Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0

KHẢO SÁT ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT CÓ KHÂU ĐÀN HỒI
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lương Bá Trường
Trường Đại học Thủy lợi, email:

1. GIỚI THIỆU

y0

Động lực học robot là một bài toán quan
trọng trong thiết kế robot nói riêng và ngành
kĩ thuật robot nói chung. Động lực học robot
giúp chúng ta khảo sát mối quan hệ giữa lực
dẫn động và đáp ứng của các khâu cũng như
điểm thao tác robot.
Đối với các robot công nghiệp, các khâu
của robot thường được xem như các vật rắn
tuyệt đối. Mặc dù vậy, các vật liệu chế tạo
các khâu động của robot đều có module đàn
hồi riêng, dẫn tới các khâu đó sẽ bị biến dạng
đàn hồi khi làm việc. Thơng thường chúng ta
sẽ bỏ qua các biến dạng đàn hồi này khi khảo
sát các bài tốn của robot vì các biến dạng
này thường bé hoặc rất bé. Tuy nhiên khi vật
liệu chế tạo các khâu của robot có module
đàn hồi thấp hoặc điểm thao tác robot cần độ
chính các cao khi làm việc, các biến dạng đàn
hồi này không thể bỏ qua. Trong báo cáo
trình bày việc sử dụng phương pháp phần tử

hữu hạn (FEM) để khảo sát bài toán động lực
học của robot phẳng có khâu đàn hồi chịu
uốn, kéo, nén đồng thời.
Mơ hình robot áp dụng trong báo cáo là
robot phẳng một bậc tự do, có khâu đần hồi
OB như trên Hình 1, chuyển động quay
quanh trục quay cố định O0. Liên kết của
khâu đàn hồi OB và khớp quay là liên kết
ngàm, momen quán tính của khâu đối với
trục quay tại O là J0. Điểm thao tác B có khối
lượng mB và momen qn tính tại B là JB.
Khâu đàn hồi đồng chất có khối lượng m,
chiều dài l, module đàn hồi E, diện tích mặt
cắt ngang là A, momen chống uốn là I. Robot
chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng
dưới tác dụng của momen phát động τ.

B

y

mB
x

m,l,E,A,I
τ
θ

O
O0


x0

Hình 1. Mơ hình robot đàn hồi một trục quay

2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Tính
tốn sử dụng lý thuyết về phần tử hữu hạn và
phương trình Lagrange loại II, mơ phỏng kết
quả tính tốn trên phần mềm tính tốn mơ
q6
phỏng số Matlab.
B’
y0

M’
q3

y
A
q7 O

A’
q2

B

q5
x

q4

M
q1

θ

q8

x0

O0

Hình 2. Phần tử khung phẳng

2.1. Phần tử khung phẳng chịu lực phức tạp
Ý tưởng của việc sử dụng phương pháp
phần tử hữu hạn trong việc thiết lập phương
trình mơ tả chuyển động của robot có khâu
đàn hồi là ta chia khâu đàn hồi đó thành các
phần tử nhỏ hơn. Trong mơ hình này ta sử
dụng phần tử hữu hạn dạng khung phẳng chịu
lực phức tạp: uốn, kéo, nén đồng thời như
Hình 2. Khi đó chuyển vị nút của phần tử
khung như sau:

48


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0


q e   q1

T

 AE
 l


K



 DX


q6  R 6


0
 c11 c12 c13 c14 

12 EI
6 EI
c

c
c
c 
 2

0
 ;C   21 22 23 24 
l3
l
 c31 c32 c33 c34 

4 EI


0
c41 c42 c43 c44 

l
0 
1
 7

c11  c22  c23  c32  c33  0;c12    m  mB  &
40
2


1
7
1
1


c13 
ml &;c21   m  mB  &;c31   ml &

40
2
40
 40

3
3
 21

1

c14    m  mB  q&5 
mlq&6   m  mB   l  q4  &
2
40
 40

3

3
11
 21

 13

c24   m  mB  q&4 
mlq6 &  m  mB  q5 &
40
2
210

35




3
1
11
& c   1 mlq&
c34   mlq&4 
ml 2 q6 &
mlq5
43
4
40
105
210
20
1
 7

 7

c41    m  mB  q&5 
mlq&6 ;c42   m  mB  q&4
20
 20

 20


2
2
 
c44   ml  2lmB   m  2mB  q4  q&4
3
3

 


(1)
Ma trận độ cứng của phần tử khung trong
hệ tọa độ địa phương được cho như sau:
 EA
 l
 e

 0


 0

'
ke  
EA

 le

 0



 0


q2

q3

q4

q5

0

12 EJ
le3

6 EJ
le2

0



6 EJ
le2

4 EJ
le


0



0

0

EA
le

0

6 EJ
le2

0

12 EJ
le3

0





12 EJ
le3




6 EJ
le2



EA
le

0

2 EJ
le

0

0

12 EJ
le3

6 EJ
le2

6 EJ
le2

2 EJ
le


6 EJ
le2

0


6 EJ
le2

4 EJ
le





















(2)
Tọa độ tổng quát của phần tử khung trong
hệ tọa độ cố định là:
T
q   q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9  (3)
2.2. Thiết lập phương trình vi phân
chuyển động
Trong mơ hình robot ở Hình 1 ta chia khâu
đàn hồi OB thành một phần tử, liên kết giữa
khâu đàn hồi và khớp quay là liên kết ngàm,
gốc tọa độ O ≡ O0, khi đó ta có:
q1  q2  q3  q7  q8  0;q9  
(4)
Khi đó tọa độ suy rộng của robot là:
q   q4

q5

q6


11
 26
 
  2lmB 
mlq6   m  2mB  q5  q&5
105
 35

 


T



T

Trong đó: M là ma trận khối lượng tổng
thể, C là ma trận ly tâm và Coriolis. K, Gg0
là ma trận độ cứng và ma trận trọng lực toàn
khâu, B là ma trận hằng số ứng với lực
phát động.
0
13m
 mB
35

0


11ml
210
2

ml
 JB
105


0

11
 2

 
ml 2 q6 
mlq5  q&6
105
 105


B  0 0 0 1

(5)
Bỏ qua ma sát và lực cản nhớt, kết hợp
với phương trình Lagrange loại II ta thiết
lập được phương trình chuyển động của
robot dạng:
&
&+ C  q,q& q&+ Kq  Gg 0 = B (6)
M q q

m
 3  mB








M



 DX





0

Gg 0   g11

g31

T

g41 

mgl cos 
m

m

g11    mB  g sin ; g21    mB  g cos  g31 
12
2


2

 lq q 

m

g41    mB   l  q4  g cos   6  5  m  mB q5  g sin 
2

 12 2 


2.3. Mơ phỏng số kết quả tính tốn
Trong phần này ta sử dụng phần mềm
Matlab để mơ phỏng kết quả tính tốn số với
bộ số liệu sau:
m1  1 kg  ,mB  0.2  kg  ,l  0.6  m  , A  1 cm2  ,

mlq6
 7m


 mB  q5 
20
 20

7ml
 7m


 mB  q4 
 mB l

20
 20








2

mlq4 ml


 JB

20
20

 m
 2  13m
 2 
 3  mB  q4   35  mB  q5 






 11ml 2 q62 11mlq5 q6





J

J

B
0 
105
105



  2m

m
 
 2mB  lq4    mB  l 2 
 
3
3








g 21

E  70 GPa  ,I  1.2 106  m 4  ,  0.1sin  0.5t   Nm
J 0  1.12  kgm 2  , J B  0.01  kgm 2  ,g  9.81  m / s 2 

Với các điều kiện đầu được cho trước:
q4  0   0,q5  0   0,q6  0   0,  0   0
q&  0   0,q&  0   0,q&  0   0,& 0   0
4

5

6

Ta thu được một số kết quả như trên các
hình vẽ sau:

49


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0

Trên Hình 3 là đồ thị góc lệch của khâu
đàn hồi so với phương ngang

Trên Hình 6 là cấu hình của robot


Start_poi

End_point

Hình 6. Cấu hình của robot

Hình 3. Đồ thị   t 

Một số nhận xét

Trên Hình 4 là đồ thị biến dạng đàn hồi
dọc trục của khâu đàn hồi

Hình 4. Đồ thị q4  t 

+ Các biến dạng đàn hồi xuất hiện trong
khâu đàn hồi của robot là bé hoặc rất bé, phụ
thuộc vào vật liệu, kết cấu cơ học của khâu
đàn hồi và momen phát động cũng như ngoại
lực tác động lên robot.
+ Biến dạng đàn hồi dọc trục của robot có
dạng dao động tuần hồn phù hợp với vị trí
chuyển động của robot
+ Dao động uốn và góc xoay tại điểm cuối
của khâu đàn hồi có tần số khá lớn và khơng
ổn định, chứng tỏ điểm thao tác cuối dao
động nhỏ và liên tục quanh vị trí lý thuyết
của điểm thao tác.
4. KẾT LUẬN


Trên Hình 5 là đồ thị chuyển vị uốn và góc
xoay tại điểm thao tác của khâu đàn hồi robot

Báo cáo trình bày thuật tốn sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn để khảo sát
những biến dạng, dao động đàn hồi xuất hiện
trong các khâu của robot khi làm việc. Từ đó
có thể dự đốn được tính chính xác của robot
khi làm việc, tuy nhiên nếu tăng số lượng
phần tử lên thì khối lượng tính tốn rất lớn và
thời gian mơ phỏng khá lâu để cho ra kết quả.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hình 5. Đồ thị q5(t) và q6(t)

[1] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều
vật (in lần thứ hai). NXB Khoa học và Kỹ
thuật, Hà Nội 2017.
[2] Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa: “Phương
pháp phần tử hữu hạn NXB Khoa học và kỹ
thuật, 2007.

50