HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CHƯƠNG 3:
MOMENT QUỸ ĐẠO. TRƯỜNG XUYÊN TÂM
BÀI 11
MOMENT QUỸ ĐẠO

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan
trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta
sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt
với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau (chú ý rằng từ
“quỹ đạo” ở đây không ngụ ý rằng hạt chuyển động trên quỹ đạo
xác định).
Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan
trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta
sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt
với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau (chú ý rằng từ
“quỹ đạo” ở đây không ngụ ý rằng hạt chuyển động trên quỹ đạo
xác định).
Đối với đại lượng này cũng có nhiều cách định nghĩa khác nhau;
và ở đây, ta cũng sẽ nêu định nghĩa ở dạng đơn giản nhất, như đã
làm ban đầu trong Cơ học cổ điển.
Đối với đại lượng này cũng có nhiều cách định nghĩa khác nhau;
và ở đây, ta cũng sẽ nêu định nghĩa ở dạng đơn giản nhất, như đã

làm ban đầu trong Cơ học cổ điển.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Định nghĩa moment quỹ đạo, các hệ thức giao hoán đối với các
thành phần của moment quỹ đạo
Như đã nói, moment quỹ đạo của hạt là toán tử vector:
[ ]
prM
ˆ
ˆ
ˆ
×=










∂
∂
−
∂
∂
=−=−=







∂
∂
−
∂
∂
−=−=








∂
∂
−
∂
∂
−=−=
x
y
y
xipypxM
z

x
x
zipxpzM
y
z
z
yipzpyM
xyz
zxy
yzx



ˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta tìm giao hoán tử của hai thành phần của
M
ˆ

Ta có:

[ ]
xyyxyx
MMMMMM
ˆˆˆˆˆ
,
ˆ
−=
yzzzyxzxzyxyzzxz
pzpxpypxpzpzpypzpxpzpzpzpxpypzpy
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆ
−++−+−−=
( )
( ) ( )
( )

yzzxzxyz
pzpypxpzpxpzpzpy
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
−−−−−=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
[ ]
yzzxzyxzyx
pzpxpypzpxpzpzpyMM
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
,
ˆ

−−+=
zpxppzxppzypzpyp
zyzyzxzx
ˆ
ˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
−+−=
[ ] [ ]
zyzx
pzxpzpyp
ˆ
,
ˆ
ˆˆ
ˆ
,
ˆˆˆ
+=
[ ]
zyx
MiMM
ˆˆ
,
ˆ


=
( )
xy
pypxi
ˆˆˆˆ
−=

Viết gọn lại hệ thức này cùng hai hệ thức tương tự, ta có:
[ ]
[ ]
[ ]
(11.1)







=
=
=
zyx
yxz
xzy
MiMM
MiMM
MiMM
ˆˆ
,

ˆ
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ




HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Các hệ thức trên cho thấy: KHÔNG THỂ CÓ TRẠNG THÁI MÀ
HAI THÀNH PHẦN CỦA MOMENT ĐỀU CÓ GIÁ TRỊ CỤ
THỂ.
Tuy nhiên, mỗi thành phần (và chỉ một thành phần) đều có thể đo
được cùng với bình phương moment
2222
zyx
MMMM
ˆˆˆˆ
++=
Thật vậy, ta có:

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
[ ]
223223222
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

,
ˆ
zxyxxxzxyxxxx
MMMMMMMMMMMMMMMM
−−−++=−=
2222
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
zxxzyxxy
MMMMMMMM
−+−=
2222
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
zxzxzzxzxzyxyxyyxyxy
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
−+−+−+−=
[ ] [ ] [ ] [ ]
zxzxzzyxyxyy
MMMMMMMMMMMM
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
+++=
0
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
=++−−=
zyyzyzzy
MMiMMiMMiMMi 
[ ]
[ ]
[ ]
(11.1)








=
=
=
zyx
yxz
xzy
MiMM
MiMM
MiMM
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ



Từ đó suy ra rằng có nhung trạng thái mà
2
M

ˆ
đo được cùng với
x
M
ˆ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Moment trong toạ độ cầu
Trong nhiều bài toán, nhất là các bài toán về chuyển động trong
trường đối xứng tâm, tiện lợi hơn cả là ta dùng toạ độ cầu.









=
++
=
++=





=

=
=
x
y
arctg
zyx
z
zyxr
rz
ry
rx
ϕ
θ
θ
ϕθ
ϕθ
222
222
arccos
cos
sinsin
cossin
r

θ
ϕ
x
y
z


HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Việc này càng tỏ ra hữu hiệu khi thao tác với toán tử moment.
Các công thức cho các thành phần moment trong toạ độ cầu sẽ là:
(11.2)











∂
∂
−=








∂
∂
+

∂
∂
−=








∂
∂
+
∂
∂
=
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕ



iM

giM
giM
z
y
x
ˆ
sincotcos
ˆ
coscotsin
ˆ
z
M
ˆ
có thể coi là xung lượng suy rộng ứng với toạ độ
ϕ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của Cơ học giải tích
cổ điển.
Tiếp theo, ta có:
2
2
2
2
2
2
22
ϕ
ϕ

ϕθ
θ
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕ
∂
∂
−








∂
∂
+
∂
∂
−









∂
∂
+
∂
∂
−=  sincotcoscoscotsin
ˆ
ggM
(11.2)











∂
∂
−=









∂
∂
+
∂
∂
−=








∂
∂
+
∂
∂
=
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕ
ϕ
ϕθ

θ
ϕ



iM
giM
giM
z
y
x
ˆ
sincotcos
ˆ
coscotsin
ˆ
2222
zyx
MMMM
ˆˆˆˆ
++=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Sau một số bước biến đổi, ta được:
(11.3)







∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
−=
2
2
2
22
sin
1
sin
sin
1
ˆ
ϕθθ
θ
θθ
M

Chú ý rằng trong
2
M
ˆ
hoàn toàn không có mặt biến số r.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
3. Trị riêng và hàm riêng của bình phương moment và một hình
chiếu của nó
Ta chỉ có thể tìm các hàm mà vừa là hàm riêng
của
2
M
ˆ
vừa là hàm riêng của một thành phần của nó, ví dụ
z
M
ˆ
Hệ phương trình để tìm các hàm như vậy là:
(11.4)





=
=
µψψ
λψψ

z
M
M
ˆ
ˆ
2
hay
)(11.4'







=
∂
∂
−
=






∂
∂
+







∂
∂
∂
∂
−
µψ
ϕ
ψ
λψ
ϕ
ψ
θθ
ψ
θ
θθ


i
2
2
2
2
sin
1
sin

sin
1

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Phương trInh đầu của (11.4’) có thể viét lại như sau:
(11.5) 0
sin
1
sin
sin
1
'
2
2
2
=+






∂
∂
+







∂
∂
∂
∂
ψλ
ϕ
ψ
θθ
ψ
θ
θθ
Từ lý thuyết toán học về các hàm thế
ta biết rằng (11.5) có nghiệm khi và chỉ khi
)(
'
1+= ll
λ
, với l là số nguyên không âm.
Như vậy, phương trình
λψψ
=
2
M
ˆ
có nghiệm khi và chỉ khi
)( 1
2
+= ll

λ
Nói cách khác, M
2
chỉ nhận giá trị
)( 1
2
+
ll

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Mặt khác, do các toán tử trong (11.4’) chỉ tác dụng lên các biến
θ
và
ϕ
mà không đụng chạm đến r, nên nghiệm sẽ có dạng
ψ
=
ψ
(r,
θ
,
ϕ
) = R(r)Y(
θ
,
ϕ
)
Do tính tuyến tính của phương trình nên khi thay
ψ

vào ở hai vế của
mỗi phương trình đều sẽ có thừa số R(r) không bị đụng chạm tới,
nên có thể rút gọn phương trình cho thừa số này
Vì vậy, hệ (11.4) trở thành:
( ) ( ) ( )
( ) ( )





=
+=
ϕθµϕθ
ϕθϕθ
,,
ˆ
,,
ˆ
YYM
YllYM
z
1
22

(11.6)

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Phương trình thứ hai trong (11.6) chính là:

( )
( )
ϕθµ
ϕ
ϕθ
,
,
Y
iY

=
∂
∂
Nghiệm của nó có
dạng:
( )
µϕ
θϕθ

i
eQY )(, =
(11.7)
Vì hai bộ toạ độ cầu (r,
θ
,
ϕ
) và (r,
θ
,
ϕ

+2π) xác định cùng một điểm
trong không gian nên hàm (11.7) phải tuần hoàn với chu kỳ 2
π
, tức là
( )
µϕπϕµ

ii
ee
=
+
2
ha
y:
1
2
=
πµ

i
e

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

µ
là số nguyên.
z
M
ˆ

m
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
Như vậy, các trị riêng của
phải có dạng
Do đó, nghiệm của (11.6) có dạng:
( ) ( )
(11.8)
ϕ
θϕθ
im
eQY =,
Chú ý rằng giá trị của số nguyên m trong (11.8) không phải là tuỳ ý
mà phải thoã mãn điều kiện
(11.9) lm
≤
Như vậy, với l đã cho thì m có thể lấy 2l + 1 giá trị nguyên khác nhau,
từ –l cho đến l.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Có thể chứng tỏ điều này một cách chặt chẽ từ các suy luận thuần
tuý toán học
Cũng có thể xuất phát từ ý nghĩa vật lý để đi đến khẳng định trên
Thật vậy, vi
m
chỉ là giá trị của một thành phần của
M
ˆ

còn

)( 1
2
+
ll
là giá trị của
2
M
ˆ
nên phai có:
( ) ( )
1
2
2
+≤
llm 
Suy
ra:
( )
2
2
2
1
1






+<+≤

lllm
Do
đó:
2
1
+<
lm
Vì m và l đều nguyên nên từ đây suy ra
lm
≤

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
)1(
'
+=
ll
λ
Bây giờ ta viết lại phương trình (11.5), nhưng với hàm ẩn là Y(
θ
,
ϕ
) (sau khi đã rút gọn cho R(r)), và
(11.5) 0
sin
1
sin
sin
1
'

2
2
2
=+






∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
ψλ
ϕ
ψ
θθ
ψ
θ
θθ

(11.10) 0)1(
sin
1
sin
sin
1
2
2
2
=++






∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
Yll

YY
ϕθθ
θ
θθ
Thế (11.8) vào (11.10), ta đi đến phương trình cho Q(
θ
):
(11.11) 0)1(
sin
sin
sin
1
2
2
=++






+






QllQ
m

d
dQ
d
d
θθ
θ
θθ
( ) ( )
(11.8)
ϕ
θϕθ
im
eQY =,

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )
11
<<=
x-x arcsin
θ
Khi đó Q(
θ
) = Q(arcsinx) = P(x) và phương trinh đối với P(x) sẽ là:
Đặt
( )
(11.12) 0)1(
1
1
2

2
2
=++
−
−






−
PllP
x
m
dx
dP
x
dx
d
Người ta đã chứng minh rằng nghiệm của phương trình này có dạng:
( ) ( )
( )
( )
(11.13)
!.2
1
1
2
2

2
l
x
dx
d
xxPxP
l
l
ml
ml
m
m
l
−
−==
+
+
Và nghiệm của (11.10) sẽ là:
( ) ( ) ( )
(11.14)
θ
π
ϕθϕθ
ϕ
cos
~
4
1
,,
m

l
im
lm
PeYY ==

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
trong đó:
( )
( )
( )
( )
(11.15) xP
ml
ml
lxP
m
l
m
l
!
!
12
~
+
−
+=
Các nghiệm (11.14) đã được chuẩn hoá:
( )
∫∫

≤≤
≤≤
=
πϕ
πθ
ϕθθϕθ
20
0
2
1ddY
lm
sin,
Sau đây là biểu thức cụ thể của các hàm
( )
xP
m
l
~
với
3
≤
l
( )
( )
2
1
21
1
1
2

3
xxP
−=
~
( )
( )
22
2
1
8
15
xxP
−=
~
( )
( )
xxxP
2
1
21
2
1
2
15
−=
~

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )

( )
2
3
23
3
1
16
35
xxP
−=
~
,
( )
( )
xxxP
22
3
1
8
105
−=
~
( )
( ) ( )
151
16
21
2
2
1

21
3
−−=
xxxP
~
Ta biết rằng các toán tử
r
ˆ

và
p
ˆ

có phổ liên tục và ca ba thành phần của mỗi toán tử vector này
đều đo được cùng lúc
Thế mà tích của chúng,
[ ]
prM
ˆˆ
ˆ


×=
lại có các thành phần không đo được cùng với nhau

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
nghĩa là
M
ˆ


không bao giờ có giá trị cụ thể (nếu thành phần này có giá trị cụ thể
thi các thành phần khác lại không như vậy)
Hơn thế, phổ của mỗi thành phần lại còn rời rạc

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đây cố nhiên là một điều vô cùng kỳ lạ !!!.
Có vẻ như những suy luận dựa vào lý thuyết toán tử là sự BỊA
ĐẶT PHI VẬT LÝ
Tuy nhiên, các quan sát thực hiện trên những đối tượng vi mô lại
cho những kết quả đúng như vậy

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Các giá trị hình chiếu của moment quỹ đạo
lên hướng của từ trường H
l = 1
l = 3
l = 2
-1
1
0
2
-2
3
-3
-1
1
0

2
-2
-1
1
0