Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 đại học bách khoa HCM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (338.94 KB, 13 trang )
TR
NG Đ I H C BÁCH KHOA TP.H CHÍ MINH
KHOA KHOA H C NG D NG
B MỌN TOÁN NG D NG
Báo cáo Bài Tập Lớn
Mơn Giải Tích 2
GVHD: N.N.Quỳnh Như
Thực hiện: nhóm 6_sáng th 5
Năm h c 2014 – 2015
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
DANH SÁCH NHĨM
STT
1
2
3
4
5
6
H & Tên
Lê H ng Hải (nhóm trư ng)
Đồn Th H ng Gấm
ng Quang Nhật
Trần Ng c Sáng
Nguyễn Bình Tr ng
Cao Chánh Vũ
MSSV
51200947
60900661
61002286
61102890
21103843
91004038
ĐỀ BÀI:
1. Tìm GTLN, GTNN c a hàm f ( x, y) d ng đa th c trên tam giác OAB v i O(0,0),
A(2,1), B(3,2). V phần mặt cong v i hình chi u là OAB, trên đó chỉ ra GTLN,
GTNN.
2. Tính tích phân
f ( x, y, z)dxdydz , trong đó Ω là miền gi
i h n b i z ≥ x2 + y2 ,
x + z ≤ 1. Không yêu cầu lấy cận bằng matlab. V vật thể.
3. Tính tích phân P( x, y )dx Q( x, y )dy , trong đó (C) là đ
ng đi n i từ điểm
C
(0,0) đ n điểm (1,1) theo các đ
a. Đo n thẳng.
b. Parabol x = y2.
ng đi sau:
Nhóm 6 _ sáng th 5
2
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
BÀI 1
CƠ S
LÝ THUYẾT:
Để tìm GTLN, GTNN c a hàm nhiều bi n f ( x, y) trên D:
1. Tìm trong D:
Giải hệ
f x' 0
f y' 0
P1(x1,y1), P2(x2,y2), ...
Lo i các điểm khơng là điểm trong c a D.
Tính f x1 , y1 , f x2 , y2 , ... t i các điểm trong D.
2. Tìm trên biên:
Trong bài này, biên D là những đo n thẳng OA, OB, AB, v i O(0,0), A(2,1),
B(3,2).
Xét trên OA:
Ph ơng trình OA: 2y x
Thay vào f ( x, y) , ta có hàm m t bi n f y trên (0,1)
Tìm điểm dừng thu c (0,1): f y 0
Lo i các điểm không thu c (0,1).
Tính giá tr f y t i các điểm cịn l i.
'
Xét trên OB
Ph ơng trình OB:
y1 , y2 , ...
3
yx
2
Thay vào f ( x, y) , ta có hàm m t bi n f y trên (0,2)
T ơng tự nh xét OA.
Xét trên AB
Ph ơng trình AB: y 1 x
Thay vào f ( x, y) , ta có hàm m t bi n f y trên (1,2)
T ơng tự nh xét OA.
3. So sánh các giá tr tìm đ c
c a tam giác ABC . K t luận
b
c 1, b
c 2 và các giá tr c a f t i các đỉnh
CODE MATLAB:
syms x y
f=input('f(x,y) = ');
a=[0 2 3];
b=[0 1 2];
d=3;
f1=subs(f,x,2*y);
f1=diff(f1,y);
t=solve(f1,y);
for i=1:length(t)
k=t(i);
% nhập hàm f(x,y) từ bàn phím
% xét trên OA
Nhóm 6 _ sáng th 5
3
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
if isreal(k)
k=double(k);
if k>0 && k<1
d=d+1;
a(d)=2*k;
b(d)=k;
end
end
end
f1=subs(f,x,3*y/2);
f1=diff(f1,y);
t=solve(f1,y);
for i=1:length(t)
k=t(i);
if isreal(k)
k=double(k);
if k>0 && k<2
d=d+1;
a(d)=3*k/2;
b(d)=k;
end
end
end
% xét trên OB
f1=subs(f,x,1+y);
f1=diff(f1,y);
t=solve(f1,y);
for i=1:length(t)
k=t(i);
if isreal(k)
k=double(k);
if k>1 && k<2
d=d+1;
a(d)=1+k;
b(d)=k;
end
end
end
% xét trên AB
% xét trong tam giác
[m n]=solve([char(diff(f,'x')) '+0*x=0'],[char(diff(f,'y')) '+0*y=0'],'x','y');
for i=1:length(m)
u=double(m(i));
v=double(n(i));
if (u<2*v && u<v+1 && u>3*v/2)
d=d+1;
a(d)=u;
b(d)=v;
end
end
Nhóm 6 _ sáng th 5
4
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
max=subs(f,{x,y},{0,0});
max=double(max);
ma=[1];
min=subs(f,{x,y},{0,0});
min=double(min);
mi=[1];
% bắt đầu so sánh các giá tr f
for i=2:d
u=double(a(i));
v=double(b(i));
m=subs(subs(f,x,u),y,v);
m=double(m);
if m==max
ma=[ma i];
end;
if m>max
max=m;
ma=[i];
end
if m==min
mi=[mi i];
end
if m
mi=[i];
end;
end
disp(['Max = ' num2str(max)])
disp('Tai cac diem: ')
for i=1:length(ma)
disp(['(' num2str(double(a(ma(i)))) ',' num2str(double(b(ma(i)))) ') '])
end
disp(['Min = ' num2str(min)])
disp('Tai cac diem: ')
for i=1:length(mi)
disp(['(' num2str(double(a(mi(i)))) ',' num2str(double(b(mi(i)))) ') '])
end
% bắt đầu v hình
[x,y]=meshgrid(0:.01:3);
z=[char(f) '+0*x'];z=strrep(z,'^','.^');z=strrep(z,'*','.*');z=eval(z);
for i=1:length(x)
for j=1:length(y)
u=double(x(i,j));
v=double(y(i,j));
if ~(u<=2*v && u<=v+1 && u>=3*v/2)
x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN;
Nhóm 6 _ sáng th 5
5
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
z(i,j)=NaN;
end
end
end
set(surf(x,y,z),'facecolor','r','edgecolor','non','facealpha',.4)
hold on
xlabel('Truc x');
ylabel('Truc y');
zlabel('Truc z');
for i=1:length(ma)
text(a(ma(i)),b(ma(i)),max, ['MAX (' num2str(double(a(ma(i)))) ','
num2str(double(b(ma(i)))) ',' num2str(max) ')'])
x=[a(ma(i))-0.02 a(ma(i)) a(ma(i))+0.02];
y=[b(ma(i))-0.02 b(ma(i)) b(ma(i))+0.02];
z=[max-0.02 max max+0.02];
plot3(x,y,z,'g','linewidth',2)
end
for i=1:length(mi)
text(a(mi(i)),b(mi(i)),min, ['MIN (' num2str(double(a(mi(i)))) ',' num2str(double(b(mi(i))))
',' num2str(min) ')'])
x=[a(mi(i))-0.01 a(mi(i)) a(mi(i))+0.01];
y=[b(mi(i))-0.01 b(mi(i)) b(mi(i))+0.01];
z=[min-0.02 min min+0.02];
plot3(x,y,z,'g','linewidth',2)
end
rotate3d on
VÍ DỤ MINH H A
Cho f x, y = xy x y
1. Tìm trong D:
Giải hệ
f x' y 1 0
f y' x 1 0
P1(-1,1). Lo i, do không nằm trong D.
2. Tìm trên biên:
Xét trên OA:
Ph ơng trình OA: 2y x
2
Thay vào f ( x, y) , ta có hàm m t bi n f y 2 y y trên (0,1)
'
Tìm điểm dừng thu c (0,1): f y 4 y 1 0
1
1
f
8
4
y
1
4
(nhận)
Nhóm 6 _ sáng th 5
6
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
Xét trên OB
Ph ơng trình OB:
3
yx
2
Thay vào f ( x, y) , ta có hàm m t bi n f y
T ơng tự, tính đ
1
6
c f
3 2 1
y y trên (0,2)
2
2
1
24
Xét trên AB
Ph ơng trình AB: y 1 x
2
Thay vào f ( x, y) , ta có hàm m t bi n f y y y 1 trên (1,2)
Ph ơng trình trên vơ nghiệm, khơng có điểm dừng t i AB
Xét các đỉnh: f(O) = 0; f(A) = 1; f(B) = 5
3. So sánh các giá tr tìm đ
c
GTLN = 5 t i (3,2);
1
1 1
GTNN = t i ,
8
2 4
Nhóm 6 _ sáng th 5
7
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
BÀI 2
CƠ S
LÝ THUYẾT:
Để tính tích phân b i ba:
1. Phân tích kh i Ω:
Tìm hình chi u c a kh i Ω xu ng mặt phẳng Oxy
Xác đ nh mặt trên và mặt d i c a kh i Ω
Trong matlab, ta thực hiện b c này bằng cách v hình.
Ta có:
1 2
5
2
PrOxyΩ = D, v i D: ( x ) y
2
4
Mặt phía trên:
z=1–x
Mặt phía d i:
z = x2 + y2
f ( x, y, z)dxdydz
2. Tính tích phân
I
=
1 x
f
(
x
,
y
,
z
)
dz
dxdy
=
2
2
D
x y
=
d
2
5
2
0
0
f (r cos , r sin )rdr
CODE MATLAB:
t=-2:0.01:2;
[x,y] = meshgrid(t);
z=x.^2+y.^2;
*Đổi sang t a đ cực
% v hình để phân tích kh i Ω
Nhóm 6 _ sáng th 5
8
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
z2=1-x+0*y;
for i=1:length(x)
for j=1:length(x)
if x(i,j)^2+y(i,j)^2 > 1-x(i,j)
x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN;
z(i,j)=NaN;
z2(i,j)=NaN;
end
end
end
set(surf(x,y,z),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3)
hold on
set(surf(x,y,z2),'facecolor','r','edgecolor','non','facealpha',.3)
set(pcolor(x,y,z2),'facecolor','g','edgecolor','non','facealpha',.3)
rotate3d on
xlabel('Truc x');
ylabel('Truc y');
zlabel('Truc z');
hold off
syms x y z t r
f=input('f(x,y,z)= ');
% nhập hàm f(x,y,z) từ bàn phím
f1=int(f,z,x^2+y^2,1-x);
% tính tích phân
f2=subs(f1,{x,y},{r*cos(t),r*sin(t)});
I=int(int(f2*r,r,0,sqrt(5)/2),t,0,2*pi);
I=double(I);
disp(['I = ' num2str(I)]);
VÍ DỤ MINH H A:
Cho f ( x, y, z) = x
1 2
5
2
PrOxyΩ = D, v i D: ( x ) y
2
4
Mặt phía trên:
z=1–x
Mặt phía d i:
z = x2 + y2
I =
xdxdydz
1 x
xdz
dxdy
=
2
2
D
x y
=
1
5
( x )2 y 2
2
4
d r cos (1 r cos r
2
=
1 x
xz x2 y 2 dxdy
0
5
2
2
)rdr
0
Nhóm 6 _ sáng th 5
9
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
d ( 3 cos 4 cos
2
=
(
0
2
=
r
3
r
4
2
5 5
25
cos cos 2 )d
96
64
r
cos )
5
0
5
2
5
5 5
25
sin 2
sin
(
)
=
96
128
2
0
0
0
=
25
64
2
2
= 1, 2272
Nhóm 6 _ sáng th 5
10
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
CƠ S
BÀI 3
P( x, y)dx Q( x, y)dy là tích phân đ
LÝ THUYẾT:
ng lo i 2
C
V i P( x, y ) và Q(x, y) liên t c trên tập m
câu a:
(C): y = x
; dy = dx
Hoành đ điểm đầu
x1 = 0
Hồnh đ điểm cu i
x2 = 1
Nhóm 6 _ sáng th 5
11
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
P( x, y( x)) Q( x, y( x)) y '( x)dx
x2
I1 =
P( x, y( x)) Q( x, y( x))dx
x1
1
=
0
câu b:
(C): y2 = x ; 2ydy = dx
Tung đ điểm đầu
y1 = 0
Tung đ điểm cu i
y2 = 1
P( x( y), y) x '( y) Q( x( y), y)dy
y2
I2 =
P( x( y), y)*2 y Q( x( y), y)dy
y1
1
=
0
CODE MATLAB:
syms x y
p=input('P(x,y) = ');
q=input('Q(x,y) = ');
% nhập P(x,y) và Q(x,y) từ bàn phím
s=subs(p+q,y,x);
t=int(s,x,0,1);
t=double(t);
disp(['I1 = ' num2str(t)]);
% tính I1 cho câu a
s=2*y*subs(p,x,y^2)+subs(q,x,y^2);
t=int(s,y,0,1);
t=double(t);
disp(['I2 = ' num2str(t)]);
% tính I2 cho câu b
VÍ DỤ MINH H A:
2
Cho P( x, y) = x 3 y
Q(x, y) = 2 y
câu a: (C): y = x
P( x, y( x)) Q( x, y( x))dx
1
I1 =
x
0
1
=
0
2
5 x dx
Nhóm 6 _ sáng th 5
12
Báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2
17
x3
x2
= 5 =
= 2,8333
3
2
6
0
1
câu b: (C): y2 = x
P( x( y), y)*2 y Q( x( y), y)dy
1
I2 =
( y
0
1
=
4
3 y )*2 y 2 y dy
10
y6
2 y3 y 2 =
= 3,3333
=
3
3
0
0
1
XIN H T
Nhóm 6 _ sáng th 5
13
