ly thuyet bai tap ve don thuc don thuc dong dang co loi giai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (518.87 KB, 12 trang )

ĐƠN THỨC – ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
A. Phương pháp giải
1. Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số
và các biến.
2. Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã
được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên gọi là hệ số, phần cịn lại gọi
là phần biến của đơn thức thu gọn.
* Một số cũng được coi là một đơn thức thu gọn
* Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần. Thông thường ta viết hệ số
trước, các biến được viết tiếp theo thứ tự bảng chữ cái.
3. Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức
đó. Số thực khác 0 là đơn thức bậc 0. Số 0 được coi là đơn thức khơng có bậc.
4. Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
5. Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Các số
khác 0 cũng được coi là các đơn thức đồng dạng.
6. Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ
nguyên phần biến.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức. Thu gọn các đơn thức.
Những đơn thức nào đồng dạng?
a) 15x 2
b) 5,3x 3.
c) 25x 2
d) 25 x 2

3x 3 y3 ;
3 x 5 y2 ;

3x 4 y3 ;
3x 4 y3 ;

e)

5bc
;
6a

f)

5bc 5 2 3
x y z .1,2bxy3 ;
6a

g)

5bc 5 2 3
xyz
6a

h)

25ax 3 y2 .

1,2bxy3 ;
3bx 4 y3 .0,4cx 5 y4 ;
Trang 1

i)
k)
l)

25ax3 y2

3bx 4 y3.0,4cx 5 y4 ;

25ax 3 y2

3bx 4 y3 .0,4cx 5 y4k ;

2a
;
3c

m)

2a 8
x ;
3c

n)

2a 8
x
3c

y2

p)

2a 8

x
3c

y2 .

 Tìm cách giải: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà
mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Do đó muốn thu gọn đơn
thức ta thực hiện nhân các số với nhau nhân các lũy thừa của cùng một biến (cơ số) với
nhau.
Giải
Đơn thức:
b) 5,3x 3.

3 x 5 y2

15,9x8 y2 ;

e)

5bc
;
6a

f)

5bc 5 2 3
x y z .1,2bxy3
6a

h)

25ax 3 y2

l)

2a
;
3c

m)

2a 8
x ;
3c

n)

2a 8
x
3c

b 2c 6 5 3
x yz ;
a

3bx 4 y3 .0,4cx 5 y4

y2

30abcx12 y9 ;

2a 8 2
xy
3c

Hai đơn thức 15,9x8 y2 và

2a 8 2
x y đồng dạng. Bậc của đơn thức là 10.
3c
Trang 2

5bc
đồng dạng. Bậc của đơn thức: bậc 0.
6a

2a
và
3c

Hai đơn thức

Ví dụ 2: Tính tích của các đơn thức và tìm bậc của các đơn thức, sau đó tính tổng các đơn
thức đồng dạng:
25 6 5 3
a)
x y z và
36

2

3 3 4 5
xyz ;
5
3

b)

0,5x 3 y2z 4 t và 2yz3 ;

c)

2,5x 5 y6z3 và

d) 3xy2 z3

2

8,4x 4 y3z5 ;
8xyz 4 t .

và

 Tìm cách giải:
Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
Lưu ý các phép tính về lũy thừa a m .a n

am

n

và a m

n

a m.n .

Để cộng các đơn thức đồng dạng, ta cộng các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.
Giải

25 6 5 3
x yz .
a)
36

2

3 3 4 5
xyz
5

b)

0,5x 3 y2z 4 t . 2yz3

c)

2,5x 5 y6z3
2

d) 2xy2z3 .

1 9 9 8
xyz
4

3

0,25x 9 y9z8 . Bậc 26.

0,5x 3 y2z 4 t .8y3z9

8,4x 4 y3z5

8xyz7 t

4x 3y5z13t . Bậc 22.

21x 9 y9z8 . Bậc 26.

4x 2 y4z6 .

8xyz 7 t

32x 3y5z13t . Bậc 22.

Tổng các đơn thức đồng dạng:
0,25x 9 y9z8
4x 3 y5z13t

21x 9 y9z8

21,25x 9 y9z8 .

32x 3 y5z13t

36x 3y5z13t .

Ví dụ 3: Cho 3 đơn thức: 3a 2 x m yn 1;

2 2 n m 3
b x y ;
15

2,5c2 x m

2n

y3 với a; b; c là các hằng

số, m; n là các số tự nhiên.
a) Tìm tích P của ba đơn thức trên.
Trang 3

b) Tính giá trị của tích P với a

1
;c

2

1; b

2; m

2; n

3; x

1; y

1.

Giải
3a 2 x m y n 1.

a) P
3a 2 .

2 2
b.
15

5 2 m 3n m
c .x .x .x
2

a 2b2c2 x 2m

Thay a

2 2 n m 3
b x y .
15

5n

yn

3m 2

2n

2n

y3

.y n 1.y3m .y3

.

1
;c
2

1; b

2,5c2 x m

2; m

2; n

3; x

1; y

1

2

2 2 2

P

abc x

2m 5n

y

1
.22
2

2

n 3m 2

1 .

19

1 .111

1.

Ví dụ 4*: Tìm tích B của các đơn thức B1; B2 ; B3 ; ...; B2018 với
B1

1
x; B2
2

1

1

1 2
x ; B3
3

1 3
x ; ...;B2018
4

1

1

1
x 2018 .
2019

 Tìm cách giải: Lưu ý nhân nhiều lũy thừa của cùng cơ số: a m .a n ....a p
Và tổng 1 2
Với n

3 ...

2018 thì 1 2

n

am

n ... p

1 n .n:2

3 ...

2018

2019.2018:2

2037171 .

Giải

1

1
2

1
1
;1
2
3

1 2 3 2018
. . .....
2 3 4 2019

Ta có:
3

x.x .x .....x
Vậy B

1
4

3
; ...; 1
4

1 2 2 3 3 2018 2018
x. x . x ....

x
2 3 4
2019

Do đó: B

2

2
;1
3

2018

1 1
x
2019

1
2019

2018
2019

1 2 3 2018
. . .....
.x.x 2 .x 3.....x 2018
2 3 4 2019

1

2019

1 2 3 ... 2018

x

2 3 ... 2018

x

1 2018 2018
2

x 2037171

1
x 2037171.
2019
Trang 4

Ví dụ 5: Viết các đơn thức sau dưới dạng tích của hai đơn thức trong đó một đơn thức
bằng 2,5x 3 y2 .
a)

25x 6 y4 ;

b) 15x3 y6 n z3

N .

n

 Tìm cách giải:
a) Gọi đơn thức nhân với 2,5x 3 y2 để được đơn thức
25x 6 y4

Ta có

Suy ra a

x 6 ; y2.yn

25 : 2,5

b) Ta có: 15x 3 y6 n z3
Suy ra b
2

e

15 : 2,5

6

ax m yn , trong đó:

2,5x 3 y2 .B và B

25; x 3.x m

a.2,5

n

e

25x 6 y4 là B.

y4

10; 3

m

6

m

3; 2

n

4

n

2

2,5x 3 y2 .bx d yezg

6; 3
4

d

3

d

0;

3 . Lại có x 0

n và g

1.

Giải
a) Ta có

25x 6 y4

b) 15x3 y6 n z3

2,5x 3 y2 .

10x 3 y2 ;

2,5x 3 y2 .6y4 n z3 .

Ví dụ 6: Xác định hằng số a và b để tổng các đơn thức sau đây bằng 1975x 32 y23z54
a) 68ax32 y23z54 ;

8ax 32 y23z54 ; 86ax 32 y23z54 ;

b) ax 32z50 .2y23z 4

a

b x 32 y23z54

67ax 32 y23z54.

7bx 23y 23z51.4x 9z3 với a

2b .

 Tìm cách giải: Để cộng các đơn thức đồng dạng, ta cộng các hệ số với nhau và giữ nguyên
phần biến. Các đơn thức ở câu a) và đơn thức ở câu b) sau khi thu gọn đều là đơn thức
đồng dạng. Do đó 1975 chính là tổng các hệ số của các đơn thức.
Giải
a) 68ax 32 y23z54
Do đó: 68a
b) ax 32z50 .2y23z 4

8ax 32 y23z54

8a

86a

a

86ax 32 y23z54

67a

b x 32 y23z54

67ax 32 y23z54

1975 hay 79a

1975

7bx 23 y23z51.4x 9z3

a

1975x 32 y23z54

25

1975x 32 y23z54
Trang 5

Hay ax 32 y23z54
Ta có: a

a

b

79; a

b x 32 y23z54

a
b

28b

1975 hay 2b

28bx 32 y23z54
2b

b

1975x 32 y23z54

28b

25b

1975

158

C. Bài tập áp dụng

16.1. Thu gọn các đơn thức sau và chỉ ra phần hệ số, phần biến và bậc của đơn thức thu
gọn: (a; b; c là các hằng số)
2

0,5x 2 y .3x 3 yz ;

a) 2xy.

b) 2,5ax 2 .6a 2 xy2 ;
c)

2c 3 2 2
ax y .
3

2 a

d)

b
3

6a 2bx 2 y

x 2 yz.

3

2cx 3 y2 .

16.2. Hãy xếp các đơn thức sau thành nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau sau đó tìm
tổng các đơn thức đồng dạng đó. (với a, b là các hằng số)
3x 2 yz; 5axyz 2 ; 7,5axy2z;

2
bxyz 2 ; 18x 2 yz; 2,5xy 2z;
5

3
bxyz 2 ; 2,5axy2z
5

16.3. Tìm các đơn thức A, B, C, D thích hợp trong các trường hợp sau:
75x 3 y2

a)

2

A

25x xy ;

b) B

1 3 4 2
ax y z
2

1 3 4 2

ax y z
6

c) C

4000b2 x3 y4

D

2 3 4 2
ax y z (a là hằng số);
3

34b2 x3 y4 và C 98b2 x3 y4

D

96b2 x3 y4

16.4. 1) Tính tích của các đơn thức, tìm bậc của các đơn thức tích vừa tìm (a, b là các hằng
số khác 0):
a)
b)

14 5 2
5
x y và x 3 y 2 z 4 t ;
15
7

0,2ax 3 y2 t và 4,5abx 3 yzt 2 ;
Trang 6

c)

d)

1 4 6
x zt ;
6a

5ax 2 y3 và
a

1
5

2

4 2 3

x yt

2

1 3
xy .
và
2b

16.5. Cho a, b, c là những số khác 0:
a) Hai đơn thức 5a 6b2 và 4a 2b5 có thể có cùng giá trị dương khơng. Tại sao? Khi nào
chúng có cùng giá trị âm?
b) Hai đơn thức 4a 5b2 và

5a 4b6 cùng dấu. Tìm dấu của a.

c) Xác định dấu của c biết 3a 2b5c và

12a 4b5c2 trái dấu nhau.

2 3 2 5
3 2 3 4 5 2
xyz;
x yz ; xy z . Chứng minh rằng khi x, y, z lấy
3
4
5
những giá trị bất kỳ khác 0 thì trong ba đơn thức đã cho có ít nhất một đơn thức có giá trị
âm.

16.6. Cho ba đơn thức

10n

16.7. Cho M
P

2n

a) Tính M

4

2n

10n

1

10n

2n

2

2n

3

2

1

10n

3

10n

2n với n

4

N*

P;

b) Tính M.P .

16.8*. Tìm tích A của các đơn thức A1; A2 ; A3 ; ...; A100 với
A1

1
1 x; A 2
2

1
1 x 2 ; A3
3

Sau đó tính giá trị của A với x

16.9. Cho C

1
22

1.

1
32

1.

1
1 x 3 ; ...: A100
4

1
1 x100 .
101

2015.2016 2
.
2014.2016 2018

1
42

1 .....

1
102

1 x 3 y 4z 5 t 6

Trang 7

7
2.5

D

13
5.8

31
14.17

37
x 6 y5 z 4 t 3
17.20

202
CD .
11

Tính tích E

5
x 8 y9z10 ; Q2
10.15

16.10*. Cho Q1

8
x 8 y9z10 ; Q5

28.36

Q4

Tính T

19
25
8.11 11.14

Q1

Q2

Q3

16.11*. Cho G

1

H

1
1
21

1

Q4

6
x 8 y9z10 ; Q3
15.21

7
x 8 y9z10 ;
21.28

14 8 9 10
xyz
36.50
Q5

1
1
1
1 m1 m 2 m 3
1
1
1
x y z ;
3
6
10
15
1
1
1
1
28

36

1 n1 n 2 m
x y z
45

3

với m,n

N; n

2; m

3;

Tính G.H .

Trang 8

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
16.1.
2

0,5x 2 y .3x 3 yz

a) 2xy.

3x8 y4 z .

3 ; phần biến: x 8 y 4z ; bậc: 13.

Hệ số:

b) 2,5ax 2 .6a 2 xy2

15a 3x 3 y2 .

Hệ số: 15a 3 ; phần biến: x 3 y 2 ; bậc: 5.
c)

2c 3 3 2
ax y .
3

2 a

Hệ số:

4a 4bcx 8 y11 .

4a 4bc ; phần biến: x 8 y11 ; bậc: 19;

Hệ số:
d)

6a 2bx 2 y5

b

2

3

4c a

2

2

x y z.

b
3

4c a

3 2 3

2cx y

2

b

x11y8z

3

2

; phần biến: x11y8z ; bậc: 20.

16.2.
Nhóm 1: 3x 2 yz

18x 2 yz

15x 2 yz .

2
bxyz 2
5

Nhóm 2: 5axyz 2
Nhóm 3: 7,5axy2z

2,5xy2z

3
bxyz 2
5
2,5axy2z

b xyz 2 .

5a
10a

2,5 xy 2z

16.3.
a) A

25x 3 y2

75x 3 y2

b) B

1 3 4 2
ax y z
2

c) C

D

100x3 y2 ;

1 3 4 2
ax y z
6

4034b2 x 3 y4 và C

Tìm được C

2 3 4 2

ax y z
3

D

2018b2 x 3 y4 và D

ax 3 y 4z 2

2b2 x 3 y4
2016b2 x 3 y4 .

Trang 9

16.4.
a)

14 5 2 5 3 2 4 10
xy. xyzt
15
7

2 8 4 4 10
x y z t . Bậc 26.
3

b)

0,2ax 3 y2 t.4,5abx 3 yzt 2

c)

5ax 2 y3.

1 4 6
x zt
6a

a

2

d)

1
5

4 2 3

x yt

0,9a 2bx 6 y3zt 3 . Bậc 13.

5 6 3 6
x y zt . Bậc 16.
6

1 3
.

xy
2b

2

a 1 12 14 6
x y t . Bậc 32.
20b 2

16.5.
a) 5a 6b2 0 với mọi giá trị của a và b nên khơng thể có giá trị dương. Do đó hai đơn
thức 5a 6b2 và 4a 2b5 khơng thể có cùng giá trị dương.
0 nên hai đơn thức

Xét 4a 2b5 nhận giá trị âm khi b
khi b 0 .

b) Hai đơn thức cùng dấu nên 4a 3b2 .
0 ; do đó a 9

b8

c) 3a 2b5c và
3a 2b5c.

0 . Khi ấy a

5a 4b6

5a 6b2 và 4a 2b5 có cùng giá trị âm

20a 9b8

0

c3

0

0.

12a 4b5c2 trái dấu nhau nên

12a 4b5c2

36a 6b10c3

0 mà a 6b10

0

0.

c

16.6.
Xét tích ba đơn thức

2 3 2 5
xyz.

3

3 2 3 4 5 2
x yz . xy z
4
5

2 6 8 10
x yz
5

0 với mọi giá trị khác 0

của x, y, z.
Do đó có ít nhất một đơn thức có giá trị âm.

16.7.
M

10000.10n

1000.10n

P

2n

2n

a) M

4

P

2n

3

8889.10n

2

2n

100.10n
1

2n

10.10n

16.2n

8.2n

10n

8889.10n

4.2n

2.2n

2n

9.2n

9.2n ;
Trang 10

b) M.P

80001.20n .

16.8*.
Lưu ý: a m .a n .....a p
Ta có 1 2
và

am

n ... p

3 ... 100

1
1
2

1 1
;
1
2 3

1
.
2

Do đó A

2
.
3

;
5050 ;

1 100 .100 : 2
2 1
;
1
3 4

3
1
; ...;
1
4

101

100
.
101

3
.....
4

100
x.x 2 .x 3.....x100 .
101

Tích có 100 thừa số âm nên tích dương và
A

1 1
x
101

x

2015.2016 2
2014.2016 2018

Vậy A

2 3 ... 100

1
101

1

1 5050
x .
101

2014 1 .2016 2
2014.2016 2018

2018
2018

1

1
.
101

5050

16.9. Ta thấy tích P

2014.2016
2014.2016

1
22

1.

1
32

1.

1
42

1 .....

1
102

1 có 9 thừa số âm nên tích âm.

Do đó:
3 8 15 80 99
. . ..... .
4 9 16 81 100

P

1.3 2.4 3.5 8.10 9.11
. . .....
.
2.2 3.3 4.4
9.9 10.10