ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo:
1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM.
3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục.
6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục.
7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật.
8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục.

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. ðịnh nghĩa
• Cho
2
D
⊂
ℝ
. Tương ứng
:f D
→
ℝ
,

( , ) ( , )
x y z f x y
=

֏

duy nh
ấ
t,
ñượ
c g
ọ
i là hàm s
ố
2 bi
ế
n x và y.
• T
ậ
p D
ñượ
c g
ọ
i là MX
ð
c
ủ
a hàm s
ố
và
{
}
( ) ( , ), ( , )
f D z z f x y x y D

= ∈ = ∀ ∈ℝ
là mi
ề
n giá tr
ị
.

– N
ế
u M(x, y) thì D là t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M trong
2
ℝ
sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là t
ậ
p liên thông. (T
ậ
p liên thông D

là t
ồ
n t
ạ
i
ñườ
ng cong n
ố
i 2
ñ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
trong D n
ằ
m hoàn
toàn trong D).



Hình a

Hình b

– N
ế
u M(x, y) thì D là t

ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M trong
2
ℝ
sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là mi
ề
n liên thông (n
ế
u M, N thu
ộ
c
mi
ề
n D mà t
ồ
n t
ạ
i 1
ñườ

ng n
ố
i M v
ớ
i N n
ằ
m hoàn toàn
trong D thì D là liên thông-Hình a)).


– Tr
ừ
tr
ườ
ng h
ợ
p
2
D
=
ℝ
, D th
ườ
ng
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b

ở
i 1
ñườ
ng cong kín
D
∂
(biên) ho
ặ
c không. Mi
ề
n liên thông D
là
ñơ
n liên n
ế
u D
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i 1
ñườ
ng cong kín (Hình
a);
ñ
a liên n
ế

u
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i nhi
ề
u
ñườ
ng cong kín r
ờ
i
nhau t
ừ
ng
ñ
ôi m
ộ
t (Hình b).
– D là mi
ề
n
ñ
óng n
ế
u
M D M D

∈∂ ⇒ ∈
, mi
ề
n m
ở

n
ế
u
M D M D
∈∂ ⇒ ∉
.
Chú ý
• Khi cho hàm s
ố
f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi
ể
u
MX
ð
D là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
(x, y) sao cho f(x, y) có ngh
ĩ
a.
• Hàm s

ố
n bi
ế
n f(x
1
, x
2
,…, x
n
)
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
.

VD 1.

Hàm s
ố
z = f(x, y) = x
3
y + 2xy
2
– 1 xác

ñị
nh trên
2
ℝ
.
VD 2.
Hàm s
ố

2 2
( , ) 4
z f x y x y
= = − −
có MX
ð
là hình
tròn
ñ
óng tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

VD 3.
Hàm s
ố

2 2
( , ) ln(4 )
z f x y x y
= = − −
có MX
ð

là
hình tròn m
ở
tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

VD 4.
Hàm s
ố

( , ) ln(2 3)
z f x y x y
= = + −
có MX
ð
là n
ử
a
mp m
ở
biên d: 2x + y – 3 không ch
ứ
a O(0; 0).


1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục
• Dãy
ñ
i
ể
m M

n
(x
n
; y
n
) d
ầ
n
ñế
n
ñ
i
ể
m M
0
(x
0
; y
0
) trong
2
ℝ
,
ký hi
ệ
u
0
n
M M
→

hay
0 0
( ; ) ( ; )
n n
x y x y
→
, khi
n
→ +∞

n
ế
u
( )
2 2
0 0 0
lim , lim ( ) ( ) 0
n n n
n n
d M M x x y y
→∞ →∞
= − + − =
.

• Cho hàm s
ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong mi
ề

n D (có th
ể
không
ch
ứ
a M
0
), ta nói L là gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f(x, y) khi
ñ
i
ể
m M(x, y)
d
ầ
n
ñế
n M
0
n
ế
u m
ọ
i dãy
ñ

i
ể
m M
n
(M
n
khác M
0
) thu
ộ
c D
d
ầ
n
ñế
n M
0
thì
lim ( , )
n n
n
f x y L
→∞
=
.
Ký hi
ệ
u:
0 0 0
( , ) ( , )

lim ( , ) lim ( )
x y x y M M
f x y f M L
→ →
= =
.

Nhận xét

• N
ế
u khi
0
n
M M
→
trên 2
ñườ
ng khác nhau mà dãy
{f(x
n
, y
n
)} có hai gi
ớ
i h
ạ
n khác nhau thì
0
lim ( )

M M
f M
→
∃
.

VD 5.
Cho
2
2
2 3 1
( , )
3
x y x
f x y
xy
− −
=
+
, tính
( , ) (1, 1)
lim ( , )
x y
f x y
→ −
.

VD 6.
Cho
2 2

( , )
xy
f x y
x y
=
+
, tính
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
.




VD 7.
Cho hàm s
ố

2 2
3
( , )
xy
f x y
x y
=
+
.

Ch
ứ
ng t
ỏ

( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
không t
ồ
n t
ạ
i.

• Hàm s
ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong D ch
ứ
a M
0
, ta nói f(x, y)
liên t
ụ
c t
ạ
i M

0
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
và
0 0
0 0
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
→
=
.

• Hàm s
ố
f(x, y) liên t
ụ
c trong D n

ế
u liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m
M thu
ộ
c D. Hàm s
ố
f(x, y) liên t
ụ
c trong mi
ề
n
ñ
óng gi
ớ
i n
ộ
i
D thì
ñạ
t giá tr

ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t trong D.

VD 8.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
:
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y
x y
f x y
x y

≠


+
=


=

.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 2


§2. ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1. ðạo hàm riêng
a) ðạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trên D chứa M
0
(x
0
, y
0
). Nếu
hàm số 1 biến f(x, y
0
) (y
0
là hằng số) có ñạo hàm tại x = x
0


thì ta gọi ñạo hàm ñó là ñạo hàm riêng theo biến x của f(x,
y) tại (x
0
, y
0
).
Ký hiệu:
0 0
( , )
x
f x y
hay
/
0 0
( , )
x
f x y
hay
0 0
( , )
f
x y
x
∂
∂
.
Vậy
/
0 0 0 0

0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
x
x
f x x y f x y
f x y
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
• Tương tự ta có ñạo hàm riêng theo y tại (x
0
, y
0
) là:
/
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
y
y
f x y y f x y
f x y
y

∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
VD 1. Tính các ñạo hàm riêng của z = x
4
– 3x
3
y
2
+ 2y
3
–
3xy tại (–1; 2).
VD 2. Tính các ñạo hàm riêng của f(x, y) = x
y
(x > 0).
VD 3. Tính các ñạo hàm riêng của
cos
x
z
y
=
tại
( ; 4)
π
.
• Vớ
i hàm n bi

ế
n ta có
ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
.
VD 4.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c
ủ
a
2
( , , ) sin
x y
f x y z e z
=
.


b) ðạo hàm riêng cấp cao
• Các hàm s
ố
f
x
, f

y
có các
ñạ
o hàm riêng (f
x
)
x
, (f
y
)
y
, (f
x
)
y
,
(f
y
)
x

ñượ
c g
ọ
i là các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ

a f.
Ký hi
ệ
u:
( )
2
2
//
2
x xx
x
x
f f
f f f
x x x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
2
//
2
y yy
y
y

f f
f f f
y y y
 
∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
x xy xy
y
f f
f f f
y x y x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
y yx yx
x

f f
f f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
.

VD 5.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a
3 2 3 4
y
z x e x y y
= + −
t
ạ
i
( 1; 1)
−
.
VD 6.
Tính các

ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a
2
( , )
x y
f x y xe
−
=
.

• Các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a hàm n bi
ế
n và
ñạ
o hàm
riêng c
ấ
p cao h
ơ
n

ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
.

ðịnh lý (Schwarz)

• N
ế
u hàm s
ố
f(x, y) có các
ñạ
o hàm riêng f
xy
và f
yx
liên t
ụ
c
trong mi
ề
n D thì f
xy

= f
yx
.



2.2. Vi phân
a) Vi phân cấp 1
• Cho hàm s
ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong
2
D
⊂
ℝ
và
0 0 0
( , )
M x y D
∈
,
0 0
( , )
M x x y y D
+ ∆ + ∆ ∈
.
N
ế

u s
ố
gia
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
f x y f x x y y f x y
∆ = + ∆ + ∆ −
có
th
ể
bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng:
0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
,
trong
ñ
ó A, B là nh
ữ
ng s

ố
không ph
ụ
thu
ộ
c
,
x y
∆ ∆
và
, 0
α β
→
khi
( , ) (0,0)
x y
∆ ∆ →
, ta nói f kh
ả
vi t
ạ
i M
0
.
• Bi
ể
u th
ứ
c
. .

A x B y
∆ + ∆

ñượ
c g
ọ
i là vi phân c
ấ
p 1 (toàn
ph
ầ
n) c
ủ
a f(x, y) t
ạ
i M
0
(x
0
, y
0
)
ứ
ng v
ớ
i
,
x y
∆ ∆
.

Ký hi
ệ
u df(x
0
, y
0
).
• Hàm s
ố
f(x, y) kh
ả
vi trên mi
ề
n D n
ế
u f(x, y) kh
ả
vi t
ạ
i
m
ọ
i (x, y) thu
ộ
c D.

Nhận xét


• N

ế
u f(x, y) kh
ả
vi t
ạ
i M
0
thì f(x, y) liên t
ụ
c t
ạ
i M
0
.
• T
ừ

0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
, ta suy ra:
0 0 0 0
( , ) ( , ) .
f x x y f x y A x x
α
+ ∆ − = ∆ + ∆



0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x
f x x y f x y
A
x
∆ →
+ ∆ −
⇒ =
∆
,
t
ươ
ng t
ự

0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
y
f x y y f x y
B
y
∆ →
+ ∆ −
=
∆

.


V
ậ
y
/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ). ( , ).
x y
df x y f x y x f x y y
= ∆ + ∆
hay
/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
x y
df x y f x y dx f x y dy
= +
.
Tổng quát:

/ /
( , ) ( , ) ( , ) , ( , )
x y
df x y f x y dx f x y dy x y D
= + ∈
.
VD 7.


Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a
2 3 5
x y
z x e xy y
−
= + −
t
ạ
i (–1; 1).
VD 8.
Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a
2
2
( , ) sin( )
x y
f x y e xy
−
=
.

ðịnh lý
• N

ế
u hàm s
ố
f(x, y) có các
ñạ
o hàm riêng liên t
ụ
c t
ạ
i M
0

trong mi
ề
n D ch
ứ
a M
0
thì f(x, y) kh
ả
vi t
ạ
i M
0
.


b) Vi phân cấp cao

• Vi phân c

ấ
p 2:
(
)
2 2
2
// 2 // // 2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
xy
x y
d f x y d df x y
f x y dx f x y dxdy f x y dy
=
= + +
.

• Vi phân c
ấ
p n:
( )
1 ( )
0
( , ) ( , ) ( , )
k n k
n
n n k n k n k
n
x y
k

d f x y d df x y C f x y dx dy
−
− −
=
= =
∑
.





ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 3


VD 9. Tính vi phân cấp 2 của
2 3 2 3 5
( , ) 3
f x y x y xy x y
= + −
tại (2; –1).
VD 10. Tính vi phân cấp 2 của
2
( , ) ln( )
f x y xy
= .

c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần ñúng giá trị hàm
số


0 0
/ /
0 0 0 0 0 0
( , )
( , ) ( , ). ( , ).
x y
f x x y y
f x y f x y x f x y y
+ ∆ + ∆ ≈
≈ + ∆ + ∆
.
VD 11. Tính gần ñúng
1,02
0,97
arctg
.

2.3. ðạo hàm của hàm số hợp
• Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những
hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả
vi của x thì
/ /
. .
u v
df du dv
f f
dx dx dx
= +
. Với

, ,
df du dv
dx dx dx
là các
ñạo hàm toàn phần theo x.
• Nếu hàm số f(x, y) khả vi của x, y và y = y(x) là hàm số
khả vi của x thì
/ /
.
x y
df dy
f f
dx dx
= +
.
VD 12. Cho
2 2
2 , , sin
x
z u uv v u e v x
−
= − + = =
. Tính
dz
dx
.
VD 13. Cho
2 2 2
( , ) ln( ), sin
f x y x y y x

= + =
. Tính
df
dx
.


2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn
• Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*).
Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao
cho khi thế y(x) vào (*) ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x)
là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (*).

VD 14.
Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x
2
+ y
2
– 4 = 0.
• ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta ñược:
/
/ / /
/
( , )
( , ) ( , ). 0 , ( , ) 0
( , )
x
x y y
y
F x y

F x y F x y y y F x y
F x y
′ ′
+ =
⇒
= − ≠
.
VD 15. Cho
0
x y
xy e e
− + =
. Tính
y
′
.
VD 16. Cho
3 2 4
( 1) 0
y x y x
+ + + =
. Tính
y
′
.

VD 17. Cho
2 2
ln
y

x y arctg
x
+ =
. Tính
y
′
.
• Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi
F(x, y, z)) = 0, với
/
( , , ) 0
z
F x y z
≠
ta có:
/ / /
/
/
/
/ / /
/
/
/
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) ,
( , , )
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) .

( , , )
x z x
x
x
z
y z y
y
y
z
F x y z F x y z z x y
F x y z
z x y
F x y z
F x y z F x y z z x y
F x y z
z x y
F x y z
• + =
⇒ = −
• + =
⇒ = −

VD 18. Cho
cos( )
xyz x y z
= + +
. Tính
/ /
,
x y

z z
.

§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. ðịnh nghĩa
• Hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
(
ñị
a ph
ươ
ng) t
ạ
i
ñ
i
ể
m
M
0
(x
0
; y
0

) n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) khá g
ầ
n nh
ư
ng khác
M
0
thì hi
ệ
u f(M) – f(M
0
) có d
ấ
u không
ñổ
i.
• N
ế
u f(M) – f(M
0

) > 0 thì f(M
0
) là c
ự
c ti
ể
u và M
0
là
ñ
i
ể
m
c
ự
c ti
ể
u; f(M) – f(M
0
) < 0 thì f(M
0
) là c
ự
c
ñạ
i và M
0
là
ñ
i

ể
m
c
ự
c
ñạ
i. C
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u g
ọ
i chung là c
ự
c tr
ị
.
VD 1.
Hàm s
ố
f(x, y) = x
2
+ y
2
– xy
ñạ

t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i O(0; 0).

3.2. ðịnh lý
a) ðiều kiện cần

• N
ế
u hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i M
0
(x
0
, y
0
) và t

ạ
i
ñ
ó
hàm s
ố
có
ñạ
o hàm riêng thì:

/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0
x y
f x y f x y
= =
.

Chú ý.

ð
i
ể
m M
0
th
ỏ
a
/ /
0 0 0 0

( , ) ( , ) 0
x y
f x y f x y
= =

ñượ
c g
ọ
i
là
ñ
i
ể
m d
ừ
ng, có th
ể
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a z.
b) ðiều kiện ñủ.
Gi

ả
s
ử
f(x, y) có
ñ
i
ể
m d
ừ
ng là M
0
và có
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai t
ạ
i lân c
ậ
n
ñ
i
ể
m M
0
.
ðặ
t
2 2
// // //

0 0 0 0 0 0
( , ), ( , ), ( , )
xy
x y
A f x y B f x y C f x y
= = =
.
Khi
ñ
ó:
+ N
ế
u AC – B
2
> 0 và A > 0 thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0

;
AC – B
2
> 0 và A < 0 thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0
.
+ N
ế
u AC – B
2
< 0 thì hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị

(
ñ
i
ể
m M
0

ñượ
c g
ọ
i là
ñ
i
ể
m yên ng
ự
a).
+ N
ế
u AC – B
2
= 0 thì ch
ư
a th
ể
k
ế
t lu
ậ
n hàm s

ố
có c
ự
c tr
ị

hay không (dùng
ñị
nh ngh
ĩ
a
ñể
xét).


3.3. Cực trị tự do

Cho hàm s
ố
z = f(x, y).
ðể
tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a f(x, y) trên MX
ð


D, ta th
ự
c hi
ệ
n các b
ướ
c sau:
B
ướ
c 1. Tìm
ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
) b
ằ
ng cách gi
ả
i h
ệ
:
/
0 0

/
0 0
( , ) 0
( , ) 0
x
y
f x y
f x y

=


=


.
B
ướ
c 2. Tính
2
// //
0 0 0 0
( , ), ( , )
xy
x
A f x y B f x y
= =
,

2

// 2
0 0
( , )
y
C f x y AC B
=
⇒ ∆ = −
.
B
ướ
c 3.
+ N
ế
u
∆
> 0 và A > 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i

M
0
và c
ự
c ti
ể
u là f(M
0
);
+ N
ế
u
∆
> 0 và A < 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i
M
0

và c
ự
c
ñạ
i là f(M
0
).
+ N
ế
u
∆
< 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố
không
ñạ
t c
ự
c tr
ị
.
+ N
ế
u
∆
= 0 thì không th
ể

k
ế
t lu
ậ
n (trong ch
ươ
ng trình h
ạ
n
ch
ế
lo
ạ
i này).

VD 2.

Tìm
ñ
i
ể
m d
ừ
ng c
ủ
a hàm s
ố
z = xy(1 – x – y).

VD 3.


Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8.

VD 4.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = x
3
+ y
3
– 3xy – 2.


VD 5.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = 3x
2
y + y
3
– 3x
2
– 3y
2
+ 2.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 4


3.4. Cực trị có ñiều kiện
• Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên lân cận của ñiểm
M
0
(x

0
; y
0
) thuộc ñường cong
( , ) 0
x y
ϕ
=
. N
ế
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0

hàm s
ố
f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
thì ta nói
ñ
i

ể
m M
0
là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

c
ủ
a f(x, y) v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
( , ) 0
x y
ϕ
=
.
•
ðể

tìm c
ự
c tr
ị
có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) ta dùng
phương pháp khử
ho
ặ
c
nhân tử Lagrange
.

Phương pháp khử

T
ừ
ph
ươ
ng trình
( , ) 0

x y
ϕ
=
, ta rút x ho
ặ
c y th
ế
vào f(x, y)
và tìm c
ự
c tr
ị
hàm 1 bi
ế
n.
VD 6.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) = x
2
+ y
2
– xy + x + y
v

ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n x + y + 3 = 0.

VD 7.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) = xy v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
2x + 3y – 5 = 0.

Phương pháp nhân tử Lagrange


Bước 1
. L
ậ
p hàm Lagrange:
( , , ) ( , ) ( , )
L x y f x y x y
λ λϕ
= +
,
λ
là nhân t
ử
Lagrange.

Bước 2.
Gi
ả
i h
ệ
:
'
'
'
0
0
0
x
y
L

L
L
λ

=

= ⇒


=


ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
)
ứ
ng v
ớ
i
λ
0

.


Bước 3

Tính
2
0 0
( , )
d L x y

2 2
'' 2 '' '' 2
0 0 0 0 0 0
( , ) 2 ( , ) ( , )
xy
x y
L x y dx L x y dxdy L x y dy
= + +
.

ðiều kiện ràng buộc:

/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) 0 ( , ) ( , ) 0
x y
d x y x y dx x y dy
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ + =

(1)
và
(dx)
2
+ (dy)
2
> 0 (2).

Bước 4
T
ừ

ñ
i
ề
u ki
ệ
n (1) và (2), ta có:
+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0
d L x y
>
thì hàm s
ố

ñạ

t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i M
0
.
+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0
d L x y
<
thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i M
0
.

+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0
d L x y
=
thì
ñ
i
ể
m M
0
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.

VD 9.

Tìm c
ự
c tr
ị

c
ủ
a hàm s
ố
z = 2x + y v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n x
2
+ y
2
= 5.
VD 10.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = xy v
ớ
i

ñ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2
1
8 2
x y
+ =
.


Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP)

1.1. Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong)
• Xét hàm s
ố
z = f(x, y) liên t
ụ
c, không âm và m
ộ
t m
ặ
t tr
ụ


có các
ñườ
ng sinh song song Oz,
ñ
áy là mi
ề
n ph
ẳ
ng
ñ
óng D
trong Oxy.
ðể
tính th
ể
tích kh
ố
i tr
ụ
, ta chia mi
ề
n D thành n ph
ầ
n không
d
ẫ
m lên nhau, di
ệ
n tích m
ỗ

i ph
ầ
n là
∆
S
i
(i=1,2,…,n). Nh
ư

v
ậ
y kh
ố
i tr
ụ
cong
ñượ
c chia thành n kh
ố
i tr
ụ
nh
ỏ
. Trong
m
ỗ
i
∆
S
i

ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
; y
i
) tùy ý. Ta có th
ể
tích
∆
V
i
c
ủ
a
kh
ố
i tr
ụ
nh
ỏ
là:
1
( ; ) ( , )

n
i i i i i i i
i
V f x y S V f x y S
=
∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆
∑
.


G
ọ
i
{
}
max ( , ) ,
i i
d d A B A B S
= ∈∆
là
ñường kính
c
ủ
a
i
S
∆
.
Ta có:
max 0

1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i
V f x y S
→
=
= ∆
∑
.


1.2. ðịnh nghĩa


• Cho hàm s
ố
z = f(x, y) xác
ñị
nh trên mi
ề
n
ñ
óng gi
ớ
i n
ộ

i,
ñ
o
ñượ
c D trong Oxy. Chia mi
ề
n D m
ộ
t cách tùy ý thành n
ph
ầ
n không d
ẫ
m lên nhau, di
ệ
n tích m
ỗ
i ph
ầ
n là
∆
S
i

(i=1,2,…,n). Trong m
ỗ
i
∆
S
i

ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
; y
i
) tùy ý. Khi
ñ
ó
1
( , )
n
n i i i
i
I f x y S
=
= ∆
∑
ñượ
c g
ọ
i là
tổng tích phân
c

ủ
a hàm
f(x, y) trên D (
ứ
ng v
ớ
i phân ho
ạ
ch
∆
S
i
và các
ñ
i
ể
m M
i
).
N
ế
u
max 0
1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i

I f x y S
→
=
= ∆
∑
t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n, không ph
ụ

thu
ộ
c vào phân ho
ạ
ch
∆
S
i
và cách ch
ọ
n
ñ
i
ể

m M
i
thì s
ố
I
ñượ
c g
ọ
i là
tích phân bội hai
c
ủ
a f(x, y) trên D.

Ký hi
ệ
u
( , )
D
I f x y dS
=
∫∫
.
ðịnh lý.
Hàm f(x, y) liên t
ụ
c trong mi
ề
n b
ị

ch
ặ
n,
ñ
óng D thì
kh
ả
tích trong D.
• N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i tích phân, ta nói f(x, y) kh
ả
tích; f(x, y) là hàm
d
ướ
i d
ấ
u tích phân; x, y là các bi
ế
n tích phân.

Chú ý
1) N
ế
u chia D b
ở

i các
ñườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i các tr
ụ
c
t
ọ
a
ñộ
thì
∆
S
i
=
∆
x
i
.
∆
y
i
hay dS = dxdy.
V
ậ
y
( , ) ( , )

D D
I f x y dS f x y dxdy
= =
∫∫ ∫∫
.
2)
( , ) ( , )
D D
f x y dxdy f u v dudv
=
∫∫ ∫∫
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 5


Nhận xét
1)
( )
D
dxdy S D
=
∫∫
(diện tích miền D).
2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì
( , )
D
f x y dxdy
∫∫

là thể
tích hình trụ có các ñường sinh song song với Oz, hai ñáy
giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y).
1.3. Tính chất của tích phân kép
• Tính chất 1. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả
tích trên D.
• Tính chất 2. Tính tuyến tính:

[ ( , ) ( , )]
D D D
f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy
± = ±
∫∫ ∫∫ ∫∫
;

( , ) ( , ) ,
D D
kf x y dxdy k f x y dxdy k
= ∈
∫∫ ∫∫
ℝ
.

• Tính chất 3



Nếu chia D thành D
1
và D

2
bởi ñường cong có diện tích
bằng 0 thì:

1 2
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
= +
∫∫ ∫∫ ∫∫
.


1.4. Phương pháp tính tích phân kép

1.4.1. ðưa về tích phân lặp
ðịnh lý (Fubini)
• Giả sử tích phân
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
tồn tại, với
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
D x y a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤
và với mỗi
[ , ]
x a b

∈
cố ñịnh
2
1
( )
( )
( , )
y x
y x
f x y dy
∫
tồn tại thì:
2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
y x y x
b b
D a y x a y x
f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.

Tương tự,

1 2
{( , ) : ( ) ( ), }
D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:

2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
x y x y
d d
D c x y c x y
f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.

Chú ý
1) Khi
{( , ) : , } [ , ] [ , ]
D x y a x b c y d a b c d
= ≤ ≤ ≤ ≤ = ×

(hình chữ

nh
ậ
t) thì:
( , ) ( , ) ( , )
b d d b
D a c c a
f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx
= =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(hoán v
ị
c
ậ
n).



2)
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
D x y a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤
và
f(x, y) = u(x).v(y) thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( )

y x
b
D a y x
f x y dxdy u x dx v y dy
=
∫∫ ∫ ∫
.

T
ươ
ng t
ự
,
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }
D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( )
x y
d
D c x y
f x y dxdy v y dy u x dx
=
∫∫ ∫ ∫
.

3) N
ế
u D là mi
ề
n ph
ứ
c t
ạ
p thì ta chia D ra thành nh
ữ
ng
mi
ề
n
ñơ
n gi
ả
n nh
ư
trên.

VD 1.
Xác
ñị
nh c
ậ
n
ở
tích phân l
ặ

p khi tính tích phân
( , )
D
I f x y dxdy
=
∫∫
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:

1) D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ
ng y = 0, y = x và x = a.
2) D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ
ng y = 0, y = x

2
và x + y = 2.

VD 2.

Tính
D
I xydxdy
=
∫∫
v
ớ
i D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i y = x – 4, y
2
= 2x.



ðổi thứ tự lấy tích phân

2
1
( )
( )

( , )
y x
b
a y x
I dx f x y dy
=
∫ ∫



2
1
( )
( )
( , )
x y
d
c x y
I dy f x y dx
=
∫ ∫



ThS. on Vng Nguyờn Slide bi ging Toỏn A3DH
Trang 6



VD 3. i th t ly tớch phõn trong cỏc tớch phõn sau:


1)
2
1 2
0
( , )
x
x
I dx f x y dy

=

;
2)
2
3
1 0
( , )
y
I dy f x y dx
=

;
3)
2 2
1 3 1
0 1
9 9
( , ) ( , )
x

x x
I dx f x y dy dx f x y dy
= +

.


1.4.2. Phng phỏp ủi bin
a) Cụng thc ủi bin tng quỏt
nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) l hai hm s cú cỏc
ủo hm riờng liờn tc trờn min ủúng gii ni D
uv
trong mp
Ouv. Gi
{( , ) : ( , ), ( , ),( , ) }
xy uv
D x y x x u v y y u v u v D
= = = .
Nu hm f(x, y) kh tớch trờn D
xy
v ủnh thc Jacobi
( , )
0
( , )
x y
J
u v

=


trong D
uv
thỡ:
( , ) ( ( , ), ( , ))
xy uv
D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv
=

.
Trong ủú:
/ /
/ /
/ /
/ /
( , ) 1 1
( , )
( , )
( , )
u v
x y
u v
x y
x x
x y
J
u v
u v
u u
y y

x y
v v

= = = =



.


VD 4. Cho min D
uv
l hỡnh tam giỏc O(0;0), A(2;0), B(0;2)
trong mpOuv. Gi min D
xy
l nh ca D
uv
qua phộp bin
hỡnh g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u
2
v).
Tớnh tớch phõn ca hm
1
( , )
1 4 4
f x y
x y
=
+ +
trờn min

bin hỡnh D
xy
= g(D
uv
).
VD 5. Cho min D
uv
l phn t hỡnh trũn ủn v trong
mpOuv. Gi min D
xy
l nh ca D
uv
qua phộp bin hỡnh
g: (x, y) = g(u, v) = (u
2
v
2
, 2uv). Tớnh tớch phõn ca hm
2 2
1
( , )f x y
x y
=
+
trờn min bin hỡnh D
xy
.
VD 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi bn Parapol:
y = x
2

, y = 2x
2
, x = y
2
v x = 3y
2
.

b) i bin trong ta ủ cc


i bin:
cos
sin
x r
y r


=


=

, vi
0, 0 2
r



ho


c


.


Khi
ủ
ú, mi

n D
xy
tr

thnh:
1 2 1 2
{( , ): , ( ) ( )}
r
D r r r r


=

v
/ /
/ /
cos sin
( , )
sin cos

( , )
r
r
x x r
x y
J r
y y
r
r







= = = =

.

V

y ta cú:

2 2
1 1
( )
( )
( , ) ( cos , sin )
( cos , sin )

xy r
D D
r
r
f x y dxdy f r r rdrd
d f r r rdr





=
=


.

Chỳ ý

1)

i bi

n trong t

a
ủ
c

c th


ng dựng khi biờn D l
ủ
ng trũn ho

c elip.
2)

tỡm
1 2
( ), ( )
r r

ta thay
cos
sin
x r
y r


=


=

vo ph

ng
trỡnh c


a biờn D.
3) N

u c

c O n

m trong D v m

i tia t

O c

t biờn D khụng
quỏ 1
ủ
i

m thỡ:
( )
2
0 0
( cos , sin ) ( cos , sin )
r
r
D
f r r rdrd d f r r rdr





=

.



4) N

u c

c O n

m trờn biờn D thỡ:
2
1
( )
0
( cos , sin ) ( cos , sin )
r
r
D
f r r rdrd d f r r rdr





=


.
5) N

u biờn D l elip thỡ
ủ
t:
cos
{( , ) : 0 2 , 0 1}
sin
r
x ra
D r r
y r b




=

=

=

.
VD 7.
Bi

u di

n tớch phõn

( , )
D
f x y dxdy

trong t

a
ủ
c

c.
Bi

t mi

n D l mi

n ph

ng n

m ngoi (C
1
): (x 1)
2
+ y
2
= 1
v n


m trong (C
2
): (x 2)
2
+ y
2
= 4.
VD 8.
Tớnh di

n tớch hỡnh ellip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+
.

VD 9.
Tớnh tớch phõn
2 2
( )x y
D
I e dxdy
+
=

v


i D l hỡnh trũn
2 2 2
x y R
+
.
VD 10.
Tớnh di

n tớch mi

n D gi

i h

n b

i:
y = x,
2 2 2 2
3 3
x y x y x
+ = +
v
0
y

.

Cụng thc Walliss


2 2
0 0
( 1)!!
,
!!
sin cos
( 1)!!
. ,
2 !!
n n
n
n
n
xdx xdx
n
n
n






= =







leỷ
chaỹn
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 7

MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
• Trong không gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các
ñiểm M(x; y; z) có tọa ñộ thỏa phương trình:
Ax
2
+ 2Bxy + 2Cxz+ Dy
2
+ 2Eyz + Fz
2
+ 2Gx + 2Hy+ 2Kz
+ L = 0.
Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñồng thời bằng 0.
• Các dạng chính tắc của mặt bậc hai:
1)
2 2 2 2
x y z R
+ + = (mặt cầu);
2)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c

+ + =
(mặt elipxoit);
3)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − =
(hyperboloit 1 tầng);
4)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = −
(hyperboloit 2 tầng);

5)
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − =
(nón eliptic);
6)
2 2
2 2

2
x y
z
a b
+ =
(parabolit eliptic);
7)
2 2
2 2
2
x y
z
a b
− =
(parabolit hyperbolic – yên ngựa);
8)
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(mặt trụ eliptic);
9)
2 2
2 2
1
x y
a b
− =

(mặt trụ hyperbolic);
10)
2
2
y px
=
(mặt trụ parabolic).


















ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 8







§2. TÍCH PHÂN BỘI BA

2.1. Bài toán mở ñầu (khối lượng vật thể)
• Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không ñồng
chất, biết mật ñộ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là
( ) ( , , )
P x y z
ρ ρ ρ
= =
. Ta chia V tùy ý thành n phầ
n không
d
ẫ
m lên nhau, th
ể
tích m
ỗ
i ph
ầ
n là
∆
V
i
(i=1,2,…,n). Trong
m
ỗ
i

∆
V
i
ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m P
i
(x
i
; y
i
; z
i
) và
ñườ
ng kính c
ủ
a
∆
V
i
là
d
i
. Kh
ố

i l
ượ
ng V x
ấ
p x
ỉ
:
1 1
( ) ( , , )
n n
i i i i i i
i i
m P V x y z V
ρ ρ
= =
≈ ∆ = ∆
∑ ∑
.
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
max 0
1
lim ( , , )
i
n

i i i i
d
i
x y z V
ρ
→
=
∆
∑
thì
ñ
ó là kh
ố
i l
ượ
ng m
c
ủ
a v
ậ
t th
ể
V.

2.2. ðịnh nghĩa

• Cho hàm s
ố
f(x, y, z) xác
ñị

nh trong mi
ề
n
ñ
o
ñượ
c V c
ủ
a
không gian Oxyz. Chia mi
ề
n V m
ộ
t cách tùy ý thành n ph
ầ
n
không d
ẫ
m lên nhau, th
ể
tích m
ỗ
i ph
ầ
n là
∆
V
i
(i=1,2,…,n).
Trong m

ỗ
i
∆
V
i
ta l
ấ
y P
i
(x
i
; y
i
; z
i
) tùy ý và l
ậ
p t
ổ
ng tích phân
1
: ( , , )
n
n i i i i
i
I f x y z V
=
= ∆
∑
.

N
ế
u
max 0
1
lim ( , , )
i
n
i i i i
d
i
I f x y z V
→
=
= ∆
∑
t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n, không
ph
ụ
thu
ộ
c vào cách chia V và cách ch

ọ
n
ñ
i
ể
m P
i
thì s
ố
th
ự
c
I
ñượ
c g
ọ
i là
tích phân bội ba
c
ủ
a f(x, y, z) trên V.
Ký hi
ệ
u
( , , )
V
I f x y z dV
=
∫∫∫
.



ðịnh lý.
Hàm f(x, y, z) liên t
ụ
c trong mi
ề
n b
ị
ch
ặ
n,
ñ
óng V
thì kh
ả
tích trong V.
• N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i tích phân, ta nói f(x, y, z) kh
ả
tích; f(x, y, z) là
hàm d
ướ
i d
ấ

u tích phân; x, y, z là các bi
ế
n tích phân.
Nhận xét
1) N
ế
u chia V b
ở
i các
ñườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i các tr
ụ
c
t
ọ
a
ñộ
thì
∆
V
i
=
∆
x
i
.

∆
y
i
.
∆
z
i
hay dV = dxdydz.
V
ậ
y
( , , ) ( , , )
V V
I f x y z dV f x y z dxdydz
= =
∫∫∫ ∫∫∫
.
2) N
ế
u
( , , ) 0
f x y z
≥
trên V thì
( , , )
V
I f x y z dxdydz
=
∫∫∫
là

kh
ố
i l
ượ
ng v
ậ
t th
ể
V, v
ớ
i kh
ố
i l
ượ
ng riêng v
ậ
t ch
ấ
t chi
ế
m
th
ể
tích V là f(x, y, z).
N
ế
u f(x, y, z) = 1 thì I là th
ể
tích V.
3) Tích phân b

ộ
i ba có các tính ch
ấ
t nh
ư
tích phân kép.

2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba
2.3.1. ðưa về tích phân lặp
a) Gi
ả
s
ử
mi
ề
n V có gi
ớ
i h
ạ
n trên b
ở
i m
ặ
t z = z
2
(x, y), gi
ớ
i
h
ạ

n d
ướ
i b
ở
i z = z
1
(x, y), gi
ớ
i h
ạ
n xung quanh b
ở
i m
ặ
t tr
ụ

có
ñườ
ng sinh song song v
ớ
i tr
ụ
c Oz. G
ọ
i D là hình chi
ế
u
c
ủ

a V trên mpOxy.
Khi
ñ
ó:
2
1
2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
( , , )
z x y
V D z x y
z x y
D z x y
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy
dxdy f x y z dz
 
=
 
 
 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫
.



• N
ế
u
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
D x y a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
y x z x y
b
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
• N
ế
u
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }
D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2 2

1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
x y z x y
d
V c x y z x y
f x y z dxdydz dy dx f x y z dz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.

b) G
ọ
i D là hình chi
ế
u c
ủ
a V trên mpOxz.
Gi
ả
s
ử
mi
ề
n V có gi
ớ
i h
ạ
n (theo chi

ề
u ng
ượ
c v
ớ
i tia Oy)
b
ở
i hai m
ặ
t y = y
2
(x, z) và m
ặ
t y = y
1
(x, z), gi
ớ
i h
ạ
n xung
quanh b
ở
i m
ặ
t tr
ụ
có
ñườ
ng sinh song song Oy.

Khi
ñ
ó:

2
1
2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
( , , )
y x z
V D y x z
y x z
D y x z
f x y z dxdydz f x y z dy dxdz
dxdz f x y z dy
 
=
 
 
 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫
.
• N

ế
u
1 2
{( , ) : , z ( ) ( )}
D x z a x b x z z x
= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
z x y x z
b
V a z x y x z
f x y z dxdydz dx dz f x y z dy
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
• N
ế
u
1 2
{( , ) : ( ) ( ), e }
D x z x z x x z z f
= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )

x z y x z
f
V e x z y x z
f x y z dxdydz dz dx f x y z dy
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 9


c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz.
Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox)
bởi hai mặt x = x
2
(y, z) và mặt x = x
1
(y, z), giới hạn xung
quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Ox.
Khi ñó:
2
1
2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
( , , )

x y z
V D x y z
x y z
D x y z
f x y z dxdydz f x y z dx dydz
dydz f x y z dx
 
=
 
 
 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫
.
• Nếu
1 2
{( , ): , z ( ) ( )}
D y z c y d y z z y
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
z y x y z
d
V c z y x y z
f x y z dxdydz dy dz f x y z dx

=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.

• Nếu
1 2
{( , ) : ( ) ( ), e }
D y z y z y y z z f
= ≤ ≤ ≤ ≤

thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
y z x y z
f
V e y z x y z
f x y z dxdydz dz dy f x y z dx
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.


ðặc biệt
• Nếu
{( , , ): , c , e }
[ , ] [ , ] [ , ]
D x y z a x b y d z f

a b c d e f
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
= × ×

thì:
( , , ) ( , , )
f
b d
V a c e
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.



VD 1. Tính tích phân
8
V
I xyzdxdydz
=
∫∫∫
với
V = [1, 2]
×
[–1, 3]
×
[0, 2].

VD 2. Tính tích phân lặp

2
1 1 2
1 0
(4 )
x
I dx dy z dz
−
= +
∫ ∫ ∫
và dựng
miền lấy tích phân V.

VD 3. Tính tích phân
V
I ydxdydz
=
∫∫∫
với V giới hạn bởi
x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa ñộ.

2.3.2. ðổi biến tổng quát
• ðặt
( , , )
( , , )
( , , )
x x u v w
y y u v w
z z u v w
=



=


=

và
/ / /
/ / /
/ / /
( , , )
( , , )
u v w
u v w
u v w
x x x
x y z
J y y y
u v w
z z z
∂
= =
∂
.
Giả sử các hàm x, y, z có ñạo hàm riêng liên tục trong miền
ñóng, giới nội ño ñược V
uvw
trong không gian Ouvw và
0
J

≠
thì:
( , , )
( ( , , ), ( , , ), ( , , )). .
uvw
V
V
f x y z dxdydz
f x u v w y u v w z u v w J dudvdw
=
∫∫∫
∫∫∫
.


VD 4. Tính tích phân
( )
V
I x y z dxdydz
= + +
∫∫∫
với

: 2
V x y z x y z x y z
− + + + − + + + − ≤
.
VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit
2 2 2
2

2 2 2
:
x y z
V R
a b c
+ + ≤
.
2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ trụ
ðặt
cos
sin
x r
y r
z z
ϕ
ϕ
=


=


=

, với
0, 0 2
r
ϕ π
≥ ≤ ≤
ho

ặ
c
π ϕ π
− ≤ ≤
.

Ta có:
/ / /
/ / / 2
/ / /
( , , )
sin
( , , )
r
r
r
x x x
x y z
J y y y r
r
z z z
ϕ θ
ϕ θ
ϕ θ
θ
ϕ θ
∂
= = =
∂
.

Khi
ñ
ó ta có:
( , , ) ( cos , sin , ). .
r z
V V
f x y z dxdydz f r r z r drd dz
ϕ
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫∫ ∫∫∫
.
VD 6.
Tính th
ể
tích kh
ố
i V gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các m
ặ
t
2 2
4
x y z
+ = −

,
2 2
2
x y
+ ≥
và z = 0.
VD 7.
Tính tích phân
2 2
V
I z x y dxdydz
= +
∫∫∫
v
ớ
i V là
mi
ề
n hình tr
ụ
gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i:
2 2
2
x y y

+ =
, z = 0 và z = 1.


VD 8.
Tính tích phân
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
= + +
∫∫∫
v
ớ
i V là
mi
ề
n hình nón gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các m
ặ
t:
2 2 2
x y z
+ =
và z = 1.


2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ cầu
ðặ
t
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
θ ϕ
θ ϕ
θ
=


=


=

, v
ớ
i
0, 0 2 , 0r
ϕ π θ π
≥ ≤ ≤ ≤ ≤
ho
ặ
c

π ϕ π
− ≤ ≤
.

Ta có:
/ / /
/ / /
/ / /
cos sin 0
( , , )
sin cos 0
( , , )
0 0 1
r z
r z
r z
x x x r
x y z
J y y y r r
r z
z z z
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
−
∂
= = = =

∂
.

Khi
ñ
ó ta có:
2
( , , )
( sin cos , sin sin , cos ). sin .
r
V
V
f x y z dxdydz
f r r r r drd d
ϕθ
θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ
=
∫∫∫
∫∫∫
.


ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 10

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

VD 9. Tính tích phân
2 2 2
1

V
I dxdydz
x y z
=
+ +
∫∫∫
với V là
miền giới hạn bởi các mặt cầu:

2 2 2
1
x y z
+ + =
và
2 2 2
4
x y z
+ + =
.

VD 10. Tính tích phân
2 2
( )
V
I x y dxdydz
= +
∫∫∫
với V là
miền giới hạn bởi:
2 2 2

4
x y z
+ + ≤
và
0
z
≥
.


3.1. Diện tích, thể tích
(xem nhận xét tích phân bội hai, ba).
3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền ñóng
• Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền ñóng D là:
1
( , )
( )
D
f f x y dxdy
S D
=
∫∫
.
VD 1. Tính giá trị trung bình của f(x, y) = xcosxy trong
hình chữ nhật
0 x
π
≤ ≤
,
0 1

y
≤ ≤
.
• Giá tr
ị
trung bình c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y, z) trên mi
ề
n
ñ
óng
Ω

là:
1
( , , )
( )
f f x y z dxdydz
V
Ω
=
Ω
∫∫
.
VD 2.
Tính giá tr
ị

trung bình c
ủ
a f(x, y, z) = xyz trong hình
l
ậ
p ph
ươ
ng [0, 2]
×
[0, 2]
×
[0, 2].


3.3. Khối lượng
• Cho m
ộ
t b
ả
n ph
ẳ
ng chi
ế
m mi
ề
n D
ñ
óng trong Oxy có kh
ố
i

l
ượ
ng riêng (m
ậ
t
ñộ
kh
ố
i l
ượ
ng) t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) thu
ộ
c D là
hàm
( , )
x y
ρ
liên t
ụ
c trên D. Kh
ố
i l
ượ
ng c

ủ
a b
ả
n ph
ẳ
ng là:
( , )
D
m x y dxdy
ρ
=
∫∫
.
• Cho m
ộ
t v
ậ
t th
ể
chi
ế
m mi
ề
n V
ñ
óng trong Oxyz có kh
ố
i
l
ượ

ng riêng t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y, z) thu
ộ
c V là hàm
( , , )
x y z
ρ

liên t
ụ
c trên V. Kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a v
ậ
t th
ể
là:
( , , )
V
m x y z dxdydz
ρ

=
∫∫∫
.
VD 3.
Tính kh
ố
i l
ượ
ng b
ả
n ph
ẳ
ng chi
ế
m mi
ề
n D gi
ớ
i h
ạ
n
b
ở
i
2 2
4
x y
+ ≤
,
0

x
≥
và
0
y
≥
. Bi
ế
t kh
ố
i l
ượ
ng riêng là
hàm
( , )
x y xy
ρ
=
.

3.4. Momen tĩnh
ðịnh nghĩa
• Momen t
ĩ
nh c
ủ
a m
ộ
t ch
ấ

t
ñ
i
ể
m có kh
ố
i l
ượ
ng m
ñặ
t t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) trong Oxy
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c Ox, Oy theo th
ứ
t
ự
là:
M
y=0
= my, M

x=0
= mx.
• Momen t
ĩ
nh c
ủ
a m
ộ
t ch
ấ
t
ñ
i
ể
m có kh
ố
i l
ượ
ng m
ñặ
t t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y, z) trong Oxyz
ñố
i v
ớ

i các m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ

Oxy, Oyz, Oxz theo th
ứ
t
ự
là:
M
z=0
= mz, M
x=0
= mx, M
y=0
= my.
Công thức tính
• Momen t
ĩ
nh c
ủ
a b
ả
n ph
ẳ

ng chi
ế
m di
ệ
n tích D trong Oxy
có kh
ố
i l
ượ
ng riêng t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) là hàm
( , )
x y
ρ
liên
t
ụ
c trên D là:
0 0
( , ) , ( , )
y x
D D
M y x y dxdy M x x y dxdy
ρ ρ
= =

= =
∫∫ ∫∫
.



• Momen t
ĩ
nh c
ủ
a v
ậ
t th
ể
chi
ế
m mi
ề
n V trong Oxyz có kh
ố
i
l
ượ
ng riêng t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y, z) là hàm

( , , )
x y z
ρ
liên t
ụ
c
trên V là:

0
0
0
( , , ) ,
M ( , , ) ,
M ( , , ) .
z
V
x
V
y
V
M z x y z dxdydz
x x y z dxdydz
y x y z dxdydz
ρ
ρ
ρ
=
=
=
=

=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫



3.5. Trọng tâm
• Cho b
ả
n ph
ẳ
ng chi
ế
m di
ệ
n tích D trong Oxy có kh
ố
i l
ượ
ng
riêng t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) là hàm
( , )

x y
ρ
liên t
ụ
c trên D. Khi
ñ
ó, t
ọ
a
ñộ
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a b
ả
n ph
ẳ
ng là:
( , )
1
( , ) ,
( , )
( , )
1
y ( , ) .
( , )
D
G
D

D
D
G
D
D
x x y dxdy
x x x y dxdy
m
x y dxdy
y x y dxdy
y x y dxdy
m
x y dxdy
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
= =
= =
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫




Khi b
ả
n ph
ẳ
ng
ñồ
ng ch
ấ
t thì
( , )
x y
ρ
là h
ằ
ng s
ố
nên:
1 1
, y
( ) ( )
G G
D D
x xdxdy ydxdy
S D S D
= =
∫∫ ∫∫
.
• Cho v
ậ
t th

ể
chi
ế
m th
ể
tích V trong Oxyz có kh
ố
i l
ượ
ng
riêng t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y, z) là hàm
( , , )
x y z
ρ
liên t
ụ
c trên V.
Khi
ñ
ó, t
ọ
a
ñộ
tr

ọ
ng tâm G c
ủ
a v
ậ
t th
ể
là:
1
( , , ) ,
1
y ( , , ) ,
1
( , , ) .
G
V
G
V
G
V
x x x y z dxdydz
m
y x y z dxdydz
m
z z x y z dxdydz
m
ρ
ρ
ρ
=

=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫


Khi v
ậ
t th
ể

ñồ
ng ch
ấ
t thì
( , , )
x y z
ρ
là h
ằ
ng s
ố
nên:
1
,
1
y ,
1
z .

G
V
G
V
G
V
x xdxdydz
V
ydxdydz
V
zdxdydz
V
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
.
VD 4.
Tìm t
ọ
a
ñộ
tr
ọ
ng tâm hình ph
ẳ
ng D gi
ớ

i h
ạ
n b
ở
i
0, 0, 1
x y x y
≥ ≥ + ≤
. Bi
ế
t
( , ) 2
x y x y
ρ
= +
.
VD 5.
Tìm t
ọ
a
ñộ
tr
ọ
ng tâm c
ủ
a v
ậ
t th
ể


ñồ
ng ch
ấ
t chi
ế
m th
ể

tích V gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i m
ặ
t nón
2 2 2
z x y
= +
,
0
z
≥
và m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2

1
x y z
+ + =
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 11


3.4. Momen quán tính
ðịnh nghĩa
• Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt
tại ñiểm M(x, y) ñối với trục Ox, Oy và gốc tọa ñộ O theo
thứ tự là:
I
x
= my
2
, I
y
= mx
2
và I
O
= I
x
+ I
y
= m(x
2

+ y
2
).
• Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt
tại ñiểm M(x, y, z) ñối với trục Ox, Oy, Oz và gốc tọa ñộ O
theo thứ tự là:
I
x
= m(y
2
+ z
2
), I
y
= m(x
2
+ z
2
), I
z
= m(x
2
+ y
2
)
và I
O
= I
x
+ I

y
+ I
z
= m(x
2
+ y
2
+ z
2
).
• Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt
tại ñiểm M(x, y, z) ñối với các mặt phẳng tọa ñộ Oxy, Oyz,
Oxz thứ tự là:
I
z=0
= mz
2
, I
x=0
= mx
2
, I
y=0
= my
2
.

Công thức tính

• Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong mpOxy có khối

lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm
( , )
x y
ρ
liên tụ
c trên D.
Khi
ñ
ó:
( )
2
2
2 2
( , ) ,
( , ) ,
( , ) .
x
D
y
D
O
D
I y x y dxdy
I x x y dxdy
I x y x y dxdy
ρ
ρ
ρ
=
=

= +
∫∫
∫∫
∫∫





• Cho v
ậ
t th
ể
chi
ế
m mi
ề
n V trong Oxyz có kh
ố
i l
ượ
ng riêng
t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y, z) là hàm
( , , )

x y z
ρ
liên t
ụ
c trên V. Khi
ñ
ó:
(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2
( , , ) ,
( , , ) ,
( , , ) ,
( , , )
x
V
y
V
z
V
O
V
I y z x y z dxdydz
I x z x y z dxdydz

I x y x y z dxdydz
I x y z x y z dxdydz
ρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
= + +
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫



và
2
0
2
0
2
0
( , , ) ,
( , , ) ,
( , , ) .
z
V
x

V
y
V
I z x y z dxdydz
I x x y z dxdydz
I y x y z dxdydz
ρ
ρ
ρ
=
=
=
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫


VD 6.
Tính I
x
, I
y
c
ủ
a hình D gi
ớ
i h

ạ
n b
ở
i y
2
= 1 – x, x = 0,
y = 0. Bi
ế
t kh
ố
i l
ượ
ng riêng là
( , )
x y y
ρ
=
.
VD 7.
Tính I
O
c
ủ
a hình tròn
2 2
2 0
x y Rx
+ − ≤
.
Bi

ế
t
2 2
( , )
x y x y
ρ
= +
.


Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT

§1. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI I

1.1. ðịnh nghĩa

• Gi
ả
s
ử

ñườ
ng cong L trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy có ph
ươ
ng
trình tham s

ố

( )
x x t
=
,
( )
y y t
=
v
ớ
i
a t b
≤ ≤
và f(x, y) là
hàm s
ố
xác
ñị
nh trên L. Chia L thành n cung không d
ẫ
m lên
nhau b
ở
i các
ñ
i
ể
m chia
ứ

ng v
ớ
i
0 1

n
a t t t b
= < < < =
.
G
ọ
i
ñộ
dài cung th
ứ
i là
i
s
∆
. Trên cung th
ứ
i l
ấ
y
ñ
i
ể
m
( , )
i i i

M x y
. T
ổ
ng
1
( , )
n
n i i i
i
I f x y s
=
= ∆
∑

ñượ
c g
ọ
i là
tổng tích
phân ñường (loại 1)
c
ủ
a hàm f(x, y) trên
ñườ
ng cong L.

Gi
ớ
i h
ạ

n
0
1
lim ( , )
i
n
i i i
max s
i
f x y s
∆ →
=
∆
∑
t
ồ
n t
ạ
i
ñượ
c g
ọ
i là
tích
phân ñường loại 1
c
ủ
a f(x, y) trên
ñườ
ng cong L.

Ký hi
ệ
u là
( , )
L
f x y ds
∫
.
Nhận xét

1) Tích phân
ñườ
ng lo
ạ
i 1 có t
ấ
t c
ả
các tính ch
ấ
t c
ủ
a tích
phân xác
ñị
nh.
2) Tích phân
ñườ
ng lo
ạ

i 1 không ph
ụ
thu
ộ
c vào chi
ề
u c
ủ
a
L:


( , ) ( , )
AB BA
f x y ds f x y ds
=
∫ ∫
.


1.2. Phương pháp tính
a) ðường cong L có phương trình tham số

• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
( )
x x t

=
,
( )
y y t
=
v
ớ
i
a t b
≤ ≤

thì:
( ) ( )
2 2
/ /
( , ) ( ( ), ( ))
b
t t
L a
f x y ds f x t y t x y dt
= +
∫ ∫
.
• N
ế
u L trong không gian có ph
ươ
ng trình
( )
x x t

=
,
( )
y y t
=
,
( )
z z t
=
v
ớ
i
a t b
≤ ≤
thì:
( ) ( ) ( )
2 2 2
/ / /
( , , ) ( ( ), ( ), ( ))
b
t t t
L a
f x y z ds f x t y t z t x y z dt
= + +
∫ ∫
.

b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát

• N

ế
u L có ph
ươ
ng trình
( )
y y x
=
v
ớ
i
a x b
≤ ≤
thì:
( )
2
/
( , ) ( , ( )) 1
b
x
L a
f x y ds f x y x y dx
= +
∫ ∫
.

• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình

( )
x x y
=
v
ớ
i
a y b
≤ ≤
thì:
( )
2
/
( , ) ( ( ), ) 1
b
y
L a
f x y ds f x y y x dy
= +
∫ ∫
.



ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 12

ðặc biệt
• Nếu L có phương trình
y
α

=
(hằng số) với
a x b
≤ ≤
thì:
( , ) ( , )
b
L a
f x y ds f x dx
α
=
∫ ∫
.
• Nếu L có phương trình
x
α
=
(hằng số) với
a y b
≤ ≤
thì:
( , ) ( , )
b
L a
f x y ds f y dy
α
=
∫ ∫
.
c) ðường cong L trong tọa ñộ cực

• Nếu L ñược cho trong tọa ñộ cực
( )
r r
ϕ
=
vớ
i
α ϕ β
≤ ≤

thì ta xem
ϕ
là tham s
ố
. Khi
ñ
ó, ph
ươ
ng trình c
ủ
a L là
( )cos
x r
ϕ ϕ
=
,
( )sin
y r
ϕ ϕ
=

,
α ϕ β
≤ ≤
và:
( )
2
2 /
( , ) ( ( )cos , ( )sin )
L
f x y ds f r r r r d
β
ϕ
α
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= +
∫ ∫
.


VD 1.
Tính
L
zds
∫
v
ớ
i L là
ñườ
ng xo
ắ

n
ố
c tr
ụ
tròn xoay có
ph
ươ
ng trình
cos
x a t
=
,
sin
y a t
=
,
z bt
=
,
0 2
t
π
≤ ≤
.

VD 2.
Tính
( )
L
x y ds

+
∫
v
ớ
i L là tam giác có các
ñỉ
nh
O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1).

VD 3.
Tính
L
xyds
∫
v
ớ
i L là ph
ầ
n giao tuy
ế
n gi
ữ
a m
ặ
t
2 2
2 2
z x y
= − −
và

2
z x
=
n
ằ
m trong góc ph
ầ
n tám th
ứ

nh
ấ
t t
ừ

ñ
i
ể
m A(0; 1; 0)
ñế
n B(1; 0; 1).



1.3. Ứng dụng
1)
ðộ
dài cung L là
L
ds

∫
, v
ớ
i f(x, y) = 1 ho
ặ
c f(x, y, z) = 1.
2) N
ế
u dây v
ậ
t d
ẫ
n có hình d
ạ
ng L và hàm m
ậ
t
ñộ
kh
ố
i
l
ượ
ng
( , )
x y
ρ
ph
ụ
thu

ộ
c vào
ñ
i
ể
m M(x, y) trên L thì kh
ố
i
l
ượ
ng c
ủ
a dây v
ậ
t d
ẫ
n là
( , )
L
m x y ds
ρ
=
∫
.
Tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a L là:
1

( , )
G
L
x x x y ds
m
ρ
=
∫
,
1
( , )
G
L
y y x y ds
m
ρ
=
∫
.
3) N
ế
u dây v
ậ
t d
ẫ
n có hình d
ạ
ng L và hàm m
ậ
t

ñộ
kh
ố
i
l
ượ
ng
( , , )
x y z
ρ
ph
ụ
thu
ộ
c vào
ñ
i
ể
m M(x, y, z) trên L thì
kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a dây v
ậ
t d
ẫ
n là

( , , )
L
m x y z ds
ρ
=
∫
.
Tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a L là:
1
( , , )
G
L
x x x y z ds
m
ρ
=
∫
,
1
( , , )
G
L
y y x y z ds
m
ρ
=

∫
,
1
( , , )
G
L
z z x y z ds
m
ρ
=
∫
.
VD 4.
Tính
ñộ
dài cung tròn
2 2
2 0
x y x
+ − =
n
ằ
m trong
góc th
ứ
nh
ấ
t t
ừ
A(2; 0)

ñế
n
1 3
;
2 2
B
 
 
 
.
VD 5.
Cho m
ộ
t dây thép d
ạ
ng n
ử
a
ñườ
ng tròn trong mpOyz
v
ớ
i ph
ươ
ng trình
2 2
1
y z
+ =
,

0
z
≥
. Bi
ế
t m
ậ
t
ñộ
kh
ố
i l
ượ
ng
( , , ) 2
x y z z
ρ
= −
.
Tìm kh
ố
i l
ượ
ng và tr
ọ
ng tâm c
ủ
a dây thép.

§2. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI II

2.1. Bài toán mở ñầu
• Tính công sinh ra do l
ự
c
( )
F F M
=
 
tác d
ụ
ng lên ch
ấ
t
ñ
i
ể
m M(x, y) di chuy
ể
n d
ọ
c theo
ñườ
ng cong L.
N
ế
u L là
ñ
o
ạ
n th

ẳ
ng AB thì công sinh ra là
(
)
. cos ,
W F AB F AB F AB
= =
     
.
Chia L thành n cung nh
ỏ
b
ở
i các
ñ
i
ể
m chia
0 1
, , ,
n
A A A
.
Trên m
ỗ
i cung

1
i i
A A

−
l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
, y
i
) tùy ý. Chi
ế
u
( )
i
F M

và
1
i i
A A
−

lên tr
ụ
c Ox, Oy ta
ñượ

c:
( ) ( , ). ( , ).
i i i i i
F M P i Q j
ξ η ξ η
= +
  
và
1
. .
i i i i
A A x i y j
−
= ∆ + ∆
  
.


Khi
ñ
ó, công W sinh ra:
[ ]
1
1 1
1
( )
( , ) ( , ) .
n n
i i i i
i i

n
i i i i i i
i
W W F M A A
P x Q y
ξ η ξ η
−
= =
=
≈ =
= ∆ + ∆
∑ ∑
∑
 

V
ậ
y
[ ]
1
0
1
lim ( , ) ( , )
i i
n
i i i i i i
max A A
i
W P x Q y
ξ η ξ η

−
→
=
= ∆ + ∆
∑

.



2.2. ðịnh nghĩa
• Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác
ñị
nh trên
ñườ
ng cong L.
Chia L thành n cung nh
ỏ
b
ở
i các
ñ
i
ể
m chia
0 1
, , ,
n
A A A
.

Trên m
ỗ
i cung

1
i i
A A
−
l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
, y
i
) tùy ý. G
ọ
i
(
)
1
,
i i i i
A A x y
−

= ∆ ∆

. T
ổ
ng
[ ]
1
( , ) ( , )
n
n i i i i i i
i
I P x Q y
ξ η ξ η
=
= ∆ + ∆
∑

ñượ
c g
ọ
i là t
ổ
ng tích
phân
ñườ
ng (lo
ạ
i 2) c
ủ
a hàm P(x, y) và Q(x, y) trên

ñườ
ng
cong L.
Gi
ớ
i h
ạ
n
1
0
lim
i i
n
max A A
I
−
→

t
ồ
n t
ạ
i
ñượ
c g
ọ
i là tích phân
ñườ
ng
lo

ạ
i 2 c
ủ
a P(x, y) và Q(x, y) trên
ñườ
ng cong L.

Ký hi
ệ
u là
( , ) ( , )
L
P x y dx Q x y dy
+
∫
.

Nhận xét


1) Tích phân
ñườ
ng lo
ạ
i 2 có t
ấ
t c
ả
các tính ch
ấ

t nh
ư
tích
phân xác
ñị
nh.

2) Tích phân
ñườ
ng lo
ạ
i 2 ph
ụ
thu
ộ
c vào chi
ề
u c
ủ
a L vì khi
thay
ñổ
i chi
ề
u thì
(
)
1
,
i i i i

A A x y
−
= ∆ ∆


ñổ
i d
ấ
u, do
ñ
ó khi vi
ế
t
tích phân ta c
ầ
n ghi rõ
ñ
i
ể
m
ñầ
u và cu
ố
i:


( , ) ( , ) ( , ) ( , )
AB BA
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
+ = − +

∫ ∫
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 13

3) Từ ñịnh nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:
  
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
AB AB AB
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
+ = +
∫ ∫ ∫
.


• Nếu L là ñường cong phẳng, kín lấy theo chiều dương
(ngược chiều kim ñồng hồ) thì ta dùng ký hiệu:
( , ) ( , )
L
P x y dx Q x y dy
+
∫

.

• ðịnh nghĩa tương tự:
( , , ) ( , , ) ( , , )
L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

+ +
∫
.


2.3. Phương pháp tính
a) ðường cong L có phương trình tham số
• Nếu L có phương trình
( )
x x t
=
,
( )
y y t
=
thì:

/ /
( , ) ( , )
( ( ), ( )) ( ( ), ( )) .
B
A
AB
t
t t
t
P x y dx Q x y dy
P x t y t x Q x t y t y dt
+
 

= +
 
∫
∫

• N
ế
u L trong không gian có pt
( )
x x t
=
,
( )
y y t
=
,
( )
z z t
=
:

/ /
/
( , , ) ( , , ) ( , , )
( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( ))
.
( ( ), ( ), ( ))
B
A
AB

t
t t
t
t
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x t y t z t x Q x t y t z t y
dt
R x t y t z t z
+ +
 
+
=
 
+
 
 
∫
∫



b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát

• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
( )
y y x

=
thì:

/
( , ( )) ( , ( )).
B
A
x
x
x
AB
Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx
 
+ = +
 
∫ ∫
.

• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
( )
x x y
=
thì:

/
( ( ), ). ( ( ), )

B
A
y
y
y
AB
Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy
 
+ = +
 
∫ ∫
.


ðặc biệt
• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
y
α
=
(h
ằ
ng s
ố
) thì:

( , ) ( , ) ( , )

B
A
x
x
AB
P x y dx Q x y dy P x dx
α
+ =
∫ ∫
.
• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
x
α
=
(h
ằ
ng s
ố
) thì:

( , ) ( , ) ( , )
B
A
y
y
AB

P x y dx Q x y dy Q y dy
α
+ =
∫ ∫
.
VD 1.
Tính
L
xdy ydx
−
∫

v
ớ
i L là elip
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
l
ấ
y theo
chi
ề
u d
ươ
ng.



VD 2.
Tính
( ) ( )
L
x y dx x y dy
− + +
∫
v
ớ
i L là
ñườ
ng n
ố
i
ñ
i
ể
m O(0; 0) v
ớ
i A(1; 1) trong các tr
ườ
ng h
ợ
p:
a)
ñườ
ng th
ẳ
ng y = x;

b)
ñườ
ng y = x
2
;
c)
ñườ
ng
y x
=
.

VD 3.
Tính
L
dx ydy dz
− +
∫
v
ớ
i L là
ñườ
ng xo
ắ
n
ố
c tr
ụ
tròn
xoay có ph

ươ
ng trình
cos
x t
=
,
sin
y t
=
,
2
z t
=
t
ừ

ñ
i
ể
m
A(1; 0; 0)
ñế
n
(0; 1; )
B
π
.


2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép)

• Cho mi
ề
n D là mi
ề
n liên thông, b
ị
ch
ặ
n, có biên L Jordan
kín tr
ơ
n t
ừ
ng khúc. Chi
ề
u d
ươ
ng c
ủ
a L là chi
ề
u mà khi di
chuy
ể
n ta th
ấ
y mi
ề
n D n
ằ

m v
ề
phía tay trái.

• N
ế
u các hàm s
ố
P(x, y) và Q(x, y) có các
ñạ
o hàm riêng
c
ấ
p 1 liên t
ụ
c trên D thì:
(
)
/ /
( , ) ( , )
x y
D L
Q P dxdy P x y dx Q x y dy
− = +
∫∫ ∫

.


Hệ quả

1
( )
2
D
S D xdy ydx
∂
= −
∫
.

VD 4.
Tính di
ệ
n tích c
ủ
a elip
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
.

VD 5.
Tính
2 2
( ) ( 2 )
y
L

xarctgx y dx x xy y e dx
−
+ + + +
∫

, v
ớ
i L
là
2 2
2 0
x y y
+ − =
.
VD 6.
Tính
2 2
L
xdy ydx
x y
−
+
∫
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p:
a) L là
ñườ

ng cong kín không bao g
ố
c O;
b) L là
ñườ
ng cong kín bao g
ố
c O.

2.5. ðiều kiện tích phân ñường không phụ thuộc ñường
lấy tích phân
ðịnh lý
• Gi
ả
s
ử
các hàm s
ố
P(x, y), Q(x, y) và các
ñạ
o hàm riêng
c
ấ
p 1 c
ủ
a chúng liên t
ụ
c trong mi
ề
n

ñơ
n liên D. Khi
ñ
ó, b
ố
n
m
ệ
nh
ñề
sau t
ươ
ng
ñươ
ng:
1)
/ /
, ( , )
y x
P Q x y D
= ∀ ∈
.
2)
( , ) ( , ) 0
L
P x y dx Q x y dy
+ =
∫

d

ọ
c theo m
ọ
i
ñườ
ng kín L
n
ằ
m trong D.
3)

( , ) ( , )
AB
P x y dx Q x y dy
+
∫
, trong
ñ
ó

AB
n
ằ
m trong D, ch
ỉ

ph
ụ
thu
ộ

c vào hai mút A, B mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào
ñườ
ng
n
ố
i A v
ớ
i B.
4) Bi
ể
u th
ứ
c P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph
ầ
n c
ủ
a
hàm u(x, y) nào
ñ
ó trong mi
ề
n D.


ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 14

§3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Hệ quả
• Nếu P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm
u(x, y) nào ñó trong miền D, nghĩa là
/ /
, ( , )
y x
P Q x y D
= ∀ ∈

thì:

( , ) ( , ) ( ) ( )
AB
P x y dx Q x y dy u B u A
+ = −
∫
.

VD 7. Tính
2 2 2 2
L
x y x y
dx dy
x y x y
− +
+
+ +
∫

với L là ñường trơn
từng khúc nối A(1; 1) và B(2; 2) nằm trong miền D không
chứa gốc tọa ñộ O.


3.1. ðịnh nghĩa
• Cho hàm số f(x, y, z) xác ñịnh trên mặt S. Chia S một cách
tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần
là ∆S
i
(i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆S
i
ta lấy ñiểm
( , , )
i i i i
M
ξ η ζ

tùy ý và lập tổng tích phân
1
( , , )
n
n i i i i
i
I f S
ξ η ζ
=
= ∆
∑
.

Nếu
max ( ) 0
1
lim ( , , )
i
n
i i i i
d S
i
I f S
ξ η ζ
∆ →
=
= ∆
∑
tồn tại hữu hạn, không
phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn ñiểm M
i
thì số I
ñược gọi là tích phân mặt loại 1 của f(x, y, z) trên S.
Ký hiệu
( , , )
S
I f x y z dS
=
∫∫
.


3.2. Phương pháp tính

a) Chiếu S lên Oxy
• Nếu S có phương trình z = z(x, y) và S có hình chiếu trên
Oxy là D thì:
( ) ( )
2 2
/ /
( , , ) ( , , ( , )) 1
x y
S D
f x y z dS f x y z x y z z dxdy
= + +
∫∫ ∫∫
.

b) Chiếu S lên Oxz
• Nếu S có phương trình y = y(x, z) và S có hình chiếu trên
Oxz là D thì:
( ) ( )
2 2
/ /
( , , ) ( , ( , ), ) 1
x z
S D
f x y z dS f x y x y z y y dxdz
= + +
∫∫ ∫∫
.

c) Chiếu S lên Oyz
• Nếu S có phương trình x = x(y, z) và S có hình chiếu trên

Oyz là D thì:
( ) ( )
2 2
/ /
( , , ) ( ( , ), , ) 1
y z
S D
f x y z dS f x y z y z x x dydz
= + +
∫∫ ∫∫
.

VD 1. Tính
S
I zdS
=
∫∫
, trong ñó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y
= +
với
0 1
z
≤ ≤
.
VD 2. Tính
2 2 2
( )
S

I z x y dS
= +
∫∫
, trong ñó S là phần mặt
cầu
2 2 2
4
x y z
+ + =
với
0
x
≥
,
0
y
≥
.

§4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II

3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
1) Di
ệ
n tích m
ặ
t S là
S
dS
∫∫

.
2) N
ế
u m
ặ
t S có hàm m
ậ
t
ñộ
kh
ố
i l
ượ
ng là
( , , )
x y z
ρ
thì
kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a m
ặ
t S là:
( , , )
S
m x y z dS

ρ
=
∫∫
.
Khi
ñ
ó, t
ọ
a
ñộ
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a m
ặ
t S là:
1 1
( , , ) , y ( , , ) ,
1
( , , ) .
G G
S S
G
S
x x x y z dS y x y z dS
m m
z z x y z dS
m
ρ ρ

ρ
= =
=
∫∫ ∫∫
∫∫


4.1. ðịnh nghĩa
4.1.1. Mặt ñịnh hướng
• M
ặ
t tr
ơ
n S
ñượ
c g
ọ
i là m
ặ
t
ñị
nh h
ướ
ng n
ế
u pháp vector
ñơ
n v
ị


n

xác
ñị
nh t
ạ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m M thu
ộ
c S (có th
ể
tr
ừ
biên
S) bi
ế
n
ñổ
i liên t
ụ
c khi M ch
ạ
y trên S. M
ặ
t

ñị
nh h
ướ
ng có
hai phía, phía mà n
ế
u
ñứ
ng trên
ñ
ó thì
n

h
ướ
ng t
ừ
chân lên
ñầ
u là phía d
ươ
ng, ng
ượ
c l
ạ
i là phía âm.



• H

ướ
ng c
ủ
a biên S là h
ướ
ng ng
ượ
c chi
ề
u kim
ñồ
ng h
ồ
khi
nhìn t
ừ
ng
ọ
n c
ủ
a
n

.
• Khi m
ặ
t S không kín, ta g
ọ
i phía trên là phía mà
n


l
ậ
p v
ớ
i
tia Oz góc nh
ọ
n, ng
ượ
c là là phía d
ướ
i.
Khi m
ặ
t S kín ta g
ọ
i phía trong và phía ngoài.
• M
ặ
t tr
ơ
n t
ừ
ng khúc S là
ñị
nh h
ướ
ng
ñượ

c n
ế
u hai ph
ầ
n
tr
ơ
n b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a S n
ố
i v
ớ
i nhau b
ở
i
ñườ
ng biên C có
ñị
nh
h
ướ
ng ng
ượ
c nhau.


4.1.2. ðịnh nghĩa tích phân mặt loại 2
• Cho hàm s
ố
f(x, y, z) xác
ñị
nh trên m
ặ
t
ñị
nh h
ướ
ng, tr
ơ
n
t
ừ
ng khúc S. Chia S m
ộ
t cách tùy ý thành n ph
ầ
n không
d
ẫ
m lên nhau, di
ệ
n tích m
ỗ
i ph
ầ
n là ∆S

i
(i=1,2,…,n). Trong
m
ỗ
i ∆S
i
ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m
( , , )
i i i i
M
ξ η ζ
tùy ý.

G
ọ
i D
i
là hình chi
ế
u c
ủ
a ∆S
i
lên Oxy kèm theo d

ấ
u d
ươ
ng
n
ế
u ∆S
i
có
ñị
nh h
ướ
ng trên, ng
ượ
c l
ạ
i là d
ấ
u âm.
L
ậ
p t
ổ
ng tích phân
( )
1
( , , ).
n
n i i i i
i

I f S D
ξ η ζ
=
=
∑
.
N
ế
u
( )
max ( ) 0
1
lim ( , , ).
i
n
i i i i
d S
i
I f S D
ξ η ζ
∆ →
=
=
∑
t
ồ
n t
ạ
i h
ữ

u h
ạ
n,
không ph
ụ
thu
ộ
c vào cách chia S và cách ch
ọ
n
ñ
i
ể
m M
i
thì
s
ố
I
ñượ
c g
ọ
i là tích phân m
ặ
t lo
ạ
i 2 c
ủ
a f(x, y, z) trên m
ặ

t
ñị
nh h
ướ
ng S.
Ký hi
ệ
u
( , , )
S
f x y z dxdy
∫∫
.



ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 15
• Tương tự, khi chiếu S lên Ozx và Oyz ta có
( , , )
S
f x y z dzdx
∫∫
và
( , , )
S
f x y z dydz
∫∫
.


• Kết hợp cả 3 dạng trên ta ñược tích phân mặt loại 2 của
các hàm P, Q, R trên S:
( , , ) ( , , ) ( , , )
S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
+ +
∫∫
.

Nhận xét
• Nếu ñổi hướng của mặt S thì tích phân ñổi dấu.
• Nếu S kín thì tích phân còn ñược ký hiệu là:
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
+ +
∫∫

.

4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1
• Cho mặt ñịnh hướng trơn từng khúc S có pháp vector ñơn
vị
n

. Gọi
, ,
α β γ
lầ
n l
ượ

t là góc h
ợ
p b
ở
i
n

v
ớ
i các tia
Ox, Oy, Oz. Khi
ñ
ó:
( cos cos cos ) .
S
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P Q R dS
α β γ
+ +
= + +
∫∫
∫∫

Trong
ñ
ó:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

/ /
2 2 2 2
/ / / /
1
cos ,
1
1 1
cos , cos .
1 1
y z
x z x y
x x
y y z z
α
β γ
=
+ +
= =
+ + + +


4.3. Phương pháp tính
a) N
ế
u S có hình chi
ế
u
ñơ
n tr
ị

lên Oxy là mi
ề
n D
xy
và có
ph
ươ
ng trình z(x, y) thì:
( , , ) ( , , ( , ))
xy
S D
R x y z dxdy R x y z x y dxdy
= ±
∫∫ ∫∫
.
(d
ấ
u + hay – tùy thu
ộ
c vào m
ặ
t
ở
phía trên hay d
ướ
i).
b) N
ế
u S có hình chi
ế

u
ñơ
n tr
ị
lên Oxz là mi
ề
n D
xz
và có
ph
ươ
ng trình y(x, z) thì:
( , , ) ( , ( , ), )
xz
S D
Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx
= ±
∫∫ ∫∫
.
c) N
ế
u S có hình chi
ế
u
ñơ
n tr
ị
lên Oyz là mi
ề
n D

yz
và có
ph
ươ
ng trình x(y, z) thì:
( , , ) ( ( , ), , )
yz
S D
P x y z dydz P x y z y z dydz
= ±
∫∫ ∫∫
.


VD 1.
Tính
S
zdxdy
∫∫
, v
ớ
i S là phía ngoài c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2 2
x y z R

+ + =
.

VD 2.
Cho
( ) ( ) ( )
S
I y z dydz z x dzdx x y dxdy
= − + − + −
∫∫
,
v
ớ
i S là phía ngoài c
ủ
a m
ặ
t nón
2 2 2
x y z
+ =
,
0 4
z
≤ ≤
.
Chuy
ể
n tích phân v
ề

lo
ạ
i 1 r
ồ
i tính I.


4.4. Công thức Stokes
• Cho S là m
ặ
t
ñị
nh h
ướ
ng tr
ơ
n t
ừ
ng khúc có biên
S
∂
tr
ơ
n
t
ừ
ng khúc và không t
ự
c
ắ

t. Gi
ả
s
ử
P, Q, R là các hàm có
ñạ
o
hàm riêng liên t
ụ
c trong mi
ề
n m
ở
ch
ứ
a S. Khi
ñ
ó:
( ) ( ) ( )
/ / / / / /
.
S
y z z x x y
S
Pdx Qdy Rdz
R Q dydz P R dzdx Q P dxdy
∂
+ +
= − + − + −
∫

∫∫


(H
ướ
ng c
ủ
a
S
∂
là h
ướ
ng d
ươ
ng phù h
ợ
p v
ớ
i h
ướ
ng c
ủ
a S).
VD 3.
Tính
C
ydx zdy xdz
+ +
∫


, v
ớ
i C là
ñườ
ng tròn giao
c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2 2
x y z R
+ + =
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
0
x y z
+ + =

và h
ướ
ng tích phân trên C là h
ướ
ng d
ươ

ng khi nhìn t
ừ
ng
ọ
n
tia Oz.

4.5. Công thức Gauss – Ostrogradski

• Cho V là m
ộ
t kh
ố
i gi
ớ
i n
ộ
i v
ớ
i biên S tr
ơ
n t
ừ
ng khúc. Gi
ả

s
ử
P, Q, R là các hàm có
ñạ

o hàm riêng liên t
ụ
c trong mi
ề
n
m
ở
ch
ứ
a V. Khi
ñ
ó:
(
)
/ / /
x y z
S V
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdydz
+ + = + +
∫∫ ∫∫∫

.
(Tích phân
S
∫∫

l
ấ
y theo phía ngoài c
ủ

a S).

VD 4.
Tính
3 3 3
S
x dydz y dzdx z dxdy
+ +
∫∫

, v
ớ
i S là phía
ngoài c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2 2
x y z R
+ + =
.


Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• M

ộ
t ph
ươ
ng trình ch
ứ
a
ñạ
o hàm ho
ặ
c vi phân c
ủ
a 1 ho
ặ
c
vài hàm c
ầ
n tìm
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình vi phân.

VD 1.
y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0;
2y’’ – 3y’ + y = 0;
2 0
dy dz
dx dx

+ =
.

• C
ấ
p cao nh
ấ
t c
ủ
a
ñạ
o hàm ch
ứ
a trong ph
ươ
ng trình vi
phân (ptvp)
ñượ
c g
ọ
i là c
ấ
p c
ủ
a ptvp
ñ
ó.
VD 2.
y’ = 3x và
2

dy
x
dx
=
là ptvp c
ấ
p 1;
y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp c
ấ
p 2.
• D
ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a ptvp c
ấ
p n là F(x, y, y’,…, y
(n)
) = 0(*),
n
ế
u t
ừ
(*) ta gi
ả
i
ñượ
c theo y

(n)
thì ptvp có d
ạ
ng:
y
(n)
= f(x, y, y’,…, y
(n–1)
).
• Nghi
ệ
m c
ủ
a ptvp F(x, y, y’,…, y
(n)
) = 0 trên kho
ả
ng K là 1
hàm s
ố
y =
φ
(x) xác
ñị
nh trên K sao cho khi thay y =
φ
(x)
vào ptvp ta
ñượ
c

ñồ
ng nh
ấ
t th
ứ
c trên K.
Ph
ươ
ng trình vi phân có vô s
ố
nghi
ệ
m sai khác h
ằ
ng s
ố
C.
• Gi
ả
i ph
ươ
ng trình vi phân là tìm t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m c
ủ
a nó.

•
ðồ
th
ị
c
ủ
a nghi
ệ
m y =
φ
(x)
ñượ
c g
ọ
i là
ñườ
ng cong tích
phân.

VD 3.
Các hàm s
ố
y = e
x
, y = e
–x
, y = C
1
e
x

+ C
2
e
–x

ñề
u là
nghi
ệ
m c
ủ
a y’’ – y = 0.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 16
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1


2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng
quát F(x, y, y’) = 0 (*), nếu từ (*) ta giải ñược theo y’ thì
y’ = f(x, y).

• Giải ptvp cấp 1 với ñiều kiện ñầu y(x
0
) = y
0
là ñi tìm
nghiệm thỏa ñiều kiện ñầu, hay tìm 1 ñường cong tích phân
của ptvp ñi qua ñiểm M

0
(x
0
; y
0
).

VD 1. Giải ptvp
0
y x
′
− =
, biết ñường cong tích phân ñi
qua ñiểm M(2; 1).

• Nghiệm của ptvp chứa hằng số C là nghiệm tổng quát,
nghiệm chứa hằng số C
0
cụ thể là nghiệm riêng và nghiệm
không nhận ñược từ nghiệm tổng quát là nghiệm kỳ dị.

VD 2.
Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp
2
1
y y
′
= −
.


VD 3.
Tìm ptvp của họ ñường cong y = Cx
2
.



2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 có biến phân ly
• Ptvp có biến phân ly có dạng:
( ) ( ) (1)
f x dx g y dy
+
.

Phương pháp giải
• L
ấ
y tích phân hai v
ế
(1) ta
ñượ
c nghi
ệ
m t
ổ
ng quát:
( ) ( )
f x dx g y dy C
+ =

∫ ∫
.

VD 4.
Gi
ả
i ptvp
2 2
0
1 1
xdx ydy
x y
+ =
+ +
.


Chú ý
Ptvp
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
f x g y dx f x g y dy
+ =
(1’)
ñượ
c
ñư
a v
ề


d
ạ
ng (1) nh
ư
sau:
+ N
ế
u g
1
(y
0
) = 0 thì y = y
0
là nghi
ệ
m c
ủ
a (1).
+ N
ế
u f
2
(x
0
) = 0 thì x = x
0
là nghi
ệ
m c
ủ

a (1).
+ N
ế
u
1 2
( ) 0, ( ) 0
g y f x
≠ ≠
thì:
1 2
2 1
( ) ( )
(1') 0
( ) ( )
f x g y
dx dy
f x g y
⇒ + =
(d
ạ
ng (1)).
VD 5.
Gi
ả
i ptvp
( 2)
y xy y
′
= +
.

VD 6.
Gi
ả
i ptvp
2 3
( 1) ( 1)( 1) 0
x y dx x y dy
+ + − − =
.
VD 7.
Gi
ả
i ptvp xy’ + y = y
2
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñầ
u
1
(1)
2
y
=

.


2.2.2. Phương trình vi phân ñẳng cấp cấp 1


• Hàm hai bi
ế
n f(x, y)
ñượ
c g
ọ
i là
ñẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c n n
ế
u v
ớ
i
m
ọ
i k > 0 thì f(kx, ky) = k
n
f(x, y). Ch
ẳ
ng h

ạ
n, các hàm
( , )
2 3
x y
f x y
x y
−
=
+
,
2
( , )
2 3
x xy
f x y
x y
−
=
+
, f(x, y) = x
2
+ xy là
ñẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c 0, 1, 2 t
ươ

ng
ứ
ng.

• Cho hàm f(x, y)
ñẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c 0 hay
( , )
y
f x y
x
ϕ
 
=
 
 
.
Khi
ñ
ó, ptvp
ñẳ
ng c
ấ
p có d
ạ
ng:

( , ) (2)
y f x y
′
=
.

Phương pháp giải

•
ðặ
t
y
u y u xu
x
′ ′
= ⇒ = +
.
•
(2) ( )
( )
du dx
u xu u
u u x
ϕ
ϕ
′
⇒ + = ⇒ =
−

(

)
( ) 0
u u x
ϕ
− ≠ ≠

(ptvp có bi
ế
n phân ly).

VD 9.
Gi
ả
i ptvp
2 2
x xy y
y
xy
− +
′
=
.
VD 10.
Gi
ả
i ptvp
x y
y
x y
+

′
=
−
v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñầ
u y(1) = 0.


2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
• Cho ptvp có d
ạ
ng:
( , ) ( , ) 0 (3)
P x y dx Q x y dy
+ =
v
ớ
i
ñ
i
ề
u

ki
ệ
n
/ /
x y
Q P
=
trong mi
ề
n ph
ẳ
ng D. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i hàm u(x, y)
sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3)
ñượ
c g
ọ
i là
ptvp toàn ph
ầ
n.
• Nghi
ệ
m t
ổ

ng quát c
ủ
a (3) là u(x, y) = C.

Phương pháp giải

B
ướ
c 1. T
ừ
(3) ta có
/
x
u P
=
(3a) và
/
y
u Q
=
(3b).
B
ướ
c 2. L
ấ
y tích phân (3a) theo x:
( , ) ( , ) ( , ) ( )
u x y P x y dx x y C y
ϕ
= = +

∫
(3c),
v
ớ
i C(y) là hàm theo bi
ế
n y.
B
ướ
c 3.
ðạ
o hàm (3c) theo y:
/ /
( )
y y
u C y
ϕ
′
= +
(3d).
B
ướ
c 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm
ñượ
c C(y), thay vào
(3c) ta
ñượ
c u(x, y).

VD 11.

Cho ph
ươ
ng trình vi phân:
2 2
(3 2 2 ) ( 6 3) 0
y xy x dx x xy dy
+ + + + + =
(*).
a)

Ch
ứ
ng t
ỏ
(*) là ptvp toàn ph
ầ
n.
b)

Gi
ả
i ptvi (*).

VD 12.
Gi
ả
i ptvp
( 1) ( ) 0
y
x y dx e x dy

+ − + + =
.






ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 17

2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
( ) ( ) (4)
y p x y q x
′
+ =
.
• Khi f(x) = 0 thì (4) ñược gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần
nhất.

Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số
Lagrange)
Bước 1. Tìm biểu thức
( )
( )
p x dx
A x e
−
∫

=
.
Bước 2. Tìm biểu thức
( )
( ) ( ).
p x dx
B x q x e dx
∫
=
∫
.
Bước 3. Nghiệm tổng quát là
[
]
( ) ( )
y A x B x C
= +
.

Chú ý

• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.
• Phương pháp biến thiên hằng số là ñi tìm nghiệm tổng
quát của (4) dưới dạng:
( )
( )
p x dx
y C x e
−
∫

=
.

VD 13. Giải pt
2
0
y x y
′
− =
thỏa ñiều kiện x = 3, y = – e
9
.

VD 14. Giải pt
sin
cos
x
y y x e
−
′
+ = .

VD 15. Giải pt
2
( )
y x y y
′
+ =
.



2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
( ) ( ) (5)
y p x y q x y
α
′
+ =
.
• Khi
α
= 0 hoặc
α
= 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình có biến phân ly.

Phương pháp giải (với
α
khác 0 và 1)
+ Với
0
y
≠
, bi
ế
n
ñổ
i:
1
(5) ( ) ( ) ( ) ( )

y y
p x q x y y p x y q x
y y
α α
α α
− −
′
′
⇒ + = ⇒ + =
.
+
ðặ
t
1
(1 )
z y z y y
α α
α
− −
′ ′
=
⇒
= −
thì
(5) (1 ) ( ) (1 ) ( )
z p x z q x
α α
′
⇒
+ − = −

(pt tuy
ế
n tính c
ấ
p 1).


Chú ý

• Ph
ươ
ng trình Bernoulli luôn có nghi
ệ
m k
ỳ
d
ị
là y = 0.

VD 16.

Gi
ả
i ptvp
2
y
y xy
x
′
+ =

v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n x = 1, y = 1.

VD 17.
Gi
ả
i ptvp
3 2
2
y xy x y
′
− =
.

VD 18.
Gi
ả
i ptvp
3
sin 2
dy dy
x y y x
dx dx

+ =
.



§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

3.1. Các dạng phương trình cơ bản
3.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• D
ạ
ng ph
ươ
ng trình:
( ) (1)
y f x
′′
=
.

Phương pháp giải
• L
ấ
y tích phân hai v
ế
(1) hai l
ầ
n.

VD 1.

Gi
ả
i ptvp
2
y x
′′
=
.

VD 2.
Gi
ả
i ptvp
2
x
y e
′′
=
v
ớ
i
7 3
(0) , (0)
4 2
y y
′
= − =
.

3.1.2. Phương trình khuyết y

• D
ạ
ng ph
ươ
ng trình:
( , ) (2)
y f x y
′′ ′
=
.

Phương pháp giải
•
ðặ
t z = y’
ñể

ñư
a (2) v
ề
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính c
ấ
p 1.

VD 3.
Gi

ả
i ptvp
y
y x
x
′
′′
= −
.
VD 4.
Gi
ả
i ptvp
( 1) 0
1
y
y x x
x
′
′′
− − − =
−
v
ớ
i
y(2) = 1 và y’(2) = –1.


3.1.3. Phương trình khuyết x
• D

ạ
ng ph
ươ
ng trình:
( , ) (3)
y f y y
′′ ′
=
.

Phương pháp giải
•
ðặ
t
.
dz dz dy dz
z y y z z
dx dy dx dy
′ ′′ ′
=
⇒
= = = =

ñể

ñư
a v
ề
pt
bi

ế
n s
ố
phân ly.
VD 5.
Gi
ả
i ptvp
( )
2
2 1
yy y
′′ ′
= +
.
VD 6.
Gi
ả
i ptvp
2 (1 2 ) 0
y y y
′′ ′
+ − =
v
ớ
i
1
(0) 0, (0)
2
y y

′
= =
.

3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số
hằng
3.2.1. Phương trình thuần nhất
• D
ạ
ng ph
ươ
ng trình:
1 2
0 (4)
y a y a y
′′ ′
+ + =
(a
1
, a
2
là các h
ằ
ng s
ố
).

Phương pháp giải
• Xét ph
ươ

ng trình
ñặ
c tr
ư
ng c
ủ
a (4):
2
1 2
0
k a k a
+ + =
(5).
1) Trường hợp 1:
(5) có hai nghi
ệ
m th
ự
c phân bi
ệ
t k
1
, k
2
.
Khi
ñ
ó, (4) có hai nghi
ệ
m riêng

1 2
1 2
,
k x k x
y e y e
= =
và
nghi
ệ
m t
ổ
ng quát là
1 2
1 2
k x k x
y C e C e
= +
.




ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 18

2) Trường hợp 2: (5) có nghiệm kép thực k.
Khi ñó, (4) có hai nghiệm riêng
1 2
,
kx kx

y e y xe
= = và
nghiệm tổng quát là
1 2
kx kx
y C e C xe
= +
.

3) Trường hợp 3: (5) có hai nghiệm phức liên hợp
k i
α β
= ±
. Khi ñó, (4) có hai nghiệm riêng
1 2
cos , sin
x x
y e x y e x
α α
β β
= = và nghiệm tổng quát:
(
)
1 2
cos sin
x
y e C x C x
α
β β
= +

.
VD 7. Giải ptvp
2 3 0
y y y
′′ ′
+ − =
.
VD 8. Giải ptvp
6 9 0
y y y
′′ ′
− + =
.
VD 9. Giải ptvp
2 7 0
y y y
′′ ′
+ + =
.

3.2.2. Phương trình không thuần nhất
• Dạng phương trình:
1 2
( ) (6)
y a y a y f x
′′ ′
+ + =
(a
1
, a

2
là các hằng số).

Phương pháp giải
• Nếu (4) có hai nghiệm riêng y
1
(x), y
2
(x) thì (6) có nghiệm
tổng quát là
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
y C x y x C x y x
= +
.
• ðể tìm C
1
(x) và C
2
(x), ta giải hệ Wronsky:
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
C x y x C x y x
C x y x C x y x f x
′ ′
+ =



′ ′ ′ ′
+ =

.
VD 10. Giải ptvp
1
cos
y y
x
′′
+ =
.



ðịnh lý
• Nghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của
(4) với 1 nghiệm riêng của (6).

VD 11. Cho phương trình vi phân:
2
2 2 (2 )
x
y y y x e
′′ ′
− + = +
(*).
a) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là
2
x

y x e
=
.
b) Tìm nghiệm tổng quát của (*).

VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp:
2sin2 4cos2
y y x x
′′ ′
+ = +

biết 1 nghiệm riêng là
cos2
y x
= −
.

ðịnh lý (nguyên lý chồng nghiệm)

• Cho ptvp
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) (9)
y p x y q x y f x f x
′′ ′
+ + = +
.
Gi
ả
s
ử

y
1
(x) và y
2
(x) l
ầ
n l
ượ
t là nghi
ệ
m riêng c
ủ
a
1
( ) ( ) ( )
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =
,
2
( ) ( ) ( )
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =

thì y(x) = y
1
(x) + y
2
(x) là nghi

ệ
m riêng c
ủ
a (9).

VD 14.
Tìm nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a ptvp
2
2cos
y y x
′′ ′
− =
.
Bi
ế
t:
1
y y
′′ ′
− =
có nghi
ệ
m riêng
1

y x
= −
,
cos2
y y x
′′ ′
− =
có
nghi
ệ
m riêng
2
2 1
cos2 sin2
10 10
y x x
= − −
.

§4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

4.1. Khái niệm cơ bản

• H
ệ

phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1
có d
ạ
ng:

/
1 1 1 2
/
2 2 1 2
/
1 2
( , , , , )
( , , , , )

( , , , , )
n
n
n n n
y f x y y y
y f x y y y
y f x y y y

=

=




=

,
trong
ñ
ó x là bi

ế
n s
ố

ñộ
c l
ậ
p và y
1
(x), y
2
(x),…, y
n
(x) là các
hàm s
ố
c
ầ
n tìm.
• B
ộ
n hàm s
ố

1 2
( , , , , ), 1,
i i n
y x C C C i n
ϕ
= =

th
ỏ
a h
ệ
ptvp
là nghi
ệ
m.

• M
ọ
i ptvp c
ấ
p n d
ạ
ng
( ) ( 1)
( , , , , )
n n
y f x y y y
−
′
=

ñề
u có th
ể

ñư
a v

ề
d
ạ
ng h
ệ
ptvp chu
ẩ
n t
ắ
c c
ấ
p 1 b
ằ
ng cách
ñặ
t
( 1)
1 2
, , ,
n
n
y y y y y y
−
′
= = =
.
Khi
ñ
ó, ta
ñượ

c h
ệ
:
/
1 2
/
2 3
/
1
/
1 2

( , , , , )
n n
n n
y y
y y
y y
y f x y y y
−

=

=




=



=

.



4.2. Phương pháp giải
a) Phương pháp khử ñưa về phương trình vi phân cấp
cao

VD 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
5
4 5
y y z
z y z
′
= +


′
= +


.

VD 2.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
y z
z y
′
=


′
=

.


b) Phương pháp ma trận

•
/
/
1 11 1 12 2 1
1
1

/ /
2
2 21 1 22 2 2 2
/
/
1 1 2 2






n n
n n
n
n
n n n nn n
y a y a y a y
y
y
y
y a y a y a y y
A
y
y
y a y a y a y

= + + +
 
 


 
 
= + + +

 
 
⇔ =

 
 

 
 
 

= + + +
 
 

,
v
ớ
i
(
)
ij
A a
=
.

Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình
ñặ
c tr
ư
ng
det( ) 0
A I
λ
− =
có n nghi
ệ
m
phân bi
ệ
t
, 1,
i
i n
λ
=
.
V
ớ
i m

ỗ
i
i
λ
có vector riêng
1 2
( , , , )
i i ni
p p p
.




ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 19

Khi ñó, hệ ptvp có hệ nghiệm cơ bản là:
1 1 1
2 2 2
11 11 21 21 1 1
12 12 22 22 2 2
1 1 2 2
, , ,
, , ,


, , ,
n n n
x x x

n n
x x x
n n
x x x
n n n n nn nn
y p e y p e y p e
y p e y p e y p e
y p e y p e y p e
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ

= = =

= = =




= = =


và nghiệm tổng quát là
1 1 11 2 12 1
2 1 21 2 22 2
1 1 2 2






n n
n n
n n n n nn
y C y C y C y
y C y C y C y
y C y C y C y
= + + +


= + + +




= + + +

.

VD 3. Giải hệ phương trình:
2
4 3
y y z
z y z
′
= +


′
= +


.
ðặc biệt
• Hệ ptvp có dạng
11
22
/
11 1 1
1 11
/
22 2 2
2 22
/
0 0
0 0


0 0
nn
x
x
x
nn n n
n nn
y y
y C e
y y
y C e
y y
y C e

λ
λ
λ
λ
λ
λ
 
 
    
 
 
    
 
 
    
= ⇔ =
 
 
    
 
 
    
 
 
    
 
 
.
VD 4. Giải hệ phương trình:
3

2
y y
z z
u u
′
= −


′
=


′
=

.

………………………………… Hết…………………………………