7/23/2019

- Giáo trình:
Lý thuyết: Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán, PGS., TS
Nguyễn Cao Văn (Cb), NXB Thống kê, 2013 trở lại

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ THỐNG KÊ

Bài tập: 1. Bài tập Xác suất và thống kê Toán, PGS., TS Nguyễn Cao
Văn (Cb), NXB Thống kê, 2013 trở lại
2. TS. Vương Thảo Bình, Xác suất và thống kê tốn: Phần 2, Thống
kê tốn, NXB Thơng tin và truyền thông, 2013 trở lại
Phương pháp đánh giá

Chuyên cần
Giảng vên:
ĐT:
Email:

Lâm Sơn
01.636.969.909


Kiểm tra giữa ky: Có thể kết hợp
tự luận và bài tập lớn.
Lên bảng làm 1 bài tập đúng được cộng
0,5 đ vào điểm giữa kỳ

Thi kết thúc học phần: Tự luận
75 phút

Phần 1. Lý thuyết Xác suất
Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố.
Chương 2: Biến ngẫu nhiên và các tham số đặc trưng
Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất
Chương 4: Biến ngẫu nhiên 2 chiều
Phần 2. Thống kê
Chương 5: Mẫu ngẫu nhiên
Chương 6: Ước lượng tham số
Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê.

Số lần

Trọng số [%]

75%

10 %

1-2

20 %

1

70 %

Chương 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1. Phép thử và biến cố

1.1 Khái niệm
Khi thực hiện một thí nghiện kèm theo một số các điều
kiện nhất định xem một hiện tượng nào đó có xảy ra hay
khơng người ta gọi là thực hiện một phép thử. Những
hiện tượng được xét trong phép thử đựơc gọi là các biến
cố. K/h: A, B, A1, A2

Phân loại các biến cố:
+ Biến cố khơng thể có: V
+ Biến cố chắc chắn: U
+ Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C,…

1


7/23/2019

1.2. Mối quan hệ giữa các biến cố:
1.2.1. Tổng của các biến cố:
- Biến cố “B xảy ra hoặc C xảy ra” được gọi là
biến cố tổng của hai biến cố B và C
Ký hiệu: B + C
-Tổng quát: Biến cố tổng của các biến cố A1 , A2 ,..., An
là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong các biến cố
trên xảy ra.
n

A   Ai
i 1


1.2.3. Biến cố xung khắc:
- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau
nếu nó khơng thể đồng thời xảy ra trong một phép
thử.

A, B xung kh¾c  A.B  V

1.2.2. Tích của các biến cố:
- Biến cố tích của hai biến cố B và C là biến cố “B và
C cùng xảy ra”.

Ký hiệu:

A = B.C

Tổng quát: Biến cố A được gọi là biến cố tích của
n biến cố A1, A2, ...., An nếu nó là biến cố “tất cả n
biến cố A1, A2, ...., An cùng xảy ra”.

n

A   Ai
i 1

1.2.4. Hệ đầy đủ các biến cố:
- Một hệ gồm n biến cố A1, A2, ...., An được gọi là
một hệ đầy đủ các biến cố nếu trong kết quả của
phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong n biến cố
trên.
Nói cách khác: Hệ đầy đủ các biến cố khi và chỉ khi


- Một hệ gồm n biến cố A1, A2, ...., An được gọi là
xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong
hệ cũng xung khắc với nhau.

Ai .Aj V , i  j
n

 Ai U
 i 1

2


7/23/2019

2. Khái niệm và các định nghĩa về xác suất

1.2.5. Biến cố đối lập
- Biến cố “không xảy ra biến cố A” được gọi là biến
cố đối lập với biến cố A,
ký hiệu là:
NX: A và

A

2.1 Khái niệm :
Xác suất của biến cố A là một số thực, đặc trưng
cho khả năng xuất hiện của biến cố A trong phép
thử.


A tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố.

2.2 Các định nghĩa về xác suất :
2.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất:
Giả sử trong một phép thử có tất cả n trường
hợp đồng khả năng.
Trong đó có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A
Khi đó, xác suất của biến cố A bằng:

P( A) 

m
n

Ký hiệu là P(A)

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính
xác suất để :
a) Xúc xắc xuất hiện mặt hai chấm.
b) Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là chẵn.
Giải:
Có 6 trường hợp với khả năng xuất hiện như nhau. Tức
là có 6 trường hợp đồng khả năng n=6
a. Mặt 2 chấm chỉ có 1 khả năng phù hợp  m=1
P(A)=1/6
b. Xuất hiện mặt chẵn chấm thì có 2, 4 hoặc 6
 m=3
nên P(B)=3/6=0,5


3


7/23/2019

Ví dụ 2:
Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số từ tập hợp 5 chữ số
{0, 1, 2, 3, 4 } xếp thành hàng ngang từ trái sang phải.

Nhắc lại:
-

Tính xác suất để xếp được một số gồm 3 chữ số.

Ank 

Giải:
Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số từ tập hợp 5 chữ số
{0, 1, 2, 3, 4 } xếp thành hàng ngang từ trái sang phải.
sẽ có tất cả n  A53  3.4.5

-

cách đồng khả năng.

P ( A) 

4.3.4
 0.8
3.4.5


Ví dụ 3:
Một lơ hàng có 12 sản phẩm trong đó có 8 chính
phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra 3
sản phẩm.
a) Tính xác suất để cả ba sản phẩm lấy ra đều là
chính phẩm.
b) Tính xác suất để trong ba sản phẩm lấy ra có đúng
hai chính phẩm.

-

n!
( n  k )!

Nếu chọn k phần tử trong n phần tử không cần thứ tự
thì dùng Tổ hợp:

Cnk 

Để xếp được một số gồm 3 chữ số thì chữ số đầu tiên

cần khác khơng nên có 4 cách chọn, 2 chũ số sau tùy
ý nên có 4.3 cách chọn vậy m=4.3.4

Chọn k phần tử trong n phần tử rồi sắp chúng theo 1
thứ tự nhất định thì dùng Chỉnh hợp:

n!
(n  k )!k !


Chú ý đến các quy tắc Cộng, Nhân và Hoán vị.

Ví dụ 4:
Trong phịng hội thảo có 60 đại biểu trong đó có
28 người nói được tiếng Anh, 30 người nói được
tiếng Pháp, 32 người nói được tiếng Trung, 10
người nói được tiếng Pháp và tiếng Trung, 15 người
nói được tiếng Anh và tiếng Pháp, 12 người nói
được tiếng Anh và tiếng Trung, có 3 người nói được
3 thứ tiếng. Gặp ngẫu nhiên một người của hội
thảo.Tính xác suất
a. Người đó nói được ít nhất một trong 3 thứ tiếng
b. Người đó chỉ nói được tiếng Anh

4


7/23/2019

2.2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê:
Thực hiện phép thử n lần độc lâp và thấy có m lần
biến cố A xuất hiện.
Tỉ số

m
được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A.
n

Ký hiệu là


Định nghĩa:

f (A) 

m
n

lim f (A)  p

n 

. khi n đủ lớn thì ta có thể lấy



P (V )  0

®é ®o cđa S
®é ®o cđa 

p  f (A)

 0  P ( A)  1
P(U )  1

Định nghĩa: Cho miền  đo được và miền con S
đo được của  . Ta lấy ngẫu nhiên một điểm M
trong miền  . Đặt A là biến cố “ M  S ” . Khi đó xác
suất của biến cố A được xác định bằng:


P( A) 

2.3 Các tính chất về xác suất :



2.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hỡnh
hc:

Nếu A V P( A) 0
Ngược lại có đúng không?
???

P( A) 0 A V

5


7/23/2019

3. Các công thức xác suất:
3.1. Công thức cộng xác suất:
Định lý: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)
Hệ quả : P(A+B)=P(A)+P(B) nếu A và B xung khắc
Định lý mở rộng:

n  n
P   Ai    P (Ai )   P (Ai .Aj ) 
1i  j n

 i 1  i 1

Hệ quả 1

 n  n
P   Ai    P  Ai 
 i 1  i 1
Nếu họ A i xung khắc đôi một
H qu 2

 P (Ai Aj Ak )  ...  (1)n 1.P (A1A2 ...An )

P( A)  1  P ( A)

i  j k

Ví dụ 1:
Một xạ thủ bắn một viên đạn vào một bia được
chia làm 3 phần. G/s xác suất để xạ thủ đó bắn
trúng phần 1, phần 2, phần 3 của bia lần lượt là 0,3;
0,2; 0,4.
Tính xác suất để :
a) Xạ thủ đó bắn khơng trúng phần 1
b) Xạ thủ đó bắn trúng bia.
c) Xạ thủ đó bắn khơng trúng bia.

Ví dụ 2:
Một hộp đựng 10 quả cầu , trong đó có 6 quả
cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên cùng
một lúc ra 5 quả cầu .

Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy ra có ít
nhất hai quả màu đỏ.

6


7/23/2019

A A A

3.2. Công thức nhân xác suất
3.2.1. Biến cố độc lập

A. A  A
A U U

A  B  A.B

AU
. A

A.B  A  B

A V  A

Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu biến cố
này xảy ra hay không xảy ra cũng không ảnh hưởng
đến xác suất xảy ra biến cố kia.
Chú ý : Nếu A và B là hai biến cố độc lập với
nhau thì các cặp biến cố A và B , A và B, A và B


AV
. V
( A  B)C  ?

+ Các biến cố A1, A2, ...., An được gọi là độc lập
từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến cố
đó độc lập với nhau.
+ Các biến cố A1, A2, ...., An được gọi là độc lập
trong toàn bộ nếu mỗi biến cố trong chúng độc
lập với tích của một số bất kỳ các biến cố trong
các biến cố còn lại.

cũng độc lập với nhau.

3.2.2. Xác suất có điều kiện:
Định nghĩa
Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện
biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện.
ký hiệu là P(A/B).
VD. Một hộp có 3 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy lần lượt
từng bi.
Gọi Ai =“lần thứ i lấy được bi đỏ”, i=1,2,…,8

P(A2/A1)= 2/7

7


7/23/2019


3.2.3. Công thức nhân xác suất

P( A.B )  P( A).P ( B / A)
 P( B ).P( A / B)

VD. Một hộp có 3 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy lần lượt
từng bi.
Gọi Ai =“lần thứ i lấy được bi đỏ”, i=1,2,…,8
Tính xác suất để cả 2 lần đầu đều lấy được bi đỏ

Hệ quả 1:
Nếu p(A) > 0 thì ta có:
Hệ quả 2:

P(B / A) 

P(AB
. )
P(A)

P(A1.A2.A3)  P(A1).P(A2 / A1).P(A3 / A1.A2 )
Hệ quả 3: Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
P(A.B) = P(A).P(B).
Hệ quả 4: Cho A1, A2, ...., An là n biến cố độc lập
trong tồn bộ , khi đó:

P (A1.A2 ...An )  P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )...P (An )

Ví dụ 2: Một xí nghiệp có 3 máy nổ hoạt động độc

lập nhau. Xác suất để trong một ngày máy nổ thứ
nhất, thứ hai, thứ ba bị hỏng tương ứng là 0,2;
0,1; 0,15. Tính xác suất để trong một ngày:
a) Có đúng một máy nổ bị hỏng.
b) Có đúng hai máy bị hỏng.
c) Cả ba máy đều khơng bị hỏng.

Ví dụ 2: Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay
bị trúng đạn là 0,2; để động cơ thứ hai của máy bay
bị trúng đạn là 0,3. Xác suất trúng đạn của phi cơng
là 0,1. Tính xác suất để máy bay rơi, biết rằng máy
bay rơi khi phi công bị trúng đạn hoặc cả hai động cơ
bị trúng đạn.

8


7/23/2019

3.3. Cơng thức xác suất đầy đủ

Ví dụ 1:

Trong một phép thử cho biến cố A và  A1 , A2 ,..., An 
là một hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó:

n

P  A    P  Ai  P  A Ai 
i 1


Có ba hộp đựng sản phẩm. Hộp một có 7 chính
phẩm và 3 phế phẩm. Hộp hai có 8 chính
phẩm và 2 phế phẩm. Hộp ba có 10 chính
phẩm và 4 phế phẩm.
a. Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu
nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để sản
phẩm được lấy ra là chính phẩm.

3.4. Cơng thức Bayes

P  Ai A 


P  Ai  P  A Ai 
P  A
P  Ai  P  A Ai 

n

 P A  P A A 
i 1

i

i

Ví dụ 1: Có ba hộp đựng sản phẩm. Hộp một có 7
chính phẩm và 3 phế phẩm. Hộp hai có 8 chính
phẩm và 2 phế phẩm. Hộp ba có 10 chính phẩm và

4 phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên một
sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm được lấy ra
là chính phẩm.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
một sản phẩm thì được 1 chính phẩm. Theo bạn
sản phẩm lấy ra có khả năng thuộc hộp nào
nhất?

9


7/23/2019

Ví dụ 2: Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết
do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung
cấp 70% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 30% chi
tiết. Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất
ra đạt tiêu chuẩn, 85% chi tiết do máy thứ hai sản
xuất ra đạt tiêu chuẩn.
a) Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền ra một sản phẩm.
Tính xác suất để sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn.
b) Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền ra một sản phẩm
thì được một sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Tính xác
suất để sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất.

3.5. Công thức Bernoulli
Lược đồ Bernulli
- Có n phép thử độc lập
- Trong mỗi phép thử chỉ xảy ra biến cố A hoặc A

- Trong mỗi phép thử P(A)=p không đổi
Gọi

Ak

= “Biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử”

P  Ak   C nk p kq n k
k  0,1,2,..., n ; q  1  p
Công thức trên gọi là công thức Bernoulli.

Ví dụ: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập
nhau. Xác suất để trong mỗi ca làm việc mỗi máy
bị hỏng đều bằng 0,1.
a) Tính xác suất để trong một ca làm việc có đúng
hai máy bị hỏng.
b) Tính xác suất để trong một ca làm việc có ít nhất
hai máy bị hỏng.

10