ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 4.1, 2020

19

NGHIÊN CỨU MƠ HÌNH TỐN MƠ PHỎNG DỊNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU
CĨ KỂ ĐẾN VẬN TỐC THEO CHIỀU ĐỨNG TẠI ĐÁY BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAYLOR - GALERKIN
STUDYING A NUMERICAL MODEL FOR SOLVING THE ONE DIMENSIONAL FLOW
ACOUNTING FOR VERITCAL VELOCITY AT THE BED OF CHANNEL WITH
TAYLOR - GALERKIN FINITE ELEMENT METHOD
Huỳnh Phúc Hậu1, Nguyễn Thế Hùng2, Trần Thục3
1
Trường Cao đẳng Giao thông Vận tải Trung ương V;
2
Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng;
3
Viện Khoa học Khí tượng Thủy văn và Biến đổi Khí hậu;
Tóm tắt - Trong bài báo này, hệ phương trình một chiều có vận tốc
thẳng đứng ở đáy lịng dẫn được xây dựng, đặt tên là hệ phương
trình một chiều suy rộng (1DE), bằng cách tích phân hệ phương trình
hai chiều đứng (2DV). Phương pháp phần tử hữu hạn Taylor Galerkin được sử dụng để giải số; rời rạc theo thời gian với độ chính
xác bậc 3; để rời rạc theo không gian, chúng tôi sử dụng hàm nội
suy bậc hai. Rời rạc theo thời gian được thực hiện trước rời rạc theo
khơng gian. Thí nghiệm trên mơ hình vật lý có vận tốc theo chiều
đứng ở đáy kênh được thực hiện nhằm cung cấp số liệu để kiểm tra
tính đúng đắn của mơ hình tốn và lời giải số; thí nghiệm được thực
hiện với các cấp lưu lượng khác nhau. Số liệu đo đạc bởi thí nghiệm
được so sánh với kết quả tính tốn theo mơ hình tốn 1DE cho thấy
phù hợp tốt, chỉ số Nash trong các trường hợp đạt 98%.

Abstract - In this paper, extended 1D equations accounting for

vertical velocities at the bottom of channel are investigated by
integration from 2DV equations. The Taylor - Galerkin finite
element method is used to solve the numerical solution with the
third order accuracy in time. Second order Interpolation functions
are used in space discretion. In the Taylor - Galerkin process, the
time discretion precedes space discretion. An experiment on
physical model is implemented to verify the capacity of the
proposed numerical model with different cases of discharges. The
very good agreement between numerical results and experimental
ones can be observed. Nash - Sutcliffe model efficiency
coefficients are up to 98%.

Từ khóa - Phần tử hữu hạn; Taylor - Galerkin; một chiều suy rộng;
mơ hình vật lý; vận tốc chiều đứng

Key words - FEM; Taylor - Galerkin; extended 1D; physical model;
vertical velocities

1. Đặt vấn đề
Hệ phương trình vi phân phi tuyến Saint - Venant (hay
cịn được xem là hệ phương trình nước nông một chiều) đã
và đang được sử dụng rộng rãi trong việc mơ phỏng dịng
chảy khơng ổn định một chiều trên lòng dẫn hở. Trong
những năm gần đây, đã có nhiều nghiên cứu về việc giải hệ
phương trình này khi xét tới dòng chảy chịu ảnh hưởng của
trọng lực hay lực Coriolit [1]. Tuy nhiên, trong thực tế có
những trường hợp dịng chảy qua vùng có nước trồi, hay
đáy kênh có vật nhơ lên,… gây ra sự xáo trộn ở đáy lịng
dẫn. Vì vậy, để xét tới thành phần này nhóm tác giả đi xây
dựng hệ phương trình 1DE. Mặt khác, việc lựa chọn

phương pháp số phù hợp để giải hệ phương trình này cũng
là vấn đề được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu.
Lai và nnk [1] dùng phương pháp phần tử hữu hạn
discontinuous Galerkin để giải, Pilotti và nnk [2] lại dùng
phương pháp sai phân hữu hạn Mac Cormack để có được
nghiệm chính xác bậc hai theo thời gian; tuy nhiên, số hạng
nguồn mới chỉ xét tới ảnh hưởng của độ dốc đáy và ma sát.
Vì vậy, trong nội dung bài báo này, nhóm tác giả đã xây
dựng hệ phương trình 1DE và dùng phương pháp phần tử
hữu hạn Taylor - Galerkin để giải hệ phương trình 1DE với
độ chính xác của lời giải số là bậc ba theo thời gian.
Chương trình tính được viết bằng ngơn ngữ FORTRAN.
Bên cạnh đó, để đánh giá tính đúng đắn của mơ hình
tốn và lời giải số trong việc mơ phỏng ảnh hưởng của dịng
chảy có nguồn bổ sung theo chiều đứng ở đáy lịng dẫn, mơ
hình vật lý theo tỉ lệ 1:1 được thiết lập tại Phịng Thí
nghiệm trọng điểm Quốc gia về động lực học sông biển,

Viện Khoa học Thủy lợi Việt Nam, nhằm kiểm chứng với
kết quả tính trên mơ hình số.
2. Mơ hình tốn
2.1. Hệ phương trình vi phân xuất phát từ dịng chảy hai
chiều đứng [3, 4]
Hệ phương trình vi phân xuất phát [2]
∂u
∂t
∂w
∂t

∂u


+u
+u

+w

∂x
∂w
∂x

∂u

+

1 ∂p

−

1 ∂τ

∂z
ρ ∂x
ρ ∂z
∂w
1 ∂p

+w

∂z


+

=0

+g=0

ρ ∂z

(1)
(2)

Phương trình liên tục:
∂w
∂z

+

∂u
∂x

=0

(3)

Điều kiện biên trên mặt thoáng: dh/dt = wm
Khi: z = h, p = 0
Điều kiện biên ở đáy z = 0, w = w*
w* = w*(x,t)
Chất lỏng thực nên:


∂u
∂z

≠ 0 (do tính nhớt)

(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

2.2. Thành lập hệ phương trình dịng chảy một chiều suy rộng
Tích phân phương trình liên tục (3) từ 0 đến h sẽ được
vận tốc đứng ở mặt thoáng wm
wm = −

∂ h
∫ u dz
∂x 0

+ um

∂h
∂x

+ w∗

(9)

Tích phân phương trình (3) từ 0 đến z và áp dụng quy

tắc Leibnitz được vận tốc đứng w ở cao độ z
w= −

∂ z
∫ udz
∂x 0

+ uz

∂z
∂x

+ w∗

(10)


Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng, Trần Thục

20

Tích phân (1), tính với điều kiện biên (5)
h
∂h
∂ h
∫ u dz − um ∂t − um ∂x ∫0 u dz + um w ∗
∂t 0
∂ h 2
∂
1

∫ u dz + ∂x (h < 𝑝 >) + ρ τb = 0
∂x 0
∂

Ký hiệu: < 𝑝 >=

Viết thành dạng vector:

(11)

1 h
∫ pdz
ρh 0

(12)

h
d
d
∂
h2
̅̅̅h̅ ∙ ))
< 𝑝 >= (g + w ∗ ) + (− (U
2
dt
dt
∂x
2
2
1d ∂

h3
1
∂
∂h
̅̅̅h̅ ∙ )) + (− ̅U̅̅h̅ ∙ h + um
+
( (U
+ w ∗)
h dt ∂x
6
2
∂x
∂x
2
1
∂
∂h
̅̅̅h̅h) + uh
− (− (U
+ w ∗)
2
∂x
∂x
h

0
h

h


̅̅̅z z)
1
∂
∂2 z
1
∂z ∂2 (U
̅̅̅z z)
− ∫ zuz (U
dz − ∫ zuz
dz
h
∂x
∂x ∂z
h
∂x ∂x ∂z
0

1
∂z ∂ z
w ∂
h2
w ∗ uh ∂ h2
̅̅̅h̅ ) +
+ ∫ zu2z
dz −
(U
( )
h
∂x ∂x ∂z
h ∂x

2
h ∂x 2

∗

0

(13)
Thế (13) vào (11), giả thiết w* và h biến đổi chậm,
dw/dz > dw/dx, và bỏ qua các vơ cùng bé ta được phương
trình thứ nhất:
∂ h
∂ h
∂h
∂ h
∫ u dz + ∂x ∫0 u2 dz − um ∂t − um ∂x ∫0 u dz
∂t 0
∂ h2
∂ h2 ∂w∗
h2
∂2 ̅̅̅̅
U
1
um w ∗ + g ( ) + (
) − w ∗ 2z + τb
∂x 2
∂x 2 ∂t
2
∂x
ρ


+
=0

(14)
Thay (9) vào (4), ta nhận được phương trình thứ hai
Dh
dt

=

∂h
∂t

+ um

∂h

=−

∂x

∂ h
∫ udz
∂x 0

+ um

∂h
∂x


+ w∗

(15)

2.3. Hệ phương trình một chiều suy rộng có kể đến vận
tốc theo chiều đứng ở đáy lòng dẫn
∂h
∂(hv)
+
= w∗
(16)
∂t
∂(hv)
∂t

∂x
h2

=

w∗

∂2 v

2
∂x2
∂(hv2 )

4


− ghn2 v|v|R−3 −
∂(h)

−
− (g + a)h
(17)
∂x
∂x
Trong đó, h: độ sâu dịng chảy; v: vận tốc dòng chảy;
g: gia tốc trọng trường; n: hệ số nhám lịng dẫn.
R: bán kính thủy lực. Dịng chảy bổ sung tại đáy lịng
dẫn gây xáo trộn, có vận tốc w* và gia tốc 𝑎 =

𝜕w∗
𝜕𝑡

.

Phạm vi áp dụng mơ hình một chiều suy rộng là các
lịng dẫn có mặt cắt ngang chữ nhật hoặc tương tự.
Viết lại hệ phương trình một chiều suy rộng theo cặp
biến (h, v), ta được
∂h
∂t
∂v
∂t

+v


∂h
∂x

+h

+ (g + a)

∂v

= w∗

∂x
∂(h)
∂x

+v

∂(v)
∂x

=

h

∂2 v

2

∂x2


= w∗

(20)

Trong đó vec-tơ ẩn p = (h,v) ; f là thông lượng.
Ma trận Jacobian D(p) được tính bằng biểu thức (21)
v
h
𝜕𝑓(𝑝)
= 𝐷(𝑝) = [
]
(21)
𝜕𝑝
(g + a) v
Số hạng nguồn trong phương trình (20) được xác định bằng:

v

− gn2 v|v|R−4/3 − w ∗ (18)
h

h

∂2 v

2

∂x2

S(p) = (w ∗ , w ∗


− gn2 v|v| (

bh

)

−4/3

b+2h

v

T

− w∗)
h

(22)
2.4. Rời rạc theo thời gian
Thực hiện khai triển véc tơ ẩn 𝑝𝑛+1 bằng chuỗi Taylor theo
t lân cận bên phải điểm thời gian t = 𝑡𝑛 đến bậc ba, nhận được:
(∆𝑡)2 𝑡𝑡
(∆𝑡)3 𝑡𝑡𝑡
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + ∆𝑡𝑝𝑛𝑡 +
𝑝𝑛+𝜃 +
𝑝𝑛 + 𝑂((∆𝑡)3 )
2
6
𝜃 1

𝑡𝑡
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + ∆𝑡𝑝𝑛𝑡 + ( + ) (∆𝑡)2 𝑝𝑛+1
+
2 6
1
𝜃
= ( − ) (∆𝑡)2 𝑝𝑛𝑡𝑡
(23)

1
∂
∂2
̅̅̅z z)
̅̅̅z)dz
(U
+ ∫ z (U
h
∂x
∂x ∂z z

2

Hay:

(19)

T

Thay (10) vào (2) và tích phân từ z đến h ta được:


0
h

∂p
∂f(p)
+ ∂x = S(p)
∂t
∂p
∂p
+ D(p) ∂x = S(p)
∂t

+

3

2

Trong đó: 𝜃 là trọng số ẩn, 𝑝𝑛𝑡 là đạo hàm bậc nhất theo
thời gian của p đánh giá tại t = 𝑡𝑛 . Và tương tự như vậy, 𝑝𝑛𝑡𝑡
là đạo hàm bậc hai:
∂p
∂t

=−

∂f(p)
+
∂x


S(p) = − [

∂f(p)
−
∂x

S(p)]

(24)

Vậy:
∂2 p
∂ ∂f(p) ∂
=−
+ (S(p))
∂t 2
∂t ∂x
∂t
𝜕 𝜕𝑓(𝑝) 𝜕𝑝 𝜕𝑆(𝑝) 𝜕𝑝
=−
+
𝜕𝑥 𝜕𝑝 𝜕𝑡
𝜕𝑝 𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑝
𝜕𝑝 𝜕 2 𝑝
= − [𝐷(𝑝) ] + 𝐵(𝑝)
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑡 𝜕𝑡 2

𝜕
𝜕𝑓(𝑝)
𝜕𝑓(𝑝)
=
[𝐷(𝑝) [
− 𝑆(𝑝)]] − 𝐵(𝑝) [
− 𝑆(𝑝)]
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(25)
Thay thế (24) và (25) vào phương trình (23):
θ 1
∂
∂p
p𝑛+1 − ( + ) (∆t)2 ( [D(p)[D(p) − S(p)]])n+1
2 6
∂x
∂x
θ
1
∂p
+ ( + ) (∆t)2 (B(p) [D(p) − S(p)])
2
6
∂x
= p𝑛 − ∆t [D(p)

∂p


n+1

− S(p)]

3
1

∂x
n
∂
∂p
2
) (∆t) ( [D(p)[D(p)
2
∂x
∂x
θ
∂p
2

3

2

1

+( −

θ


− ( − ) (∆t) (B(p)[D(p)

∂x

− S(p)]])n

− S(p)])n

(26)

2.5. Rời rạc theo không gian
Gọi chiều dài phần tử một chiều bậc 2 là 2L, có 3 nút 1,
2, 3. Chọn gốc tọa độ địa phương tại nút đầu 1, hướng x
dương từ nút đầu 1 đến nút cuối 3. Chọn hàm nội suy bậc
2, ta có:
(x − x2 )(x − x3 )
(x − L)(x − 2L)
ψ1 =
=
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (0 − L)(0 − 2L)
(x − L)(x − 2L)
=
2L2


ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 4.1, 2020

(x−x1 )(x−x3 )

Ψ2 = (x


(x−0)(x−2L)

2 −x1 )(x2 −x3 )

=

= (L−0)(L−2L)

x(x − 2L) x(2L − x)
=
−L2
L2
(x−x2 )(x−x1 )

Ψ3 = (x

3 −x2 )(x3 −x1

(x−L)(x−0)

= (2L−L)(2L−0)
)

(x − L)x
=
2L2
Áp dụng tích phân trọng số cho phương trình (10) ở
trên, với sử dụng tích phân từng phần cho đạo hàm bậc 2 ta
được hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định phương

trình hệ ma trận phần tử, sau khi ghép nối được hệ phương
trình tổng thể, gán điều kiện biên để giải ra vectơ ẩn số ở
từng bước thời gian.
Chương trình tính được lập trình bằng ngơn ngữ
FORTRAN. Kết quả tính được so sánh với số liệu thí
nghiệm thực hiện ở Phịng Thí nghiệm trọng điểm Quốc gia
về động lực học sông biển.
+ Điều kiện ban đầu là chiều sâu dòng chảy và lưu tốc
tại tất cả các nút.
+ Điều kiện biên là chiều sâu dòng chảy và lưu tốc tại
nút đầu ở thượng lưu, chiều sâu dòng chảy tại nút cuối ở hạ
lưu, vận tốc chiều đứng tại đáy.
+ Các số liệu đầu vào khác: Bao gồm các thông số mặt
cắt ngang, hệ số nhám.
+ Các số liệu đầu ra là chiều sâu dòng chảy và lưu tốc
tại tất cả các nút ở các thời điểm tính tốn.
3. Mơ hình vật lý
3.1. Mơ tả thí nghiệm
Thí nghiệm kiểm chứng mơ hình tốn về dịng chảy hở
một chiều có vận tốc theo chiều đứng ở đáy lịng dẫn được
thực hiện tại Phịng Thí nghiệm Trọng điểm Quốc gia về
Động lực học Sơng biển.
Mơ hình thí nghiệm: Máng kính mặt cắt ngang chữ nhật
rộng 50 cm, cao 1 m, dài 15 m.
Để tạo điều kiện biên là vận tốc chiều đứng tại đáy dịng
chảy, máng kính được chia thành 2 phần: Phần dòng chảy
trên và dưới được ngăn cách bởi lớp bê tông dày 5cm và
lớp vữa xi măng dày 25 cm xoa phẳng. Phần dưới gọi là
đường hầm có bề rộng 0,44 m, chiều cao 0,15 m.
Thiết bị đo lưu lượng sử dụng trong thí nghiệm là đập

lường thành mỏng tiết diện chữ nhật có bề rộng b = 0,6 m;
chiều cao đập lường P = 0,75 m.
Công thức đo lưu lượng: Q = m. b. H. √2gH với hệ số
lưu lượng m = 0,402+0,054.H/P. Trong đó, H là chiều sâu
nước trên đỉnh đập lường (m) [5].
3.2. Tiến hành thí nghiệm
Mặt cắt số 1 (MC1) cách tâm khe đáy 350 cm về thượng
lưu. MC2 cách tâm khe 300 cm về thượng lưu. MC3 cách
tâm khe 200 cm về thượng lưu. MC4 cách tâm khe 100 cm
về thượng lưu. MC5 tại tâm khe đáy. MC6 cách tâm khe
100 cm về hạ lưu. MC7 cách tâm khe 200cm về hạ lưu.
MC8 cách tâm khe 300 cm về hạ lưu. MC9 cách tâm khe
400 cm về hạ lưu. MC10 cách tâm khe 450 cm về hạ lưu.

21

Giữa MC 4 và MC6 chia nhỏ thành các mặt cắt cách nhau
10 cm do giữa hai mặt cắt này mực nước biến đổi nhiều.
Các cấp lưu lượng tổng Q: 70; 75; 80; 90; 95; 100; 105 (l/s).
Các cấp lưu lượng dòng chính phía trên Q1: 45; 50; 60;
65; 70; 75 (l/s).
Lưu lượng bổ sung Q2 = Q - Q1.
Chiều sâu được đo bằng thước thép, máy thủy bình và mia.
Mỗi mặt cắt ngang đo 3 thủy trực để lấy trị số trung bình.

Khe đáy tạo vận tốc
chiều đứng
Hình 1. Máng thí nghiệm

4. Kết quả thí nghiệm và thảo luận

4.1. Kết quả đo độ sâu mực nước
Bảng 1. Độ sâu mực nước khi Q = 75÷100; Q2 = 30 (l/s)
Tên mặt
cắt
MC1

Độ sâu mực nước (cm) tại cấp lưu lượng Q (l/s)
75
80
90
95
100
22,64
22,84
23,74
23,97
24,31

MC2

23,49

23,67

24,09

25,17

25,54


MC3

23,54

23,82

24,39

25,24

25,89

MC4

22,64

23,49

24,49

24,84

25,49

MC5

20,99

21,99


23,09

23,59

24,14

MC6

10,34

11,24

11,79

12,64

12,89

MC7

9,99

10,79

11,54

12,57

12,76


MC8

9,64

10,44

11,24

12,46

12,62

MC9

9,77

9,89

11,16

11,97

12,34

MC10

9,74

9,84


11,11

11,87

12,29

Bảng 2. Độ sâu mực nước chi tiết (cm) giữa mặt cắt 4 và 6
MC

Q=75

Q=80

Q=90

Q=95

Q=100

1-4

22,65

23,50

24,50

24,85

25,50


2

22,65

23,50

24,50

24,80

25,50

3

22,65

23,50

24,50

24,75

25,45

4

22,70

23,45


24,50

24,75

25,50

5

22,65

23,45

24,50

24,75

25,45

6

22,80

23,40

24,40

24,75

25,55


7

23,00

23,35

24,40

24,65

25,50

8

22,70

23,25

24,30

24,70

25,40

9

22,35

22,85


24,10

24,50

25,30

10

22,20

22,65

24,00

24,30

25,00

11-5

21,00

22,00

23,10

23,60

24,15



Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng, Trần Thục

22

MC

Q=75

Q=80

Q=90

Q=95

Q=100

0.300

h (m)

12

19,50

19,50

20,55


21,50

22,50

0.250

13

17,00

17,65

18,75

19,20

20,05

0.200

h đo (m)
h tính (m)

14

14,15

14,95

16,25


16,90

17,90

0.150

15

12,00

13,00

14,50

15,30

15,80

0.100

16

11,25

12,10

13,50

14,35


14,70

0.050

17

10,85

11,60

12,90

13,50

14,20

0.000

18

10,70

11,45

12,50

13,10

13,80


19

10,55

11,30

12,10

12,80

13,50

20

10,50

11,20

11,90

12,65

13,25

21-6

10,35

11,25


11,80

12,65

12,90

4.2. So sánh kết quả thí nghiệm và kết quả giải số trên
mơ hình tốn
Thí nghiệm nhằm kiểm chứng thuật tốn và chương
trình tính đã thiết lập [4]. Qua kết quả so sánh giữa thí
nghiệm và tính tốn ở các Hình 2 đến 7 (sai số tương đối
max là 5,5%) cho thấy, tính đúng đắn của thuật tốn và
chương trình tính.
Về tính đồng dạng, đây là mơ hình tỷ lệ 1:1 (ngun
hình) đảm bảo tính đồng dạng 100%.
0.250

x (dm)
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77

Hình 5. Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 95 (l/s)
0.300 h (m)
0.250
0.200

h đo (m)

0.150


h tính (m)

0.100
0.050

x (dm)

0.000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77

Hình 6. Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 100 (l/s)

Chỉ số Nash xác định theo công thức sau:
E= 1−

h (m)

0.200

∑(h0 −hm )2
̅̅̅̅
∑(h0 −h
0)

2

0.150

h đo (m)


Trong đó, hm là các giá trị tính theo mơ hình tốn, h0 là
các giá trị thực đo, ̅̅̅
h0 là giá trị trung bình của các h0.

0.100

h tính (m)

Bảng 3. Chỉ số NASH của mơ hình

0.050

x (dm)

0.000

Q (l/s)

75

80

Chỉ số NASH

0,9935

0,992

90


95

100

0,9898 0,9835 0,9781

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77

Hình 2. Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 75 (l/s)
0.300

h (m)

0.250
0.200

h đo (m)

0.150

h tính (m)

0.100
0.050

x (dm)

0.000

5. Kết luận

Bài báo này đã xây dựng được mơ hình tính tốn dịng
chảy hở một chiều suy rộng có kể đến vận tốc theo chiều
đứng tại đáy lòng dẫn. Thuật tốn và chương trình tính
được giải theo phương pháp phần tử hữu hạn Taylor Galerkin với độ chính xác bậc 3 theo thời gian, lời giải số
được kiểm nghiệm bằng cách so sánh với kết quả thí
nghiệm trên mơ hình vật lý cho thấy độ tin cậy tốt của lời
giải số.

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hình 3. Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 80 (l/s)
0.300 h (m)
0.250
0.200
0.150

h đo (m)
h tính (m)

0.100
0.050

x (dm)

0.000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81

Hình 4. Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 90 (l/s)


[1] W. Lai and A.A. Khan, "Discontinuous Galerkin Method for 1D
shallow water flow in Natural Rivers”, J. Engineering Application
of Computational Fluid Mechanics, No 6, pp. 74-86, 2014.
[2] M. Pilotti, A. Maranzoni, M. Tomirotti and G. Valerio, "Gleno Dam
Break: Case Study and Numerical Modelling”, J. Hydraulic
Engineering, Vol. 137, No. 4, pp. 480-492, 2011.
[3] M. Hanif Chaudhry, "Open Channel Flow", Springer Science, 2008.
[4] H. P. Hậu và N. T. Hùng, "Mô hình tốn dịng chảy hở một chiều
suy rộng", Tuyển tập cơng trình hội nghị cơ học thủy khí 2015, 2016.
[5] N. C. Cầm, L. C. Đào, N. V. Cung, …, V. V. Tảo, "Thủy lực tập 2",
Hà Nội: Nhà Xuất bản Nơng nghiệp, 2006.

(BBT nhận bài: 23/11/2019, hồn tất thủ tục phản biện: 25/3/2020)