Bài giảng
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
Chương 2. BIẾN NGẪU NHIÊN

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt
Khoa Công nghệ Thông tin
Trường Đại học Nguyễn Tất Thành
Ngày 12 tháng 10 năm 2022
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

1 / 55


XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

⋆ Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học
Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần. Sinh viên tải về, in ra và mang
theo khi học. Điểm tổng kết mơn học được đánh giá xun suốt q trình học
⋆ Điểm quá trình: 20%
⋆ Kiểm tra giữa kỳ: 20%
⋆ Thi cuối kỳ: 60%

⋆ Cán bộ giảng dạy
⋆
⋆
⋆
⋆

⋆
⋆

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt
ĐT: 0933373432
Email:
Zalo: 0378910071
Facebook: />Website: />Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

2 / 55


Content

1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

2

BIẾN NGẪU NHIÊN

3

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG


4

LÝ THUYẾT MẪU

5

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

7

HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN

8

THỐNG KÊ MÔ TẢ
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

3 / 55


Content


1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

2

BIẾN NGẪU NHIÊN

3

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

4

LÝ THUYẾT MẪU

5

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

7

HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN

8


THỐNG KÊ MÔ TẢ
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

4 / 55


BIẾN NGẪU NHIÊN
NỘI DUNG

2-1 Khái niệm biến ngẫu nhiên
2-2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên
2-3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên
2-4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập
2-5 Hàm của biến ngẫu nhiên
2-6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

5 / 55


2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên


Định nghĩa
Một biến ngẫu nhiên (random variable) với giá trị thực là một hàm số đo được trên
một không gian xác suất:
X : (Ω, P ) → R

Hình: Biến ngẫu nhiên X.
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

6 / 55


2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1.
Thực hiện phép thử tung đồng xu 3 lần, gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mặt sấp có được
trong 3 lần tung.

Ta có khơng gian mẫu của phép thử Ω = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS }
Và biến ngẫu nhiên X : Ω → R có các giá trị như sau:
X(NNN)=0,
X(NNS)=1,
X(NSN)=1,
X(NSS)=2,

X(SNN)=1,
X(SNS)=2,

X(SSN)=2,
X(SSS)=3.

Như vậy về mặt xác suất của biến ngẫu nhiên ta có:
P (X = 0) = 18 ; P (X = 1) = 38 ; P (X = 2) = 38 ; P (X = 3) = 81
Lưu ý. Ký hiệu P (X = 2) = 38 có thể hiểu là xác suất tung đồng xu 3 lần 2 lần được sấp
là bằng 3/8.
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

7 / 55


2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

⋆ Người ta thường dùng các chữ in X ; Y ; Z ... để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữ
thường x; y ; z ... để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên.
⋆ Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x là X = x và xác suất để X nhận giá trị x là
P (X = x ).
⋆ Có hai loại biến ngẫu nhiên:
Biến ngẫu nhiên rời rạc
2 Biến ngẫu nhiên liên tục
1

⋆ Biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu tập giá trị của biến ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô
hạn đếm được các giá trị. Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc
x1 , x2 , ..., xn .

⋆ Biến ngẫu nhiên liên tục: là biến ngẫu nhiên mà các giá trị của nó lấp đầy một hoặc
một số khoảng nào đó trên trục số thực, hoặc tồn bộ trục số thực.
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

8 / 55


2.2. Biểu diễn biến ngẫu nhiên
2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác suất
X
P ( X = xi )

x1
p1

···
···

x2
p2

xk
pk


···
···

Tính chất
1

2

3

pi ≥ 0, ∀i ,
+∞

+∞

i =1

i =1

∑ P (X = xi ) = ∑ pi = 1

P (a ≤ X ≤ b ) =

∑

a ≤ xi ≤ b

Nguyen Cong Nhut

P ( X = xi ) =


∑

pi .

a ≤ xi ≤ b

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

9 / 55


2.2. Biểu diễn biến ngẫu nhiên
2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 2.
Biến ngẫu nhiên rời rạc X có luật phân phối xác suất như sau:
X
P

0
3/10

1
4/10

4
m


6
2/10

Tìm
a)

m = 1 − (3/10 + 4/10 + 2/10) = 1/10

b)

P (1 ≤ X ≤ 3) = P (X = 1) = 4/10

c)

P (1 < X < 6) = P (X = 4) = 1/10

d)

P (X 2 ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) = 3/10 + 4/10 = 7/10
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

10 / 55


2.2. Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục - Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

Định nghĩa (Hàm mật độ xác suất)
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X , có tập giá trị D, hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên X là hàm f (x ) thỏa với mọi a, b ∈ D thì:
b

P (a ≤ X ≤ b ) =

f (x )dx
a

Hàm f (x ) xác định trên R thỏa mãn các tính chất sau:
1

f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ R,
+∞

f (x )dx = 1.

2

−∞
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

11 / 55



2.2. Biểu diễn biến ngẫu nhiên
2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

Ví dụ 3.
Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ dạng
f (x ) =
1

Xác định hằng số k

2

Tính P (0.4 ≤ X ≤ 0.6),

kx 3 , khi 0 < x < 1
0, khi x ≤ 0 ∨ x ≥ 1

1. Theo tính chất (2) ta có
+∞
0
1
3
−∞ f (x )dx = 1 ⇔ −∞ 0dx + 0 kx dx +
⇔ k 14 = 1 ⇔ k = 4.
0,6
13
2. P (0, 4 ≤ X ≤ 0, 6) = 0,4 4x 3 dx = 125
Nguyen Cong Nhut


+∞
1

Xác suất và thống kê

0dx = 1 ⇔ k

1 3
x dx
0

=1

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

12 / 55


2.3. Hàm phân phối xác suất
2.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa
Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu F (x ), là một đại lượng cho biết tỉ lệ phần
trăm giá trị của X nằm về phía bên trái của số nào đó:
F (x ) = P (X ≤ x ), với mọi x ∈ R.
Hàm phân phối xác suất hay cịn gọi là hàm phân phối tích lũy.

Nguyen Cong Nhut


Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

13 / 55


2.3. Hàm phân phối xác suất
2.3.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑ P (X = xi ) = ∑ pi
xi < x

xi < x

Bảng phân phối xác suất
X
P (X = x )

x1
p1

x2
p2

···
···

xk
pk



0




p1



p1 + p2
F (x ) =
.........





p
+ p2 + . . . + pn −1

 1
1
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

···
···


xn
pn

; x < x1
; x1 ≤ x < x2
; x2 ≤ x < x3
; x n − 1 ≤ x < xn
; xn ≤ x
Ngày 12 tháng 10 năm 2022

14 / 55


2.3. Hàm phân phối xác suất
2.3.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 4.
Tìm hàm phân phối xác suất
X
P

-2
0,1


0





 0, 1
0, 4
F (x ) =


0, 8



1

Nguyen Cong Nhut

-1
0,3

1
0,4

3
0,2

; x < −2
; −2 ≤ x < −1
; −1 ≤ x < 1
;1 ≤ x < 3
;3 ≤ x

Xác suất và thống kê


Ngày 12 tháng 10 năm 2022

15 / 55


2.3. Hàm phân phối xác suất
2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

x

F (x ) = P (X ≤ x ) =
−∞

Nguyen Cong Nhut

f (t )dt, ∀x ∈ R

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

16 / 55


2.3. Hàm phân phối xác suất
2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ 5.
Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suất f (x ) =


4x 3 , khi 0 < x < 1
0, khi x ≤ 0 ∨ x ≥ 1

Lập hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên X .
x

x

Nếu x < 0 ta có F (x ) = −∞ f (t )dt = −∞ 0dt = 0
Nếu 0 ≤ x < 1 ta có
x
x
0
x
x
F (x ) = −∞ f (t )dt = −∞ 0dt + 0 f (t )dt = 0 4t 3 dt = t 4 0 = x 4
Nếu 1 ≤ x ta có
x
0
1
x
1
F (x ) = −∞ f (t )dt = −∞ 0dt + 0 f (t )dt + 1 0dt = 0 4t 3 dt = 1
Vậy hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X có dạng

 0 ,x < 0
x4 , 0 ≤ x < 1
F (x ) =


1 ,1 ≤ x
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

17 / 55


2.3. Hàm phân phối xác suất
2.3.3 Tính chất

Tính chất
1

0 ≤ F (x ) ≤ 1,

2

F (x ) là hàm không giảm, liên tục trái,

3

F (+∞) = 1, F (−∞) = 0,

4

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, nếu F khả vi tại điểm x thì F ′ (x ) = f (x ).


Hệ quả
Nếu X liên tục thì
P (a ≤ X ≤ b ) = P (a < X ≤ b ) = P (a ≤ X < b ) = P (a < X < b ) = F (b ) − F (a ).
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

18 / 55


2.4. Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Hai biến ngẫu nhiên X , Y được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi xác suất biến ngẫu
nhiên này nhận giá trị không ảnh hưởng đến xác suất biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị. Và theo
công thức nhân xác suất ta có:
P [(X = xi ) · (Y = yj )] = P (X = xi ) · P (Y = yj ) = pi qj

Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

∀i , j

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

19 / 55



2.4. Hai biến ngẫu nhiên độc lập
Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ta có biến ngẫu nhiên X + Y có bảng phân phối xác suất dạng:
Bảng phân phối xác suất
X +Y
P

z1
P1

z2
P2

···
···

zk
Pk

···
···

zn
Pn

Trong đó {z1 ; z2 ; . . . ; zk } ≡ xi + yj /i = 1, n; j = 1, m
Và Pi = P (X + Y = zi ) =
P ( X = xi ) · P ( Y = yj ) =
∑

xi ;yj :xi +yj =zi

Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

∑

pi qj

xi ;yj :xi +yj =zi

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

20 / 55


2.4. Hai biến ngẫu nhiên độc lập
Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ví dụ 6.
X
P (X = x )

-1
0,3

1
0,4


2
0,2

3
0,1

Y
P (Y = y )

1
0,3

3
0,5

5
0,2

Ta có bảng phân phối xác suất của X + Y dạng:
X +Y
P

0
0,09

2
0,27

3
0,06


4
0,29

5
0,1

6
0,13

7
0,04

8
0,02

Trong đó:
P (X + Y = 0) = P (X = −1).P (Y = 1) = 0, 3.0, 3 = 0, 09
P (X + Y = 2) = P (X = −1).P (Y = 3) + P (X = 1).P (Y = 1)
= 0, 3.0, 5 + 0, 4.0, 3 = 0, 27
···
Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

21 / 55



2.4. Hai biến ngẫu nhiên độc lập
Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Tương tự trong một trường hợp khác nếu ta kết hợp X .Y thì bảng phân phối xác suất có
cấu trúc tương tự:
Bảng phân phối xác suất X.Y
X .Y
P

z1
P1

z2
P2

···
···

zk
Pk

···
···

zn
Pn

Trong đó {z1 ; z2 ; . . . ; zk } ≡ xi .yj /i = 1, n; j = 1, m
Và Pi = P (X .Y = zi ) =
P ( X = xi ) · P ( Y = y j ) =

∑
xi ;yj :xi .yj =zi

Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

∑

xi ;yj :xi .yj =zi

pi qj

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

22 / 55


2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên
2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho biến ngẫu nhiên X và f (x ) là một hàm số xác định tại mọi giá trị trong tập giá trị
của biến ngẫu nhiên X , thì Y = f (X ) là một biến ngẫu nhiên mới và là hàm theo biến ngẫu
nhiên X .
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X
X
P (X = x )

x1
p1


x2
p2

···
···

xn
pn

Và Y = f (X ) là hàm theo biến ngẫn nhiên X .
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y
Y = f (X )
P (Y = y )
Nguyen Cong Nhut

y1
P1

y2
P2

···
···

Xác suất và thống kê

yn
Pn
Ngày 12 tháng 10 năm 2022


23 / 55


2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên
2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 7.
Cho biến ngẫu nhiên X rời rạc có bảng phân phối xác suất:
X
P (X = x )

1
0,4

2
0,3

3
0,2

4
0,1

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X 2 có dạng:
Y = X2
P (Y = y )

Nguyen Cong Nhut


1
0,4

4
0,3

Xác suất và thống kê

9
0,2

16
0,1

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

24 / 55


2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên
2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục

Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suất f (x ). Và Y = h (X ) là hàm theo
biến ngẫn nhiên X .
G (y ) = P (Y ≤ y ) = P (h (X ) ≤ y ) =

x,f (x )⩽y

f (x )dx


Và g (y ) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên, ta có: g (y ) = G ′ (y ).

Nguyen Cong Nhut

Xác suất và thống kê

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

25 / 55