian xác lập của hệ thống nhanh hơn so
với giải thuật Gradient Descent (i). Kết quả mô phỏng và
thời gian xác lập của ba giải thuật tương ứng được trình bày
chi tiết trong Hình 10, 11, 12 và Bảng 1.
0.005
Position (m)
Đồng thời, để khảo sát tính ổn định bền vững của luật
điều khiển đề xuất, hệ thống được thử nghiệm với sự biến
thiên 20% khối lượng của vật cần nâng (hịn bi) và sự tác
động của nhiễu trắng cơng suất 0,1W, giả lập nhiễu cảm
biến vị trí vật nặng. Kết quả trên Hình 7 và 8 cho thấy, khi
tăng và giảm 20% khối lượng hòn bi, đáp ứng của hệ thống
vẫn đảm bảo. Kết quả mơ phỏng trên Hình 9 cho thấy dưới
tác động của nhiễu trắng, tín hiệu điều khiển đã biến thiên
phù hợp để đảm bảo đáp ứng bám tốt tín hiệu tham khảo.
Các kết quả này minh chứng cho tính ổn định bền vững của
giải thuật điều khiển.
Response
Reference
0.015
5
x 10
0
-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
40
20
0
0
0.02
System Response
System Reference
0.01
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
Hình 9. Đáp ứng của hệ thống với nhiễu trắng công suất 0,1W
Nguyễn Ngơ Phong, Nguyễn Chí Ngơn, Ngơ Quang Hiếu
78
thấy, luật điều khiển trượt dùng mạng nơ-ron RBF đảm bảo
được tính ổn định và bền vững của hệ thống dưới tác động
của nhiễu cũng như sự biến thiên của thông số đối tượng.
0.02
Adaptive Law
Gradient Descent (i)
Gradient Descent (ii)
Position (m)
0.018
0.016
TÀI LIỆU THAM KHẢO
0.014
0.012
0.01
0.008
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Time (s)
0.25
0.3
0.35
0.4
Hình 10. Đáp ứng của hệ thống với ba phương pháp huấn luyện
trong trường hợp chuẩn
0.02
Adaptive Law
Gradient Descent (i)
Gradient Descent (ii)
Position (m)
0.018
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Time (s)
0.25
0.3
0.35
0.4
Hình 11. Đáp ứng của hệ thống với ba phương pháp huấn luyện
trong m=m+20%
0.02
Adaptive Law
Gradient Descent (i)
Gradient Descent (ii)
Position (m)
0.018
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Time (s)
0.25
0.3
0.35
0.4
Hình 12. Đáp ứng của hệ thống với ba phương pháp huấn luyện
trong m=m-20%
4. Kết luận
Phương pháp điều khiển trượt dùng mạng nơ-ron RBF
có vai trị đảm bảo vị trí vật nặng bám theo vị trí tham khảo.
Trong đó, các mạng nơ-ron RBF được sử dụng để ước lượng
các hàm phi tuyến mô tả trong luật điều khiển trượt thay vì
sử dụng mơ hình tốn của hệ thống. Tính ổn định của giải
thuật đề xuất được kiểm định dựa trên lý thuyết ổn định
Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên MATLAB/ Simulink cho
[1] Hengkun, L., Xiao, Z., Wensen, C, “PID control to Maglev train
system”, International Conference on Industrial and Information
System, 2009, pp. 341-343.
[2] Kilgore, W.A, “Comparison of digital controllers used in magnetic
suspension and balance systems”, NASA Contractor Report 182087, 1990.
[3] Bachle, T., Hentzelt, S., Graincehn, K., “Nonlinear model predictive
control of a magnetic levitation system”, Control Engineering
Practice, 21(9), 2013, pp. 1250-1258.
[4] Wu, T.S., Karkoub, M., “𝐻∞ fuzzy adaptive tracking control design
for nonlinear systems with output delays”, Fuzzy Sets and System,
254(1), 2014, pp. 1-25.
[5] Barie, W., Chiasson, J., “Linear and nonlinear state-space controllers
for magnetic levitation”, International Journal of System Science,
27(11), 1996, pp. 1753-1163.
[6] Trumper, D. L., Olson, M., Subrahmanyan. P. K., “Linearizing
control of magnetic suspension system”, IEEE Transactions on
Control System Technology, 5(4), 1997, pp. 427-438.
[7] Fujita, M., Matsumura, F., Uchida, K., “Experiments on the 𝐻∞
disturbance attenuation control of a magnetic suspension system”, Proc.
29th IEEE Conference on Decision and Control, 5, 1990, pp. 2773-2778.
[8] Fujita, M., Namerikawa, T., Matsumura, F., Uchida, K., “𝜇synthesis of an electromagnetic suspension system”, IEEE
Transactions on Automatic Control, 210(4), 1995, pp. 448-495.
[9] Mohamed, A. M., Matsumura, F., Namerikawa, T., Lee, J. H., “Qparametrization/ 𝜇-control of electromagnetic suspension system”,
Proc. 1997 International Conference on Control Applications, 1997,
pp. 604-608.
[10] Elreesh, H. A., Hamed, B., “FPGA fuzzy controller design for
magnetic ball levitation”, Internation Journal on Intelligent Systems
and Applications, 10, 2012, pp. 72-81.
[11] Niveedha, K., Hari Prasath, P., Shivakumaran, P. N., Karthikeyan,
B., “Performace Assessment and design of an intelligent fuzzy logic
controller for magnetic ball levitation system”, International
Journal of Advanced Research in Electrical, Electronocis and
Instrumentation Engineering, 2(8), 2013, pp. 3987-3995.
[12] Luat, T. H, Cho, J. H., Kim, Y. T., “Fuzzy-tunning PID controller
for Nonlinear Electromagnetic Levitation System”, Advances in
Intelligent Systems and Computing, 272, 2014, pp. 17-28.
[13] Chen, M. Y., Wu, K. N., Fu, L. C., “Design, implemetation and selftuning adaptive control of maglev guiding system”, Mechatronics,
10, 2000, pp. 215-237.
[14] Sinha, P. K., Pechev, A. N., “Model Reference adaptive control of
maglev system with stable maximum descent criterion”,
Automatica, 35, 1999, pp. 1457-1465.
[15] Yang,, Z. J., Tateshi, M., “Adaptive robus nonlinear control of a
magnetic levitation system”, Automati+ca¸37, 2001, pp. 1125-1131.
[16] Al-Muthairi, N. F., Zribi, M., “Sliding mode control of a magnetic
levitation system”, Mathematical Problems in Engineering, 2, 2004,
pp.93-107.
[17] Slotine, J. J. E., Li. W, Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall,
1991.
(BBT nhận bài: 12/12/2014, phản biện xong: 13/01/2015)
