D.l. KAZAKEVITS

VÀ HGDỤNG
0

Người dịch:

m

S à

Vởn Huởn
Nguyễn Thonh Sơn
Phan Vởn Tõn

Phạm

NHẢ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


Đ. I. KAZAKEVITS

Cơ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN
vn ỨNG DỤNG
TRONG KHÍ TƯỢNG THỦV VĂN
Người dịch:

Hiệu đính:

Phan Văn Tân
Phạm Văn Huân

Nguyễn Thanh Sơn
Nguyễn Văn Tuyên

NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


A. H. KA3 AKKBM1!

OCHOBbI TEOPMM
CJiyqAMHbIX (DYHICUHH
M EE ÍIPPMMEHEHHE
B r i l U ’OMI/IIOIM). l o r m i

I l U l ' O M i r i O l ’O.lO III'llC kO I H 3M TE.1l.C TBO
JirilllMIPA J -1971


L ờ i g iớ i t h i ệ u
Lý thuyết xác suất và thơng kê tốn học nói chung và lý thuvết
hàm ngẫu nhiên nói riêng là cơng cụ toán học quan trọng dược sử
dụng rất rộng rãi và hiệu quả trong các ngành khoa học khí tượng,
thủy văn và hải dương học.
Trong chương trình đào tạo chuyên ngành khí tượng, thủy văn
và hái dương học, việc ứng dụng các phương pháp thông kê và lý
thuyết các quá trình ngẫu nhiên có mặt trong nhiều mơn học và thế
hiện dưới những hình thức khác nhau. Tuy nhiên, cho đến nay ỏ nước
ta chưa có một tài liệu giảng dạy dùng chun cho ngành khí tượng
thủy văn, trong đó những cơ sỏ của lý thuyết xác suất thông kê tốn
học được trình bày đầy đủ, hệ thỗng nhưng dễ hiểu đơi với trình độ
tốn tương ứng của những sinh viên nhóm ngành này.

Cn “Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng trong khí
tướng thủy van” của Đ. I. Kazakevits, người đã từng giảng dạy toán
học cao cấp và lý thuyết xác suất thông kê nhiều năm tại Trường đại
học Khí tượng Thủy văn Lêningrat, tỏ ra đáp ứng tốt nhất những yêu
cầu trên đây. Ngoải ra, tác giả cn sách này cũng am hiếu và có cơng
tơng quan một sơ" cơng trình ứng dụng cơng cụ lý thuyết hàm ngẫu
nhiên trong nghiên cứu khí tượng, thủy văn, hải dương học; chỉ ra
trong những vấn để nào và khi nào thì các phương pháp này được áp
dụng sẽ hợp lý và hiệu quả, cũng như những đặc thù khi thao tác với
ốc tập dữ liệu khí tượng thủy văn trong khi tính tốn,... Như vậy
cn sách vừa có tính chất giáo khoa vừa là một chuyên khảo rất bố
ích khơng những cho sinh viên trong học tập mà còn là tài liệu tham
khảo cho nghiên cứu sinh và những người nghiên cứu. Hội đồng khoa
học Khoa Khí tượng Thủy văn và Hải dương học quyết định dịch
nguyên bản cuốn sách này làm giáo trình giảng dạy mơn học “Lý
thuyết các quá trình ngẫu nhiên” cho sinh viên bậc đại học các ngành
khí tượng, thủy văn và hải dương học trong Trường đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quổc gia Hà Nội.
Nội dung của cuốn sách liên quan nhiều đến những kiến thức
tốn ở trình độ cao, do đó bản dịch chắc chắn khơng tránh khỏi những
khiếm khuyết liên quan đến dịch thuật và in ấn. Chúng tôi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.
N h ùn g người dịch


Lời nói đầu
Trong hai chục năm gần đây ngưịi ta thấy rằng các cơng cụ tốn
học về lý thuyết hàm ngẫu nhiên được sử dụng rộng rãi trong khí tượng
học và thuỷ văn học. Cơ sỏ của điều này là ý tưởng xem xét các giá trị
tức thòi ghi được của các q trình và các trường khơng gian khí tượng

thuỷ văn như những thể hiện riêng biệt của một q trình ngẫu nhiên
hay một trường ngẫu nhiên nào đó. Cách tiếp cận như vậy cho phép
không cần xét những đặc điểm của các giá trị tức thòi riêng rẽ của
trường khí tượng thuỷ văn với mối phụ thuộc vào toạ độ khơng gian và
biến trình thịi gian rất phức tạp và không rõ nét và chuyện sang
nghiên cứu một sơ" tính chất trung bình của tập hợp thống kê các thể
hiện ứng với một tập các điều kiện bên ngồi cụ thể nào đó.
Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu các hiện tượng trong
khí tượng và thuỷ văn học có sử dụng cơng cụ lý thuyết hàm ngẫu
nhiên tỏ ra rất hiệu quả trong các lĩnh vực: lý thuyết rối, xây dựng
các phương pháp dự báo thời tiết hạn dài, phân tích khách quan các
trường khí tượng, đánh giá tính đại diện của số liệu quan trắc, độ
chính xác của các dụng cụ đo, giải quyết các vấn đề hợp lý hố sự
phân bơ" mạng lưới trạm khí tượng, xây dựng các phương pháp dự báo
dịng chảy sơng và các đặc trưng khí tượng thuỷ văn, cũng như trong
nhiều vấn đề khác.
Đóng góp to lớn vào hướng này là các cơng trình đặt nền móng của
A.N. Kolmogorov cũng như các kết quả nghiên cứu của A.M. Obukhov,
A.s. Monin, A.M. Iaglom, M.I. Iuđin, L.s. Ganđin, N.A. Bagrov, O.A.
Drozdov, E.p. Borisenkov, N.A. Kartvelishvili, I.M. Alekhin và các nhà
khoa học khí tượng thuỷ văn hàng đầu của nước ta (Liên Xô cũ - ND).
Từ đó dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất trong
các trường khí tượng thuỷ văn và đưa ra những khoá chuyên để vể cơ
sở lý thuyết các hàm ngẫu nhiên, và điều này được thực hiện lần đầu
tiên vào năm 1961 tại Trường Khí tượng Thuỷ văn Leningrat.
Cuốn sách này được viết trên cơ sở giáo trình về lý thuyết hàm
ngẫu nhiên mà tác giả đã giảng dạy trong nhiều năm cho sinh viên
chuyên ngành dự báo thời tiết bằng phương pháp sô' trị của Trường



Khí tượng Thuỷ vãn Leningrat, và là giáo trình học tập cho sinh viên
và nghiên cứu sinh các trường đại học khí tượng thuỷ văn và các khoa
tương ứng trong các trường đại học tổng hợp cũng như cho rộng rãi
các chuyên gia khí tượng thuỷ vàn. Cuốn sách cũng có thế được sử
dụng như là tài liệu học tập cho sinh viên và kỹ sư các chuyên ngành
khác quan tâm đến lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng của nó.
Lý do biên soạn một cuỏn sách như vậy xuất phát từ chỗ hiện nay
chưa có các tài liệu giáo khoa vê lý thuyết hàm ngẫu nhiên đáp ứng
một cách đầy đủ nhu cầu của các chuyên gia và sinh viên ngành khí
tượng thuỷ văn. Hơn nữa, sự thâm nhập ngày càng tăng của lý thuyết
ham ngẫu nhiên vào khí tượng học và th văn học địi hỏi các chun
gia khí tượng, thuỷ văn phải nhanh chóng và chủ dộng chiếm lĩnh nó.
Lý thuyết các hàm ngẫu nhiên, một bộ phận của lý thuyết xác
suất, đã phát triển nhanh chóng trong mấy thập niên gẩn đây và
được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều linh vực khoa học và kỹ
thuật. Trước hết phải kể đến các ửng dụng của lý thuyết hàm ngẫu
nhiên trong kỹ thuật vô tuvến, đặc biệt trong lý thuyết điểu khiển tự
đọng mà các nhu cầu của chúng, đến lượt mình, lại thúc đẩy sự phát
triển của chính lý thuyết này. Sự ứng dụng rộng rãi của lý thuyết
hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thuỷ văn muộn hơn một chút. Do đó
hiện nay có hai loại giáo trình về lý thuyết hàm ngẫu nhiên.
Tài liệu loại thứ nhất trình bày chặt chẽ lý thuyết quá trình xác
S i ấ t dựa trên nền tốn học ở trình độ cao (thí dụ như J. Dub "Các quá
trình xác suất", I. A. Rozanov "Các quá trình ngẫu nhiên dừng").
Những cuốn sách này dùng cho các chuyên gia vê tốn nên rất khó
dối vữi sinh viên các trường khí tượng thuỷ văn cũng như đối với các
tỷ sư chưa được trang bị toán học đầy đủ. Loại thứ hai là các chuyên
khảo và sách giáo khoa trong đó trình bày cơ sở lý thuyết hàm ngẫu
r.hiên tương ứng với nhu cầu của lý thuyết điểu khiển tự động và kỹ
thuật vô tuyến. Việc sử dụng các sách loại này đơi với các chun gia

khí tượng thuỷ văn bị khó khăn vì trong đó lý thuyết hàm ngẫu nhiên
\à các phương pháp của lý thuyết điều khiển tự động hay kỷ thuật vơ
tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt ra được. Ngoài ra, ở đây chưa
phản ánh được những khía cạnh hết sức quan trọng khi ứng dụng lý
thuyết này vào khí tượng thuỷ văn học.
Cuốn sách này nhằm hướng tới những độc giả có kiên thức tốn
dược trang bị ở mức giáo trình tốn cao cấp dành các trường đại học
(huyên ngành khí tượng thuỷ văn. Trong khi trình bày, nêu buộc
)hải dùng đến những phương pháp và khái niệm ít quen thuộc, thì


chúng sẽ được diễn giải một cách ngắn gọn (ví dụ, một sơ dẫn liệu từ
lý thuyết các phương trình tích phân, một vài khái niệm của đại sơ
tuyến tính, hàm delta v.v...).
Vì một sơ chun gia khí tượng thuỷ văn chưa có đủ kiên thức vê
lý thuyết xác suất nên trong chương 1 sẽ khái quát những kiến thức
cơ bản của lý thuyết xác suắt mà sau này dùng đến khi trình bày lý
thuyết hàm ngẫu nhiên. Việc trình bày chi tiết các vấn đề nàv đã có
trong các sách giáo khoa vể lý thuyết xác suất, chẳng hạn trong cuốn
giáo trình nổi tiếng của E.s. Ventxel [4]. Độc giả nào đã quen với lý
thuyết xác suất có thể bỏ qua chương này.
Nội dung trình bày trong sách khơng nhằm bao quát đầy đủ lý
thuyết hàm ngẫu nhiên, mà chủ yếu chỉ xét những khía cạnh nào của
lý thuyết có ứng dụng rộng rãi trong khí tượng thuỷ văn học. Ngồi
ra, tác giả chủ yếu tập trung trình bày sao cho đơn giản và dễ hiểu,
khơng bị gị bó bởi yêu cầu về sự chặt chẽ toàn diện về mặt toán học.
Cuốn sách gồm hai phần. Phần thứ nhất trình bày cơ sở lý
thuyết hàm ngẫu nhiên, trong đó bên cạnh việc xét các quá trình
ngẫu nhiên một chiều, đã chú ý nhiều đến các trường ngẫu nhiên
không gian. Phần thứ hai xét một sơ' bài tốn khí tượng, thuỷ văn

được giải bằng các phương pháp của lý thuyết hàm ngẫu nhiên. Tuy
nhiên hồn tồn khơng đặt ra mục tiêu tổng quan hệ thơng tất cả
những cơng trình nghiên cứu giải đã quyết các bài tốn khí tượng
thuỷ văn bằng phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên. Những tổng
quan như vậy vể ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng
thuỷ văn có thể tìm thấy trong nhiều cơng trình của các tác giả trong
và ngồi nước [5, 18, 20, 14, 45, 9, 57...].
Trong cuôn sách này chỉ lựa chọn một sơ bài tốn khí tượng và
thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ sự ứng dụng các phương
pháp cơ bản của lý thuyết hàm ngẫu nhiên đã trình bày trong phần
đầu của cuốn sách. Và ỏ đây tập trung chủ yếu vào các vấn để
phương pháp luận.
Tác giả hy vọng cuốn sách sẽ giúp đông đảo các nhà khí tượng
thuỷ văn lĩnh hội những ý tưởng và phương pháp cơ bản của lý thuyết
các hàm ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tiễn của khí tượng
thủy văn học.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới N.A. Bagrov, O.A. Drozdov và
M.I. Iuđin, những người đã có những góp ý quý giá về nội dung và cảu
trúc cuốn sách. Tác giả đặc biệt cám ơn L.s. Ganđin đã đọc toàn văn
bản thảo và nêu ra nhiều nhận xét giúp tác giả lưu ý khi chuẩn bị
xuất bản.


phải đùng đến những phương pháp và khái niệm ít quen thuộc, thi
chúng sẽ được diễn giải một cách ngắn gọn (ví dụ, một sơ dẫn liệu từ
lý thuvết các phương trình tích phân, một vài khái niệm của đại sơ
tuyến tính, hàm delta v.v...).

Vì một sơ chun gia khí tượng thuỷ vàn chưa có đủ kiến thức vê
lý thuyết xác suất nên trong chương 1 sẽ khái quát những kiến thức

co bản của lý thuyết xác suất mà sau này dùng đến khi trình bày lý
t h u y ế t hàm ngẫu nhiên. Việc trình bày chi tiết các vấn đẻ này đã có
trong các sách giáo khoa về lý thuyết xác suất, chẳng hạn trong cn
giio trình nổi tiếng của E.s. Ventxel [4]. Độc giả nào đã quen với lý
thuyết xác suất có thể bỏ qua chương này.
Nội dung trình bày trong sách khơng nhằm bao qt đầy đủ lý
thuyết hàm ngẫu nhiên, mà chủ yếu chỉ xét những khía cạnh nào của
1> thuyết có ứng dụng rộng rãi trong khí tượng thuỷ văn học. Ngồi
lí., tác giả chủ yếu tập trung trình bày sao cho đơn giản và dễ hiểu,
khơng bị gị bó bởi u cầu vê sự chặt chẽ tồn diện vê mặt tốn học.
Cuốn sách gồm hai phần. Phần thứ nhất trình bày cơ sở lý
thuyết hàm ngẫu nhiên, trong đó bên cạnh việc xét các quá trình
n*ầu nhiên một chiểu, đã chú ý nhiều đến các trường ngẫu nhiên
kiỏng gian. Phần thứ hai xét một sơ bài tốn khí tượng, thuỷ văn
điỢ c g iả i b ằ n g cá c p h ư ơ n g p h á p c ủ a lý t h u y ế t h à m n g ẫ u n h iê n . T u y

nhiên hồn tồn khơng đặt ra mục tiêu tơng quan hệ thơYig tất cả
những cơng trình nghiên cứu giải đã quyết các bài tốn khí tượng
thuỷ văn bằng phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên. Những tổng
qjan như vậv vê ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng
tnuỷ văn có thê tìm thấy trong nhiều cơng trình của các tác giả trong
và ngồi nước [5, 18, 20, 14, 45, 9, 57...].
Trong cuốn sách này chỉ lựa chọn một số bài tốn khí tượng và
t.iuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ sự ứng dụng các phương
pháp cơ bán của lý thuyết hàm ngẫu nhiên đã trình bày trong phần
dầu của cu ơn sách. Và ỏ đây tập trung chủ yếu vào các vấn đề
Ị h ươ ng p h á p l u ậ n .

Tác giả hy vọng cuôn sách sẽ giúp dông đảo các nhà khí tượng
thuỷ văn lình hội những ý tưởng và phương pháp cơ bản của lý thuyêt

các hàm ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tiễn của khí tượng
thủy văn học.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới N.A. Bagrov, O.A. Drozdov và
M.I. Iuđin, nhừng người đã có những góp ý quý giá về nội dung và cấu
trúc cuốn sách. Tác giả đặc biệt cám ơn L.s. Ganđin đã đọc toàn văn
tản thảo và nêu ra nhiều nhận xét giúp tác giả lưu ý khi chuẩn bị
:uất bân.
vii


MỤC
LUC
a
■
Lời giói th iệ u ...................................................................................................... iii

íiời nói đầu

.......................................................................................... V

Phần I. Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên

Chương 1. Một sô khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.......................1
1.1 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân bô....................................... 1
1.2. Các đặc trưng sô của đại lượng ngẫu nhiên...............................6
1.3. Luật phân bô Poatxông.................. .......................................... 10
1.4. Luật phân bố đều............................... ........................................11
1.5. Luật phân ho’chuẩn ...................................................................13
1.6. Luật phân bô Rơle và Măcxoen............................................... 17
1.7. Hệ các đại lượng ngẫu nhiên và luật phân bô của chúng......20

1.8. Các đặc trưng sô" của hệ các đại lượng ngẫu nhiên.................. 27
1.9. Các định lý về đặc trưng số....................................................... 30
1.10. Luật phân bô chuẩn của hệ các đại lượng ngẫu nhiên........33
1.11. Luật phân bô của hàm các đôi sô ngẫu nhiên........................38
1.12. Hàm đặc trưng.........................................................................45
Chương 2. Hàm ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng........................ 51
2.1. Định nghĩa hàm ngẫu nhiên..................................................... 51
2.2. Các qui luật phân bơ q trình nhẫu nhiên.............................53
2.3. Các dặc trưng của quá trình ngẫu nhiên..................................55
2.4. Hệ các quá trình ngẫu nhiên. Hàm tương quan quan hệ......60
2.5. Q trình ngẫu nhiên dừng...................................................... 64
2.6. Tính egodic của quá trình ngẫu nhiên dừng............................ 71
2.7. Hàm cấu trú c .............................................................................74
2.8. Giới hạn của quá trình ngẫu nhiên.......................................... 76
2.9. Đạo hàm của hàm ngẫu nhiên................................................. 77
2.10. Tích phân của hàm ngẫu nhiên.............................................. 83


2.11.
2.12.
2.13.
2.14.

Các hàm ngẫu nhiên phức....................................................85
Trường ngẫu nhiên và các đặc trứng của nó..........................88
Trường ngẫu nhiên đồng nhất và đẳng hướng....................... 91
Trường véctơ ngẫu nhiên........................................................95

Chương 3. Phân tích điều hịa q trình ngẫu nhiên dừng và trường
ngẫu nhiên đồng nhất........................................................... 99

3.1. Các q trình dừng có phơ rời rạc......................................... 101
3.2. Các q trình dừng có phổ liên tục....................................... 105
3.3. Phân tích điều hoà trường ngẫu nhiên đồng nhất................ 117
Chương 4. Biến đổi tuyến tính q trình ngẫu nhiên dừng...................123
4.1. Biến đối hàm ngẫu nhiên bằng tốn tử tuyến tín h .............. 123
4.2. Biến đối tuyến tính dưới dạng phơ........................................ 126
4.3 Mật độ phố của phép biến đơi tuyến tính q trình
ngẫu nhiên dừng..................................................................... 130
4.4. Nghiệm dừng của phương trình vi phản tuyến tính
có hệ sơ" hằng sơ"..................................................................... 132
Chương 5. Nội ngoại suy và làm trơn hàm ngẫu nhiên........................ 141
5.1. Đặt bài to án ............................................................................. 141
5.2. Nội, ngoại suy tuyến tính tơi ưu và làm trơn hàm
ngẫu nhiên cho trên một sô điểm hữu h ạ n ............................145
5.3. Ngoại suy tuyến tính tối ưu và làm trơn quá trình
ngẫu nhiên cho trên khoảng vơ h ạ n .......................................151
5.4. Làm trơn q trình ngẫu nhiên cho trên khoảng
vô h ạ n (-oo,+oo).............................................................................................. 157

5.5. Ngoại suy và làm trơn hàm ngẫu nhiên cho trên khoảng
(-00,t) nhờ sử dụng phương pháp của lý thuyết

hàm biến phức....................................................................... 159
5.6. Ngoại suy và làm trơn quá trình ngẫu nhiên khi
biểu diễn hàm tương quan dưới dạng tổng các hàm m ũ ..... 173
Chương 6. Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiêntheo số liệu
thực nghiệm......................................................................... 181
6.1 Các đặc trưng thống kê của hàm ngẫu nhiên...................... 181
6.2 Các đặc trưng thống kê của các hàm ngẫu nhiên
có tính Egođic.......................................................................... 184

X


6.3 Độ chính xác xác định các đặc trưng thơng kê của hàm ngẫu
nhiên...................................................................................... 188
Phần 2. Một sỏ bài toán khí tương và thuỷ văn giải bằng các
phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên
Chương 7. Nghiên cứu cấu trúc thống kê của các trường klú tượng.... 205
7.1 Nhận xét chung vê cấu trúc các trường khí tượng......................205
7.2 Cấu trúc thơng kê của trường địa thế vị..................................209
7.3. Cấu trúc thông kê của trường nhiệt độ khơng khí....................... 213
7.4 Cấu trúc thơng kê trường gió....................................................216
7.5 Cấu trúc thống kê của trường độ cao thảm tuyết vàsự
tơi ưu hố cơng tác quan trắc thảm tuyết............................. 218
Giương 8. Khai triển quá trình ngẫu nhiên và trường ngẫu nhiên thành
các thành phần trực giao tự nhiên..............................!...... 223
8.1 Thiết lập bài tốn................................................................... 223
8.2 Một sơ kiến thức vê lý thuyết phương trình tíchphân.............227
8.3 Tìm các thành phần trực giao tự nhiên................................... 231
8.4 Biểu diễn các trường khí tượng dưới dạng
tống các thành phần trực giao tự nhiên.................................243
( hương 9. Những ví dụ ngoại suy tuyến tính tối ưu
các q trình khí tượng thủy văn.........................................247
9.1 Ngoại suy tối ưu dịng chảy sơng theo phương pháp I. M.
Alekhin....................................................................................247
9.2 Phân tích phổ và ngoại suy chỉ số hồn lưu vĩ hướng .........252
(hương 10. Một sô vấn đê mô tả trường tóc độ gió................................ 261
10.1 Hàm tương quan của tốc độ gió..............................................261
10.2 Khuếch tán rối........................................................................267
( hương 11. Tính mật độ phơ q trình ngẫu nhiên dừng.

Phố sóng biển...................................................................... 273
11.1 Xác định mật độ phô theo số liệu thực nghiệm..................... 273
11.2 Phân tích phơ sóng biển......................................................... 280
Mài liệu tham khảo............................................................................... 285


PHẦN 1 - C ơ SỞ LÝ THUYẾT HÀM
NGẪU NHIÊN

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM cơ BẢN
CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
•

m

1.1 Đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n v à lu ậ t p h â n b ô
Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà khi tiến hành một loạt
phép thử trong cùng một điều kiện như nhau có thể mỗi lần nhận
được giá trị này hoặc giá trị khác hoàn toàn không biết trước được.
Người ta chia đại lượng ngẫu nhiên thành hai dạng là đại lượng
ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc là đại lượng ngẫu nhiên mà mọi giá trị có thê của nó có
thể liệt kê ra được, tức là có thê đánh số’thứ tự bằng tập sơ tự nhiên.
NgƯỢ£ lại, đại lượng ngẫu nhiên liên tục là đại lượng ngẫu nhiên mà
mọi giá trị có thể của nó phủ đầy một đoạn của trục sơ", và do dó
khơng thể đánh số được.
Ví dụ về đại lượng ngẫu nhiên rịi rạc là sơ điểm khi gieo con xúc
xắc. Đại lượng ngẫu nhiên này với mỗi lần thí nghiệm có thế nhận

một trong sáu giá trị: 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6.
Đại lượng ngẫu nhiên sẽ được xem là rời rạc nếu nó chỉ có thể
nhận hoặc giá trị nguyên, hoặc giá trị hữu tỷ. Khi đó tập các giá trị có
thể của đại lượng ngẫu nhiên là vơ hạn.
Đại lượng ngẳu nhiên liên tục là đại lượng ngẫu nhiên mà trong
kết quả thí nghiệm có thể nhận bất kỳ giá trị sô thực nào trên một
khoảng hoặc một vài khống nào đó. Ví dụ nhiệt độ khơng khí, áp
1


s u ấ t k h ô n g k h í ho ặ c độ lệch c ủ a c h ú n g so với t r u n g b ì n h c h u ẩ n n h i ê u

năm, các thành phần của vectơ vận tốc gió có thể coi là đại lượng ngẫu
nhiên liên tục.
Sai sơ của các dụng cụ đo có thể xem là đại lượng ngầu nhiên.
Thông thường, các sai sô này sẽ là đại lượng ngẫu nhiên dạng liên tục.
Ta qui ước ký hiệu các đại lương ngẫu nhiên bằng các chữ hoa: A, B,
c , x , y... cịn các giá trị có thể của chúng là các chữ in thường tương
ứng: a, b, c, x,y...
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận các giá trị xIf
xn với xác su ấ tp 7, p2>...} p n.
Khi đã liệt kê được mọi giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có thể có
và cho trước xác suất mà mỗi giá trị của nó nhận, ta hồn tồn xác
định được đại lượng ngẫu nhiên đó.
Hệ thức xác lập mối liên hệ giữa các giá trị có thể của đại lượng
ngẫu nhiên và xác suất tương ứng của chúng gọi là luật phân bo> của
đại lượng ngẫu nhiên.
Đối với đại lượng ngẫu nhiên rịi rạc, luật phân bơ' có thê cho dưới
dạng bảng mà một hàng là các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu
nhiên


Xị,

và một hàng khác là xác su ấ t tương ứng p

X,
Pl

x2

*3

Pỉ

P;t

r

Xn

...

p

n

Khi đó sơ" lượng các giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên có thể
là hữu hạn hoặc vơ hạn, còn tổng các xác suất ỏ hàng thứ hai của
bảng, giống như tổng các xác suất của nhóm đầy đủ các sự kiện xung
khắc, bằng 1.

5 > , = |.
Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục không thể lập bảng tương
tự như vậy, vì khơng thể liệt kê được các giá trị của nó. Ngồi ra, như
chúng ta có thế thấy sau này, xác suất để cho đại lượng ngẫu nhiên
liên tục nhận một giá trị cụ thể bằng khơng, mặc dù khi đó xác suất
mà nó nhận một giá trị bất kỳ trong khống vơ cùng bé xung quanh
giá trị đó khác khơng.
Đê đặc trưng đầy đủ cho đại lượng ngẫu nhiên, cả loại rời rạc lẫn
loại liên tục, người ta sử dụng luật phân bơ tích phân, cùng cịn gọi là
hàm phân bơ.
2


Luật phân bơ tích phân F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X được
định nghĩa là xác s u ấ t đê cho đại lượng ngẫu n h i ê ư X n h ậ n giá trị nhỏ

hơn một sốX nào đó:
F(x) = p ( X
(1.1.1)

ở đây P(X < X ) là ký hiệu xác suất của sự kiện x< X.
Nếu xem đại lượng ngím nhiên X như là vị trí
của điểmtrên trục
sơ", thì giá trị của hàmF(x) có nghĩa là xác s u ấ t để điểm này nằm bên
trái điểm X. Sự lý giải hình học như vậy làm rõ các tính chất sau đây
của hàm phân bô:
1) F(x) là h à m k h ô n g g iả m th e o đ ổ i sô", n g h ĩa là vớ i x 2 > Xị th ì

F( x 2) > F( x ị );

2) F(-oc) = 0 là xác suất của sự kiện bất khả;
3) F(+oc) = 1 là xác suất của sự kiện tất yếu.
Đơì với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, giá trị hàm phân bô F(x) là
t ổ n g xác s u ấ t Pị c ủ a mọi giá trị có t h ể x t n h ỏ hơn X, tức là:

F ( x ) = ỵ P ( X =x,).

(1.1.2)

X,
Từ đó thấy rằng, đổ thị hàm phân bố của đại lượng ngẫu nhiên
rời rạc là đường bậc thang có các điểm gián đoạn tại xh và giá trị đột
biến ỏ các điểm đó bằng pi = P(X= Xi).
Trên hình 1.1 biểu diễn đồ thị hàm phân bô" đại lượng ngẫu nhiên
là số điểm xuất hiện khi gieo con xúc xắc. Trong trường hợp này mỗi
một giá trị trong sô" các giá trị từ 1 đến 6 tương ứng với cùng xác suất
p= 1/6.
Đồ thị hàm phân bố của đại lượng ngẫu nhiên liên tục mà các giá
trị có thể của nó lâp đầy một khoảng [(a,b] nào đó thường là một đường
cong liên tục tăng từ 0 đến 1 (hình 1.2).
Fị z)

t
5/5
3/6

2/6

t/6

0
Hỉnh 1.1

Hỉnh 1.2

Tuy nhiên, có thể đưa ra những ví dụ vê đại lượng ngẫu nhiên
nà giá trị có thế của nó lấp đầy hồn tồn một khoảng nào đó, nhưng
3


đồ thị hàm phân bơ lại có điểm gián đoạn. Đại lượng ììgẫu nhiên như
vậy gọi là đại lượng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp. Dại lượng ngẫu nhiên
dạng hỗn hợp trên thực tế hiếm khi gặp.
Sau này ta sẽ gọi đại lượng ngẫu nhiên mà hàm phân bố của nó
liên tục và khả vi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
Khi đã biêt hàm phân bơ có thê xác định được xác suảt để dại
lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trong khoảng cho trước.
Ta hãy xác định xác suất P(a ngẫu nhiên X nhận giá trị lớn hơn hoặc bàng a và nhỏ hơn b.
Xác suất pợchơn

b

có thể coi như tổng xác s u ấ t của hai sự kiện xung khắc

P ( X < 6) = P ( X

(1.1.3)

P(a < x < b ) = p ( x < b ) - P ( x < a ) = F(6) -F(a)

(1.1.4)

Từ đó:
Như vậy, xác suất mà đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trong
khoảng cho trước, hoặc như người ta thường nói là xác suất mà đại
lượng ngẫu nhiên rơi vào khoảng cho trước, bằng số gia của hàm phân
bố trên khoảng đó.
Bây giị ta xét đại lượng ngẫu nhiên liên tục X và thu hẹp
khoảng, cho b tiến đến a. Khi đó, do tính liên tục của hàm phân bố,
F(b) sẽ tiến đến F(a). Như vậy, khi lấy giới hạn đẳng thức (1.1.4), vế
trái cho xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị a, còn vê phải
dần đến 0. Rõ ràng, đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục, xác suất
nhận một giá trị cụ thể bất kỳ nào đó bàng 0.
Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục có thể viết cơng thức (1.1.4)
để tính xác suất rơi vào một khoảng của đại lượng ngẫu nhiên dưới
dạng
P(a < X < b) = F(a) - F(b).
(1.1.5)
Đối vởi đại lượng ngẫu nhiên liên tục, hàm phân bố của nó liên
tục và khả vi nên có thể sử dụng đạo hàm của hàm phânbố với tư
cách là luật phân bô", được ký hiệu bằng f(x)
f ( x ) = F ' ( x ) = lim —

Ar-*o

+"— -

Ar

(1.1.6)

và gọi được là luật phân bô vi phân hay mật độ phân bô.
Mật độ phân bố là đạo hàm của hàm khônggiảm của F(x) nên nó
là h à m k hơng âm , tức là f (x) > 0 với mọi X.

4


Biểu diễn hàm phân bố F(x) qua mật độ phân bố f(x) rồi lấy tích
phân đảng thức (1.1.6) trong khoảng từ -oơđếnx, ta nhận được
ịf{x)dx= F(x) - F ( - oo).

(1.1.7)

-00

Vì F(-oc) = ơ, nên:
F(x)= X
ị f(x)dx.

(1.1.8)

—
00

Từ các cơng thức (1.1.6) và (1.1.8) ta thấy rằng hàm phân bô và

mật độ phân bô biểu diễn được qua nhau và do đó đơi với đại lượng
ngẫu nhiên liên tục chỉ cần một trong hai hàm phân bô" hoặc hàm mật
độ là đủ để đặc trưng cho nó.
Ta hãy biểu diễn xác suất rơi vào khọảng cho trước (a,b) của đại
lượng ngẫu nhiên qua mật độ phân bố.
Sử dụng (1.1.5)và (1.1.8), ta được:
b

P(a < X < b) = F(b) - F(a)

a

b

= ị f ( x ) d x - I f(x)dx = ịf(x)dx. (1.1.9)
-GO

-CO

a

Từ đó thấy rằng, xác suất rơi trong khoảng (a,b) cho trước của
đại lượng ngẫu nhiên bằng diện tích hình thang cong giới hạn bơi đồ
thị hàm f(x) (được gọi là đưòng cong phân bổ), trục ox và các đường
thẳng

X

=

a, X

=

b

(hình 1.3).

Giả sử trong (1.1.9) đặt a = - ao và 6 = +a>, ta nhận được:
P ( - 0 0 < X < +oo) = 1 = ịf(x)dx

(1.1.10)

-0 0

tức là tổng diện tích nằm dưới đường cong phân bơ' bằng 1.
Để tích phân xác định trong (1.1.10) hội tụ, điều kiện cần là
lim f(x) = 0 vàlim f(x) = 0, có nghía là trong trưịng hợp đại lượng
>-co

x—
>+ao

ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị trong khoảng vơ hạn thì trục ox
phải là tiệm cận của đường cong phân bô" về cả hai hướng.
dx k ế c ậ n n ó (x e m
lình 1.3). Đại lượng f(x)dx gọi là xác suất phần tử, với độ chính xác
iến vơ cùng bé bậc cao hơn, nó xác định xác suất rơi của đại lượng
ìgẫu nhiên trên đoạn phần tử đó.
T a lấ y m ộ t đ iể m X t u ỳ ý v à m ộ t đ o ạ n p h ầ n tử

1.2. C á c đ ặ c t r ư n g s ô c ủ a đ ạ i

lượng n g ẫ u n h iê n

Luật phân boTcủa đại lượng ngẫu nhiên là đặc trưng đầy đủ nhất
của nó. Tuy nhiên, khơng phải ỉúc nào cũng có thể xác định được luật
phân bơ", thơng thưịng người ta chỉ sử dụng một sô đặc trưng sô biểu
thị những nét cơ bản của đưịng cong phân bơ' của đại lượng ngẫu
nhiên. Đó là các mơmen phân bơ' với bậc khác nhau.
Mômen gốc bậc k của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X là mk[X\ có
dạng tổng:
mk [ ^ ] =' Z4pi
(1-2.1)
/
với xt là các giá trị có thế của đại lượng ngẫu nhiên, còn p t là xác suất
tương ứng của chúng.
Đối vối đại lượng ngẫu nhiên liên tục, phép lấy tổng theo các giá
trị ròi rạc Xị được thay bằng phép lấy tích phân theo tồn bộ các giá trị
c ủ a đ ố i s ố liê n tụ c X. K h i đó x á c s u ấ t p t được th a y b ằ n g x á c s u ấ t p h ầ n

tử f(x)dx.
Như vậy, đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục:
m * [ x ] = ị x hf(x)dx.

(1.2.2)

—
00

Mômen gốc bậc nhất /W|[a'] là kỳ vọng toán học của đại lượng
ngẫu nhiên X và được ký hiệu là M[x] hoặc mx.
Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:
M [ X ] = ỵ XlPl.

(1 .2 .3 )

i

Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục:
M [ x ] = Ịxf(x)dx.

(1.2.4)

-co

Mơmen gốc bậc k là kỳ vọng tốn học của đại lượng ngẫu nhiên
luỹ thừa k , tức là:


ỉ)ộ lệch củ a đ ại lượng ngẫu n h iê n X khỏi k ỳ vọng toán học c ủ a nó
tì

dược gọi là d ạ i lượng ngẫu n h iê n qui tâm và k ý hiệu bởi X
( 1. 2 . 6 )

X = X -/H ..

M ỏ m e n tr u n g tâm bậc k củ a dại lượng n g ẫ u n h iê n X là HtịAH, là

m ô m e n gố c bậc k c ủ a đ ại lường n g ẫu n h iê n q u i tâm :
ftk [ x ] = m t

rX°

r«

M

- Mị X

(1 .2 .7 )

( X - m xỴ

M ôm en tr u n g tâ m bậc h là k ỳ vọng toán học c ủ a đ ạ i lượng ngẫu
n h iê n qui tâ m lu ỹ thừa k.
Đ ối với đ ại lượng ngẫu n h iê n ròi rạc:
( 1 . 2 .8)

M [ X ] = ỵ ( x , - m x )k p r

Đ ôi với đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n liên tục:
00
(1 .2 .9 )

J ( x - )*/■(*)<£*.
—ao

M ô m e n t r u n g tâm bậc n h ấ t luôn luôn b ằ n g không. T h ậ t v ậ y , đôi

với đại lượng n g ẫ u n h iê n liên tục:
co

Ml [•X’] = M [ x - m x J = j ( x - m x ) f ( x ) d x =
-cc
00

co

= I x f (x)dx - m x j f{x)d x - m x - m x =
-00

0.

-00

Đối với đại lượng ngẫu n h iê n rời rạc:
~ m x ) P i = ỵ , x , p . - m x Y Jp , = m x ~ m x

I

I

=0.

I

C á c m ô m en g ốc là các m ôm en củ a dường cong p h â n bô so với trục
tung. M ô m e n tr u n g tâ m là m ôm en củ a đường cong p h ầ n bô so với trụ c
đi qua trọng t â m củ a dường cong đó.

M ơ m en t r u n g tâm bậc h a i được gọi là phương sai c ủ a đ ạ i lượng
ngẫu n h iê n và k ý hiệ u là D [ X ] h a y D x.

Dx = ^ [ X ] = M \ { X - m xf

( 1 .2 . 10)

Phương s a i là k ỳ vọng toán học c ủ a b ìn h phương độ lệch c ủ a đ ạ i
lượng n g ẫ u n h iê n kh ỏ i k ỳ vọng toán học củ a nó.


Đ ố i với đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n rời rạc:
(1 .2.1 1)

i

Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục:
D [x ]=

( 1 . 2 . 12)

ị ( x - m x )2f ( x ) d x .
—
00

Phương sa i c ủ a đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n đặc trư ng cho sự p h â n tán ,
tả n m ạ n c ủ a đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n x u n g q u a n h k ỳ v ọ n g to á n học.

Phương s a i có thứ n g u y ê n là b ìn h phương thứ n g u y ê n c ủ a đ ạ i lượng
n g ẫ u n h iê n . Đ e có được đặc trư ng p h â n tá n c ù n g thứ n g u y ê n với đại

lư ợ n g n g ẫ u n h iê n n g ư ò i ta sử d ụ n g độ lệ c h b ìn h p h ư ơ n g t r u n g b ìn h ,

bằng căn bậc hai của phương sai và được ký hiệu là ơ[x]

0*

hoặc ơ*

= VÃT-

M ô m e n tr u n g tâ m bậc ba d ù n g để đặc trư ng cho tín h b ấ t đối
xứng c ủ a p h â n bô". N ế u đường cong p h â n bô' là đối xứng d ố i với k ỳ
vọng tốn học th ì mọi m ơ m en trư ng tâm bậc lẻ b ằ n g không. T h ự c v ậ y ,
v í d ụ đối với đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n liên tục, từ (1.2 .9 ) ta có:
00
thk* \\x\-

\ { x - m x Ý k^ f { x ) d x .
—ao

T h a y b iế n y = X - m x tr o n g tíc h p h â n , k h i đó:

00

0

00

/ i 2*+i[ - x ’] = Ị y f ( y + f n x )dy = Ị y f ( y + m x ỵ t y + Ị y f ( y + m x )dy.
—co

0

-0 0

T r o n g tích p h â n đ ầ u tiên, k h i th a y y = -z , ta được:
ao

00

A f i A - i i X H - J V i ' n * - z ) d z + ị y f { y + m x )dy
0
co

0
ao

= - j' x f ( m x - X )dx + ị x f (x + m x )dx =

0

0

0

v ì h à m f(x) đ ố i x ứ n g đ ổ ì v ớ i m x:

f(m x + x )

= f(m x - x ) .

Đ ể đặc trư ng cho tín h bất đơi xứng, người ta chọn một m ôm en
đ ầ u tiê n t r o n g sô n h ữ n g m ô m e n t r u n g tâ m b ậ c lẻ k h á c k h ô n g , tứ c là

8


//,. N g o à i ra, đế c ó một (tại lương vơ thứ ngun dặc trứng cho tính bất
(lỏi xứ ng củ a p h â n bô, người ta cỉùng đại lượng:

ơ

(1.2 .13 )

3 ’

gọi là hệ sô bất dôi xứng.
M ô m en t r u n g tâm bậc bôn đặc trừng cho sự nhọn củ a đ ỉn h , sự
(lỏ( đứ ng củ a đường cong p h ân bỏ, đặc trưng đó gọi là độ nhọn và được
xác đ ịn h theo công thức:
£ = H l-3 .

( 1 .2 .1 4 )

ơ

Đ ô i với loại p h â n bô thường gặp là p h ân bô c h u ẩ n , như sẽ th ấ y
trong m ục 1.5 , |ij/a .j= 3, có n g h ĩa là E = 0.
Đ ỏ i với các dường cong p h â n bỏ nhọn hơn đường cong p h â n bơ
c h u ẩ n thì E > 0 ] cịn tù hơn thì E < 0 (h ìn h 1.4).

f(x)
ị

Hinh 1.4

G iữ a m ơ m e n gốc v à m ôm en tru n g tâm có q u a n hệ sau :
M-2 = m 2 |i3=

,

- ìniịtrh + 2 m \ ,

|i4 = ni4- 4m3W| + 6 m 2nĩ\ - ĩntị .
B iể u thức thứ n h ấ t th u ậ n

(1.2.15)

tiện cho việc tín h phương sa i, các biểu

thức thứ h a i v à ba t h u ậ n tiện k h i tín h độ b ất đối xứng v à độ nhọn c ủ a
p i â n bố.
C h ẳ n g h ạ n , ta sẽ chứ ng m in h đ ẳn g thức thứ n h ấ t trong ( 1 . 2 . 1 5 )
dVi với dại lượng n g ẫu n h iê n liên tục:
+CO

//.2 =

ao

I ( x - m x Ý f ( x ) d x = ị x 2f ( x ) d x -0 0

-ao

ao

2m x

I xf{x)dx +

-ao

9


+rri2
x J f ( x ) d x = m 9- 2 m ị + m ị - m 2

mf\

—
00

T a h ã y xét các lu ậ t p h â n bô và các đ ặ c trư ng sô củ a ch ú n g
th ư ờ n g g ặ p n h ấ t tr o n g th ự c tế .

1.3. L u ậ t p h â n b ố P o a t x ô n g
M ộ t trong nh ữ n g l.uật p h â n bố phô biến n h ấ t c ủ a đ ạ i lượng ngẫu
n h iê n rời rạ c là lu ậ t p h â n bô' Poatxông.
V ề phương d iệ n tốn học, lu ậ t Poatxơng được biểu d iễn bởi:

m

P ( X = m ) = e-a 2 - ,
m\

(1.3 .1)

ỏ đ ây P ( X = m ) là xác s u ấ t m à đại lượng n g ẫ u n h iê n X n h ậ n giá trị
b ằ n g sô" n g u y ê n m . C ó thê d iễn giải vể đại lượng n g ẫu n h iê n X tu â n
theo lu ậ t p h â n bô" P o a tx ô n g như sau:
G i ả sử theo thời g ia n , một sự kiện A nào đó x ả y ra n h iê u lầ n . T a
sẽ x e m số lầ n x u ấ t h iệ n sự k iệ n n à y tr o n g s u ố t k h o ả n g th ờ i g ia n ch o

trước [t0ỉ t0+T] như là một đại lượng ngẫu nhiên.
Đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n n à y sẽ tu â n theo lu ậ t p h â n bố P o a txô n g
k h i các đ iều k iệ n sa u đ â y được thực hiện:
1. X á c s u ấ t rơ i c ủ a sô" sự k iệ n ch o trư ớ c v à o k h o ả n g th ờ i g ia n
đ a n g x é t p h ụ th u ộ c v à o s ố sự k iệ n v à độ d à i c ủ a k h o ả n g th ờ i g ia n T,

nh ư n g k h ô n g p h ụ th uộ c vào điểm đ ầu tu củ a nó. D iề u đó có n g h ĩa là
các sự k iệ n p h â n bô" th e o th ò i g ia n v ố i m ậ t độ t r u n g b ìn h n h ư n h a u ,
tứ c là k ỳ v ọ n g to á n h ọ c c ủ a sô" sự k iệ n tr o n g m ộ t đờn v ị th ờ i g ia n b à n g
h ằ n g sô".

2. X á c

s u ấ t c ủ a sô lầ n x u â t h iệ n sự k iệ n đã cho trong k h o ả n g [tn,

t ()+T\ k h ô n g p h ụ thuộc vào số lầ n và thời đ iểm x u ấ t hiệ n sự k iệ n trước

thời điểm t<„ đ iể u đó có n g h ĩa là có sự độc lập tương hỗ giữa sơ lầ n
x u ấ t h iệ n sự k iệ n tr o n g các k h o ả n g th ờ i g ia n k h ô n g g ia o n h a u .
3. X á c s u ấ t x u ấ t h iệ n h a i h a y n h iề u sự k iệ n tr o n g k h o ả n g th ờ i
g ia n y ế u tô ' [t, t+At] r ấ t bé so v ớ i x á c s u ấ t x u ấ t h iệ n m ộ t sự k iệ n tr o n g

đó.
T a xác đ ịn h k ỳ vọng toán học v à phương sa i đ ạ i lượng n g ẫ u
n h iê n X p h â n bô" theo lu ậ t Poatxông.
T h e o (1 .2 .3 ) k ỳ v ọ n g to á n học được xá c đ ịn h dư ớ i d ạ n g :

10


CO

or

mv = £

,t? i

m pm = X

„ti>

CO

m

mc “

, = ae " X

m!

m

/

1

_n r

(m -1)!

(1 -3 -2)

C h u ỗ i so> trong ( 1 .3 .2 ) là ch uỗ i M aclo ren đối với h à m
mx - ae~ÍM
ea - a .

(1.3.3)

N h ư v ậ y , th a m sô a tr o n g c ô n g th ứ c (1 .3 .1 ) là k ỳ v ọ n g to á n học

‘ủ a đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n tu â n theo lu ậ t Poatxông.
T h e o ( 1 . 2 . 1 5 ) , phương sa i củ a đ ại lượng n g ẫ u n h iê n X

được xác

đ ịn h d ư ớ i d ạ n g :

n

2

- V

D x = z 4 m Pm-<*
m 0

qọ

2-

Z~T~ư
m

2-

=

00

-.nt-ì

= a e '° y ' m --------------- a~ = ae~a y

= at? a

2 ~a

V

= 2*m e
m-.Q

r *

V (m L£ì

|"(m - 1) + 1 1-------- -------- a 2 =

nm~x

1) ——

“

—— + V —— —-----------a 2.
f í( m -l)!j

(1.3 .4 )

M ỗi t h à n h p h ầ n trong tổng vô h ạ n (1.3 .4 ) là ch u ỗ i M a clo re n đối

00

vớ i h à m el\

k
n ó có th ể được v iế t dư ớ i d ạ n g —— , từ đó (1 .3 .4 ) trở

k =0 K-

tlìà n h :

Dx = ae~ữ(aea + ef l) - a 2 = a .
D o đó,

(1 .3 .5 )

phương s a i củ a đ ạ i lượng n g ẫu n h iê n p h â n bô theo lu ậ t

P o a tx ô n g b ằ n g c h ín h k ỳ vọng tốn học củ a nó.

1.4. L u ậ t p h â n b ô đ ề u
Đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n liên tục được gọi là có p h â n bơ đều nêu mọi
giá trị có thể c ủ a nó n ằ m trong một kh o ả n g nào đó v à m ậ t độ p h â n bô
trên k h o ả n g ấ y kh ô n g đổi.
M ậ t độ p h â n bô" đều được cho bởi công thức:
(
/V

\

1

f(x) = ị b - a

[o

k h l

a

<

x

khi X < ữ

<

b

n

A

(1.4 .1)

hoặc X > b

Đường cong p h â n bơ có d ạ n g như trên h ìn h 1 .5 .
11


H à m f ( x ) có các tín h c h ấ t c ủ a m ậ t độ p h â n bô. T h ậ t v ậ y , f ( x ) > 0

với mọi X , và:

T a xác đ ịn h h à m p h â n b 6 F ( x ) \
0

khi X < a

X

(1.4.2)
1

khi X > b

Đồ th ị h à m p h â n bố được b iể u d iễn trên h ìn h

1 .6.

T a xác đ ịn h các đặc trưng sô củ a p hân bô' đều. K ỳ vọng to án học
bằng

(1.4.3)
M ô m e n tr u n g tâ m bậc k b ằng :

(1.4.4)
a
T h a y biến X -

- = ỉ tro ng tích p h â n (1.4 .4 ) ta n h ậ n được:

9.
L

b-a

o

(1.4.5)

2
T ừ đó n h ậ n th ấ y rằn g , tất cả các mômen tr u n g tâ m b ậ c lẻ b ằ n g
không: // 2/ 7= 0 , l =1,2,... giống như tích p h â n c ủ a h à m lẻ tro ng k h o ả n g
đôi xứng.
M ô m e n tr u n g tâ m bậc c h ẵ n bằng:
b a

(1 .4 .6 )
Với 1 = 1 ta n h ậ n dược giá trị c ủ a phương sai:
( 1 .4 . 7 )
12


f(x)

b- n

a

0

I)

Hĩnh 1.5

Hình 1.6

T ừ đó độ lệch b ìn h phương tr u n g b ìn h là:

b-a

( 1 .4 .8 )

2 v /3 '

s=0, vì ju3=0. Độ

Độ b ấ t đối xứng củ a p hân bố

nhọn c ủ a p h â n bô'

bằng

E = — -3 = —

8 0 (6 -

aý

4- - 3 = - 1, 2 .

( 1 .4 .9 )

1.5. L u ậ t p h â n b ô c h u ẩ n
T r ê n thực tế thường gặp n h ấ t là các đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n m à
mật độ p h â n bổ* c ủ a ch ú n g có dạng:
1

f(x) = - J — e
Ơ\j2n

u -q)2

2ơ* .

(1.5 .1)

L u ậ t p h â n b ô đặc tr ư n g bơ i (1 .5 .1 ) r ấ t p h ố b iế n , n ê n được g ọ i là
lu ậ t p h â n bỗ» c h u ẩ n , c ò n đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n có m ậ t độ p h â n bơ đó

được gọi là đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n p h â n bố c h u ẩ n .
T r o n g n h iề u h iệ n tượng tự n h iê n và k ỹ th u ậ t, một q u á tr ìn h
đ a n g x é t là k ế t q u ả tá c đ ộ n g tổ n g hợp củ a h à n g lo ạ t các n h â n tô n g ẫ u

n h iê n . K h i đó, đ ạ i lượng n g ẳu n h iê n đặc trưng b ằ n g số c ủ a q u á tr ìn h
đ a n g xét là tống c ủ a một ch u ỗ i các đ ại lượng n g ẫ u n h iê n m à mỗi đ ại
lượng n g ẫ u n h iê n trong chuỗi tu â n theo một lu ậ t p h â n bô" nào đó. N ế u
đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n là tố n g c ủ a m ộ t sô" lớ n các đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n

độc lập hoặc p h ụ thuộc yếu, và mỗi đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n t h à n h p h ầ n

đ ó n g góp m ộ t t ỷ t r ọ n g k h ô n g lớ n lắ m so v ớ i tổ n g c h u n g , t h ì l u ậ t p h â n
bỏ' c ủ a đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n tổ n g là c h u ẩ n h o ặ c g ầ n c h u ẩ n , k h ô n g
p h ụ th u ộ c v à o p h â n bô' c ủ a các đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n t h à n h p h ầ n .


Đ iề u n à y r ú t ra từ đ ịn h lý nổi tiếng củ a L ia p u n o v : nếu đ ạ i lượng
nga
en X
A la
to n g củ
c u a các
cac d
ìượ
ẫu n m
h iê
là tổng
đ ại lượng
ngẫu n h iê n độc lậ p X h X 2,.",

n
X „

X - y

X l v à th oả m ã n điểu kiện:

/=l

ơ

th ì k h i

X

l u ậ t p h â n bô c ủ a đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n

t iế n đ ế n lu ậ t

chuẩn.
Đ iề u k iệ n (1 .5 .2 ) p h ả n á n h sự tiế n d ầ n đ ế n k h ô n g c ủ a t ỷ số g iữ a

tổng các m ô m e n t r u n g tâ m tu yệ t đơi bậc ba |Ì 3|Ar,|] c ủ a các đ ạ i lượng
n g ẫ u n h iê n X , v à lậ p phương độ lệch b ìn h phương t r u n g b ìn h c ủ a đại
lư ợ n g n g ẫ u n h iê n tố n g c ộ n g

X

k h i tă n g d ầ n sô' các số h ạ n g , v à đặc

trư ng cho sự nhỏ tương đối củ a từng sô' h ạ n g n g ẫ u n h iê n trong tổng
ch u n g .
Đường cong p h â n bố củ a lu ậ t p h â n bố c h u ẩ n trên h ìn h 1 . 7 có tên
là lá t cắ t ơ le , h a y đường cong Gauxơ. Đường cong p h â n bô" n à y đối
x ứ n g q u a đ ư ò n g t h ẳ n g x - a v à có

cực đ ạ i

bằng — \ =
Oy]2n

t ạ i đ iể m X = a.

Đ ể x á c đ ịn h ý n g h ía c ủ a các th a m số a v à ơ, ta t í n h k ỳ v ọ n g to á n
h ọ c v à p h ư ơ n g s a i c ủ a đ ạ i lư ợ n g n g ẫ u n h iê n
+QO

X

có p h â n bơ" c h u ẩ n :

[x ~ a )

m x = — = r ị xe

2ơ* cỉx.

(1.5.3)

Ơ \ I 2 71 J—00

Đổi b iế n tro n g tích p h ầ n (1.5 .3 ):
x -a

=/

(1.5 .4 )

ơ-s/2

ta được:

m

= -]=■ f ( \ Ĩ 2 ơ t + a ) e ' d t = E 2Ị Ề - ị t e ' d t + - ĩ= r í e ‘ d t .

>/2 i

^

i

^

( 1 .5 .5 )

í

T íc h p h â n thứ n h ấ t trong ( 1 .5 .5 ) b ằ n g k h ơ n g vì đó là tích p h â n
c ủ a h à m lẻ trê n m iề n giới h ạ n đối xứng, tích p h â n thứ h a i là tích
p h â n P o atxơ n g đ ã biết, b ằ n g yfn . T ừ đó m x= a , tức là t h a m số a trong
h à m ( 1 . 5. 1 ) là k ỳ v ọ n g toán học c ủ a đ ạ i lượng n g ẫ u n h iê n .