MỤC LỤC
Phần

Nội dung

Trang

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

2

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2

1. Thực trạng

2

2. Hệ quả của thực trạng

3

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

4

I. Cơ sở lí luận

4

II.GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.

5

C

KẾT LUẬN

16

D

TÀI LIỆU THAM KHẢO

17

A

B

1

TIEU LUAN MOI download :


A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia những năm gần đây, bài tốn tính thể tích khối
chóp là một dạng tốn thường xuyên có mặt và gây khó khăn cho học sinh. Nhiều
em học sinh cịn có tâm lý “ bỏ ln, khơng đọc đề” với những bài tốn này.
Ngun nhân cơ bản được xác định là do học sinh chưa biết phân biệt các dạng bài
tập để lựa chọn các công cụ, phương pháp cho phù hợp. Trước thực trạng đó, tơi
xin trình bày kinh nghiệm “Một số giải pháp giúp học sinh giải các bài tốn tính
thể tích khối chóp trong Hình học khơng gian”.
Trong nội dung của đề tài tôi xin được tập trung giới thiệu cách nhận biết và phân
loại các dạng tốn tính thể tích khối chóp thơng qua các ví dụ cụ thể với lời giải chi
tiết .Thông qua đề tài “Một số giải pháp giúp học sinh giải các bài tốn tính thể
tích khối chóp trong Hình học khơng gian” tơi mong muốn giúp các em giải
quyết những khó khăn, vướng mắc trong giải tốn, từ đó tự tin “kiếm điểm” khi gặp
bài tập dạng này.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng
Sau một thời gian dạy học mơn Tốn phần tính thể tích khối chóp ở trường tơi,
tơi nhận thấy một số vấn đề như sau:
Vấn đề thứ nhất: Cơng thức tính thể tích khối chóp (cũng như của các khối đa
diện khác) được trình bày ở đầu lớp 12 cịn các kiến thức liên quan (như quan hệ
song song, quan hệ vng góc) các em lại được học ở chương trình lớp 11. Chính
vì vậy, để “lắp ghép” các phần lại với nhau, nhất là sau một kỳ nghỉ hè và trong
tâm lý “sợ” phần Hình học khơng gian, là một điều không dễ thực hiện.
Vấn đề thứ hai:Bài tập phần tính thể tích khối chóp đa dạng và khó nên học sinh
thường lúng túng khi làm bài tập phần này.
2

TIEU LUAN MOI download :



Vấn đề thứ ba: Trường THPT Lê Hoàn là một trường đóng trên địa bàn trung du,
học sinh đại đa số là con em nơng dân có đời sống khó khăn. Điểm chuẩn đầu vào
của trường còn thấp, học sinh có học lực trung bình chiếm trên 60% nên tư duy của
các em còn nhiều hạn chế. Nhiều em còn lúng túng trong việc vẽ hình, nhất là việc
xác định “đường nét đứt, đường nét liền”, cũng như việc xác định các yếu tố như
đường cao của khối chóp, do đó thường dẫn đến kết quả sai.
2. Hệ quả của thực trạng
Học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường rất sợ và lúng túng khi làm các bài tốn
tính thể tích.
Năm học 2017-2018, sau khi học bài “Thể tích của khối đa diện”, tôi tiến hành
khảo sát ở các lớp 12A4, 12A7, 12A8 thì thu được kết quả như sau:
Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9-10

7-8.5

5-6.5

3.5-4.5

0-3


46

0

6

15

21

4

12A7

41

0

3

12

18

8

12A8

43


0

5

10

16

12

Lớp

Sĩ số

12A4

Từ thực tế trên, với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân,
tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp các em phân loại và nắm vững
phương pháp giải các dạng tốn tính thể tích khối chóp, có tư duy tốt hơn để tìm ra
lời giải đúng cho bài tốn, qua đó thêm u phân mơn Hình học khơng gian nói
riêng và mơn Tốn nói chung.

3

TIEU LUAN MOI download :


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

1. Trong tam giác vuông ABC ( A=900 ) , đường cao AH ta ln có:
1) b=c . tan B ,
2)

AH 2 =HB. HC

c=b . tanC ,

1
1
1
AB . AC
= 2+
⇒ AH =
2
2
AH
AB AC
√ AB 2+ AC 2
A

B

H

C

2. Trong tam giác thường ABC:
2


2
2
2
1) a =b +c −2 bc . cos A

và

2

b +c −a
cos A=
2 bc

2

Tương tự với các hệ thức cạnh b,c .
1
1
1
S= ab sinC= bc sin A= ac sin B
2
2
2
2)
.

3)
4)

S= p. r

S=

abc
4R

(p là nửa chu vi, r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác)
(R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác)

5) S= √ p( p−a)( p−b)( p−c)

( Công thức Hê-rơng)

3. Cơng thức tính thể tích khối chóp:
1
V = Bh
3

( B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao)

4

TIEU LUAN MOI download :


II. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1. Các giải pháp thực hiện
1) Hướng dẫn học sinh đọc kỹ đề tốn, xác định rõ u cầu đề bài từ đó biết cách
vẽ hình.
2) Nêu những dạng tốn mà học sinh thường gặp trong sách giáo khoa, sách bài
tập hoặc trong các đề thi.

2. Biện pháp tổ chức thực hiện
1)Phương pháp xác định đường cao của khối chóp:
Để xác định đường cao của khối chóp, ta chia thành các dạng nhỏ như sau:
a. Khối chóp có một cạnh vng góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao.
b. Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy thì đường cao chính là đường
vng góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên và đáy.
c. Khối chóp có hai mặt kề nhau cùng vng góc với đáy thì đường cao chính là
giao tuyến của hai mặt bên đó.
d. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc có các cạnh bên cùng tạo với đáy
một góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
e. Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường
cao trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đáy.
Có thể sử dụng các giả thiết mở như:
f. Hình chóp S . ABCD có các mặt (SAB ) và (SAC ) cùng tạo với mặt đáy một
góc

α

thì chân đường cao hạ từ S thuộc phân giác trong của góc ∠ BAC

g. Hình chóp S . ABCD
α

có SA=SB

hoặc SA và SB

cùng tạo với đáy góc

thì chân đường cao hạ từ S thuộc đường trung trực của AB.


2) Khi gặp các bài tốn mà việc tính tốn gặp khó khăn thì ta tìm cách phân chia
khối chóp thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó

5

TIEU LUAN MOI download :


hoặc sử dụng cơng thức tính tỉ số thể tích thể tích để tìm thể tích của khối chóp cần
tính thơng qua một khối chóp đơn giản hơn.
V S .A ' B' C ' SA ' .SB ' . SC '
=
V S. ABC
SA .SB .SC
V S . A ' BC SA '
=
V S . ABC SA

3) Phân chia bài toán tính thể tích thành khối chóp thành các dạng tốn nhỏ.
Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy.
Bài tốn 1: Cho hình chóp
AB =BC =a

30

0

S . ABC


có đáy là tam giác vng cân tại B với

. Biết SA vng góc với đáy (ABC) và SC hợp với (SAB) một góc

. Tính thể tích khối chóp S . ABC .

Giải:

CB⊥AB¿ }¿ ¿⇒CB⊥SB¿
Do đó góc giữa SC và mp(SAB) là góc ∠ BSC .
Tính được SB=a √ 3, SA=a √ 2 .
3

a √2
V=
6
Thể tích khối chóp S.ABC là :

6

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 2 : Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với đáy (ABC) và SA=h.
0
Biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 30 . Tính

thể tích khối chóp S . ABC .
Giải:


Gọi M là trung điểm của BC

⇒¿AM⊥BC¿}¿ ¿¿
∠ SAM

Do đó góc giữa (SBC) và (ABC) là góc

2
Tính được AM =h √3 , BM =h , S Δ ABC =h √ 3.
3

Thể tích khối chóp S.ABC là :

V=

h √3
3

Bài tốn 3 :Cho hình chóp S . ABCD

có đáy

ABCD

là hình vng. Biết SA

0
vng góc với đáy (ABCD), SC=a và SC hợp với (ABCD) một góc 60 . Tính

thể tích khối chóp S . ABCD .

Giải:

7

TIEU LUAN MOI download :


Góc giữa SC và (ABCD) là góc ∠ SCA
Tính được

SA=

a √3
a
a 2
, AC= , AB= √
2
2
4

Thể tích khối chóp S.ABCD là :

V=

a3 √ 3
48

Bài tốn 4 : Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Biết
SA vng góc với đáy (ABCD) và mặt bên (SCD) hợp với (ABCD) một góc 600.
1. Tính thể tích khối chóp S . ABCD .

2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Giải:

1.

SA⊥(ABCD)¿} ¿¿⇒CD⊥SD¿

Góc giữa (SCD) và (SBCD) là góc ∠ ADS
3

Tính được SA=a √3

a 3
V= √
3
nên thể tích khối chóp S . ABCD là

Dựng AH ⊥ SD⇒ AH ⊥( SCD ) do đó AH là khoảng cách từ A đến (SCD)
Δ SAD

vuông nên

1
1
1
4
= 2+
= 2
2
2

AH
SA
AD 3 a

⇒ AH=

a√3
2

Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy.
8

TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A với
AB=AC=a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
0
(ABC). Mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45 . Tính thể tích khối chóp

S . ABC

Giải:

Gọi H là trung điểm của AB. Ta có
Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc ∠ SAB
Tính được

SH =AH =


a
2

3

nên thể tích khối chóp S . ABC là

V=

a
12

Bài tốn 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, tam giác SBC có
đường cao SH=h và mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB
0
hợp với (ABC) một góc 30 .Tính thể tích khối chóp S . ABC .

Giải:

9

TIEU LUAN MOI download :


Có SH ⊥ BC

và (SBC )⊥( ABC ) nên SH ⊥( ABC )

Do đó góc giữa SB và (ABC) là góc ∠ SBH
Tính được

V=

4 √3 h
9

4 3h
BC= √
3

và

4 3h
S Δ ABc = √
3

2

nên thể tích khối chóp

S . ABC

là

3

Bài tốn 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC=2BD=2a
và

Δ SAD


vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

(ABCD). Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
Giải:

Tính được

AD=

a √5
2 .

Gọi H là trung điểm của AD ⇒ SH ⊥( ABCD)
Δ SHD

vuông cân nên

SH =

a √5
4

Do đó thể tích khối chóp S . ABCD là

V=

a3 √ 5
12

10


TIEU LUAN MOI download :


Bài tốn 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và
D, AD=CD=a, AB=2a. Biết

Δ SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với

mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
Giải:

Gọi H là trung điểm của AB.
Do

Δ SAB đều nên

(SAB )⊥( ABCD )

SH ⊥ AB . Mà

theo giao tuyến AB nên

SH ⊥( ABCD )
3

a √3
V=

2
Tính được SH =a √ 3 . Do đó thể tích khối chóp S . ABCD là

Bài tốn 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh a. Biết
Δ SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD).

1.Chứng minh chân đường cao của khối chóp là trung điểm của AB.
2.Tính thể tích khối chóp S . ABCD
Hướng dẫn: Tương tự Bài tốn 8.

ĐS:

V=

a3 √3
6

Dạng 3 : Khối chóp đều
Bài tốn 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a và hợp với
0
đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải:

11

TIEU LUAN MOI download :



0
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC . Ta có ∠ SBO=30

Tính được

BO=

a √3
a 6
; SO= √
3
3
3

Do đó thể tích khối chóp S . ABCD là

V=

a √2
12

Bài tốn 11:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a. Góc ở đáy
0
của mặt bên là 45 .Tính đường cao SH và thể tích của khối chópS.ABC.

Giải:

Gọi K là Trung điểm của AC.
Δ SAC


0
cân tại S và ∠ SAC =∠ SCA =45 nên Δ SAC vuông cân tại S

⇒ AC=a √ 2
⇒ BK=

a √6
2

⇒ SH=

a√3
3

2
a √6
BH = BK=
3
3
và

12

TIEU LUAN MOI download :


3

V=


Do đó thể tích khối chóp S . ABCD là

a
6

Bài tốn 12:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc
∠ SAB=60

0

. Tính thể tích của khối chóp.

Giải:

Gọi O là tâm của hình vng ABCD.
Ta có

AO=

a √2
2

và

SO=

a √2
2
3


a 2
V= √
6
Do đó thể tích khối chóp S . ABCD là

Bài tốn 13:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài đường cao h. Góc ở
0
đỉnh của mặt bên bằng 60 . Tính thể tích của khối chóp.

Giải:
13

TIEU LUAN MOI download :


Δ SAB

0
có ∠ ASB=60 nên Δ SAB đều.

Δ SAC= ΔBAC

(c.g.c)

⇒ AC=2 SO=2 h

Δ SAC

⇒


vuông cân tại S

⇒ AB=h √ 2
V=

Do đó thể tích khối chóp S . ABCD là

2h
3

3

Dạng 3 : Tính thể tích khối chóp thơng qua tỉ số thể tích
Bài tốn 14. Cho khối chóp

và

. Giả sử

tích khối tứ diện

với tam giác

là điểm thuộc cạnh

vuông cân tại

sao cho


,

. Tính thể

.

Giải:
S

I

A

C

Hình 5
B

Tam giác

vng cân tại

Do đó
Vì

có

nên

.


.
nên

là chiều cao của hình chóp

.

14

TIEU LUAN MOI download :


Suy ra
Mặt khác

.

Vậy

.

Bài tốn 15. Cho hình chóp

có đáy
. Giả sử

,

là điểm thuộc cạnh


là hình chữ nhật,

là điểm thuộc cạnh

sao cho

sao cho

. Tính thể tích khối đa diện

.
Giải:
S

F

E

A

D

O
B

C
Hình 6

Ta có


.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vng

ta có
.

Gọi

thì

.
15

TIEU LUAN MOI download :


Xét tam giác
của tam giác

cân tại

có

. Suy ra

đồng thời là đường cao

.


Chứng minh tương tự
hình chóp

là trung tuyến nên

. Suy ra

hay

là đường cao của

.

Ta có

.
.

Mặt khác
(1)

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
.

C.KẾT LUẬN
1.Kết quả nghiên cứu
Năm học 2018-2019, sau khi áp dụng kinh nghiệm trên vào việc dạy cho học sinh,
tôi đã thu được một số kết quả khả quan:

Lớp

Sĩ số

12A5

45

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9-10

7-8.5

5-6.5

3.5-4.5

0-3

2


18
16

18

9

0

TIEU LUAN MOI download :


12A7

43

1

13

20

9

0

Kết quả trên cho thấy hiệu quả của việc thực hiện sang kiến vào dạy học, qua đó
tạo niềm tin và hứng thú của Học sinh trong việc học phân mơn Hình học khơng
gian nói chung và dạng tốn tính thể tích khối chóp nói riêng.
2.Ý kiến đề xuất

Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương pháp
cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để SKKN này được
hồn thiện hơn .

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách Hình học 12, sách Hinh học 12NC-NXB Giáo dục.
2.Sách Bài tập Hình học 12, sách Bài tập Hình học 12NC-NXB Giáo dục.
3. Chuyên đề : Phương pháp luyện tập thể tích khối đa diện . Tác giả LêVăn Vinh

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 01 tháng 7 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

17

TIEU LUAN MOI download :


Trịnh Tấn Hưng

18

TIEU LUAN MOI download :