PHẦN 2 - MỘT SỔ BÀI TỐN KHÍ TƯỢNG
VÀ THỦY VÀN GIẢI BẰNG CÁC PHƯƠNG
PHÁP LÝ THUYẾT HÀM NGẪU n h i ê n

Chuơng 7

NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC THỐNG KẺ
CỦA CÁC TRƯỜNG KHÍ TƯỢNG
7.1. N h ậ n x é t c h u n g v ề c â u tr ú c c á c tr ư ờ n g k h í

tượng

Đ ặ c đ iể m c ủ a k h í q u y ể n là tín h c h ấ t c h u y ể n động rôi hỗ n lo ạn .
C á c trường y ế u tố k h í tượng r ấ t lin h động. Sự p h ụ th u ộ c c ủ a các g iá
tr ị tức thời c ủ a trường vào tọa độ k h ô n g g ia n v à th ò i g ia n r ấ t phức
tạp . Hơn nữ a, n h ữ n g g iá trị đó, k h i q u a n trắ c tro n g c ù n g n h ữ n g đ iề u
k iệ n như n h a u , m ỗ i lầ n c h ú n g lạ i một k h á c . D o đó, k h ô n g th ể mô tả
các trường n à y theo k iể u cho nh ữ n g g iá trị tức thời tạ i từ ng đ iế m
k h ô n g g ia n v à tạ i từng thời đ iể m .
Đ e n g h iê n cứu c ấ u trú c các trường y ế u tơ k h í tượng th ì q u a n
đ iể m lý th u y ế t x á c s u ấ t là hợp lý. T h e o q u a n đ iể m n à y , m ỗi trường

được xem như m ột trường n g ẫ u n h iê n v à để mô tả nó sẽ sử d ụ n g các
phương p h á p c ủ a lý th u y ế t h à m n g ẫu n h iê n .
Cơ sở c ủ a q u a n đ iể m n à y là k h ô n g xem x é t n h ữ n g đ ặc đ iể m củ a
các g iá tr ị tức th ò i riê n g lẻ, m à kh ảo s á t m ột sơ tín h c h ấ t tr u n g b ìn h
củ a tập hợp th ơ n g kê c á c th ể h iệ n củ a trường ứng với m ột tậ p n h ừ n g
đ iề u k iệ n b ên n g o à i n h ấ t đ ịn h nào đó.
N h ư ta đã th ấ y ở chương 6, k h i xác đ ịn h b ằ n g thự c n g h iệ m các
đ ặc trư ng th ô n g kê c ủ a trường n g ẫu n h iê n , g iả th iê t được đưa ra là
tồn tạ i một tậ p hợp th ể h iệ n nào đó c ủ a nó ứng với n h ữ n g đ iể u k iệ n

th í n g h iệ m như n h a u , ho ặc tồn tạ i m ột th ể h iệ n c ủ a trư ờng tro ng
m iề n k h ô n g g ia n , thời g ia n đ ủ lớn đối với trư ờng hợp trường đồng
n h ấ t có tín h egodic.


T a sẽ xét v ấ n đề th u n h ậ n tập hợp th ổ n g kê cá c th ể h iệ n đốì với
cá c trường k h í tượng.
V ề n g u y ê n tắc, các trường k h í tượng k h ô n g bao giờ lặ p lạ i với
cù n g n h ữ n g đ iề u k iệ n bên ngo ài. T ro n g k h ả n ă n g c ủ a m ìn h , n h à k h í
tượng k h ơ n g bao giờ có được m ột tập hợp thô»ng kê cá c h à n h t in h h o àn
toàn tương tự T r á i Đ ấ t, v ì v ậ y , nói m ột c á c h c h ín h xác, các trường k h í
tượng có thể được gọi là các trường n g ẫ u n h iê n theo n g h ĩa c ủ a lý
th u y ế t h à m n g ẫ u n h iê n c h ỉ là quy ước.
T r o n g k h í tượng học, một q uá t r ìn h th ô n g n h ấ t thường được c h ia
là m n h iề u p h ầ n , và c h ín h các p h ầ n n à y được q u y ước c h ấ p n h ậ n là
cá c th ê h iệ n k h á c n h a u , tức là, người ta sử d ụ n g nh ữ n g q u a n trắ c
được tiế n h à n h ỏ nh ữ n g m iển k h ô n g g ia n k h á c n h a u hoặc tạ i n h ữ n g
thòi đ iểm k h á c n h a u với tư cách là các th ể h iệ n củ a trường n g ẫ u
n h iê n . K h i đó, ngưịi ta ch ấ p n h ậ n n h ữ n g q u a n trắ c đ ã từ ng được
thực h iệ n ở n h ữ n g m iể n k h ô n g g ia n h a y tro n g n h ữ n g k h o ả n g th ò i
g ia n tương tự n h a u theo m ột n g h ĩa nào đó nh ư là các th ế h iệ n tương
ứng với n h ữ n g đ iề u k iệ n bên ngoài như n h a u , n h ữ n g q u a n trắ c n à y có
th ể được sử d ụ n g để xử lý thống kê.
T r o n g lý th u y ế t h à m n g ẫ u n h iê n , ta gọi n h ữ n g tìn h h u ô n g , tro n g
đó, cá c q u y lu ậ t p h â n bố c ủ a trường n g ẫ u n h iê n được bảo to à n , là
n h ữ n g tìn h h u ố n g tương ứng với n h ữ n g đ iề u k iệ n bên n g o ài như
n h a u . T r ê n thực tế, thường kh ô n g b iế t trước các q u y lu ậ t p h â n bố đó.
V ì v ậ y , sự lự a chọn các tìn h hu ốn g tương tự được tiế n h à n h dựa theo
k in h n g h iệ m h à n g n g ^ y củ a n h à k h í tượng v à các k ế t q u ả n g h iê n cứu
trước đó.

T ro n g từ ng trường hợp cụ thể, k iế n thứ c n h ậ n được về c ấ u trú c
củ a trường được xét p h ụ thuộ c vào v iệ c ch ọ n các t ìn h h u ố n g tương tự
để lấ y tru n g b ìn h ra sao. M ột yêu cầ u k h á c đối với tậ p các th ể h iệ n là
tín h độc lậ p c ủ a các th ể h iệ n riê n g biệt. N ế u các th ể h iệ n liê n q u a n
c h ặ t chẽ với n h a u , th ì tấ t cả ch ú n g sẽ ch ứ a r ấ t ít th ô n g tin mới so với
m ỗi m ột th ể h iệ n tro ng ch ú n g , v à do đó, tă n g sơ» lượng th ể h iệ n tro n g
trường hợp n à y kh ô n g là m c h ín h x ác th ê m m ột cá c h đ á n g k ể cá c đ ặc
trư ng thông kê.
X u ấ t p h á t từ n h ữ n g đòi hỏi trê n v à b ả n c h ấ t v ậ t lý củ a các q u á
tr ìn h k h í tượng, có th ể nêu ra một s ố đ iể m cơ b ản cầ n p h ả i tín h đến
k h i gộp các sô liệ u thực n g h iệ m vào m ột tập hợp th ô n g kê.
K h i chọn các thời đ iểm ứng với n h ữ n g tìn h h u ô n g tương tự, p h ả i
2 06


x u ấ t p h á t từ sự tồn tạ i biến trìn h n g ày và n ă m củ a các yếu tô k h í
tượng. Sự h iệ n d iệ n c ủ a b iến trìn h n g à y d ẩ n đen có thê xem các thời
đ iểm ứng với một th òi g ia n n h ấ t đ ịn h trong n g à y là tương tự. Do có
biên tr ìn h n ă m , k h ô n g th ể coi n h ữ n g thòi đ iểm ứng với các m ù a k h á c
n h a u tro ng n ă m là nh ữ n g tìn h h u ố n g tương tự. N ó i d ú n g ra , c h ỉ có
thê coi nh ữ n g th ể h iệ n n h ậ n được trong cù n g m ột n g à y , m ột giờ củ a
t ừng n ă m là tương tự. T u y n h iê n thực tế đ iều n à y b ấ t lợi, v ì k h i đó ta
sẽ ch ỉ có th ể là m v iệ c với một tập r ấ t nhỏ các th ể h iệ n , v iệ c lấ y tru n g
b ìn h theo tập n à y sẽ kh ô n g đảm bảo cho v iệ c n h ậ n các đặc trư ng
thống kê đủ tin cậ y . Do đó, trong thực tế, ngưịi ta thường nhóm tất cả
nhữ ng th ể h iệ n k h ô n g p h ả i ứng với một n g ày, m à ứng vỏi một k h o ản g
nào đó c ủ a n ă m , v í dụ một th á n g h a y một m ù a , vào là m m ột tập , tức
là nhóm vào một tậ p tấ t cả nhữ ng thê h iệ n có được nhị q u a n trắ c
trong n h iề u n ă m , ứng với thời g ian n h ấ t đ ịn h củ a n g ày v à m ù a kh ảo
sát. M uô n cho các th ể h iệ n độc lập , p h ả i chọn k h o ả n g thòi g ia n giữa

các q u a n trắ c đ ủ lớn. V í dụ, được b iết rằ n g trong m ột n g ày áp s u ấ t
k h ô n g k h í b iến đơi ít, v ậ y có sự p h ụ thuộc đ án g kể giữa các trị số’ củ a
I1Ó tạ i nh ữ n g thời đ iể m k h á c n h a u trong ng ày. M ố i p h ụ th uộ c n à y d u y
trì rõ rệt cả trong h a i n g à y tiếp sa u , do đó k h i chọn tập thế h iệ n củ a
trường áp s u ấ t thường người ta sử d ụ n g nh ữ n g q u a n trắ c cá ch n h a u
kh ô n g ít hơn ba n g à y .
N g o à i v iệ c t ín h tói b iến trìn h n g ày v à n ă m , k h i gộp các th ể h iệ n
vào th à n h m ột tập th ố n g kê, có th ể tiế n h à n h p h â n lo ạ i bổ su n g các sỏy
liệ u thực n g h iệ m theo một sô" d ấu h iệ u đặc b iệt. C h ẳ n g h ạ n , k h i
n g h iê n cứu trường gió, người ta p h â n c h ia các th ể h iệ n tương ứng với
n h ữ n g đ iề u k iệ n h o à n lưu k h á c n h a u , v í d ụ như tách riê n g nh ữ n g
dòng xiết, hoặc p h â n lớp các thể h iệ n theo độ lớn tốc độ gió v .v ... N g a y
cả trong n g h iê n cứu trường áp su ấ t (đ ịa th ế v ị), đôi k h i người ta cũ n g
tiế n h à n h p h â n c h ia theo d ạn g hoàn lưu.
K h i gộp các tậ p k h ô n g g ian tương tự, tức cá c thể h iệ n n h ậ n được
ở nhữ ng đ iể m đ ịa lý k h á c n h a u , người ta x u ấ t p h á t từ chỗ nh ữ n g

đ iể m đó p h ả i th uộ c các v ù n g k h í h ậ u giông n h a u .
K h i n g h iê n cứ u c ấ u trú c k h ô n g g ia n các trư ờng k h í tượng, v ấ n
đề hết sức q u a n trọ n g là p h ả i tu â n th ủ n h ữ n g đ iề u k iệ n đồng n h ấ t
đ ẳ n g hướng c ủ a trư ờng. Đ iề u n à y g ây nên n h ữ n g h ạ n c h ế n h ấ t đ ịn h
vê

độ

rộ n g

không

g ia n


củ a

trường

được

n g h iê n

cứ u.

A .N .

K o lm o g o ro v [ 1 1 ] đ ã c h ỉ ra rằ n g , tro n g dòng r ố i thự c, m à n ó i c h u n g
là k h ô n g đồn g n h ấ t v à k h ô n g đ ản g hướng, có th ể tá c h ra m ột p h ạ m
207


v i, tro n g đó t ín h đồng n h ấ t, đ ẳ n g hướng của

các trư ịng k h í tượng

được th o ả m ã n m ột cá c h g ần đ ú n g . N h ữ n g trường như v ậ y gọi là
đ ồ n g n h ấ t v à đ ẳ n g hướng đ ịa phương.
T ù y th u ộ c vào q u y mô củ a các trường được k h ả o sá t, tro n g k h í
tượng học, ngưòi ta c h ia ra các cấ u trú c q u i mô v i mô, q u i mô vừ a v à
q u i mô v ĩ mô.
C ấ u trú c v i mô mô tả đặc đ iểm c ủ a trường tro n g k h o ả n g từ v à i
p h ầ n m ilim é t đến v à i tră m m ét. T ro n g k h o ả n g n à y tín h đồng n h ấ t v à
đ ẳ n g hướng đ ịa phương thoả m ã n theo cả ba c h iề u .

C ấ u trú c th ôn g kê q u i mô vừ a mô tả n h ừ n g đặc đ iể m củ a trường
tro n g k h o ả n g từ m ột k ilô m é t đến h à n g ch ụ c k ilô m é t. T ro n g k h o ả n g
n à y b iể u lộ

rõ sự k h á c n h a u giữa các phương th ẳ n g đứng và phương

n g a n g . T ín h đồng n h ấ t v à đ ẳ n g hướng c h ỉ thoả m ãn m ột cá c h g ần
đ ú n g theo phương n g an g .
C ấ u trú c th ô n g kê v ĩ mô mô tả sự th a y đối và n h ữ n g m ối liê n hệ
tương hỗ k h i q u i mô kh ô n g g ia n cỡ h à n g tră m k ilô m é t hoặc lớn hdn.
C á c q u á t r ìn h v ĩ mơ liê n q u a n tới n h ữ n g q u á tr ìn h v ậ n động k h í
q u y ể n m a n g tín h c h ấ t synop v à th ậ m c h í có tín h c h ấ t to àn c ầ u , b ả n
c h ấ t v ậ t lý c ủ a c h ú n g că n b ản k h á c vối n h ữ n g th ă n g g iá n g rố i hỗn
lo ạ n q u y mô nh ỏ.
T r o n g n h iề u trường hợp v iệ c xem xét cá c q u á t r ìn h v ĩ mô như các
q u á t r ìn h n g ẫ u n h iê n v à mô tả c h ú n g tương tự vói các q u á tr ìn h q uy
mô nh ỏ v ẫ n tỏ ra th u ậ n tiện . K h i đó trao đổi rố i v ĩ mô được xét giống
n h ư m ột lo ạ i c ủ a q u á tr ìn h q u i mơ nhỏ. T u y n h iê n , sự tương tự n à y có
t ín h c h ấ t h ìn h thức. T ro n g p h ạ m v i n à y các đ iề u k iệ n đồng n h ấ t đ ẳn g
hướng c h ỉ được th o ả m ã n một cá ch g ần đ ú n g rấ t thô tro n g m ặ t p h ẳ n g
n g a n g . T r o n g p h ạ m v i rối q u i mô vừa v à v ĩ mơ, ta ch ỉ có th ể nói về
t ín h đồng n h ấ t đ a n g hướng đối với độ lệ ch c ủ a các y ế u tơ' k h í tượng so
với c h u ẩ n k h í h ậ u , v ì b ả n th â n các c h u ẩ n k h í h ậ u tro n g n h ữ n g quy
mơ đó có th ể k h á c n h a u đ á n g kể. ở đ â y , thực tế k h ô n g h y vọng sử
d ụ n g được tín h egodic, m à như đ ã th ấ y tro n g chương

2 , tín h

ch ất này


cho p hép xác đ ịn h các đặc trư ng th ô n g kê dựa trê n m ột th ể h iệ n đủ
d à i, là m g iả m n h ẹ đ á n g kể v iệ c k h ả o s á t trường đồng n h ấ t. T h ự c v ậ y ,
k ỳ vọng toán học c ủ a trường k h í tượng p h ụ th uộ c vào toạ độ, do đó để
tín h các k ỳ vọ n g to án học kh ô n g th ể d ù n g một th ể h iệ n , m à p h ả i có
n h iề u thể h iệ n . N g o à i ra , k h i n g h iê n cứu thực n g h iệ m c ấ u trú c các
trường k h í tượng q u y mô lớn, người ta sử d ụ n g n h ừ n g s ố liệ u q u an
trắ c tạ i các trạ m k h í tượng và gộp lạ i th à n h một tập th ô n g kê, số

208


lượng các trạ m n à y trong một v ù n g k h ô n g g ia n thường kh ô n g n h iề u ,
tức là c h ú n g ta c h ỉ có nhừ ng g iá tr ị củ a thê h iệ n tại m ột sơ" ít các đ iểm
g ián đ o ạ n , v à do đó, việc lấ y tr u n g b ìn h dựa theo một th ể h iệ n sẽ

không hiệu quả.
N g h iê n cứu cấ u trúc trường là xác đ ịn h các đặc trứ ng thơng kê củ a
nó, như kỳ vọng tốn học, h à m tương q u a n h a y h à m cấu trúc. Đ ó là
n h ừ n g đặc trư ng cầ n th iế t k h i g iả i q uyết n h iề u b à i toán k h á c n h a u .

T r ê n cơ sở nh ữ n g số liệ u n à y , người ta tiến h à n h p h â n tích k h á c h
q uan và là m trơn các trường k h í tượng cho m ụ c đ ích dự báo thịi tiế t,
tiế n h à n h tối ưu ho á sự p h â n bô' m ạ n g lưới trạ m k h í tượng, đ á n h g iá
các th à n h p h ầ n k h á c n h a u tro n g các phương tr ìn h động lực học k h í
q u yển , g iả i q u yế t các v ấ n đề n g o ại su y sơ" liệ u k h í tượng v.v...
Do n h u cầ u h iể u b iết n g à y cà n g tă n g về cấ u trú c th ô n g kê trường
các yếu tơ' k h í tượng, trong nh ữ n g n ă m gần đ â y đã có h à n g lo ạt cơng
trìn h vê xử lý thực n g h iệm k h ố i lượng đồ sộ các tà i liệ u q u a n trắc k h í
tượng đã tích lu ỹ , và nhữ ng tà i liệ u đó được d ù n g tro ng chương n à y .
T ro n g nh ữ n g cơng tr ìn h n g h iê n cứu đ ầu tiê n , tấ t cả công v iệ c

tín h tốn đểu được thực h iệ n b ằ n g ta y , đ iểu n à y đương n h iê n h ạ n c h ế
kh ố i lượng tà i liệ u đưa vào xử lý v à k h ô n g cho p hép n h ậ n được n h ữ n g
kế t quả đ ủ tin cậ y . T ừ n ă m 1 9 6 3 người ta b ắ t đ ầ u sử d ụ n g rộng r ã i
m á y tín h đ iệ n tử tro ng cơng tác n à y . T ro n g đó, phương p h áp sử d ụ n g
m áy tín h và lậ p chương tr ìn h để n g h iê n cứu c ấ u trú c thơng kê củ a các
trường k h í tương k h ô n g g ia n do L . x . G a n d in v à các tác g iả k h á c đề
x u ấ t [42, 44] đóng v a i trị q u a n trọng.

7.2. C ấu t r ú c t h ố n g k ê c ủ a tr ư ờ n g đ ịa t h ế v ị
C á c v ấ n đề n g h iê n cứu thực n g h iệ m cấu trú c trường đ ịa thê v ị
được đề cập trong n h iề u cơng tr ìn h [4 1-4 4 , 46, 50, 7 5 , 7 8 -8 0 ,

86].

V iệ c xác đ ịn h cấu trú c th ố n g kê trường k h í tượng (xem m ụ c 7 .1 )
cầ n p h ả i b ắt đ ầu từ p h â n tích tà i liệ u thực n g h iệ m h iệ n có v à q u i các
thể h iệ n ứng với n h ữ n g tìn h h u ổ n g tương tự về m ột tập thông kê.
K h i n g h iê n cứu trường áp s u ấ t, người ta coi các đ iểm trê n đ ịa
cầu có cù n g v ĩ độ và ch ỉ k h á c n h a u về k in h độ là nh ữ n g đ iể m tương
ứng với nh ữ n g tìn h h u ố n g tương tự.
C á c cơng tr ìn h n g h iê n cứu [4 1] đã ch ỉ ra rằ n g , ở nh ữ n g v ĩ độ
tru n g b ìn h , đ iể u k iệ n đồng n h ấ t v à đ ẳ n g hướng đôi với h à m cấ u trú c
c ủ a trường đ ịa th ê v ị được th o ả m ã n k h á tôt. T u y n h iê n , phương s a i
209


c ủ a trường v ẫ n có n h ữ n g b iến th iê n theo k in h độ. T h ô n g thường, sự
p h ụ th u ộ c c ủ a cá c đ ặ c trư n g th ôn g kê vào k in h độ k h ô n g được c h ú ý ,
n g h ĩa là trư ờ ng được co i là đồng n h ấ t theo k in h độ. K h i đó, từ n h ữ n g
lậ p lu ậ n , người ta cho r ằ n g sự p h ụ th u ộ c v ào k in h độ k h ô n g m ạ n h

lắ m . H ơ n n ữ a , g iả th iế t v ề sự đồng n h ấ t theo k in h độ là m g iả m n h ẹ
r ấ t n h iề u cô n g v iệ c xử lý th ố n g kê, v ì có th ể co i tấ t cả cá c trạ m q u a n
trắ c n ằ m g ầ n m ột v ĩ tu y ế n là tương ứng với cá c tìn h h u ố h g tương tự
v à nhờ đó tă n g đ á n g k ể số lượng th ể h iệ n để lấ y tru n g b ìn h .
T r o n g đ iể u k iệ n n h ư v ậ y , đương n h iê n cá c đ ặc trư n g n h ậ n được
sẽ là n h ữ n g đ ạ i lượng tr u n g b ìn h theo k in h độ. T r o n g cơ ng t r ìn h [78]
đ ã sử d ụ n g t à i liệ u q u a n trắ c c ủ a

20

trạ m k h í tượng th u ộ c lã n h th ổ

 u —Á n ằ m g ầ n dọc th eo v ĩ tu y ế n 5 5 ° N tro n g bốn m ù a đông cá c n ă m
1 9 5 5 - 1 9 5 9 . K h o ả n g c á c h nh ỏ n h ấ t giữa các trạ m b ằ n g

210

k m và lớn

n h ấ t g ầ n 5 5 0 0 k m . S ố liệ u được lấ y từ các b ả n đồ p h â n tích vào k ỳ 3
giờ v à c á c h n h a u b a n g à y m ột.
T r o n g cơ n g t r ìn h [43] đã sử d ụ n g số liệ u q u a n tr ắ c tạ i các trạ m
k h í tượng ở c á c v ĩ độ tr u n g b ìn h trê n lã n h th ổ c h â u  u v à m ột p h ầ n
T â y X ib ir i. ở đ â y , để p h á t h iệ n sự p h ụ th u ộ c c ủ a các đ ặ c trư n g th ố n g
k ê c ủ a trư ờng v à o d ạ n g h o à n lư u, người ta đ ã p h â n dữ liệ u thực
n g h iệ m th à n h n h ữ n g tậ p th ôn g kê r iê n g b iệ t ứng với cá c d ạ n g h o à n
lư u k h á c n h a u (d ạ n g p h ía tây , d ạ n g k in h tu y ế n v à d ạ n g p h ía đơng)
theo sự p h â n lo ạ i h o à n lư u c h u n g c ủ a G . Ia . V a n g e n g h e im .
Người ta đ ã x á c đ ịn h được rằ n g , g iá tr ị tr u n g b ìn h (c h u ẩ n ) củ a độ
cao H k h á c b iệ t đ á n g k ể đôl với n h ữ n g d ạ n g h o à n lư u k h á c n h a u . Sự

k h á c b iệ t g iữ a cá c h à m c ấ u trú c đối vố i cá c d ạ n g h o à n lư u k h á c n h a u
tỏ ra k h ô n g lớn lắ m v à có th ể bỏ q u a , tức là cá c h à m c â u trú c n h ậ n
được theo n h ữ n g d ạ n g h o à n lưu k h á c n h a u có th ể đem lấ y tr u n g b ìn h
v à sử d ụ n g m ột h à m c ấ u trú c d u y n h ấ t cho tấ t cả các d ạ n g h o à n lưu.
H à m c ấ u trú c độ cao mực 5 0 0 m b được tr u n g b ìn h ho á theo tấ t cả các
k iể u h o à n lư u tro n g [43] được b iểu d iễ n trê n h ìn h 7 . 1 (đưịng liề n
nét).
T ừ đồ th ị c ủ a h à m c ấ u trú c th ố n g kê n h ậ n được k h ô n g th ể xác
đ ịn h m ột c á c h tin c ậ y trị sơ" bão hồ B H ( a o ) c ủ a h à m c ấ u trú c . M ột
phương p h áp g iá n tiếp ước lượng trị số h à m cấu trúc tạ i vô cùng là
phương p h áp x ấ p xỉ g iá trị thống kê củ a nó nhờ m ối p h ụ thuộc g iả i tích.

210


B„(L)

Hình 7.1

Người ta đ ã xét m ột sơ' q u a n hệ p h ụ th u ộ c g iả i tíc h n h ư v ậ y v à
th ấ y rằ n g p h ù hợp hơn cả với h à m cấ u trú c th ô n g kê (xem h ìn h 7 .1 ,
dường g ạ ch n ố i) là m ôi q u a n hệ p h ụ thuộc sa u
B H ự ) = 400 ( l - í T

0', 88," c o s O , 5 4 A

( 7 .2 .1 )

Nhờ h à m c ấ u trú c xấp x ỉ (7 .2 .1) đã xác đ ịn h được h à m tương
q u a n tương ứng

R H ự ) = 200

' COS0 ,5 4 L

(7 .2 .2 )

T ro n g cơ ng tr ìn h [78] đã tín h trực tiếp cá c h à m tương q u a n độ
cao trường đ ịa th ế vị theo sô" liệ u thực n g h iệ m .
ở đ â y , sự k h á c b iệ t c ủ a hệ phương p h á p d ù n g tro n g [78] so VỚI
các cơng t r ìn h trước đó là tro ng cơng tr ìn h n à y , trường đ ịa th ế v ị được
xem xét k h ô n g p h ả i nh ư m ột trường p h ă n g m à n h ư m ột trường k h ô n g
g ia n . V ì trường đ ịa th ế v ị ba c h iề u có th ể xem là đ ẳ n g hướng m ột cá ch
gần đ ú n g c h ỉ theo phương n g a n g nên các h à m tương q u a n c ủ a trư òng
n à y sẽ p h ụ th u ộ c vào ba b iế n - k h o ả n g cá ch n g a n g i giữ a các đ iể m
q u a n trắ c v à h a i độ cao (hoặc h a i áp su ấ t p ỵ v à p 2 ).
V ì tro n g k h í tượng học sử d ụ n g n h iề u m ặ t đ ẳ n g áp cô" đ ịn h , n ê n
b iến p đ ã được g án m ột lo ạ t các trị sô" g iá n đ o ạ n , v à h à m ba b iế n
R ự , P \ 9P 2 ) đ ã được q u y về m ột số h àm m ột b iế n R lfự ) = R ự , p t , P j )

nào đó c ủ a ỉ v à cá c h à m n à y đ ã được xác đ ịn h theo các sô" liệ u thực
n g h iệ m . N ă m m ặ t đ ẳ n g áp ( 1000, 850, 700, 5 0 0 v à 3 0 0 m b) đ ã được
chọn và tín h 1 5 h à m tương q u a n R fJỰ ) . K h i / = j

sẽ n h ậ n được các

h àm tự tương q u a n c ủ a trường đ ịa th ế v ị / / ( / ? , ) , k h i / * j - các h à m
tương q u a n q u a n hệ giữ a h a i trường H ( p t ) v à H ( p t ) .
N h ữ n g g iá t r ị th ơ n g kê tín h được c ủ a cá c h à m tự tương q u a n
được xấp xỉ b ằ n g các b iể u thức g iả i tích d ạn g


211


R H ự ) = D e ' a' c o s / Ỉ Ế ;
R „ ự ) = D e - a , J om

( 7 .2 .3 )
-

(7 .2 .4 )

T ro n g chương 3 ta đã th ấ y rằ n g h à m (7 .2 .3 ) c h ỉ có phổ m ột c h iề u
kh ô n g âm tạ i m ọi nơi, còn m ật độ phổ h a i và ba c h iể u c ủ a nó k h ơ n g
âm kh ơ n g p h ả i tạ i tấ t cả mọi g iá tr ị củ a các hệ số a v à (3, m à c h ỉ k h i
giữa c h ú n g có m ố i q u a n hệ n h ấ t đ ịn h , nh ư n g q u a n hệ n à y k h ô n g th o ả
m ã n với n h ữ n g h à m tương q u a n thống kê n h ậ n được. V ì v ậ y , nói
đ ú n g ra , h à m (7 .2 .3 ) kh ô n g th ể d ù n g là m h à m h à m tương q u a n c ủ a
trường đồng n h ấ t h a i c h iề u . C ó th ể ch ỉ ra r ằ n g m ậ t độ phổ h a i c h iề u
củ a h à m (7 .2 .4 ) là h à m dương h o àn to àn, tức là h à m n à y có th ể d ù n g
là m h à m tương q u a n c ủ a trường. T u y n h iê n , tro n g cơng tr ìn h n à y đã
sử d ụ n g các h à m d ạ n g (7 .2 .3 ) để x ấ p x ỉ k h i.t ín h đ ến sự phứ c tạ p củ a
v iệc sử d ụ n g m ố i p h ụ th uộ c (7.2.4 ) v à lu ô n lu ơ n có th ể ch ọ n được các
th a m sô' c ủ a h à m (7.2.4 ) sao cho đồ th ị c ủ a nó g ần như trù n g với đồ
th ị củ a h à m (7 .2 .3 ) (k h i í k h ơ n g q u á lớn).
V í d ụ , đối với H 500 đã n h ậ n được h à m tương q u a n
R „ự ) =

235

e~°'29r


cosO, 70 £.

(7 .2 .5 )

N h ữ n g g iá tr ị th ô n g kê c ủ a cá c h à m tương q u a n q u a n h ệ c ũ n g
được xấp x ỉ b ằ n g m ô! liê n hệ (7 .2 .3 ). V iệ c ch ọ n cá c h à m (7 .2 .3 ) để xấp
xỉ là do các h à m tương q u a n q u a n hệ th ôn g kê n h ậ n được có d ạ n g r ấ t
giông với các h à m tự tương q u an .
T r ê n h ìn h 7 .2 b iể u d iễ n các h à m tự tương q u a n c h u ẩ n ho á v à các
h à m tương q u a n q u a n hệ c h u ẩ n hoá được x ấ p x ỉ b ằ n g m ốì p h ụ thuộ c
(7 .2 .3 ) tương ứ ng với độ cao củ a các m ặ t đ ẳ n g á p 8 5 0 , 5 0 0 v à 3 0 0 m b.
G iá tr ị h à m tương q u a n c h u ẩ n hoá c ủ a trường đ ịa th ế v ị / / 5Q0
củ a một số tác g iả được b iể u d iễ n trê n h ìn h 7 .3 .
Sự k h á c n h a u c ủ a các h à m tương q u a n n h ậ n được có th ể g iả i
th ích bởi đ ặc đ iểm c ủ a s ố liệ u thực n g h iệ m đ ã sử d ụ n g , tức là bởi sự
k h á c n h a u c ủ a các v ù n g đ ịa lý v à m ù a q u a n trắ c c ũ n g như sự h ạ n chê
vể số lượng cá c thế h iệ n v à tín h k h ơ n g đồng n h ấ t c ủ a trường.
Sự s a i k h á c đặc b iệ t rõ nét k h i k h o ả n g cá c h í lớn, tạ i đó sơ' cặp
trạm được d ù n g để xử lý ít n h ấ t, cịn tín h b ấ t đồng n h ấ t th ế hiện
m ạ n h n h ấ t.
212


7.3. C â u tr ú c th ố n g k ê c ủ a trư ờ n g n h iệ t đ ộ k h ô n g k h í
N h ữ n g số liệu thực nghiệm đầy đủ v à kh ách q u an n h ấ t về cấu trúc
vĩ mơ trưịng n h iệ t độ khơng k h í có trong các cơng trìn h [37, 38, 62].

[‘'tì


Í'-3J

------------ [ 86]

............. f ’fij

3000 l KM

Hình 7.2

0 .2

-

■ JL-.... -

1_

--------- i I

tooo 7000 3000 *0001
_

-

Hỉnh 7.3

Ỏ đ â y, g iố n g như trường đ ịa th ế v ị, trường độ lệch n h iệ t độ
k h ô n g k h í so với c h u ẩ n được xem là đồng n h ấ t v à đ ả n g hướng trong
m ặt p h ả n g n g a n g hoặc trên một m ặt đ ả n g áp đã cho. D o đó, các h àm

tương q u a n và h à m cấ u trú c trên m ặ t đ ã cho được xem như h à m củ a
một đôi sô, là k h o ả n g cách n g a n g giữa các điểm q u a n trắc. N g o à i các
h à m tự tương q u a n và hàm cấu trúc, đối với mỗi m ặ t đ ẳ n g áp c h u ẩ n ,
cấ u trú c k h ô n g g ia n còn được đặc trư ng bởi các h à m tương q u a n và
h à m c ấ u trú c q u a n hệ đối với từng cặp m ặ t đ ẳn g áp .
T ro n g cá c cơng tr ìn h [37, 38), dừ liệ u b a n đ ầu đê xác đ ịn h các
h à m c ấ u trú c v à h à m tương q u a n ba c h iể u củ a độ lệch n h iệ t độ kh ô n g
k h í so với c h u ẩ n là s ố liệ u n h iệ t độ th á m kh ô n g được th u th ậ p trong
thời g ia n 1 9 5 7 - 1 9 5 9 trên lã n h thổ B ắ c M ỹ theo k ế h o ạch củ a N ă m
V ậ t lý đ ìa c ầ u quốc tế.
V iệ c tín h tốn được thực h iệ n theo các m ù a , đối với mỗi m ù a
trong sô' bốn m ù a , sử d ụ n g 60 thể h iệ n . Đ ể là m g iả m m ối liê n hệ
thống kê giữa cá c th ể h iệ n , ch ú n g được chọn cá ch n h a u ba n g ày đêm .
M ỗ i th ể h iệ n bao gồm kết q u ả th ám kh ô n g tạ i 60 trạ m .
K h o ả n g cá c h xa n h ấ t giữa các trạ m b ằn g 7 5 0 0 km . N gưòi ta đã
tín h các h à m c ấ u trú c v à h à m tương q u a n cho các m ặt đ ẳ n g áp 1000,
8 50 , 70 0 , 50 0 , 400, 30 0 , 200 v à 10 0 mb cũ n g như các h à m cấ u trú c v à
h àm tương q u a n q u a n hệ đối với từng cặp m ặt đ ẳ n g áp n ày.
V iệ c tín h to án được thực h iệ n theo phương p h á p đã tr ìn h bày
trong [42].
T r o n g cơng t r ìn h [62], sô liệ u b an đ ầu được sủ d ụ n g là nhữ ng
2 13


q u a n trắ c tạ i 5 0 tr ạ m k h í tượng. M ộ t sô» trạ m n ằ m trê n v ù n g T r u n g
 u, số

còn lạ i ở p h ầ n lã n h thổ ch â u  u

c ủ a L iê n Xô. K h o ả n g cá ch


giữ a h a i v ù n g đó n h ỏ hơn m ột c h ú t so với bể rộ n g c ủ a m ỗi v ù n g . Đ iề u
đó bảo đ ảm sô" cá c tr ạ m ở h a i v ù n g có sự p h â n bô" đểu theo k h o ả n g
cá c h . T ín h tr u n g b ìn h , m ỗi m ù a đã sử d ụ n g s ố liệ u c ủ a 60 tìn h h u ố n g
tro n g th ò i g ia n từ 1 9 5 9 đ ến 1 9 6 1 . K h o ả n g th òi g ia n giữa các k ỳ liê n
tiếp kh ô n g ít hơn h a i n g à y đêm . C á c h à m tự tương q u a n được tín h
cho ba mực, là m ặ t đ ấ t, 8 5 0 v à 700 m b. Đ ể lo ạ i trừ s a i số đo đ ạc, tiế n
h à n h ngoại s u y về

0 bằng

phương p h á p đồ th ị các h à m tương q u a n và

h à m cấ u trú c n h ậ n được v à sử d ụ n g c h ú n g theo phương p h á p đ ã xét
tro n g chương

6.

T r ê n h ìn h 7.4 b iể u d iễ n các h à m tự tương q u a n

c h u ẩ n hoá c ủ a n h iệ t độ k h ô n g k h í ở các mực k h á c n h a u cho m ù a đông
[38]. T r ê n h ìn h 7 .5 là cá c h à m tự tương q u a n c h u ẩ n hoá n h ậ n được
theo bộ số liệ u n h ư trê n cho m ù a hè [37].
r(l)

Hình 7.4

Hỉnh 7.5

T ừ các h ìn h th ấ y rằ n g , có sự k h á c n h a u giữa các h à m tự tương

q u a n c h u ẩ n h o á c ủ a n h iệ t độ kh ô n g k h í ở cá c mực k h á c n h a u , m ặc dù
sự k h á c n h a u n à y k h ô n g n h iề u lắ m v à về b ả n c h ấ t cá c đưịng cong có
n é t giơng n h a u . G iữ a cá c m ù a c ũ n g có n h ữ n g k h á c biệt.
T ro n g b ả n g 7 .1 b iể u d iễ n các g iá tr ị phương s a i tương ứng c ủ a độ
lệch n h iệ t độ tr ê n c á c m ực [38].
So s á n h c á c h à m tương q u a n c h u ẩ n hố n h ậ n được tro ng các
cơng trìn h [62] v à [38] cho th ấ y rằ n g trê n c ù n g m ột m ực, c h ú n g gần
trù n g n h a u , đ ặ c b iệ t ở n h ữ n g k h o ả n g c á c h dưới 1 0 0 0 -1 5 0 0 k m .
T ro n g k h i đó phư ơng s a i tro ng cá c trường hợp đ a n g xét rấ t k h á c
n h a u . V í d ụ, phư ơ ng s a i n h iệ t độ ỏ mực 70 0 m b đơì với c h â u Ả u b ằn g

214


24 (độ )2 , cịn đơì với ch â u M ỹ là 34 (độ)2.
Bảng 7.1
D (độ)2

Mực, mb

Mùa đông

Mùa hè

1000

49

7


850

45

14

700

32

8

500

23

7

400

20

8

300

13

8


200

30

14

100

18

7

Sự liê n hệ giữa các giá trị củ a nhiệt độ ở các mực k h á c n h a u củ a
cùng một trạ m được đặc trưng b ằng các trị s ố c ủ a h àm tương q u an q uan
hệ đã ngoại su y về

0. C h ú n g

được trìn h bày trong b ảng 7.2 [38].

Từ b ản g 7.2 th ấy rằng, sự liên hệ ch ặt chẽ n h ấ t giữa các giá trị n h iệt
độ ở các mực

k ế cận quan sát được trong tầng đôi lưu.N h iệ t độ ở các lớp

trong tần g đối lưu và tầng b ình lưu có tường q u a n dương. K h i tín h tương
quan giữa các sô" liệu tầng đổi lưu với sô" liệu trong tần g b ìn h lưu, các hệ s ố
tương q uan trở nên âm và tăng vê trị tuyệt đối k h i các m ặt đ ẳng áp cách xa
dần đối lưu hạn.
C ô n g tr ìn h [62] đã n h ậ n được các b iể u thứ c x ấp x ỉ g iả i tích củ a

các h à m tự tương q u a n thông kê trên các m ặ t đ ẳ n g áp:
- 70 0 m b:

Rrự) = De'0-747'"Vo (0,960,

(7.3.1)

- 8 5 0 m b:
R r ự ) = jD e ~°'553'

97J 0 ( 0 , 8 3 £ ).

(7 .3 .2 )

- m ặ t đ ất:
(7 .3 .3 )

R r ự ) = D e -°n s ^ \
ở đ ây J 0{y() là h à m B e s se l b ậc kh ô n g , ( b iể u d iễ n b ằ n g

103 km .
215


Bảng 7.2

Mực, mb

1000


1000

850

700

500

400

300

200

100

0,67

0,36

0,47

0,45

0,34

-0 ,2 7

-0 ,1 4


0,47

0,68

0 ,57

0,29

-0 ,4 5

-0 ,4 5

0,48

0.43

0,28

-0 ,3 1

-0 ,29

0,94

0 ,53

-0 ,5 6

-0 ,6 1


0,67

-0 ,5 5

-0 ,7 0

- 0,02

-0,46

850

0 ,6 7

700

0,56

0 ,74

500

0 ,5 1

0 .5 5

0 ,72

400


0,49

0 ,5 3

0,68

0,99

300

0,21
- 0,21

0,43

0,54

0 ,75

-0,80

- 0,11

-0 ,1 4

-0 ,2 3

-0 ,2 3

-0,08


-0 ,3 6

-0 ,4 9

-0 ,64

- 0,66

- 0,68

-0 ,6 5

200
100

0 ,5 1
0,26

7.4. C ấ u t r ú c t h ố n g k ê tr ư ờ n g g ió
N h ữ n g q u y lu ậ t c ấ u trú c trường gió đã có tro ng m ột lo ạ t cơng
trìn h n g h iê n cứ u lý th u y ế t v à thực n g h iệ m . C á c công t r ìn h c ủ a A . N .
K olm o g o ro v [ 1 1 ] v à A . M . O b u k h o v [69] là n h ữ n g cơ ng t r ìn h n ể n tả n g
theo hư ống n à y . T r o n g c á c cô ng t r ìn h đó, đối với trường đồng n h ấ t v à
đ ẳ n g hư ống đ ịa phư ơng, b ằ n g lý th u y ế t, đ ã ch ứ n g m in h được r ằ n g
h à m c ấ u trú c c ủ a x u n g tốc độ gió được m ơ tả b ằ n g cơng thứ c

Buự) = A(V\

(7.4.1)


trong đó A là hệ số tỷ lệ.
Q u a n h ệ n à y được gọi là “q u i lu ậ t 2 /3 ”. K ế t q u ả xử lý thực
n g h iệm cá c sô" liệ u th á m k h ơ n g gió do M . B . Z a v a r in a [52] v à E . X .
X e le z n e v a [74], v à s a u n à y do các tác g iả k h á c [43, 5 6 , 7 1 , 83] thực
h iệ n đã k h a n g đ ịn h sự đ ú n g đ ắ n c ủ a “q u i lu ậ t 2 /3 ” tro n g k h í q uyển
thực ở m ột v ù n g k h ô n g g ia n n h ấ t đ ịn h .
Sự h ạ n c h ế về q u y mô k h ô n g g ia n , tro n g đó th oả m ã n “q u i lu ậ t
2 /3 ”, là đ iề u tự n h iê n v ì trường gió lo ạn lư u thực có th ể xem là đồng
n h ấ t v à đ ẳ n g hướng c h ỉ đối với nh ữ n g p h ạ m v i kh ô n g g ia n đủ nhỏ.
K h i tăn g d ầ n q u y mơ th ì tín h b ất đ ẳ n g hướng b ắ t đ ầ u x u ấ t h iệ n , thể
h iệ n ở sự m ấ t c â n đối theo phương n g a n g v à phương th ẳ n g đứng củ a
ch u y ê n động k h í q u y ể n thự c q uy mô lớn. M . Iu . Iu đ in [84] đả p h ân
tích nh ữ n g đ iề u k iệ n áp d ụ n g củ a “q u i lu ậ t 2 /3 ” v à ch o b iế t rằ n g ở
ngoài v ù n g tá c độn g c ủ a q u y lu ậ t n à y , h à m cấ u trú c c ủ a x u n g gió
được mơ tả bởi hệ thứ c

216


Buự ) = C £,
tro ng đó c

(7.4.2)

là hệ sơ tỷ lệ, tức là h àm c ấ u trú c c ủ a cá c x u n g gió tỷ lệ

th u ậ n với k h o ả n g cách.
Tư ơ ng q u a n (7.4 .2) có tên là “q ui lu ậ t b ậc n h ấ t ”.
C á c k ế t q u ả xử lý thực n g h iệ m đ ã k h ẳ n g đ ịn h r ằ n g tro n g k h í

q u yể n thự c, “q u i lu ậ t bậc n h ấ t ” được thoả m ã n tương đôi tốt trong
p h ạ m v i k h o ả n g cách í = 500*M 400 km . C ị n đơì với các đ iề u k iệ n rối
v ĩ mơ, tín h phứ c tạp củ a các q u á trìn h d iễ n ra tro n g đó là m cho việc
n g h iê n cứu lý th u y ế t về cấu trú c củ a các trường k h í tượng v ĩ mơ gặp
kh ó k h ă n . D ể tìm h iể u cấ u trú c củ a trường gió tro n g đ iề u k iệ n rô i vĩ
mô, tức là với n h ừ n g k h o ả n g cách v à i n g h ìn k ilơ m é t, người ta đã tiế n
h à n h xử lý th ô n g kê các s ố liệ u gió th á m kh ơ n g .
T r o n g cơng tr ìn h [56] đã sử d ụ n g n g u ồ n dữ liệ u thự c n g h iệ m
p ho ng p h ú . T rư ờ n g gió theo phương n g a n g trê n mực 5 0 0 m b đ ã được
k h ả o sá t. T rư ờ n g n à y được coi là đồng n h ấ t v à đ ẳ n g hướng. Nhờ m á v
tín h đ iệ n tử, dự a theo phương p h áp được để x u ấ t tro n g [42], tín h các
h à m tương q u a n và h àm cấ u trú c đôi với độ lệ ch k h ỏ i c h u ẩ n củ a
th à n h p h ầ n v ĩ hướng u và th à n h p h ần k in h hướng V c ủ a vectơ gió.
Đ ố i vối trường đồng n h ấ t v à đ ẳng hướng, đ iề u k iệ n cầ n p h ả i th oả
m ã n là phương s a i k h ô n g p h ụ thuộc vào hướng v à k h ô n g đổi tạ i tấ t cả
các đ iể m c ủ a trường, tức là thoả m ãn lu ậ t p h â n bơ" h ìn h trị n , tro n g đó
có đ iể u k iệ n D u - D v . N ế u tín h đến độ c h ín h x á c k h ô n g cao củ a việc
đo gió, th ơ n g thường người ta cho rằ n g lu ậ t p h â n bơ' được COI là h ìn h
trịn k h i —

Dy

b iế n th iê n trong p h ạ m v i

0,8 - 1 , 2 .

K h i tiế n h à n h tín h tốn th ì đ iều k iệ n n à y được c h ỉ th o ả m ã n ở
v ù n g nước A n h v à bán đảo S c a n d in a v ia , nơi thường có d ịng c h ả y x iế t
đ i q u a , các g iá tr ị n h ậ n được n ằ m trong k h o ả n g 0 , 7 - 1 , 3 .
D ự a v ào k ế t q u ả tín h , dự ng đồ th ị c ủ a cá c h à m tương q u a n và

h à m c ấ u trú c . S a i số' trong dữ liệ u b an đ ầ u được kh ử bỏ b ằ n g cá ch
n g o ại s u y cá c h à m n à y về k h ô n g v à trừ đ i các s a i sô" n h ậ n được.
T r ê n cá c h ìn h 7.6 v à 7 .7 b iể u d iễ n đồ t h ị các h à m tương q u a n
c h u ẩ n hoá c ủ a th à n h p h ầ n gió v ĩ hướng v à k in h hướng tạ i mực
5 0 0 m b cho m ù a đông và m ù a hè.
T ừ các h ìn h th ấ y rằ n g ỏ nh ữ n g k h o ả n g cá c h dưới 1 0 0 0 -1 3 0 0 km
“q u i lu ậ t b ậc n h ấ t ” củ a Iu đ in thoả m ă n tương đôi tôt. V ớ i nh ữ n g
k h o ả n g cá c h lốn hơn, q u i lu ậ t n à y bị v i p h ạ m , đồ th ị cá c h à m tương
q u a n có đ ặc t ín h dao động với b iê n độ g iả m d ầ n , đ iề u n à y nó i lê n sự
2 17


h iệ n d iệ n c ủ a yếu tố ch u k ỳ tro ng các q u á t r ìn h k h í q u y ể n v ĩ mô.
T r o n g m ụ c 2 .1 4 đã c h ỉ ra rằ n g , các đ ặc trư ng c ủ a trường vectơ
đồng n h ấ t là các h à m tương q u a n dọc v à n g an g . C ầ n lư u ý rằ n g h à m
tương q u a n c ủ a cá c th à n h p h ầ n v ĩ hướng v à k in h hư óng n h ậ n được
tro n g cơng t r ìn h n h ìn c h u n g k h ô n g p h ả i là n h ữ n g đ ặc trư n g đó. Đ ơ i
với n h ữ n g k h o ả n g cá ch i kh ô n g lớn, các cặp trạ m th u ộ c c ù n g một
n h ó m trạ m , cá c hướng giữa ch ú n g k h á c n h a u , v à cá c h à m tương q u a n
c ủ a cá c t h à n h p h ầ n u v à V n h ậ n được là tru n g b ìn h theo tấ t cả các
hướng. Đ ố i với n h ữ n g k h o ả n g cách ỉ lớn, các trạ m c ủ a từ ng cặp trạ m
về cơ b ả n th u ộ c các n h óm k h á c n h a u , tức là hư ỏng giữa c h ú n g g ần với
hư ỏng củ a t h à n h p h ầ n v ĩ tu y ế n , do đó, h à m tương q u a n củ a th à n h
p h ầ n ư g ầ n với h à m tương q u a n dọc c ủ a trường, còn h à m tương
q u a n củ a th à n h p h ầ n V g ần với h à m tương q u a n n g an g .

Hình 7.6

Hình 7.7


7.5. C ấu t r ú c t h ố n g k ê c ủ a tr ư ờ n g đ ộ c a o th ả m
tu y ế t v à sự tố i ư u h o á c ô n g tá c q u a n tr ắ c th ả m
tu y ế t
Đ ể đ áp ứng yêu cầ u củ a các n g à n h k in h tế quốc d â n , trên m ạn g
lưới trạ m k h í tượng th ủ y v ă n đ an g tiế n h à n h n h iề u q u a n trắ c về th ảm
tu yế t địi hỏi cơng sức củ a n h iề u người q u a n trắc. K h i đó x u ấ t h iệ n v ấn
đề q u a n trọng về p h â n bô" hợp lý các trạ m q u a n trắc trê n lã n h thổ.
Độ cao th ả m tu yế t có thể r ấ t k h á c n h a u giữa các đ iểm c h ỉ cách
n h a u một k h o ả n g kh ô n g lớn. Sự k h á c n h a u về p h â n bô" độ cao th ảm
tu yế t trên lã n h thố gây nên bơi sự p h â n bô" kh ô n g đồng đều củ a tốc độ
gió trong lỏp sá t đ ất, đ ịa h ìn h và điều k iệ n đ ịa phương, hướng sườn và
độ dốic, tín h c h ấ t m ặt đệm v à nhữ ng đặc đ iểm củ a c h ế độ k h í tượng.

218


N h ữ n g n h â n tô tr ê n k ế t hợ p VỚI n h a u tạ o n ê n m ộ t bức t r a n h

p h ân b ố tu y ế t h ế t sức phức tạp. D o đó, các sơ" liệ u vê độ cao th ả m
tu yế t ở m ột đ iếm riê n g b iệt kh ô n g có ý n g h ĩa m ấ y , m à cầ n p h ả i b iế t
nhữ ng đ ạ i lượng tru n g b ìn h trên một diện tích nào đó. N ế u xem xét
độ cao th ả m tu y ế t như là một trường n g ẫu n h iê n h a i c h iể u H ( x , y )
t hì việc lấ y tru n g b ìn h như v ậ y có thể được tiến h à n h một cách t h u ậ n
tiện. K h i đó người ta coi trường n à y là đồng n h ấ t, đ á n g hướng v à có
tín h egođic.
B à i to án đ ặ t ra là từ nhữ ng sô" liệ u đo tạ i m ột sô" đ iểm q u a n trắ c
tu yế t trê n tu y ế n có ch iể u d à i h ạ n chế, xác đ ịn h g iá tr ị tru n g b ìn h củ a
độ cao th ả m tu y ế t trong một v ù n g rộng hơn m ột cá ch đ á n g kể. Đ ê đơn
g iả n ta sẽ xét trường hợp g iá trị cầ n tìm có thể n h ậ n được b ằ n g cá ch
lấ y tru n g b ìn h các số liệ u đo trên m ột tu yế n th a n g .

G iả sử trê n đoạn
l ] p h â n bô" đểu n đ iể m Xị = 0, x 2 , x

[o,

n = L,

tạ i các đ iể m n à y tiế n h à n h đo độ cao th ả m tu y ế t h ( X ' ) v k từ các số
liệ u đo xác đ ịn h

được giá tr ị tru n g b ìn h sơ" học h , v à nó được ch ấ p

n h ậ n là m độ cao tr u n g b ìn h củ a th ả m tu yế t tạ i v ù n g n g h iê n cứu.
K h i đó b ài tốn về độ ch ín h xác củ a việc xác đ ịn h giá trị thực củ a đ ạ i
lượng cầ n tìm hồn tồn tương tự như bài tốn về độ ch ín h xác củ a việc
xác đ ịnh giá trị thơng kê củ a kỳ vọng tốn học h àm ng ẫu n h iê n theo
ch uỗ i rời rạc các g iá trị củ a nó đã xét trong các điểm 3 và 4 m ục 6.3.
N h ư đã ch ỉ r a trong m ục 6 .3, ở đ ây x u ấ t h iệ n h a i lo ạ i s a i số - s a i
số' do sự h ạ n c h ế c ủ a k h o ả n g [o, L ] trên đó g h i th ể h iệ n v à s a i sô" do
th a y th ế v iệ c lấ y tru n g b ìn h tích p h â n theo to àn k h o ả n g [o, L ] b ằ n g
v iệ c lấ y tru n g b ìn h theo n đ iểm ròi rạ c x ( i = 1, 2 ,

n ) . S a i số b ìn h

phương tr u n g b ìn h ơ 2 x u ấ t h iệ n do h ạ n c h ế độ d à i k h o ả n g g h i th ể
h iệ n (xem m ụ c 6 .3 đ iểm 3) được xác đ ịn h b ằ n g công thức (6 .3 .2 5 ),
tro ng trường hợp n à y được v iế t dưới d ạ n g
( 7 .5 .1 )

ở đ â y R h (/) là h à m tương q u a n củ a độ cao th ả m tu yế t.

S a i số b ìn h phương tru n g b ìn h a

2 xuất

h iệ n do th a y th ế v iệ c lấ y

tru n g b ìn h tích p h â n b ằn g g iá trị tru n g b ìn h số học tạ i rĩ đ iểm x t
cá c h đều n h a u m ột k h o ả n g A theo (6 .3.36 ) được v iế t như sa u

219


( 7 .5 .2 )

ở đ â y c ũ n g có th ể sử d ụ n g h à m cấ u trú c B H ( l ) , n ế u trưóc h ế t
b iế n đổi cá c cô n g thứ c ( 7 .5 .1 ) v à (7 .5 .2 ) nhờ (2 .7 .7 ):
(7 .5 .3 )

(7 .5 .4 )
N ế u có h à m tương q u a n ho ặc h à m cấ u trú c v à tiế n h à n h t ín h
to án theo cá c cơ n g thứ c trê n , có th ể n h ậ n được m ốỉ p h ụ th u ộ c củ a cá c
đ ạ i lượng ƠJ, ơ 2 v à o độ d à i k h o ả n g v à s ố lượng đ iể m đo, v à theo đó
tìm s ố lượng đ iể m tố i ưu, k h o ả n g cá c h tối ưu giữ a các đ iể m .
C á c h tiế p c ậ n n h ư v ậ y để g iả i b à i tốn tơi ưu h o á m ạ n g lưối
q u a n trắ c tu y ế t đ ã được đề x u ấ t tro n g công t r ìn h c ủ a D .L . L a ik h t m a n
và R .L . K a g a n [59]. Đ ể thự c h iệ n phương p h á p tín h to án n à y đòi hỏ i
p h ả i có s ố liệ u vể c ấ u trú c trư òng độ cao th ả m tu yế t. N h ữ n g sô" liệ u
n à y n h ậ n được tro n g các cơng tr ìn h n g h iê n cứu c h u y ê n về xử lý th ố n g
kê tà i liệ u thực n g h iệ m h iệ n có theo các vù n g k h á c n h a u [5 1, 63, 76, 8 1].
T r o n g cơ n g t r ìn h [5 1] đã x á c đ ịn h h à m cấ u trú c k h ô n g g ia n

B h Ợ ) c ủ a độ ca o th ả m tu y ế t. Dữ liệ u b an đ ầ u là n h ữ n g số liệ u đo độ

cao tu y ế t thự c h iệ n n g à y 5 /7 / 1 9 5 7 ở v ù n g trạ m D u b r o v s k a ja (gần
30 0 0 sô' đo độ cao th ả m tu yế t). T o à n v ù n g được p h ủ bởi các tu y ế n đo
song song c á c h n h a u
từ

1

đến

2

200

m. T ấ t cả có 1 7 tu y ế n đo độ d à i k h á c n h a u -

k m . T r ê n các tu y ế n , độ cao th ả m tu y ế t được đo c á c h n h a u

10 m . K ế t q u ả t ín h cho th ấ y r ằ n g g iá trị c ủ a các h à m c ấ u trú c trê n
m ỗi tu y ế n r iê n g b iệ t r ấ t k h á c n h a u .
Sự tả n m ạ n c ủ a cá c h à m cấ u trú c n h ậ n được có lẽ đ ặc trư ng cho
tín h c h ấ t b ấ t đ ồ n g n h ấ t c ủ a p h â n bỗ> độ cao th ả m tu y ế t, m ặ t k h á c sự
tả n m ạ n đó g â y n ê n bởi s a i sô" đo v à sô" lượng đ iể m đo nhỏ.
Đ ể có đ ặc trư n g tin

cậy hơn v ề cấu trú c c ủ a trư òng đ a n g xét, tấ t

cả các h à m c ấ u trú c n h ậ n được đ ã được lấ y tr u n g b ìn h , v à sa u đó h àm
cấ u trú c tr u n g b ìn h được là m trơn. H à m cấ u trú c tr u n g b ìn h là m trơn

B H ( l ) được d ẫ n ra trê n h ìn h 7.8. H à m cấ u trú c n h ậ n được được mô
tả tương đôi t ố t bởi công thức

220


Bh (/) = 58,7 - 40, 8e~0]SSll/'
T ro n g cơng tr ìn h [76] đã xác đ ịn h
củ a độ cao th ả m tu y ế t ở các v ù n g đ ịa lý

(7.5.5)

các h à m c ấ u trú c k h ô n g g ia n
khác nhau.

C á c tà i liệ u trắ c đạc tu yế t được tiến h à n h ở các v ù n g k h á c n h a u
củ a L iê n Xô sa u đ â y , đã được xử lý:

1)

N hữ ng đợt khảo sát trắc đạc tuyết củ a V iệ n th ủ y văn N h à nước ỏ

tỉnh T selino grad tại ba vùng - vùng lưu vực sông K zư lsu , th u n g lũ n g sông
K a ra k o l và vùng trạm K o lu ta n cuối tháng

2)

3 n ăm

19 5 6 ;


T r ắ c đ ạc tuyết củ a P h ò n g th í n g h iệ m n g h iê n cứu k h o a học

th ủ y v ă n V a lđ a i ở lưu vực sông Polom et, th á n g
3)

2 năm

19 5 3 ;

T u y ế n trắ c đạc tu yế t theo tu y ế n tạ i tr ạ m O k s o c h i trê n lưu

vực các sông G r iđ e n k i, m ù a đông 1 9 5 5 - 1 9 5 6 v à 1 9 5 6 - 1 9 5 7 ;
4)

T r ắ c đ ạc tu y ế t theo tu yế n gần là n g K o lt u s h i (tỉn h L e n in g r a d )

C á c h àm cấ u trú c n h ậ n được theo sô" liệ u cá c tr ạ m K a r a k u l ( 1 ),
K z ư ls u ( 2), V a lđ a i (3), O k so ch i (4), K o lt u s h i (5), K o lu t a n (6) b iể u d iễ n
trê n h ìn h 7.9.
C3„ (I) cm -

Hỉnh 7.8

Hình 7.9

V iệ c p h â n tíc h h ìn h 7.9 cho th ấ y sự b iế n độn g c ủ a độ cao th ả m
tu y ế t ở nh ữ n g v ù n g k h á c n h a u r ấ t lớn. P h â n tích c ủ a T . s . T r ip h o n o v a
[76] về m ối p h ụ th u ộ c củ a các h à m cấu trú c vào n h ữ n g đ iề u k iệ n đặc
trư ng v ù n g trắ c đ ạc tu y ế t cho phép k ế t lu ậ n r ằ n g b iế n động c ủ a độ

cao th ả m tu y ế t trê n lã n h thổ được q uy đ ịn h trước h ế t bởi đ ịa h ìn h v à
tín h c h ấ t củ a m ặ t đệm .
T ro n g công t r ìn h [59] d ẫn ra nh ữ n g k ế t q u ả t ín h s a i số ƠJ v à ơ 2

k h i thay thê hàm cấu trúc (7.5.5) vào các công thức (7.5.3) và (7.5.4).
221


Trên h ìn h 7.10 biểu diễn sai sơ' bình phương trung bình Gị của
v iệ c xác đ ịn h độ cao tru n g b ìn h củ a th ả m tu y ế t g ây n ên bởi sự h ạ n
c h ế c ủ a độ d à i tu y ế n trắ c đ ạc tu y ế t L . T r ê n h ìn h 7 . 1 1 b iể u d iễ n s a i SỒI
b ìn h phương tr u n g b ìn h ơ 2 gây n ê n bởi sự h ạ n c h ế c ủ a số lượng đ iể m
đo trê n tu y ế n đo.
N ế u cho trước độ c h ín h xác củ a việc xác đ ịn h độ cao tru n g b ìn h
c ủ a th ả m tu y ế t, theo h ìn h 7 .1 0 có th ể xác đ ịn h được độ d à i cầ n th iế t
c ủ a tu y ế n tr ắ c đ ạc tu yế t. V ố i độ d à i tu y ế n n h ỏ hơn th ì độ c h ín h xác
đã cho c ũ n g k h ô n g th ể đ ạ t được b ằ n g cách tă n g s ố lượng q u a n trắ c.
M ột c á c h tương tự, có th ể xác đ ịn h trê n h ìn h 7 . 1 1 s ố đ iểm đo cầ n
th iế t n . V ớ i sô" đ iể m ào nh ỏ hơn th ì độ c h ín h x á c cho trước k h ô n g th ể
đ ạ t được b ằ n g cá c h tă n g độ d à i tu y ế n trắ c đ ạ c tu y ế t. N ế u c h ú ý tới
n h ữ n g k h á c b iệ t đ á n g k ể c ủ a các h à m c ấ u trú c độ cao th ả m tu y ế t ở
n h ữ n g v ù n g k h á c n h a u đ ã p h á t h iệ n tro ng cơng tr ìn h [76], th ì th ấ y
r ằ n g c h ỉ có th ể đ ịn h r a n h ữ n g c h ỉ d ẫ n cụ th ể về v iệ c ch ọ n tối ưu độ
d à i tu y ế n đo tu y ế t v à k h o ả n g cách giữa các đ iể m đo ứng với từ ng
v ù n g đ ịa lý c ă n cứ vào nh ữ n g d ẫ n liệ u về c ấ u trú c th o n g kê c ủ a độ cao
th ả m tu y ế t ở v ù n g đ ã cho.
n
60

0,CM


0

-i

600

1

I

JL— J

two

Hình 7.10

222

1— J , „,J

leoOLm

Hình 7.11


Chương 8

KHAI TRIỂN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN THÀNH CÁC

THÀNH PHẦN TRỰC
GIAO Tựm NHIÊN
•
8.1. T h iế t lậ p b à i t o á n
T ro n g to án học, phương p háp k h a i triể n các h à m th à n h ch u ỗ i theo
một hệ h àm trực giao c h u ẩ n hố nào đó được sử d ụ n g rộng rã i. H ệ h à m
Pi(0 >

p 2(0

V,


được gọi là trực giao c h u ẩ n hoá (trực ch u ẩ n )

trên k h o ản g [.a , b ] (hữu h ạ n hoặc vô hạn ), nếu thoả m ãn hệ thức

0 khi / * k,
1 khi

i = k.

H ệ h à m {cpk ( t )} được gọi là đ ầy đủ nếu như m ột h àm f ( t ) b ất k ỳ
cho trê n k h o ả n g [a .b ], có thể k h a i triể n th à n h ch u ỗ i F o u rier theo nó
(8 . 1 .2 )

*»I
C á c h ằ n g sô" a k gọi là các hệ số F o u rie r v à từ ( 8. 1 . 1 ), ( 8. 1 . 2) c h ú n g
được xác đ ịn h theo công thức

h
(8 .1.3 )
a

T ổ n g n s ố h ạ n g đ ầ u tiên củ a ch u ỗ i (8 .1.2 )
n

(8 .1.4 )
được gọi là đ a thứ c F o u r ie r củ a h à m / ( / ) . B â y giờ, m ột cá ch g ần
đ ú n g , nếu ta th a y thê h à m

/ ( / ) b ằ n g tổng (8 .1.4 ) th ì với m ỗi giá trị

củ a đối số t x u ấ t h iệ n s a i số ô n ( t) b ằn g

223


S Á O = A t ) -/'(')■

( 8 .1.5 )

Người ta gọi đ ạ i lượng 5„ là s a i s ố b ìn h phương tr u n g b ìn h c ủ a
p hép x ấ p

x ỉ

hàm

f

( t ) b ằ n g tổng (8 .1.4 ) trê n k h o ả n g \a,b\

(8. 1 . 6)

* . = Ị Ị [ / ( » - / . ( » ] ’ Jl-

T ừ cá c đ a thứ c d ạ n g
y "1, (-kỌk
t=i
độ lệ ch b ìn h phư ơng tr u n g b ìn h nh ỏ n h ấ t c ủ a h à m
đ a thứ c F o u r ie r , tức là m ột đ a thức m à cá c hệ s ố

f (

sẽ cho một

t )

ck là

cá c hệ s ố

F o u r ie r a k . K h i đó đ ạ i lượng Ĩ>1 b ằ n g
(8 .1.7 )

ỏ l = h\ f \ t ) d t - Ỳ ỏ ; .
a

Thực vậy,

2

*„’ = J[ / ( 0 - ẳ C , f t ( í )
aL
=

)f\t)di-2ỵc,
(J

k —\

*=l

+ ịiỵc,c,Ịạ>ímxi)dt =
k ~ 1

y

= / / ’ «) <*-

ẳ

I —I

Q

<

k * I

a

c

.

(8. 1 .8)

k = I

V ế p h ả i c ủ a (8 .1.8 ) n h ậ n g iá tr ị nhỏ n h ấ t b ằ n g ( 8 .1 .7 ) k h i
( C k - a k Ý = 0 , tức là k h i

ck = a k .

k * \

Đ ạ i lượng

5*

k h ơ n g â m , v ì v ậ y ta có b ấ t đ ẳ n g thức
n

i>

(8 .1.9 )

ỵ a 2
k < Ị f 2( t ) d í .

k*\

a

T ừ đó th ấ y r ằ n g , đ ố i vỏi các h à m có b ìn h phương k h ả tích , tức là
h

ao

k h i J f 2( t ) d t là m ột số hữ u h ạ n , th ì ch u ỗ i

a
đ ẳ n g thứ c s a u x ả y ra
224

hộ i tụ , hơn nữ a, bâ't

*=1


Ỳa; <Ịf\t)d/
k=\

(8.1.10)

a

và nó được gọi là b ấ t đ ẳ n g thức B e sse l.
N ê u hệ h à m {(pk Ụ ) } là đ ầ y đủ th ì đơi với m ột h à m b ấ t k ỳ

f{t)

lấ y được tổng b ìn h phương sẽ có đ ẳn g thức
^

00

*=1

= Ị f 2(0dí

(8.1.11)

a

v à được gọi là phương tr ìn h k h é p k ín .
Người
trực c h u ẩ n

ta ứng d ụ n g việc k h a i triể n các h à m theo n h ừ n g hệ h à m
k h á c n h a u : k h a i triể n th à n h c h u ỗ i F o u r ie r theo

lượng giác, k h a i triể n

hệ h à m

th à n h ch uỗ i F o u r ie r -B e s s e l theo hệ h à m

B e s se l, k h a i triể n theo các đa thức trực g iao - T re b ư s e v , E r m it v à các
hệ h àm k h á c.

Phương p h á p k h a i triể n theo hệ các h à m trự c c h u ẩ n c ũ n g có thê
áp d ụ n g vào các h à m n g ẫ u n h iê n .
G iả sử x ụ )

là m ột h à m n g ẫu n h iê n xác đ ịn h trê n k h o ả n g [a,b]

có k ỳ vọng tốn học b ằ n g khơng, w r(/) =
trước K O M ’ ‘ i ’ l 2

0,

v à h à m tương q u a n cho

và {#>*(/)} là hệ h à m trự c c h u ẩ n đ ầ y đ ủ.

K h i đó ta b iể u d iễ n h à m n g ẫu n h iê n X '( / ) dưới d ạ n g c h u ỗ i F o u r ie r
(8. 1 . 12 )

X ( t ) = Ỳ A k(pk ( t )

k=I
C á c hệ sô' F o u r ie r A k được xác đ ịn h dưỏi d ạ n g
h

Ak= ịxự)ẹkụ)đt

(8.1.13)

a

là nhữ ng đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n .
T a k ý h iệ u

* „ ( ') =

0

(8-1-14)

A=!
là tổng củ a n
h àm

s ố h ạ n g đ ầ u tiên củ a k h a i triể n ( 8. 1 . 12 )v à ta sẽ x ấ p x ỉ

n g ẫ u n h iê n X ( t ) b ằn g tổng X n( t ) . K h i

đó, s a i s ố b ìn h

phương

tru n g b ìn h c ủ a p hép x ấ p xỉ
225


Ổ „ = J

(8.1.15)

\ x { t ) - X m( t ) ] l d t

sẽ là m ột đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n .
Đ ể là m thưởc đo độ c h ín h xác củ a p hép x ấ p x ỉ, ta sử d ụ n g k ỳ
v ọ n g to á n h ọ c c ủ a b ìn h phương đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n ô„
ơ^

=

m

[ô ^J.

( 8 .1 .1 6 )

Đ ạ i lượng ơ* b iể u th ị phương s a i sai sô’ củ a p hép xấp x ỉ đ ạ i lượng
n g ẫ u n h iê n , nó p h ụ th uộ c vào việc chọn hệ h àm {(pk ( t ) \ và sô lượng
h à m n c ủ a c h ú n g . K h i đó, có thể kh ô n g cho trước hệ h àm {ự>k (t) } m à
xá c đ ịn h hệ n à y x u ấ t p h á t từ yêu c ầ u thoả m ã n m ột đ iể u k iệ n tự n h iê n
nào đó.C h ẳ n g h ạ n , có th ể xác đ ịn h m ột hệ như v ậ y
từ m ột sô n h à m
n trong ( 8 .1 .1 6 ) trở

th à n h cực tiể u . N h ữ n g h à m Ợ7ị(/),
^ „ ( O n hư v ậ y được gọi là

n h ữ n g h à m trự c giao tự n h iê n . Đ ố i vối hệ h à m được ch ọn như trê n , việc
b iể u d iễ n h à m n g ẫ u n h iê n ^ ( O d ư ớ i d ạn g tổng n sô 'h ạn g

* (0 * É 4 ^ (0

(8.1.17)

*=I

được gọi là k h a i triể n h à m th à n h tổng các th à n h p h ầ n trực giao tự nhiên.
Những

v ấ n đề lý th u y ế t c ủ a v iệ c k h a i triể n theo các

th à n h phần

trực g iao tự n h iê n v à cá c t ín h c h ấ t củ a p hép k h a i triể n nh ư v ậ y đã
được xé t tro n g cá c cơ n g t r ìn h củ a K h . K h o te lin g [92], A . M . O b u k h o v
[67,

68],

N . A . B a g r o v [35 , 36 ], V . s . P u g a tre v [2 1].

T ừ đ ẳ n g thứ c ( 8 .11 .7 ) , có th ể v iế t b iể u tthứ
ỉ c ( 8 .1 .1 5 ) dưới d ạ n g
s ^

( 8 . 1. 18)

) x ' ự ) -—
Ỳ Aỉa

**-l
•1

Sử d ụ n g ( 8 .1 . 1 3 ) ta n h ậ n được

Sl = )x\t)dt-Ỳ )xụ)ư
h

L°
„ hh

= Ịx2(t)dt-ỵ
ư

_

dựt2

k=\ a a

T h ế giá trị này của 5?, vào (8.1.16) ta nhận được
226

(8.1.19)


h

„ hb

° l = J X ( ') ^ -£
a

J J X ( ' r '2M ( ' > * ( ' : ) d t xd t 2.

(8. 1 . 20)

k ~ l Q íê

B à i tốn q u y về tìm các h à m Ọ \{ t ), (p2Ự ) ,

(pn ( t ) $ & 0 cho b iể u

thức (8. 1 . 20) trở th à n h cực tiể u , h a y nói cá c h k h á c , sao cho tổng
„ bb

»*2) %

l í í

ƠI ) < P M d t \d t 7

(8. 1 . 21 )

a a

trở th à n h cực đ ạ i.

8.2. M ộ t sô k iế n th ứ c v ề lý t h u y ế t p h ư ơ n g t r ìn h

t íc h p h â n
Đ e tìm hệ h à m trực c h u ẩ n là m cho ( 8 .1 .2 1 ) cực đ ạ i, ta sử d ụ n g
nhữ ng kết q u ả đ ã b iế t từ lý th u y ế t phương t r ìn h tíc h p h â n VỚ I n h â n
đối xứng m à c h ú n g ta sẽ liệ t kê dưới đ â y v à bỏ q u a v iệ c ch ứ n g m in h .
T r ìn h b ày c h i tiế t về lý th u y ế t n à y có th ể tìm th ấ y tro n g m ột s ố tà i
liệ u , v í d ụ như tro n g [66, 24].
X é t phương t r ìn h tích p h â n th u ầ n n h ấ t
b

= Ả(p{x),

(8.2.1)

a

trong đó h à m

K(x,s)

a<, X < b , a < s < b : X

là h à m h a i b iến thực ch o tro n g h ìn h chữ n h ậ t

là m ột sơ" nào đó; (p { x ) là h à m c ầ n tìm cho trê n

k h o ả n g \a,b\.
T a sẽ xem cá c h àm

K (x,s)

và ạ>(x ) giới nộ i và có m ột số hữ u

h ạ n đ iểm g iá n đ o ạ n , tạ i đó tích p h â n tro ng (8. 2 . 1 ) tồn tạ i.
H à m K ( x , s ) gọi là n h â n củ a phương t r ìn h tíc h p h â n . N ế u th oả
m ã n hệ thức

K(x,s) = K \ s , x ) ,

(8.2.2)

đối với n h â n thực, h o ặc tương đương với đ ẳ n g thứ c

K(x,s) = K(s,x),

(8.2.3)

th ì n h â n được gọi là đôi xứng.

227


C á c g iá tr ị c ủ a th a m số X , tạ i đó phương tr ìn h tích p h â n (8. 2 . 1 )
có n g h iệ m k h ô n g đồng n h ấ t b ằn g kh ô n g , được gọi là g iá tr ị riê n g củ a
n h â n K ( x , s ) h a y củ a phương t r ìn h (8. 2 . 1 ). N ế u x = x 0 là g iá tr ị
riê n g c ủ a phương t r ìn h (8. 2 . 1 ) v à n à y k h i X = x 0 , tức là
h

Jả:(x ,5 )

(8.2.4)

a

thì hàm (p0(x) được gọi là hàm riêng ứng vói giá trị riêng Ằ.Q của
n h â n K ( Jt, s ) h a y c ủ a phương t r ìn h tích p h â n .
C ó th ể c h ỉ ra r ằ n g tấ t cả các g iá tr ị r iê n g c ủ a n h â n đốì xứ ng là
n h ữ n g s ố thự c, v à tấ t cả các h à m riê n g c ũ n g có th ể coi là n h ữ n g
h à m thự c.
C á c h à m riê n g củ a n h â n đối xứng, ứng với n h ữ n g g iá tr ị riê n g
k h á c n h a u , trực giao với n h a u . C ó th ể là m cho các h à m riê n g trở
th à n h cá c h à m c h u ẩ n hoá.
T a q u y ưỏc liệ t kê d ã y các g iá tr ị riê n g theo thứ tự g iá tr ị tu y ệ t
đối g iả m d ầ n . N h ư v ậ y , nếu
X i , X 2 , . . . , Ấ n ,... (vói

| ^ | > | X 2| > . . . > | X n | > . . . )

(8 .2.5)

là d ã y cá c g iá tr ị riê n g c ủ a m ột n h â n đơì xứ ng n ào đó, th ì tương ứng
với d ã y n à y là hệ trự c giao các h à m riê n g

$?,(*),

(8.2.6)

T r o n g trường hợp n à y đ ịn h lý G ilb e r t -S m id t h k h ẳ n g đ ịn h rằ n g ,
có th ể b iể u d iễ n h à m f ( x ) b ấ t k ỳ q u a n h â n K ( x , s ) dưới d ạ n g
h
f{ x )= \K (x ,s)h (s)d s

,

(8.2.7)

ư

trong đó h ( s ) là m ột h à m giới nộ i nào đó có số hữ u h ạ n đ iể m g iá n
đ oạn v à k h a i triể n được th à n h ch u ỗ i F o u r ie r hộ i tụ tu y ệ t đôi và đểu
theo các h à m riê n g củ a n h â n . D o đó nếu v iế t c h u ỗ i F o u r ie r c ủ a h àm
h ( x ) theo các h à m riê n g (8.2.6) củ a n h â n K ( x , s ) dưởi d ạ n g
00

K x ) ~ Y ^ h k(pk ( x ) ,
**I

th ì h à m f ( x ) (8 .2 .7) được k h a i triể n th à n h c h u ỗ i

228

(8. 2 .8)


00

f(x) = £

(8.2.9)

Ả kh k
*=I
trong đó Ằ k là g iá trị riê n g , còn (Ọk (x) là h à m riê n g củ a n h â n K ( x , s ) .
G iả sử p ( x ) v à g (x ) là h a i h àm giới nội có s ố hữu h ạ n điểm
g iá n đoạn trê n k h o ả n g [a, b ]. L ậ p tích p h â n kép
h h

(8.2 . 10)

I ịK {x ,s)p {x )q {s)d x d s
a a

áp d ụ n g đ ịn h lý G ilb e r t -S m id t h , ta được
h
«
(8. 2 . 11 )

ị K { x . s ) q ( s ) d s = Y_i Ằ kq k(pk { x ) ,

*=|

u

trong đ ó q k là các hệ sơ F o u rie r củ a h à m

q(x)

k h i k h a i triể n th à n h

ch u ỗ i F o u rie r theo các hàm riê n g (8.2.6), v à ch uỗ i ở v ế p h ả i hội tụ đều.
N h â n h a i v ế củ a (8. 2. 11 ) vỏi p ( x ) , lấ y tích p h â n theo Jt và k ý
h iệ u

p k là nh ừ n g hệ số F o u rie r củ a h à m

p ( x ) k h i k h a i triể n nó

th à n h ch u ỗ i theo các h à m riê n g ( 8.2 . 6), ta n h ậ n được b iểu d iễ n củ a
tích p h â n (8. 2 . 10) dưới đây:
hh

00

ịịK(x,s)p{x)q(s)dxds = Y j Ẵkp kqk.

(8.2.12)

a a

Đ ặ c b iệt k h i p ( x ) = q ( x ) , ta được
ị ị K ( x , s ) p ( x ) p ( s ) d x d s = ^ J Ả kp ị .

(8 .2 .13 )

ư u

T a sè xét nh ữ n g tín h ch ấ t cực tr ị c ủ a các h à m riê n g củ a n h â n đối
xứng. K h i

sắ p xếp các giá trị riê n g theo thứ tự g iả m d ầ n củ a g iá trị

tu y ệ t đối củ a c h ú n g , theo (8 .2 .13 ) ta có
b b

ao

J JaT(jc, s)p(x)q(s)dxds < \Xị I£ p \ •

(8.2.14)

^

aa

T h e o phương tr ìn h kh é p k ín ( 8 .1 .1 1 ) ,
b

(X i

ị p 2{ x ) d x = Ỵ j p 2
k.
,

(8 .2 .15 )

*«1
2 29