UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

VŨ THỊ THU HÀ

THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG BÀI TOÁN MỞ
VỀ CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG” LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phan Thị Tình

PHÚ THỌ , NĂM 2018


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, được hồn
thành với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các số liệu, kết
quả được trình bày trong luận văn là trung thực. Những kết luận khoa học của luận
văn chưa từng được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

VŨ THỊ THU HÀ


ii

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo, Ban chủ
nhiệm khoa Tốn, các cán bộ, giảng viên trường Đại học Hùng Vương, đã tạo
điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khóa học và trang bị đầy đủ kiến thức
để tôi thực hiện thành cơng việc nghiên cứu, hồn thiện luận văn.
Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Phan Thị Tình ,
người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức lý luận và tận tình chỉ bảo
cho tôi nhiều kinh nghiệm quý báu trong suốt quá trình nghiên cứu hồn
thành luận văn.
Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ
Tốn cùng các em HS các trường THPT Việt Trì, THPT Cơng Nghiệp Việt
Trì- Phú Thọ, THPT Chun Hùng Vương - Phú Thọ đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong q trình nghiên cứu và thực nghiệm.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn gia đình và các bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ
tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu tuy nhiên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong q thầy cơ giáo, các
bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

Phú Thọ, tháng 5 năm 2018

Vũ Thị Thu Hà


iii

MỤC LỤC


LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ ii
MỤC LỤC .................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT ..................................................... vi
DANH MỤC CÁC HÌNH ............................................................................ vii
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1.Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu ............................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 3
3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 3
4. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 3
5. Giả thuyết khoa học.................................................................................... 3
6. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 4
7. Bố cục của luận văn.................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................... 5
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu ....................................................................... 5
1.1.1. Các nghiên cứu ở nước ngoài ............................................................... 5
1.1.2. Các nghiên cứu trong nước ................................................................... 8
1.2. Tư duy sáng tạo ..................................................................................... 11
1.3. Bài toán mở ........................................................................................... 13
1.3.1. Các quan niệm về bài tốn, bài tốn mở ............................................. 13
1.3.2. Vai trị của việc khai thác bài toán mở trong việc dạy học mơn Tốn . 20
1.4. Chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” lớp 10 THPT .............. 22
1.4.1. Nội dung chủ đề theo chương trình ..................................................... 22
1.4.2. Mục tiêu, yêu cầu chuẩn kiến thức, kĩ năng dạy học chủ đề ................ 25


iv

1.4.3 Yếu tố về tính sáng tạo, tư duy sáng tạo cần và có thể rèn luyện cho học
sinh thơng qua bài toán mở thuộc chủ đề “phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng” .......................................................................................................... 28
1.4.4. Các hướng thiết kế bài toán mở thuộc chủ đề "Phương pháo tọa độ
trong mặt phẳng" nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. .................. 31
1.5. Thực trạng việc giảng dạy chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
theo hướng sử dụng bài toán mở................................................................... 34
1.5.1. Nội dung điều tra ................................................................................ 34
1.5.2 Kết quả điều tra ................................................................................... 35
1.5.3. Những khó khăn, nguyên nhân khó khăn của giáo viên trong việc thiết
kế bài toán mở .............................................................................................. 38
TIỂU KẾT CHƯƠNG 1 ............................................................................... 40
CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG BÀI TOÁN MỞ TRONG DẠY
HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG” .. 42
2.1. Nguyên tắc thiết kế các bài toán mở ...................................................... 42
2.1.1. Thiết kế bài toán mở phải phù hợp với với nội dung chương trình ...... 42
2.1.2. Thiết kế bài tốn mở phải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh .... 42
2.1.3. Thiết kế bài toán mở giúp giáo viên sáng tạo các bài tốn đóng nhằm
phát triển tư duy cho học sinh....................................................................... 45
2.2. Thiết kế các bài toán mở trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng”. .................................................................................................. 45
2.2.1. Thiết kế bài toán mở bằng cách yêu cầu thay đổi một hoặc nhiều giả
thiết từ một bài toán cho trước. ..................................................................... 45
2.2.2. Thiết kế bài toán mở bằng cách thay đổi yêu cầu tìm một kết quả bằng
yêu cầu tìm nhiều kết quả từ một bài tốn đã có. .......................................... 55
2.2.3. Thiết kế bài toán mở bằng cách nêu yêu cầu lập bài toán mới ............ 59


v

2.2.4. Thiết kế bài toán mở bằng cách nêu yêu cầu tìm nhiều lời giải cho một
bài tốn......................................................................................................... 69

2.2.5. Dạy học BTM gắn với thực tiễn ......................................................... 71
2.3. Một số đề xuất về việc sử dụng bài toán mở trong dạy học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ........................................................ 73
2.3.1. Sử dụng các bài toán mở trong quá trình hệ thống lại các kiến thức hoặc
các dạng tốn cơ bản nhằm củng cố kiến thức, kỹ năng cho học sinh ........... 73
2.3.2. Sử dụng trong quá trình sinh hoạt chun đề của tổ, nhóm chun mơn
đối với giáo viên........................................................................................... 80
TIỂU KẾT CHƯƠNG 2 ............................................................................... 82
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 84
3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................... 84
3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................... 85
3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................. 87
3.3.1. Thời gian thực nghiệm........................................................................ 87
3.3.2. Địa điểm ............................................................................................. 87
3.3.3. Đối tượng thực nghiệm ....................................................................... 87
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................... 88
3.4.1. Phân tích định tính kết quả thực nghiệm ............................................. 88
3.4.2. Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm .......................................... 90
. Bảng thống kê kết quả thăm dò ý kiến của học sinh ................................... 91
3.4.3. Đánh giá định tính. ............................................................................. 91
TIỂU KẾT CHƯƠNG 3 ............................................................................... 92
KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................... 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 97
PHỤ LỤC


vi

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT


Chữ viết tắt
BT

Viết đầy đủ
Bài tốn

BTM

Bài tốn mở

BTĐ

Bài tốn đóng

CTL

Câu trả lời

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

GT

Giả thiết


KL

Kết luận

HSG

Học sinh giỏi

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

TDST

Tư duy sáng tạo

TH

Trường hợp

THPT

Trung học phổ thông

THCS


Trung học cơ sở

tr.

Trang

VTCP

Vectơ chỉ phương

VTPT

Vectơ pháp tuyến


vii

DANH MỤC CÁC HÌNH
CÁC HÌNH

TRANG

HÌNH 1

12

HÌNH 2

16


HÌNH 3

24

HÌNH 4

57

HÌNH 5

58

HÌNH 6

64

HÌNH 7

65

HÌNH 8

66

HÌNH 9

68

HÌNH 10


68

HÌNH 11

68

HÌNH 12

69

HÌNH 13

69

HÌNH 14

69


1

MỞ ĐẦU
1.Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu
Rèn luyện và phát triển năng lực cho học sinh là một mục tiêu, một
nhiệm vụ quan trọng của trường phổ thông. Điều đó đã được thể chế hóa
trong Luật Giáo dục: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát
triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản,
phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân
cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa” (Luật Giáo dục 2005, Điều 27,
mục 1, chương II). Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung

ương Đảng Cộng Sản Việt Nam khóa VIII về định hướng chiến lược phát
triển giáo dục – đào tạo trong thời kỳ cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa đã chỉ
rõ:“Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con
người xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ
Tổ quốc; cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước; giữ gìn và phát huy các giá
trị văn hóa của dân tộc, có năng lực tiếp thu tinh hoa văn hóa nhân loại; phát
huy tiềm năng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và
phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và cơng nghệ
hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi.” Đặc biệt, giai đoạn
hội nhập quốc tế hiện nay đặt ra cho giáo dục những yêu cầu mới. Dự thảo
Chương trình giáo dục phổ thơng sau năm 2015 đã xác định một trong những
mục tiêu của giáo dục phổ thông là phát triển năng lực con người. Mặt khác,
sự phát triển năng lực của con người ln địi hỏi sự sáng tạo, tư duy sáng tạo.
Như vậy, trong giai đoạn đổi mới hiện nay, việc rèn luyện cho học sinh sự
sáng trở nên cần thiết và cấp bách hơn bao giờ hết.
Toán học là một trong tám lĩnh vực giáo dục chủ chốt ở trường phổ
thông. Đây là lĩnh vực giáo dục có nhiều ưu thế trong hình thành và phát triển
ở học sinh các phẩm chất, năng lực cần thiết thích ứng yêu cầu cuộc sống.


2

Qua lĩnh vực giáo dục này, học sinh phát triển năng lực tính tốn, tư duy Tốn
học, giải quyết các vấn đề Tốn học, mơ hình hóa Tốn học, giao tiếp Tốn học,
ứng dụng Tốn học, …Đặc biệt, mơn Tốn có vị trí nổi bật đối với việc rèn
luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh: Các phương pháp toán học
hỗ trợ phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề và phát triển trí
thơng minh, óc sáng tạo. Ở giai đoạn giáo dục Trung học phổ thơng, mơn
Tốn tiếp tục giúp học sinh phát triển các năng lực tốn đã được định hình ở
giai đoạn giáo dục cơ bản, đồng thời được tiếp cận với các ngành nghề có liên

quan đến mơn học, đáp ứng sở thích và các nhu cầu học tập của người học[2].
Để hiện thực hóa yêu cầu này và đảm bảo cho học sinh sự thích ứng với cuộc
sống hội nhập, nhiệm vụ của mơn Tốn ở trường Trung học phổ thông làphát
triển khả năng sáng tạo cho học sinh.
Trong chương trình mơn Tốn ở trường Trung học phổ thơng, “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng” là một chủ đề quan trọng. Kiến thức của chủ đề
này là “cầu nối” kiến thức Đại số với Hình học. Đây là nội dung đòi hỏi ở học
sinh phương pháp suy nghĩ, hành động, giải quyết vấn đề học tập - nhận thức
linh hoạt, uyển chuyển, sáng tạo. Đặc biêt, khi nhìn các bài tập thuộc chủ đề
theo nhiều hướng mở khác nhau sẽ tạo cho học sinh các cách linh hoạt trong
nhìn nhận yếu tố giả thiết, kết luận, khái quát hóa, đặc biệt hóa bài tốn. Như
vậy, thiết kế bài tốn mở của chủ đề này có tiềm năng lớn trong việc rèn luyện
và phát triển khả năng sáng tạo cho học sinh.
Qua khảo sát việc dạy học mơn Tốn ở một số trường Trung học phổ
thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, chúng tôi nhận thấy:
Thứ nhất: Việc quan tâm phát triển, rèn luyện cho học sinh thói quen khai
thác bài toán mở trong dạy học “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” chưa
được giáo thực sự chú trọng.


3

Thứ hai: Giáo viên chủ yếu quan tâm đến việc dẫn học sinh đi tìm lời giải
của từng bài tốn như thế nào để có đáp số mà thiếu sự chú ý đến việc thiết kế
các hoạt động học tập theo các hướng mở của bài toán để phát triển tư duy, khả
năng sáng tạo cho học sinh. Bởi thế, mặc dù học sinh có thể biết cách giải
nhiều dạng bài tập về chủ đề này nhưng hiệu quả việc dạy học chủ đề này chưa
được khai thác tối đa.
Việc nghiên cứu về bài tốn mở trong dạy học mơn Toán đã được nhiều
nhà giáo dục quan tâm và nghiên cứu sâu, đặc biệt về mặt lý luận. Tuy nhiên,

chưa có cơng trình nào đề cập đến việc thiết kế hệ thống bài toán mở thuộc
chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” hướng đích việc rèn luyện khả
năng sáng tạo, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thơng
thơng.
Vì những lí do đề tài được chọn là: Thiết kế và sử dụng bài toán mở về
chủ đề "Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng" lớp 10 Trung học phổ
thông" làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số hướng thiết kế và chỉ dẫn sử dụng bài toán mở trong
dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở trường Trung học
phổ thông nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán mở, tư duy sáng tạo của học sinh trong quá trình dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán mở thuộc chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng"
lớp 10 Trung học phổ thông.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu giáo viên thiết kế và sử dụng một cách hợp lý bài toán mở trong dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” thì sẽ phát huy được tính


4

sáng tạo của học sinh và góp phần rèn luyện cho học sinh một số yếu tố của tư
duy sáng tạo.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa mơn Tốn lớp 10 nói
chung, nội dung chương trình chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
nói riêng. Hệ thống hóa những vấn đề lí luận về bài toán, bài toán mở, tư duy, tư
duy sáng tạo của học sinh, mối liên hệ giữa thiết kế bài toán mở đối với việc rèn

luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Khảo sát thực trạng nhận thức của giáo viên tốn Trung học phổ thơng về vai
trị của bài tốn mở trong dạy học tốn, thực trạng việc xây dựng, sử dụng bài toán
mở của giáo viên trong dạy học mơn Tốn ở trường Trung học phổ thông.
- Đề xuất một số biện pháp thiết kế và cách thức sử dụng bài toán mở
trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở trường Trung
học phổ thông.
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả, tính khả thi của các hướng
thiết kế đã đề xuất.
7. Bố cục của luận văn
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Thiết kế và sử dụng BTM trong dạy học chủ đề “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng”.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.


5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
1.1.1. Các nghiên cứu ở nước ngồi
Theo Pehkonen[30]: “BT kết thúc mở đưa ra những tình huống và yêu
cầu HS đưa thêm những giả thiết vào BT để một tính chất nào đó được thỏa
mãn, giải thích các kết quả, tạo ra các BT mới có liên quan hay tổng qt hóa
BT”
Trong cuốn “Sáng tạo Tốn học”, G.Polya [16]cho rằng: “Một tư duy
gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một BT cụ thể nào đó. Có
thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải BT sau
này. Các BT vận dụng những phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng
mn màu mn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Những

lúc cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho
những BT khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp,
chẳng hạn, lúc ta để lại một BT tuy khơng giải được nhưng tốt vì đã gợi ý cho
người khác những suy nghĩ có hiệu quả” [16]. G.Polya cho rằng : “Ví như
dịng sơng nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài tốn dù khó
đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài tốn đơn giản, có khi rất quen thuộc
đối với chúng ta”. Vì vậy, trong q trình tìm tịi lời giải bài tốn, việc tìm
hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp chúng ta nảy sinh ra những ý chói lọi, đơi lúc
cịn tìm được đúng chìa khố để giải các bài tốn đó.
Tác giả V.A.Krutexki [10]cho rằng có thể biểu diễn mối quan hệ giữa
các khái niệm “tư duy tích cực”, “tư duy độc lập” và “tư duy sáng tạo” dưới
dạng những vịng trịn đồng tâm, trong đó tư duy tích cực là cơ sở của tư duy
độc lập, tư duy độc lập là cơ sở của TDST.
Tư duy toán học: Wood, Williams & McNeal mơ tả tư duy tốn học là
“hoạt động trí tuệ liên quan đến sự trừu tượng hóa và khái quát hóa các ý


6

tưởng toán học”. Williams dựa trên nghiên cứu của Krutetskii và thang các
mức độ nhận thức của Bloom để tạo ra khung phân loại các hoạt động nhận
thức trong GQVĐ.bao gồm hiểu-nhận ra, áp dụng-nhận ra, áp dụng-thiết lập
với, phân tích-thiết lập với, phân tích-tổng hợp-thiết lập với, phân tích-đánh
giá-thiết lập với, tổng hợp-kiến tạo nên, đánh giá-kiến tạo nên. Tư duy sáng
tạo tốn học: Krutetskii (1976, [10]) mơ tả là “một đặc điểm cá nhân mà cho
phép người đó thực hiện một nhiệm vụ cho trước một cách nhanh chóng và
đúng đắn, tương phản với một thói quen hay là một kỹ năng”. Theo
Krutetskii, HS tư duy sáng tạo tốn học có thể thấu hiểu tài liệu theo đúng
quy cách, xử lý thông tin một cách lôgic, lập nên các tổng quát hóa, suy nghĩ
linh hoạt, đảo hướng trong q trình thực hiện, rút ngắn tư duy tốn học, năng

lực lưu giữ kiến thức và suy nghĩ một cách tốn học trong hầu hết các tình
huống.
Năm 1947 nhà tốn học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất ra
thuật toán mở (simplex method) để giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Thuật
tốn mở được phát triển mạnh mẽ trong những năm sau đó và được xem là
một phương pháp kinh điển để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính. Đây là
một phương pháp được sử dụng có thể nói là rộng rãi nhất. Có ba lý do chính:
Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, trong nhiều lĩnh vực khác nhau có thể
đưa về bài tốn mở.
Hai là: Trong nhiều phương pháp giải các bài toán phi tuyến, bài tốn
tuyến tính xuất hiện như là một bài toán phụ cần phải giải trong nhiều bước
lặp.
Ba là: Phương pháp đơn hình là phương pháp hiệu quả để giải bài tốn
quy hoạch tuyến tính.
Lớp các bài tốn mở là trường hợp đặc biệt của quy hoạch tuyến tính,
bởi vậy có thể dùng các phương pháp của quy hoạch tuyến tính để giải. Tuy


7

nhiên, do tính chất đặc thù riêng của nó, người ta xây dựng các phương pháp
giải riêng.
+ Tạo cơ hội cho HS thể hiện sự nắm vững kiến thức, sao cho tất cả HS
đều có khả năng tìm được câu trả lời;
+ Đưa ra những thách thức đối với quá trình tư duy và suy luận của
HS;
+ Cho phép HS áp dụng nhiều cách tiếp cận và chiến lược khác nhau
để đi đến lời giải BT.
-Năm 1962, tác giả Lowenfeld đã đề xuất các thuộc tính của sáng tạo
[29], sau đó các nhà tâm lí học sáng tạo Guildford và Torrance bổ sung, các

thuộc tính của sáng tạo bao gồm: tính độc đáo, tính thành thục, tính mềm dẻo,
tính chi tiết và hồn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Năm 1963, Osborn đưa ra
phương pháp công não về sự phát triển ý tưởng theo hai giai đoạn là giai đoạn
phát triển ý tưởng và giai đoạn phân tích ý tưởng [32]. Trong [26], năm 1967,
Guildford cho rằng có thể khuyến khích ý tưởng theo tư duy phân kỳ. Các
năm 1970 và 1985, De Bono cho rằng có thể khuyến khích ý tưởng và tư duy
theo chiều ngang thông qua phương pháp sáu chiếc mũ tư duy [23], [27]. Năm
1986, Henry Gleitman định nghĩa: “sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải
pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [28]. Năm
1987, Karen Huffman cho rằng: “người có tính sáng tạo là người tạo ra được
giải pháp mới mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề” [33]. Năm 1990, Perkin
cho rằng thuộc tính quan trọng của TDST là khả năng xem xét sự vật từ các
góc nhìn khác nhau, đặc biệt từ góc nhìn mới, khác thường và mong muốn
như khả năng thay đổi cách nhìn để tạo dựng lại vấn đề [29]. Năm 2005,
Langrehr đưa ra thang nhân cách, xác định kiểu nhân cách ảnh hưởng đến khả
năng sáng tạo, “những người có kiểu nhân cách trực giác - mở sẽ có tiềm
năng sáng tạo lớn” [34].


8

Như vậy, các nghiên cứu trên thế giới về tính sáng tạo, tư duy sáng tạo,
bài toán mở trong dạy học đã được quan tâm trên phương diện lí luận chung.
Trong đó, về tư duy sáng tạo thì các tác giả tập trung chủ yếu về vấn đề phân
tích cơ chế sự phát triển tư duy, tính sáng tạo của người học trong dạy học,
vai trò của sự sáng tạo đối với việc tích cực học tập của học sinh. Về bài tốn
mở thì các tác giả chủ yếu tập trung vào nghiên cứu lí luận chung về bài tốn
mở, vai trị của bài tốn mở đối với việc thực hiện mục tiêu giáo dục, Các
nghiên cứu xác định các hướng mở của các bài toán trong các chủ đề cụ thể
chưa được quan tâm trong các cơng trình nghiên cứu.

1.1.2. Các nghiên cứu trong nước
Theo tác giả Tôn Thân: “Bài tập mở là một dạng bài tập trong đó điều
phải tìm khơng được nêu lên một cách tường minh, người ta phải tìm hoặc
chứng minh tất cả các kết quả có thể có, hoặc phải đốn nhận, phát hiện các
kết luận cần chứng minh [19].
Trong [13], tác giả Bùi Huy Ngọc quan niệm BTM về phía giả thiết,
BTM về phía kết luận như sau:
BTM về phía giả thiết là BT mà HS có tham gia vào việc xây dựng giả
thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết.
BTM về phía kết luận là BT mà khi giải phải mị mẫm, dự đốn, biện
luận nhiều trường hợp.
Tác giả Bùi Văn Nghị: “BTM được hiểu là BT mà đáp số của nó
khơng phải là duy nhất, có nhiều phương án khác nhau để giải quyết nó với
các kết quả khác nhau” [12].
BTM cũng là một dạng bài tập, tuy nhiên đó là dạng bài tập mới, lạ dễ
gây hứng thú đối với những HS có óc tị mị, khám phá. Để giải quyết các
BTM địi hỏi HS phải có khả năng tổng hợp và huy động nhiều vốn kiến thức
do đó HS phải tích cực tìm kiếm, xử lí thông tin và vận dụng chúng vào giải


9

quyết các nhiệm vụ. Qua đó BTM góp phần phát huy tính chủ động, tích cực
của HS.
Tác giả Nguyễn Sơn Hà lại khẳng định việc xây dựng khái niệm bài
toán mở. Làm rõ vai trị của bài tốn mở trong mơn tốn ở trường trung học
phổ thơng. Đề xuất cách thiết kế các dạng bài toán mở. Xây dựng một số tình
huống dạy học bài tốn mở và hiện thực hố một số tình huống ở trường trung
học phổ thơng thơng qua dạy hình học về chủ đề "quan hệ song song trong
khơng gian"

BTM góp phần hình thành một số biểu hiện đặc trưng của tư duy sáng
tạo cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học chủ của tác giả Nguyễn
Văn Quang
Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm hình thành một số biểu hiện
đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học sinh trung học cơ sở diện đại trà thông
qua dạy học chủ đề
Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố
của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường THCS Việt Nam
của tác giả Tôn Thất Thân
Xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống câu hỏi và bài tập theo định
hướng bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo. Năng lực tư duy sáng tạo
của học sinh trung học cơ sở và vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh qua mơn tốn.
Nhóm tác giả: Hà Xuân Thành (Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng
giáo dục – Bộ GD&ĐT), Mai Xuân Vinh (Sở GD&ĐT Nghệ An), Phạm Sỹ
Nam (Trường THPT chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) và Hoa Anh Tường
(Trường THPT thực hành Sài Gòn – Trường ĐH Sài Gòn) chia sẻ những giải
pháp nhằm thiết kế được nội dung học tập trên lớp mơn Tốn, giúp phát triển
tư duy sáng tạo năng lực người học " Với bài toán, giáo viên đưa ra một tình


10

huống và yêu cầu học sinh trình bày kết quả qua bài làm của mình. u cầu
này có thể sắp xếp từ mức độ đơn giản, như học sinh chỉ rõ một lập luận toán
đã thực hiện, đến mức độ phức tạp hơn là học sinh thêm giả thiết hoặc giải
thích các tình huống tốn học, viết ra phương hướng, tạo ra những vấn đề liên
quan mới; hoặc đưa ra những khái qt hóa...Bài tốn mở được vận dụng vào
giờ giải tốn với mục đích tác động đến nhận thức của học sinh: Học sinh tự
mình phải có chính kiến riêng về bài học, mạnh dạn phát biểu ý kiến, đưa ra

được quan điểm, ý tưởng; học sinh có thể đề xuất bài toán tương tự hoặc mở
rộng bài toán, từ đó chủ động, nắm vững bài học".
Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn[21] khẳng định: “một trong rất nhiều cách
để rèn luyện nếp TDST qua việc học toán là tập cho HS quen nhìn một khái
niệm tốn học dưới nhiều góc độ khác nhau”. Trong [7], tác giả Hoàng Chúng
đã nghiên cứu vấn đề rèn luyện cho HS các thao tác tư duy cơ bản: khái quát
hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa thơng qua việc giải tốn và sáng tạo các BT
mới. để rèn luyện TDST, cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách
tồn diện: “Phân tích các khái niệm, BT, kết quả đã biết dưới nhiều khía cạnh
khác nhau, từ đó khái qt hóa hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều cách
khác nhau. Tìm nhiều lời giải khác nhau của một BT, khai thác các lời giải đó
để giải các BT tương tự hoặc tổng quát hơn hoặc đề xuất BT mới”. Năm
1995, tác giả Tôn Thân đã đưa ra một trong những phương hướng chủ yếu bồi
dưỡng một số yếu tố của TDST, trong đó có sử dụng bài tập mở [18]. Tuy
nhiên, tác giả Tôn Thân nghiên cứu bài tập mở và áp dụng cho đối tượng là
HS khá giỏi ở trường trung học cơ sở.
Năm 1995, tác giả Trần Luận đã đưa ra một số định hướng dạy học phát triển
năng lực sáng tạo của HS trên cơ sở vận dụng tư tưởng của G.Polya, tác giả
nghiên cứu và áp dụng cho HS khá giỏi ở trường trung học cơ sở [17]. Năm
2010, tác giả Chu Cẩm Thơ đưa ra một số biện pháp kích thích tư duy của học


11

sinh trong dạy học mơn Tốn ở trường trung học phổ thơng [20].
Trong giải Tốn, việc xét tương tự từ một bài tốn thơng qua đặc điểm
đặc biệt trong bài tốn đó để mở rộng hoặc phát biểu bài tốn ở dạng khác có
thể đưa lại cho ta một bài tốn hay, một cách nhìn nhận mới về bài tốn - giúp
học sinh củng cố nhiều kiến thức hơn và rèn luyện được kỹ năng giải toán tốt
hơn. Vấn đề này cũng phù hợp với lý luận dạy học đi từ cái cụ thể, đơn giản,

bằng phương pháp tương tự để phát triển lên thành những vấn đề khó hơn,
tổng quát hơn, toàn diện hơn phù hợp với năng lực và trình độ nhận thức của
học sinh.
Tóm lại: Các nghiên cứu sáng tạo, tư duy sáng tạo, bài toán mở …đã
được rất nhiều nhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm nhưng đều tập
trung ở việc phát triển lý luận chung. Các lý luận này chủ yếu làm rõ đường
lối, chỉ dẫn sự phát triển rư duy, tính sáng tạo của học sinh qua dạy học mơn
tốn. Việc nghiên cứu về bài toán mở trên một số chủ đề mơn Tốn cụ thể
nhằm phát huy tính sáng tạo, các tình huống sáng tạo trong cuộc sống, đặc
biệt với tình hình đổi mới giáo dục như hiện nay là hết sức cần thiết nhưng
chưa có các nghiên cứu một cách triệt để, có hệ thống.
1.2. Tư duy sáng tạo
Khái niệm về tư duy sáng tạo
TDST là một trong những loại hình tư duy có vai trị quan trọng trong
dạy học nói chung và dạy học mơn Tốn nói riêng. Khái niệm tư duy sáng tạo
được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngồi nước đề cập đến.
Theo các nhà tâm lí học: TDST là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân
đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục; là những năng lực tìm thấy những
ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến
thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá … (dẫn theo [20]).


12

Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân [11]
“TDST là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, có hiệu quả
giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới,
tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể
hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”.


Tư duy sáng tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực

Hình 1
Cụ thể ở HS các mức độ tư duy trên được biểu hiện như sau:
+ Tư duy tích cực: HS chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tích cực xây
dựng bài, thực hiện các cơng việc mà GV yêu cầu.
+ Tư duy độc lập: HS tự đọc, tự tìm hiểu các vấn đề, tự giải quyết các
bài tập hoặc chứng minh vấn đề nào đó.
+ Tư duy sáng tạo: HS tự nêu ra, khám phá vấn đề, tự tìm ra hướng giải
quyết mới trên các kiến thức đã có.
Các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
+ Tính mềm dẻo: Là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác. Trong học tập mơn Tốn, tính mềm dẻo của
TDST được biểu hiện ở việc thực hiện linh hoạt các thao tác tư duy, vận dụng
linh hoạt kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm đã có vào hồn cảnh mới khi có
những yếu tố đã thay đổi, khả năng nhìn nhận ra vấn đề mới trong điều kiện
quen thuộc.


13

+ Tính nhuần nhuyễn: Là khả năng sử dụng nhiều loại hình tư duy đa
dạng trong phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong học tập mơn Tốn, tính
nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được biểu hiện bởi tính đa dạng về phương
pháp xử lí khi giải tốn, khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh
khác nhau, là khả năng giải quyết một BT một cách thành thạo.

+ Tính độc đáo: Là khả năng tìm kiếm được kiến thức mới chưa ai biết,
giải pháp tối ưu. Trong học tập mơn Tốn, tính độc đáo được biểu hiện bởi
khả năng tìm ra hướng mới, lạ để giải quyết vấn đề, khả năng tìm ra những
mối liên hệ, sự liên tưởng và những sự kết hợp mới.
+ Tính thăng hoa: Thể hiện ở sản phẩm tìm được mang tính phát triển,
được ứng dụng rộng rãi (dẫn theo [20]).
1.3. Bài toán mở
1.3.1. Các quan niệm về bài toán, bài toán mở
Khái niệm bài toán mở đã được nhiều nhà nghiên cứu đề cập đến.
+) Theo Pehkonen: “BT kết thúc mở đưa ra những tình huống và yêu
cầu HS đưa thêm những giả thiết vào BT để một tính chất nào đó được thỏa
mãn, giải thích các kết quả, tạo ra các BT mới có liên quan hay tổng quát hóa
BT” [22].
+) Trong [2], tác giả Nguyễn Văn Bàng quan niệm: BTM có 3 tính
chất:
BT ngắn dễ hiểu vì thuộc về một lĩnh vực nhận thức quen thuộc đối
với HS.
Theo [20, tr.388], khái niệm BTM có liên quan đến “vấn đề” và “khám
phá”. Lịch sử của “vấn đề” và “khám phá” có từ nhiều thế kỷ trước. Xu
hướng ngày nay nhấn mạnh tầm quan trọng của các vấn đề và khám phá trong
chương trình, xu hướng này được bắt đầu từ các trường phổ thông của nước
Anh từ đầu những năm 60 của thế kỷ 20. Vào thời điểm đó, những khái niệm


14

này được nhắc đến như là “các vấn đề mở”; đó là “sự khám phá các vấn đề
đang được mở ra mà chúng ta cảm thấy như là đặc điểm cơ bản của toán học
thực sự’’ Phân biệt hai khái niệm “vấn đề” và “khám phá” luôn được nhiều
người quan tâm. “Việc giải quyết các vấn đề đã có mục tiêu rõ ràng địi hỏi

một dạng hành vi tốn học rất khác với dạng hành vi được yêu cầu bởi một
vấn đề mở hay một khám phá mà ở đó mục tiêu không được đặt ra”Trong [20,
tr.388], tác giả Len Frobisher khẳng định: “Một HS được giới thiệu một khám
phá khi ngữ cảnh là một tình huống dẫn đến một mục đích tốn học đã được
lựa chọn như một kết quả của việc khám phá ra tình huống đó. Loại thứ nhất,
các vấn đề mở ngỏ, thu hút HS tìm kiếm một mục tiêu mà chúng biết rằng
đang tiềm ẩn trong chính vấn đề được đưa ra. Loại thứ hai, các vấn đề mở, có
hai loại nhỏ, một là khi khơng có mục tiêu rõ ràng trước khi HS chọn
để quyết định đâu là mục tiêu, và trường hợp thứ hai là khi mục tiêu đã rõ
nhưng phương pháp hoàn tồn mở”.
BT khơng quy về việc áp dụng trực tiếp những thuật tốn hay thủ thuật
giải đã biết, cũng khơng có những hướng dẫn về phương pháp giải, do đó, BT
khơng có câu hỏi về chứng minh.
Người giải phải vận hành các thao tác mị mẫm, dự đốn, biện luận
hoặc phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết mới có thể tìm được đầy đủ
lời giải và kết quả.
+) Trong [13], tác giả Bùi Huy Ngọc quan niệm BTM về phía giả thiết,
BTM về phía kết luận như sau:
i)

BTM về phía giả thiết là BT mà HS có tham gia vào việc xây
dựng giả thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết.

ii)

BTM về phía kết luận là BT mà khi giải phải mị mẫm, dự đốn,
biện luận nhiều trường hợp...


15


+) Tác giả Bùi Văn Nghị: “BTM được hiểu là BT mà đáp số của nó
khơng phải là duy nhất, có nhiều phương án khác nhau để giải quyết nó với
các kết quả khác nhau” [12].
- Trong [18], tác giả Tơn Thân có đưa ra khái niệm bài tập mở và sử
dụng bài tập mở nhằm phát triển TDST cho HS. Cơng trình của tác giả Tơn
Thân khơng tập trung hoàn toàn vào việc khai thác các ứng dụng của bài tập
mở mà chỉ sử dụng bài tập mở là một trong nhiều dạng bài tập nhằm phát
triển TDST cho HS trung học cơ sở. Theo tác giả Tôn Thân, để tạo ra các
BTM góp phần bồi dưỡng TDST cho HS, GV có thể khai thác các BT trong
SGK, biến đổi chúng theo các cách sau:
Cách 1. Thay việc tìm hoặc chứng minh một kết quả bằng việc tìm hoặc
chứng minh nhiều kết quả có thể có;
Cách 2. Thay việc tìm hoặc chứng minh một kết quả cho sẵn bằng u cầu
đốn nhận kết quả, chứng minh hoặc tìm thêm các kết quả khác có thể có;
Cách 3. Bổ sung thêm dữ kiện hoặc câu hỏi với yêu cầu tìm hoặc chứng minh
các kết quả có thể có.
Các cơng trình đã có về BTM tập trung bàn về khái niệm BTM và một
số vai trò của BTM. Hiện nay chưa có cơng trình nghiên cứu về cách sáng tạo
BTM và cách dạy BTM ở trường THPT.
Như vậy có nhiều phát biểu khác nhau của nhiều nhà nghiên cứu về
BTM nhưng đều nêu lên đặc trưng của BTM là tính mở ở lời giải, ở câu trả
lời. Ta xét một số ví dụ cụ thể về BTM sau đây để thấy được điều đó:
Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
có B  3;2  ; C  4;1 và có diện tích bằng 3. Hãy bổ sung thêm yếu tố vào giả
thiết để có thể xác định được tọa độ đỉnh A .
Lời giải của BT:


16


Giả sử A  x0 ; y0  . Ta có phương trình đường thẳng BC : x  y  5  0 và độ
dài cạnh BC  2 .
Khoảng cách từ A đến BC : h 

S

x0  y0  5
2

 Diện tích tam giác ABC là

x  y0  5 x0  y0  5
1
.
2 0

2
2
2

 x  y0  5  6
 x0  y0  11
Từ giả thiết S  3   0
. Như vậy để xác định

x

y


5


6
x

y


1
0
0
 0
 0

được tọa độ điểm A ta cần thiết lập một phương trình hai ẩn x0 , y0 nữa. Các
yêu cầu có thể thêm là:
1) Điểm A nằm trên đường thẳng nào đó khơng song song hoặc trùng
với đường thẳng BC , chẳng hạn d : x  y  1  0.
2) Trọng tâm của tam giác nằm trên đường thẳng nào đó chẳng hạn

d : x  y  2  0.
A

3) Trung điểm M của AB hay của

AC nằm trên đường thẳng nào đó chẳng
hạn d : x  y  1  0.

N


4) Các yêu cầu trên hoàn toàn tương
tự khi thay đường thẳng bởi đường tròn

B

 C  : x 2  y 2  5.

H

M

C

Hình 2

Có thể nghĩ theo hướng khác, về dạng của tam giác, các đường trong tam
giác. Chẳng hạn:
5) Tam giác ABC cân tại A hoặc B, C.
6) Tam giác ABC vuông tại A hoặc B, C.
7) Đường trung tuyến BM hoặc CN có phương trình: x  y  2  0.


17

Nhận xét: Câu trả lời của BT là các yếu tố cần bổ sung vào giả thiết.
Rõ ràng đáp số của BT không duy nhất, và các yếu tố cần thêm ở đây tùy theo
cách nghĩ của HS, chẳng hạn: điểm A thuộc đường thẳng, đường trịn nào đó;
trung điểm của cạnh AB thuộc đường thẳng, đường trịn nào đó; trọng tâm
của tam giác ABC thuộc đường thẳng, đường tròn nào đó; dạng của tam giác


ABC , … Để tìm ra câu trả lời cần có sự mị mẫm, dự đốn, … Theo các quan
niệm trên ta có thể thấy đây là một BTM.
Ví dụ 1.2: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho đường thẳng

d : x  y  2m  0 (m là tham số) và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 y  4  0 . Có
thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa d và  C  ?
Nhận xét: Câu trả lời của BT là các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa đường
thẳng d và đường tròn  C  . Ở đây do phương trình đường thẳng d cịn phụ
thuộc tham số m nên các vị trí tương đối giữa d không cắt, cắt hay tiếp xúc
với  C  tùy theo các giá trị của m . Đây chính là BTM ở kết luận theo quan
niệm của tác giả Bùi Huy Ngọc.
Lời giải của BT:
Ta có  C  có tâm I  0;2  , bán kính R  2 2 .
Khoảng cách từ I đến d : h 

0  2  2m
2

 2 m 1

TH 1: h  R  m  1  2  m   ; 1   3;   .Ta có d   C   
 m  1
TH 2: h  R  
. Ta có d tiếp xúc với  C  .
m

3



TH 3: h  R  m   1;3 . Ta có d cắt  C  tại 2 điểm phân biệt.
Ví dụ 1.3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác

ABC . Gọi H là chân đường cao hạ từ A ; M , N lần lượt là trung điểm của