Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 9 Toán 2013 - Phần 2- Đề 15 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.17 KB, 6 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :18/02/2012
Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị của biểu thức: A= a
2
(a+1) – b
2
(b – 1) +ab –
3ab(a – b +1).
Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B =
1007 2013 1007 2013
2 2
Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n
3
– 6n
2
– 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n
Z )
Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m
2
-5)x -
2012
.So sánh f(1-
2011
) và
f(1-
2013
).
Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM .Chứng minh
:
2
2 2 2
BC
AB AC 2AM
2
Câu 6 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương.
Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có :
4 4 3 3
x y xy x y
Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
2
2 3 2 2 3 6
x x
Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có
µ
A
nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng:
BC 2R.sin A
Câu 10:(1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x
2
– 2y
2
= 1
Câu 11:(1,5điểm) Cho ABC, ®êng th¼ng d c¾t AB , AC vµ trung tuyÕn AM theo thø
tù tại E ,F,N
(E
A,B và F
A,C ).Chøng minh :
AB AC 2AM
AE AF AN
.
Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH
là khoảng
cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai
tiếp tuyến
MA,MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm
của AB với
OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định .
. . . . . . . HẾT . . . . . . .
-Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị không được giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
LÂM ĐỒNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP
9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Ngày thi :18/02/2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức: A= a
2
(a+1) – b
2
(b – 1) +ab
– 3ab(a–b+1).
A = a
3
+ a
2
–b
3
+b
2
+ab–3a
2
b +3ab
2
–3ab
0,5đ
= (a
3
–3a
2
b +3ab
2
– b
3
) + (a
2
–2ab +b
2
)
0,5đ
= (a–b)
3
+(a–b)
2
0,5đ
= 3
3
+3
2
=36
0,5đ
Câu 2(2,0 điểm) B =
2014 2 2013 2014 2 2013
4 4
0,5đ
=
2 2
( 2013 1) ( 2013 1)
4 4
0,5đ
=
2013 1 2013 1
2 2
0,5đ
= -1
0,5đ
Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n
3
– 6n
2
– 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n
Z )
A = n
3
– 6n
2
– 12n + 18 A = n
3
– n – 6n
2
–12 n + 18 0,5đ
A = n(n – 1)(n+1) – 6n
2
– 12n + 18
0,5đ
Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) 6 0,5đ
Mặt khác – 6n
2
– 12n + 18 6 nên A 6 0,5đ
Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m
2
-5)x-
2012
.So sánh f(1-
2011
)và
f(1-
2013
).
Biến đổi (4m - m
2
- 5) =
2
m 2 1
0,5đ
2
m 2 1 0
hàm số y = f(x ) nghịch biến
0,5đ
Lập luận
1 2011 1 2013
0,5đ
f(1 2011) f(1 2013)
0,5đ
Câu 5 : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM .Chứng minh
:
2
2 2 2
BC
AB AC 2AM
2
Vẽ AH
BC ,H
BC
c/m được AB
2
+AC
2
= 2AH
2
+ BH
2
+ CH
2
(1) 0,5đ
c/m được AH
2
= AM
2
- HM
2
BH
2
= BM
2
-2BM. HM+HM
2
CH
2
= HM
2
-2HM. CM+CM
2
(2)
0,5đ
Từ (1),(2)
2
2 2 2
BC
AB AC 2AM
2
0,5đ
Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương.
Vì a + 13 và a – 76 là các số chính phương
Đặt a + 13 =
2
m
, a – 76 =
2
n
với m, n
N.
0,25đ
m
2
– n
2
= 89
(m – n)(m + n) = 89
0,25đ
Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên
m n 1
m n 89
m 45
n 44
0,75đ
a +13 = 45
2
a = 2012
0,25đ
H
M
A
B
C
Câu 7 : (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có :
4 4 3 3
x y xy x y
(1)
(1)
4 4 3 3
x y xy x y
x(x
3
- y
3
) – y(x
3
- y
3
)
0
0,5đ
(x-y)
2
(x
2
+ xy + y
2
)
0
0,25đ
(x-y)
2
2
2
y 3y
x 0
2 4
(2)
0,25đ
Dấu “ =” xày ra khi x = y 0,25đ
Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
2
2 3 2 2 3 6
x x
C=
2
2 3 2 2 3 6
x x
0,25đ
Đặt t = |2x- 3|
0
C = t
2
– 2t + 6
0,5đ
C = (t –1)
2
+ 5
5
0,25đ
giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 5 khi t = 1
x = 2 hoặc x = 1
0,5đ
Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có
µ
A
nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng
minh
rằng:
BC 2R sinA
Vẽ đường kính BD
BCD vuông tại C
0,5đ
BC = BD.sinD (1) 0,25đ
Ta có
µ
µ
A D
, BD = 2R (2) 0,5đ
Từ (1) và (2)
BC = 2R.sinA
0,25đ
Câu 10: (1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x
2
– 2y
2
= 1
x
2
– 2y
2
= 1
(x-1)(x+1) = 2y
2
0,5đ
Vì y nguyên tố và x+1 > x-1 nên chỉ xảy ra các trường hợp:
0,25đ
B
O
A
C
D
1 2 3
1)
1 2
x y x
x y y
2)
2
2
2
1 2
3
1 1
2
x
x y
y
x
(loại)
0,25đ
3)
2
3
1
2
1 2
x
x y
y
x
0,25đ
Vậy (x;y) = (3;2)
0,25đ
Câu 11: Cho ABC, ®êng th¼ng d c¾t AB vµ AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù
lµ E , F , N . (E
A,B và F
A,C )Chøng minh :
AB AC 2AM
AE AF AN
KÎ
BI,CS / /EF
(I,S tia AM)
0,25đ
Ta cã:
AB AI AC AS
,
AE AN AF AN
0,25đ
AB AC AI AS
( )
AE AF AN AN
0,25đ
c/m
BIM CSM
(cgc)
IM MS
0,25đ
AI AS AI AI IM MS 2AM
0,25đ
Thay vµo (*) ta ®îc (®pcm)
0,25đ
Câu 12:
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng
cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến
MA,MB với đường tròn (O) ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB và
OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định
Gọi C là giao điểm của AB và OM
Chứng minh được OC.OM = OD.OH
0,5đ
Lập luận OC.OM = OA
2
= R
2
0,25đ
OD.OH = R
2
0,5đ
0,25đ
d
F
N
E
I
S
M
B
A
C
Chứng minh được :
2
R
OD
OH
không đổi
0,25đ
D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định
0,25đ
. . . . . . . HẾT . . . . . . .
