Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO
TRƯỜNG DẠI HỌC sư PHẠM THÀNH PHĨ Hồ CHÍ MINH

DƯƠNG HỒNG HẠNH

VẤN ĐỀ CỦA FUCHS CHO
NHĨM ABEL KHƠNG PHÂN TÍCH Được

Chun ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8460104

NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC
PGS.TS. MỴ VINH QUANG


TP. HỒ Chí Minh - 2022


3

Mục lục
♦•

LLỜi cam doanl
ILỜi càm ỡĩĩl

11 Các kión thức cộ bán vộ nhóm và vành
1.1 Các kiến thức cơ bân về số học|..........................................................
1-1-1 Lý thu vét (lồng (lư
1.1.2

SỐ nguyên to.......................................................................

11.2 Các kiền thức cơ bản về nhóml.......................................................

11

1-2-1 Nhóm abcl xoắn-Nhóni abcl khơng xoắn-Nhóm abel hỗn

Ịl.3.2 Định lý Trưng Hoa vé dưj.......................................................

17


4

Ịl.3.3 Vành Z,; và hàm Eniẽr

17

Ị1.4 Trương hữu hạn|..................................................................................... 20
1.4.
Các kiến thức cơ bán về trường hừu han ....
. . . . 20
1
[L£2 Các đinh lý cơ bân vê trường hữu han|.................... . . . . 22
2 Các vấn đê cùa Fuchs cho I111Ĩ11Ì abel khơng phân tích được

24

2.1 ĐINH LÝ CO BẢN............................................................................


25

2.3
KẾT LUẬN

44

1----

|Tài liệu tham kháo

45


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan mọi kết quả của bài luận: ’Vấn đề cùa Fuchs cho nhóm abel
khơng phân tích được* là thành quă nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng
dẩn của PGS. TS Mỵ Vinh Quang. Nội dung cùa luận vấn có tham kháo một số
kết quả từ nguồn sách báo. tạp chí dược liệt kê trong mục tài liệu tham khào. Tịi
xin chịu hồn tồn trách nhiệm với bài luận ván cùa bàn thân
Dương Hồng Hạnh


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành càm ơn PGS.TS My Vinh Quang, người thầy vô
cùng tận tâm và nhiệt tình trong việc giáng dạy, hướng dẫn và giúp đô tôi về các
kiến thức cũng như phương pháp dể tơi hồn thành luận ván 'Van dề cùa Fuchs
cho nhóm abel khơng phân tích dược’.
Bên cạnh đó. tơi xin bày tị lịng biết ơn đến q thầy có khoa Tốn - Tin của

trường Dại học Sư Phạm Thành phó llồ Chí Minh, dã trực tiếp giúp dữ và giảng
dạy tòi rất nhiều trong quá trinh học tập Cao học và thực hiệu luận van này.
Tiếp đến, tôi cũng xin cãm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu và quý thầy cơ trong
phịng Sau dại học trưịng Dại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi
diều kiện thuận lợi trong q trình học Cao học tại trường.
Tơi xin chân thành cam ơn gia đình, bạn bè. đồng nghiệp đà cổ vũ và động viên
tôi trong suốt thời gian qua.
Mặc dù đã có nhiều nó lực trong suốt q trình thực hiện luận vấn, nhưng khơng
thế tránh khói thiếu sót. Tỏi rất mong nhận được ý kiến dóng góp cùng sự chi dần
của quý thầy cỏ và các bạn học viên.
Dương Hồng Hạnh


7

Lời mở đầu
Gần 60 năm trước. Filths đã đặt ra câu hói: “Nhóm abel nào có thể được xem là
nhóm các phần tử khả nghịch của vành giao hốn có đơn vị?”. Có lất nhiều nhà
tốn học (là nghiên cửu về vấn (lồ này và (là thu (lược nhiều kết q thú vị. Tuy
nhiên, câu hịi trơn cho đến nay vẫn cịn là một vần đề mơ và vẫn thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà tốn học.
Chính vì vậy. chúng tôi chọn (lề tài "Vấn đề cùa Fuchs cho nhóm abel khơng phân
t ích được'' với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kết quà nghiên cứu gần (lây
liên (plan đến ván (lề của Fuchs (lã dặt ra.
Nội (lung luận vốn gồm có 2 chương

Chương 1: Kiến thức cơ bân về nhóin và vành.
Chương 2: vấn đề của Fuchs cho Iihóm abel khơng phân tích
được.



Chương 1

Các kiến thức cơ bản về
nhóm và vành
1.1 Các kiến thức cơ bản về số học
1.1.1

Lý thuyết đồng dư

Phép chia hết và phép cilia có dư
Định nghĩa 1.1.1. Cho hai số nguyên m và n(u > 0). số m gọi là chia hết cho n khi
tồn tại sỗ nguyên q sao cho m = nọ. Khi đó. ta nói tu là bội cùa n hay n là ước cùa
m.
Ký hiệu. rn':n hoặc n I m.
Định lý 1.1.2. Dịuh lý thuật toán chia
Cho hai sỗ nguyên m t'À n(n > 0). Khi dó, tồn tại duy nhát các số nguyên ợ. r .sao
cho
m = nq + r với Q < r < n


ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
Định nghĩa 1.1.3. Cho hãi số nguyên HẠ và n. số nguyên k được gọi là ước chung
của m và n nếu Ả vừa là ước cùa m. vừa là ước cùa «.
Định nghĩa 1.1.4. Ước chung lớn nhất
Cho hái số nguyên m và n, số nguyên dương (ỉ được gọi là ước chung lớn nhất cùa
các số nguyên rn.tỉ nếu (l là ước chung cùa m và n dồng thời mọi ước chung khác
của m và n đều là ưốc cùa í/.
Ký hiệu: d = UCLN(»n,n) hay d = (m,n).
Định nghĩa 1.1.5. Cho hai số nguyên m và M, số nguyên h được gọi là bội chung

của m và n nếu h vừa là bội cùa m, vừa là bội cùa n.
Định nghĩa 1.1.6. Bội chung nhó nhất
Cho hai số nguyên rn vằ n, số nguyên dương b được gọi là bội chung nhó nhất của
các số nguyên III, n nếu b là bội chung của III vằ n dồng thời mọi bội chung khác
của rn và n dều là bội cùa b.
Ký hiệu: b - BCNNfm.n] hay b = (m,n).
Định nghĩa 1.1.7. Hai số nguyên m và It dược gọi là nguyên tố cùng nhau khi
(m,n) = 1.
Bổ đề 1.1.8. Nếu m = nq + r thi (m,n) - (n.r).
Bổ đề 1.1.9. Cho m,n là các .số nguyên và d là ước chưng lớn nhắt cùa m và n.
Khi (ló tồn tại các sẻ nguyên m',n' sao cho d = m.m' + n.n'.
Hộ quã 1.1.10. in I'd n là hai số nguyên tố cùng nhau khi t'd chi khi tồn tại hai số
nguyên u,v sao cho in.u + n.v = 1.


Đồng dư
Định nghĩa 1.1.11. Cho một số nguyên a > 0. Nếu hai số nguyên m và n cho cùng
số dư khi chia cho <1 (tức là m - n chia hết cho a) thì ta nói rằng m đồng dư với n
theo module a và viết:
m = n (mod «)
Mệnh đề 1.1.12. Cho nt.n.p.a là nhưng số nguyền t'd o > 0. Khi dó. ta có:
(i) m=m(mod(?).
(ii)Nếu m = n (mod a) thi n = m (mod á),
(Hi) Nếu m = n (mod (?) vù n = p (mod (?) thì m = Ị) (mod (?).
Mệnh đề 1.1.13. Nếu rn = n (mod a),p = ợ(mod(?) thì m + p = n + (Ị (mod (?) và
mp = r?í/ (mod (?).
Mệnh đề 1.1.14. Cho rn.n.p.a ỉà các số nguyên, a > Q.mp = np(modữ) và d = (p,
(?). Khi dó ta có

Định lý 1.1.15. (Fermat nhị).

Nếu m là số nguyên, a là số nguyên tồ và (rn,a) = 1 thì m“~l = 1 (moda). Hộ quà
1.1.16. Nếu m là số nguyên và a là số nguyên tố thì nỉ" = rn (mod ô)ã
nh lý 1.1.17. fH':7.son/ Nu a l số nguyên tố thì (a- 1)! = — 1 (mod a).
Tiếp theo, ký hiệu m là tập hợp tất cà các số nguyên dồng dư với m theo
module a.ĩĩỉ - {n € Z|n = m (mod «)}.


1.1.2 Số nguyên tố
Số nguyên tố
Định nghĩa 1.1.18. Một số nguyên dương lớn hơn 1 dược gọi là số nguyên tố khi
và chí khi nó chi có hai ưốc ngun dương là 1 và chính nó.
Định lý 1.1.lí). Mọi số nguyên dương lớn hơn í đều phân tích (lược (hành tích của
CÁC thừa số nguyên tồ t'À sự phân tích (lồ là duy nhát nếu khơng Ẳẽ đen í/iứ íự
của các thừa số.
Nói cách khác, với mọi số tự nhiên n. n > 1, tồn tại các số nguyên tố 9i. 72- ..-7fc
sao cho n = 91 .(/>.. (ỊkHẹ quà 1.1.20. Với mọi số lự nhiên n, n > 1. tồn lại các số nguyên tố <Ịỉ,92, - <Ịk
sao cho n - 71'ư/í2 ■ • • 71 • (Đây gọi là dạng phán tích tiêu chuẩn cùa một số tự
nhiên).
Số nguyên tố Fermat
Mệnh đề 1.1.21. Neu số '2m 4- 1 (m e Z* )là sớ nguyên tố thì m = 2” với n € N.
Dinh nghĩa 1.1.22. Fra = 22" 4- l(n € N) ta gọi là số Fermat tint n.
Nếu Fz, là số nguyên tố t hì ta gọi F„ là sổ nguyên tố Fermat thứ n.
Số nguyên tố Mersenne
Mệnh đề 1.1.23. jVru 2T” — 1 là sổ nguyên tố thỉ r/1 là số nguyên tố.
Định nghĩa 1.1.24. Nếu m là số nguyên (lương thì M,„ = 2”' - 1 (lược gọi là số
Meraenne thứ m.


Nếu p là số nguyên tố và Mp = 2P - 1 là số nguyên lố thì Mp (lược gọi là số
nguyên tố Mersenne.

Ta có các bổ đề về số nguyên tố Fermat và số nguyên tô Merscnse sau:
Bổ đề 1.1.25. jVếu (Ị là số nguyên lố. số q"' — 1 là ỉũy thừa của 2 khi và chi khi q
là sổ nguyện tố Fermat và m = 1 hoặc, q = 3 rà m — 2.
Xem Ịõ| Mệnh đề 2
Bổ đề 1.1.26. Cho q là số nguyên tố. Già sửqm - 1 = p' với p là số nguyên tổ lè. và
r là số nguyên dương. Khi dó r = ì.q = 2 và p = 2'” — 1 tó sổ nguyên tố
Merse.nne.
Xem Ị5Ị Mệnh (lề 3.

1.2 Các kiến thức cơ bản về nhóm
1.2.1

Nhóm abel xoắn-Nhóm abel khơng xoắn-Nhóm abel

hồn hợp
Định nghĩa 1.2.1. Cho il là nhóm, nếu ỉỉ có hữu hạn phần tứ thì // được gọi là một
nhóm hữu hạn và số phần t ừ của H được gợi là cấp của H. ký hiệu là |/ỉ|.
Định nghĩa 1.2.2. cốp của một phần tử
Cho X là một phần t ử khác phần t ừ đơn vị e cùa nhóm H
Nếu tồn tại một số nguyên dương n sao cho Xn = thi X dược gọi là phần tứ xoắn,
và số ngun dương n nhị nhất thỏa tính chắt xn = e dược gọi là cấp cùa X. ký
hiệu là |x|.


Định nghĩa 1.2.3. Cho H là một nhóm abeỊ phần tữ X € // là phan tử xoắn. Dạt
A' = {x € // : X là phần tử xoân }
ta được X là nhóm con cứa H và gọi là nhóm con xoan của H. Nếu A' = H thì ỉỉ
được gọi là nhóm xoắn. Nếu X = {e} thì ỉỉ gọi là nhóm khơng xoắn. Các trường
hợp cịn lại, // được gọi là nhóm hồn hợp.
Định nghĩa 1.2.4. Cho số nguyên tố p. một nhóni H dược gọi là p-nhóm nếu mọi

phần tứ của ỉ ỉ đều có cầp là p.

1.2.2 Nhóm cyclic - Nhóm tựa cyclic
Nhóm cyclic
Định nghĩa 1.2.5. Cho H là một nhóm và 0 / X c H. Khi đó giao rất cà các nhóm
con của H chứa X (lược gọi là nhóm con sinh bỏi tập X, ký hiệu là (X). Hiển nhiên
(X) là nhóm con nhò nhắt của ỉỉ chứa tập X'.
Nếu (X) = H thì X được- gọi là một tập sinh cùa H: nếu H có niột tập sinh chi gồm
1 phần tử thì H (lược gọi là nhóm đơn sinh hay nhóm cyclic.
Nói cách khác, nhóm ỉỉ được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tứ a € H và
lỉ = (a). tức là // trùng với nhóm con sinh bởi phần tứ (Ẹ bao gồm tất cả các lũy t
hừa nguyên của a.
Vậy : H = («) = {a" : n € z}
Tính chất 1.2.6. Cho ỊỊ là nhóm cyclic, ỉi = («}. Khi đó, mọi nhóm con .4 < H đều
lồ nhóm cyclic.
Chứng minh. Trường hợp 1: A = {(•} thì i4 = {e}.


Trường hợp 2: .4

{e}, (lo /1 < H = {«" : n € Z}. khi đó tồn tại một lũy

thừa ak ỹí e mà ak € .4, và có (i~k € .4 (lo .4 là nhóm con. Tức là tồn tại một lũy
thừa nguyên dương của « thuộc vào .4 (hoặc Dạt m = min {Ẳ- > 0 : ớfc € /1}. ta sẽ chứng minh .4 = (« m). Thật vậy, với mọi X €
-4 thì X - ak với k = q- m + r(0 < r < m), và từ ak = aự m+r =
ta suy ra: ar = ak.

• or

e .4 (lo ak,am e .4. Bơi (liều kiện 0 < r < m và fit

là một số nguyên dương bé nhất đế (?”* € .4. buộc r = 0. Tức là k = q.m hay X =
ak = (am)’. Vậy .4 là nhóm cyclic.

□

Nhóm tựa cyclic
Mệnh đề 1.2.7. Cho Cpi = {r € c : xpi = 1). Khi dó. Cpi ỉà nhóm con cyclic cùn c*.
Chứng minh. Lấy ơ.b € Cpi, ta có (ữ.ố-1)^ = apt .(bpk)~l = 1, vậy «.ờ_1 € Cpt. Do đó
CỊẠ là một nhóm con cùa nhóm nhản các số phức c*.

Gọi Q. = cos^v 4- isin là cãn nguyên thủy bậc pk cùa 1. Khi đó, Cpk là nhóm
cyclic sinh bởi £pi.

□

Ta có thể mơ tà Cpk = {cos 2^ + isin ^r|n = 0,1....,p* - 1}
Định nghĩa 1.2.8. Cho Ịt là một số nguyên tố và Cý là nhóm cyclic cắp Ị)k
như mơ tà ờ trên. Đạt 6’ = u Cr/ thì 6’ là một nhóm con cãp vơ hạn cùa *=1 *
c*. Khi đó. mọi nhóm đẳng cấu với G được gọi là nhóm tựa cyclic, ký hiệu là c>.
Tính chất 1.2.9. Mọi nhóm con thực sự của của nhóm tựa cyclic Cp.x là nhóm
cyclic cấp p" với M là một số tự nhiên nào (ló.
Chứng minh. Theo mệnh (lề (Ị1.2.7(1 Cpk là nhóm cyclic cấp // sinh bời £pk =
cos^r + ỉ sin


Dầu tiên ta có: {1} c c {&) c ... c {ự) c (Ợkộ c ....
ơ = U và & = ộ.úVẢ- € N.
Bày giờ già sứ .4 là nhóm con thực sự của G (ó’ (lược (lịnh nghĩa theo |Ị1.2.8||).

Do A < G nên tồn tại n > 1 sao cho ípn € .4 và ípn»i ệ i4. Suy ra ípm £ /1 với mọi
ìti > n. Ta chứng minh /1 = Thật vậy, hiển nhiên ịgp/n) c .4. Ngược lại. nếu (1 € .4
thì a =

(l.p) = 1 với / nào dó. Già sử a £ (sp") thì

I > n. Suy ra ệ .4- Mặt khác, do (k,p) = 1 nên tồn tại u,v e 2 sao cho ku + ffv= 1.
Bởi vậy, iy =

= (ộ)" = fl" € A Mâu thuẫn.

Vậy a € «p») và A =

□

1.2.3 Nhóm phân tích được - Nhóm khơng phân tích
được
Tổng trực tiếp của hai nhórn
Định nghĩa 1.2.10. Nếu .4 và B là hai nhóm thì tích Đề-các
A®B = {(a.b) I a e A.b e B}
lập thảnh một nhóm cùng với phép tốn hai ngơi cho bới
(a,&)(ír,y) = (axfby).
Nhóm .4 ® B được gọi là tổng trực tiếp của .4 và B.
Định nghĩa 1.2.11. Giá sứ A.B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm H. Ta nói rằng
ỉỉ phân tích được thành tống trực tiếp của i4 và B nếu ỉỉ = .4 B và .4 n B = {c}.
Khi dó ta cũng nói rồng các nhóm .4 và B là các hạng tử trực tiếp cùa nhóm H.
Nếu // phân tích dược thành tổng trực tiếp cùa hai nhóm con chuẩn lốc .4 và B thì


mỗi phần từ cùa .4 đều giao hoán dược với mỗi phần tử của B và mồi phần từ cùa

H viết dược một cách duy nhất dưới dạng ab. với a e A.b e B.
Liên hệ giữa sự phân tích một nhóm thành tổng trực tiếp với tổng trực tiếp của
hai nhóm ta có: Nhóm H phân tích được thành tổng trực tiếp cùa các nhóm con
chuẩn tắc /1 và lì khi và chì khi ánh xạ
: .4 o ĩỉ -* ỉỉ
(«. b) t-> ab
là một đảng cấu. Bời vậy, khi // phân tích được thành tống trực tiếp của /1 và 13 ta
cũng nói ràng lí là tổng trực tiếp cùa >1 và 13: ký hiệu A & 13 mà khơng SỢ có sự
hiểu lẩm nào. Sự phân biệt hai khái niệm này sẽ được hiểu trong tửng tỉnh huống
cụ thể.
Nlióin phân tích dược - Nhóm khơng phân tích dược
Định nghĩa 1.2.12. Một nhóm H được gọi là nhóm phân tích được nếu nó là tổng
trực tiếp của hai nhóm con thực sự cùa //. Nghĩa là. tồn tại l/|. //2 < H thỏa mãn H
- Hỵ ® w2.
Nếu ngược lại thì H dược gọi là nhóm khơng phân tích được.

1.2.4 Định lý Kullikof
Định lý 1.2.13. Mọi nhóm abel khơng phải là nhóm khơng xoắn, có hạng tứ trực
tiếp ln đẳng cấu với p—nhóm cyclic hoặc p—nhórn tựa cyclic với p là số
nguyên tó nào dó.
(Xem BỊ. Định lý 4.3.12.)


Hộ quả 1.2.14. Một nhóm (il)t-l. khơng phải là nhóm khơng xoắn, khơng phân tích
dưọc thì phải dắng cáu vài p-nhórn cyclic hoặc p—nhóm tựa cyclic. Nghĩa là.
dẳng cấu với Cý> vói n e N hoặc n = oc.
Chú
ý rằng, p—nhóm tựa cyclic Cpt*. chính là Cp* ứng với n
=
00.

]G

1.3 Các kiến thức cơ bản về vành
1.3.1

Đặc số của một vành

Định nghĩa 1.3.1. Cho /? là một vành có đơn vị, khi đó (/ỉ. +) là một nhóm abcl.
Cấp cùa phần tử 1 trong nhóm (/?. +) được gọi là đặc số cùa vành R. Ký hiệu là
charR
Cụ thể:
+ Nếu cấp cùa 1 trong (/?. +) là oo thì ta nói charR = 0.
+ Nếu cấp của 1 trong (/?. +) là số tự nhiên c thì ta nói charR = c.
Nói cách khác,
+ Nếu c là dặc số cùa vành /? t hì c là số nguyên dương nhị nhát thỏa c.l = 0. +
Nếu khơng tồn tại số tự nhiên c nào để c.l = 0 thì ta nói R có dạc số 0.

Mệnh đề 1.3.2.
(a) Nễu charR = 0 thi ánh xạ Ị : z —> 7? với f(a) — a.e là dơn cấu vành nén
có thể xem z < R.
(b) Nễu charR = c > 0 thì f : Zf —> R. xác dinh bời /(7ĩ) = (I.e ỉồ dơn edit
vành do dó có thể xem zr < R.

Ví dụ 1.3.3.
(a) Vanh z có đặc số là 0.
(b) Vành zc có dặc số là c.

1
9

1.3.2 Định lý Trung Hoa về dư
Định lý 1.3.4. Cho vành R.
a. .4, B là các ideal của R thỏa A + lĩ = R và Ar\B = 0. Khi dó:
R/AB * R/A X R/B
b. Nếu .41.-42,..., -4„ lả các ideal dơi một ngun tố cùng nhau. .4, fì Aj = 0
thỉ
R/A1A2 ■ • • -4„ = (K/.40 X (R/A2) X - • ■ X (R/An)
Chứng minh. a. Xét đồng cấu vành: /:/?-* R/A X RỊB. Ta có f có hạt nhân ker / = /1
nổ = AB. Tồn tại đơn cấu ộ : z? -> R/A X RỊB. Ta có ộ lồn cấu. Thật vậy, ílo .4.
B&R vằ A + B = R nên tồn tại y € .4 vồ ® G B sao cho 0 + X = 1. Như vậy. với
mọi fl,i€ 7? ta có:
ax + by 4- A =ã trong lì/A
ax 4 by ỉỉ = ỉ) trong RỊỉỉ
Diều này chứng tỏ ộ toàn cáu. Nên theo Noether, tồn tại (lắng cấu:
R/AB R/A xR/B
1). Dể (làng suy ra từ chứng minh quy nạp.

u

1.3.3 Vành zc và hàm Euler
Vành z,.
Định nghĩa 1.3.5. Ta có kí hiệu z là vành các số ngun thì cZ là ideal chính sinh
bởi c. Khi (ló. vành thương Z/cZ = Zr ta cịn gọi là vành các số nguyên module c.
Tính chất 1.3.6.


2

0

(a) Vành Zớ có c lớp, chính là 0,1, ...,c - I.
(b) (J — ỉ khi và chí khi (« - 6) chia hết cho c.
Nhóm thương Z'
Định nghĩa 1.3.7. Nhóm cốc phần từ khả nghịch của vành Zr ta ký hiệu là z;.
a e Z* khi và chi khi a khà nghịch trong tức là tồn tại b € sao cho 3.6 = ĩ.
Hơn nừa. ta có a khả nghịch khi và chi khi (fl,c) = 1.
Hàm Eulcr
Định nghĩa 1.3.8. Hàm Euler ộ(n) là một hàm số xác định với mọi n G N*, được
định nghĩa là số các số nguyên (lương không vượt quá n và nguyên lố cùng nhau
vói n. Nghĩa là
ọ(n) = m({i € BT I i < n, (i,n) = 1})
Ĩ đây kí hiệu m(/l) là số phần tứ của tập hợp /1.
Mệnh đề 1.3.9. Hàm Elder là hàm nhân tính, nghía là ộ(mn) - ó(m).0(n) với
mọim.n nguyên tố cùng nhau.
ĐỊnli lý 1.3.10. Giá sử n = Pl’Pa2 ■ • Pt* tó phân tích của n thừa số nguyên tố.
Khi dó ta có:


]9

Chứng minh. Do hàm Euler là hàm nhân tính nên ta chì cần chứng minh rang với
mọi số nguyên tố p thì

Thật vậy, các số nguyền dương khơng vượt q và khơng ngun tố cùng nhau với
p phải có (lạng sp với s nguyên dương nào dó. Có đúng p*-1 số như vậy. Do đó, số
các số khơng vượt q pk và nguyên tố cùng nhau với p* đúng
Tính chất 1.3.11. |(Zc)*| = ộ(c) rái ộ là hàm Euler.
Hệ thặng (lư

Định nghĩa 1.3.12. Trong mỗi lớp của vành z<., ta lấy ra một (lại diện. Khi đó. tập
gồm tất cả các đại diện đó được gọi là hệ thặng dư đầy đù module
c.
Như vậy. một tập các số nguyên là hệ thặng dư đầy dù module c khi và chi khi hai
phần tử bất kỳ trong tập đó khơng đồng dư với nhau theo module c. Ilơn nữa. bất
kỳ một số nguyên nào cũng đều dỏng dư với duy nhất một phần từ thuộc s theo
module c.
Định nghĩa 1.3.13. Trong mỗi lớp của Z“, ta lấy ra một đại
diện. Khi đó, lập 7’ gồm tất cả các dại diện dó dược gọi là
hệ thặng dư thu gọn module c. Như vậy. tập T là hệ thặng dư
thu gọn module ẹ khi và chì khi mỗi phần tứ cùa T đều nguyên
tố cùng nhau với í? và hai phần tứ bắt kỳ trong T không đồng
(lư vôi nhau module c. Hơn nửa, một phần tử bắt kỳ mà nguyên
tố cùng nhau với c thì phái dồng dư với một phần tứ trong T.


2
2

Bơ đề 1.3.14. Z* là nhóm cyclic khi và chi khi c là 2,4,nguyên lỗ lè và k > ỉ.
(Xem [g|)

1.4 Trường hữu hạn
1.4.1

Các kiến thức cơ bân về trường hữu hạn

Định nghĩa 1.4.1. Cho trường F có hữu hạn phần từ. ta gọi F là trường hữu hạn.
Khi đó, .số phần từ của F được kí hiệu là |F|.

Tính chất 1.4.2.
a) Nếu F lồ t rưởng hữu hạn thì dặc số của F char(F) = p là số nguyên tố. Khỉ
dó, F chửa trường con Fp = {0, C...., (p- l)e} = Zp. Fp là trường con cùa F
có p phần từ.
Nếu F là trường và chai F = p thì ánh xạ ơ : F —> F với Q »-> ap là đơn cấu
trường.
Nếu F là trường hừu hạn charF = p thì a : F -> F với a ap là đắng cấu trường
và <T* : F -> F với Q •-> là dâng cấu.
b) Chơ F là t rường con của /V. nếu K hữu hạn t hì F hữu hạn và |Ấ'| = |F trong
đó m - K : F). Đặc biệt, nếu F là trường hữu hạn charF - p thì F| = với m là
số tư nhiên nào đó.
Chứng minh. [K : F] = m => dim F — m
K
Gọi Q-|, «2 , — t là cơ sờ cua khơng gian vectơ K trên F. Khi đó mỗi
u e A’ viết dược duy nhất dưới dạng


2
3

u = 01 ô1 + a2ô2 + ããã + ômôm
Do đó ánh xạ 0 : A' -> F'" vỏi w —* ớ(u) = u/(a) = («1. a2.

, arn)

là song ánh, do đó |F| = |F|m = |F"'|
Nếu F là trường dặc số p thì theo tính chất IQI Ff. là trường con cùa F có
p phần từ suy ra |F| = |Fp|m = pm, m = [F : Fp|

□

c) Cho F là trường hữu hạn, đặc số p VÀ F\ - <Ị - pm ịm € N). Khi dó
Va € F : aff = a.
Chứng minh. F là trường => (F4, . ) là nhóm abel cấp ợ - 1. Do đó. với
mọi a € F\ a’”1 = e => a’ = a.
Nếu a = 0, tốt nhiên a'f = (t = 0.

□

d) F là trường con của K. K là trường hưu hạn và |A'| = p” = char K. n € N.
Khi đó da thức /(x) = x’ — X phân rã dược trong K và A' chính là
trường nghiệm của f(x) trên F.
Chứng minh. Theo tính chất iQl : Va € A' ta đều có a'1 = Q.
Suy ra Va e A' đều là nghiệm f(x] = xg - X.
Mà /(x) là da thức bậc ợ nên có tối da q nghiệm trong K.
f(x) có dù ợ nghiệm trong Â'=> /(r) phân rà dược trong A' [x] cụ thế
/(x) = xtl - X = n ụ - a).
a€K
Vậy trường nghiệm cùa /(x) ờ trên À’ là F(A’) = /<-

□

1.4.2 Các định lý cư bản về trường hữu hạn
Định lý về sự tồn tại duy nhất của trường hữu hạn
Định lý 1.4.3. Cho trước,p là một số ngun tó bổt kì, n .Sở tự nhiên n > 1, tồn tại


2
4

duy nhát (sai khác một dẳng cáu ) trường hữu hạn có Ị>" phần tử.
Chứng minh. Xét t rường Fp là trường bất kì có p phần tử.
Đa thức f(x) =

- X € Fp(x], với q = pn.

Gọi F là trường phân rã của /(r) trên Fp. (trường phân rã tồn tại).
Ta chứng minh |?’| = (].
Gọi s là tập nghiệm của f(x} trong F => F = Fp (/'(x) = qx’-1 - 1 = -1

0 nên (J(x). f (z)) = 1. Do đó /(x) khơng

có nghiệm bội => |Do đặc số char F = p nên s là trường con của F, s chứa Fp, vì (I G Fp và do |Fp| =
p => ap = a (tính chất (ỊbỊi) => apK = a => ứ € s.
Do dó F = Fp(S) = s.
=> |F| = |5| = g.
Giả sử F' cũng là trường có q - pn phần tứ (chứng minh F' đảng cấu với
P)
=> char F' — 0.
Fp' = {0.1- e', ... , (p - l)e'} trường con cúa F có p phần tứ.
Theo tính chất lỊdỳ) F' là trường phân rã của xq - X trên Fp'.
Do Fp * Fp' (= Zp) nên F = Ff.
Tiêu chuẩn trường con của trường hữu hạn
Định lý 1.4.4. Cho K là trường hữu hạn và |/<| - p" (char K = p) nếu F là trường
con ciía K thi |F| = Ị)”' với m là ước của n.
Ngược lại, vởi mỏi số tự nhiên m > 1. ìn là ước của n, tồn tại duy nhắt trường con
F cùa K sao cho I F| = pm .

Chứng minh. Theo tính chất F là trường con của K => //' = |/\ I = |F|* với k = (7< :
F].


2
5

|F|||K| => |F| = p"'vàp’' = (p"')k = Fnk => m|n.
Ngược lại. cho m|n => (pm -1)1 (pn - 1)
=>

- l|^n-1 - 1

=> xp'" — x|xp" - X
Ta có xF - X phân rà được- trong K [x] (tính chất lỊdỊl)
Gọi F là tập nghiệm của -X trong K thi F là trường con của K và |F| = pmGiả sứ có F’ là trường con của K , |F'| = p'n, ta chứng minh F' = F.
1
ThậtF'
Vậy
vậy
c F
theo
mà |F'|
tính =
chất
|F|IQ=>
I Va
F' €= FF.
suy ra
□ = Q suy ra a Q F.