Chuyên khảo đa thức - Nhà giáo ưu tú Lê Hoành Phò pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (121.11 KB, 5 trang )
LÊ HOÀNH PHÒ
Nhà giáo ưu tú
CHUYÊN KHẢO ĐA THỨC
TÀI LIỆU DÙNG CHO CÁC LỚP
CHUYÊN TOÁN, BỒI DƯỢNG
HỌC SINH GIỎI VÀ THAM KHẢO
CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH 2003
PHẦN A: LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
A1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN
A2. HỆ SỐ VÀ GIÁ TRỊ ĐA THỨC
A3. ĐA THỨC VỚI CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH
A4. PHÉP CHIA ĐA THỨC. ƯỚC – BỘI
A5. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
A6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ BẬC CAO
A7. NGHIỆM VỚI YẾU TỐ GIẢI TÍCH
A8. PHÂN TÍCH THEO CÁC NGHIỆM. SỐ NGHIỆM
A9. ĐỊNH LÍ VIETE
A10. CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE
A11. KHAI TRIỂN VÀ BIỂU DIỄN
A12. NHỊ THỨC NEWTON – TỔ HP
A13. ĐA THỨC HỆ SỐ PHỨC – SỐ PHỨC
A14. ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN – SỰ KHẢ QUI
A15. ĐA THỨC NHIỀU BIẾN – ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN
I. Đònh nghóa đa thức:
Cho hàm số f: R R
Ta gọi f là đa thức nếu: f
const (hằng số) hoặc tồn tại
Zn
, n
1 và các số thực
n
aaaa , ,,,
210
với
0
n
a
sao cho:
nn
nn
axaxaxaxf
1
1
10
)(
*
n
aaa , ,,
10
là các hệ số
0
0
a
là hệ số cao nhất.
n
a
là hệ số tự do.
Đặc biệt, khi
1
0
a
thì đa thức được gọi là đa thức chuẩn tắc hay monic
*Với
0
0
a
thì n là bậc của đa thức f(x), ký hiệu deg f = n.
Đặc biệt f
const thì deg f = 0.
*Đôi khi ta viết gọn:
n
i
in
i
0
)( xaxf
hay viết ngược lại:
0, )(
01
1
1
0
n
n
n
n
n
n
k
k
k
bbxbxbxbxbxf
II. Đa thức trên các tập số:
nn
nn
axaxaxaxf
1
1
10
)(
Nếu các hệ số
Ra
i
thì kí hiệu
xRf
Nếu các hệ số
Qa
i
thì kí hiệu
xQf
Nếu các hệ số
Za
i
thì kí hiệu
xZf
III. Các phép toán:
nn
nn
axaxaxaxf
1
1
10
)(
nn
nn
bxbxbxbxf
1
1
10
)(
Thì ta có 3 phép toán thông thường:
f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x).g(x); và phép hợp
))(()(
0
xgfxgf
Từ f(x), g(x) ta có thể viết hình thức:
nn
nn
AxAxAxAxf
1
1
10
)(
nn
nn
BxBxBxBxg
1
1
10
)(
Với
11
0,0;, borBaorAmnmaxk
ii
thì
)( )()()(
1
1120 kk
kk
BAxBAxBAxgxf
và
kk
kk
212
12
1
2
0
)().( cxcxcxcxgxf
Kết quả: Cho
mgdegnfdegandxRgf ,,
thì
mngfdeg
nmgfdeg
nmmaxgfdeg
.
).(
;)(
0
IV.Đa thức sai phân:
Cho
nfdegxRf ,
đa thức sai phân:
in
in
n
i
i
in
n
i
i
xxaxaxf1xff 1)1()()(
00
có bậc là n-1 và hệ số cao nhất na
0
.
Từ đó ta có dãy đa thức sai phân giảm dần một bậc
f
k
.
V.Đa thức Chebyshev:
T
n
(x) với
1),()(.2)(
)(,1)(
11
10
nxTxTxxT
xxTxT
nnn
Cụ thể: T
0
(x) = 1
T
1
(x) = x
T
2
(x) = 2x
2
– 1
T
3
(x) = 4x
3
– 3x
T
4
(x) = 8x
4
– 8x
2
+1
T
5
(x) = 16x
5
– 20x
3
+ 5x ,…
Đa thức Chebyshev T
n
(x) có bậc n và có hệ số cao nhất 2
n-1
. Đôi khi ta chỉ xét
1n
trở đi.
Kết quả:
(1):
coscosT )(
n
. Ta chứng minh bắng qui nạp theo n lớn hơn hoặc bằng 1.
Khi n = 1:
coscosT )(
1
Khi n = 2:
212)(
2
2
coscoscosT
Giả sử
coskcosT )(
k
thì
)()1(
)1()()(
)1(.2
)()(.2)(
11
Truekcos
kcoskcoskcos
kcoscoscos
cosTcosTcoscosT
k
kkk
Do đó:
n
n
coscosT )(
1,1,1)(:)2( xxT
n
. Vì
1x
nên đặt x=
cos
1)()(
ncoscosTxT
nn
1)(:)3( xT
n
có đúng n nghiệm phân biệt trên
1,1
là:
1, ,1,0, nk
n
cos kx
Với
1x
thì
11)(
cosnxT
n
ZkkZkknsinn ,,0
n
Do đó:
1, 1,0, nk
n
cos kcosx
VI.Đa thức lượng giác:
Dạng:
n
k
kkn
1
0
)( sinkxbcoskxaaxL
với
0
nn
ba
gọi là đa thức lượng giác cấp n với
các hệ số a
0
, a
k
, b
k
.
Nếu các a
k
= 0 thì
n
k
kn
1
0
.)( sinkxbaxL
Nếu các b
k
= 0 thì
n
k
kn
1
0
.)( coskxaaxL
Ví dụ:
Cho đa thức:
8)(;34)(
12)(
234
23
xxxhxxxg
xxxxf
Xác đònh f(x) + g(x); g(x).f(x); h(x
3
) và g
0
h(x).
Giải:
Ta có: f(x) + g(x) = x
3
– 2x
2
+ x – 1 + 4x
2
– x + 3 = x
3
+ 2x
2
+ 2
f(x).g(x) = (x
3
– 2x
2
+ x – 1)( 4x
2
– x + 3)
= 4x
5
– 9x
4
+ 9x
3
– 11x
2
+ 4x – 3
h(x
3
) = - x
9
+ x
6
+ 8
g
0
h(x) = g(h(x)) = 4(- x
3
+ x
2
+8)
2
– (- x
3
+ x
2
+8) +3
=4x
6
– 8x
5
+ 4x
4
– 63x
3
+ 62x
2
+ 251
