TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌ CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI

KHOA H C - CÔNG NGH

JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

XỂY D NG LU T I U KHI N T I U D A TRểN D LI U
TH A MÃN CỄC I U KI N RÀNG BU C V TệN HI U
U VÀO
VÀ TR NG THỄI CHO H TUY N TệNH D NG
DATA-DRIVEN OPTIMAL CONTROL WITH STATES AND INPUT
CONSTRAINTS FOR LTI SYSTEMS
NGUY N TI N BAN1*, NGUY N HOÀNG H I2
1
Khoa i n C , Tr ng i h c H i Phòng
2
Vi n C Khí, Tr ng i h c Hàng h i Vi t Nam
*Email liên h :
Tóm t t

S phát tri n c a các ph ng pháp trí tu nhân
t o trong th p niên v a qua đã t o ra m t xu
h ng m i trong l nh v c đi u khi n. ó là s
chuy n d ch t các ph ng pháp đi u khi n d a
trên mơ hình sang các ph ng pháp đi u khi n
d a trên d li u. V n đ l n nh t c n gi i quy t
đ i v i các ph ng pháp đi u khi n d a trên d

li u là vi c ch ng minh đ c tính an tồn (thơng
qua tính n đ nh c a h th ng) và th a mãn các
ràng bu c v tr ng thái và tín hi u đi u khi n. M t
ph ng pháp ti p c n đ gi i quy t v n đ n đ nh
c a h ng đi u khi n d a trên d li u là s d ng
b đ c a Willems và c ng s . D a trên các k t
qu đó, bài báo này đ xu t m t ph ng pháp đi u
khi n t i u d a trên d li u cho tr ng h p h
tuy n tính d ng trong đó mơ hình toán c a h
ch a bi t và h ph i th a mãn các đi u ki n gi i
h n c a tr ng thái và tín hi u đ u vào v i h đi u
khi n. C th , bài toán đ c đ a v h các b t
đ ng th c ma tr n (LMI), và h này gi i đ c
b ng các ph ng pháp s hi n hành. Ph ng
pháp đi u khi n này đ c minh h a b ng ví d mơ
ph ng th c hi n trên Matlab.
T khóa: i u khi n t i u, đi u khi n h tuy n
tính d ng, LMI, đi u khi n có ràng bu c, đi u
khi n d a trên d li u.

Abstract

The development of Artificial Intelligence over the
last decade has shifted the research directions in
control engineering field, from model-based
approach to data-driven approach. The crucial
question the needs to be answered in the latter
approach is to guarantee the provability safety
and stability of the closed-loop systems as well as
the states and input constraints. The controller

design method using Willems’ lemma has been

42

showed to guarantee stability for the data-driven
control systems. This paper proposed an extension
of the results to the case of optimal control
problem under the states and input constraints.
Specifically, the problem is formulated as Linear
Matrix Inequalities (LMIs), which can be solved
by current available toolboxes. The proposed
method is illustrated by a numerical example
simulated in Matlab.
Keywords: Optimal control, LTI Systems, LMI,
Control with constraints, Data-driven Control.

1. M đ u
V i s phát tri n c a trí tu nhân t o trong th p k
v a qua, các h ng nghiên c u m i trong l nh v c
đi u khi n đã chuy n d ch t h ng s d ng các
ph ng pháp đi u khi n d a trên mơ hình (modelbased) sang h ng nghiên c u s d ng các ph ng
pháp d a trên d li u. Ph ng pháp đi u khi n d a
trên mơ hình đã ph bi n đ i v i ngành đi u khi n t
đ ng và cho t i nay, h u h t các ph ng pháp đi u
khi n là d a trên mơ hình. Mơ hình c a đ i t ng đi u
khi n th ng đ c xây d ng d a trên vi c áp d ng
các đ nh lu t v t lý, vì v y nó địi h i m t s hi u bi t
nh t đ nh v đ i t ng đi u khi n, và th ng đ c
th c hi n b i các chuyên gia v đ i t ng đó. Nh ng
trong th c t , cách làm này không ph i bao gi c ng

d dàng, ví d nh trong tr ng h p h có các ph n t
khơng xác đ nh rõ ràng, ho c h quá ph c t p thì vi c
mơ hình hóa d a trên các đ nh lu t v t lý th ng b t
kh thi. Ng c l i, v i cách ti p c n d a trên d li u,
nói chung ng i thi t k b đi u khi n khơng c n ph i
có ki n th c v đ i t ng đi u khi n mà ch c n thu
th p d li u tín hi u vào và tín hi u ra c a đ i t ng.
Ph ng pháp thi t k d a trên d li u th c ra đã
xu t hi n t lâu. Ví d hai ph ng pháp c đi n đ
ch nh đ nh b đi u khi n PID c a Ziegler-Nichols (ví
d xem [9]) hồn tồn khơng d a vào mơ hình tốn
đ i t ng đi u khi n mà ch d a vào đáp ng đ u ra

S

70 (04-2022)


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA H C - CƠNG NGH

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

c a đ i t ng. V i s phát tri n c a các ph ng pháp
trí tu nhân t o, các ph ng pháp d a trên d li u
trong đi u khi n ngày nay có th k đ n nh ph ng

pháp h c t ng c ng (Reinforcemnt Learning) [5] hay
ph ng pháp GP (Gaussian Process) [4]. ã có nh ng
nghiên c u cho th y, trong vi c đi u khi n h th ng
trong công nghi p, có khi đ n 80% th i gian và cơng
s c là dùng đ xây d ng mơ hình đ i t ng đi u khi n
([8]). Vì v y, xu h ng xây d ng ph ng pháp đi u
khi n d a trên d li u là c n thi t và h a h n gi i
quy t đ c nhi u v n đ c p thi t.
Tuy nhiên, nh c đi m c a các ph ng pháp đi u
khi n d a trên d li u là vi c ch ng minh tính an toàn
c a h th ng đi u khi n th ng khó kh n. ây c ng
chính là u đi m c a ph ng pháp đi u khi n d a trên
mơ hình so v i ph ng pháp d a trên d li u. Khi đã
có mơ hình tốn c a đ i t ng đi u khi n, v m t lý
thuy t, ng i ta có th ch ng minh đ c tính n đ nh
c a h kín v i m t quy lu t đi u khi n. Tuy nhiên v i
các h đi u khi n có các thành ph n d a trên d li u,
vi c làm này, dù là ch ng minh trên lý thuy t, th ng
r t khó.
kh c ph c nh c đi m này, m t cách ti p
c n đ c đ xu t là s d ng b đ ch ng minh b i
Willems và c ng s [2], sau đó đ c m r ng b i [1].
N i dung c a b đ Willems nói r ng m i qu đ o c a
m t h tuy n tính b t k đ u có th đ c t o ra b i t
h p tuy n tính c a h u h n các qu đ o c a h đó v i
đi u ki n các qu đ o đó đ c sinh ra khi h đ c
kích thích đ y đ . D a trên b đ này, các cơng trình
nghiên c u đã xây d ng ph ng pháp thi t k b đi u
khi n n đ nh d a trên d li u cho h tuy n tính b ng
cách đ a v d ng h b t đ ng th c ma tr n (LMI) đ

gi i, cho tr ng h p h lý t ng và h có nhi u. Tuy
nhiên ch a bài báo nào nghiên c u v h đi u khi n
n đ nh cho h có tr ng thái và tín hi u đ u vào b gi i
h n s d ng ph ng pháp LMI d a trên d li u phát
tri n t bài báo [1] m c dù trong th c t , các h th ng
đi u khi n ln có nh ng gi i h n c a tín hi u đi u
khi n hay tr ng thái.
Bài báo này là b c đ u m r ng k t qu nghiên
c u c a [1] cho đi u khi n h t i u trong đó tr ng
thái và tín hi u đi u khi n c a h th a mãn các đi u
ki n gi i h n cho tr c. Các đi u ki n gi i h n đ c
gi thi t r ng có th đ c miêu t d i d ng đa di n
(polytope). Cách mơ t này hồn tồn g n v i th c t ,
ví d tín hi u đi u khi n ho c bi n tr ng thái luôn n m
trong gi i h n c c ti u và c c đ i cho tr c. Bài toán
đ c đ a v d ng tìm m t ellipsoid n m trong đa di n
đó, sau đó đ a v d ng LMI đ gi i. óng góp chính
c a bài báo là ch ng minh hai đ nh lý đ c trình bày
trong M c 4, qua đó đ a ra cách t ng h p b đi u

S

70 (04-2022)

khi n t i u d a trên d li u cho h có ràng bu c.
C u trúc bài báo g m các ph n: M c 2 t ng k t
các k t qu nghiên c u đã có và đ c s d ng đ
ch ng minh các k t qu nghiên c u chính. M c 3 nêu
ra v n đ c n gi i quy t và các gi thi t liên quan. M c
4 trình bày k t qu nghiên c u chính. M c 5 trình bày

ví d mơ ph ng trên Matlab. Cu i cùng, k t lu n và
các h ng nghiên c u ti p theo đ c trình bày trong
M c 6.

2. Các k t qu nghiên c u hi n có
Trong m c này, chúng tơi trình bày ng n g n b
đ Willems [2] và các k t qu đã có t cơng trình [1]
có liên quan đ n bài báo này. Xét tín hi u
và chúng ta ký hi u
,
đ ng th i đ nh ngh a ma tr n Hankel t ng ng v i
tín hi u trên nh sau:

Khi j=1, chúng ta đ n gi n ký hi u nh sau:
Chú ý r ng chúng ta áp d ng cách ký hi u này cho
tín hi u đi u khi n u(k) và tr ng thái x(k) c a h trong
ph n ti p theo c a bài báo. Xét h tuy n tính d ng
đi u khi n đ c và quan sát đ c có d ng:
(1)
Trong đó: Vector tr ng thái x và tín hi u đi u
khi n u l n l t có chi u là n và m. nh ngh a v tín
hi u kích thích đ đ i v i h (1) đ c nêu nh sau:
nh ngh a 1: Tín hi u
đ cg i
là kích thích đ b c L khi và ch khi ma tr n:

có h ng (rank) là rL.
B đ Willems có n i dung nh sau:
B đ 1 [2]: Gi thi t tín hi u đi u khi n
là kích thích đ b c n+t, thì:

a. H ng c a ma tr n:
(2)
b. T n t i

sao cho:
(3)

Chú ý r ng ký hi u tín hi u v i ch d nh Ud,[0,T-1]

43


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌ CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI

KHOA H C - CÔNG NGH

JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

nh trong b đ 1 hàm ý r ng đây là tín hi u th , dùng
kích thích đ i t ng đi u khi n đ thu đ c b d li u
tín hi u vào U và tr ng thái t ng ng X (vì gi thi t h
quan sát đ c hồn tồn nên tín hi u ra đây là tr ng
thái c a h ). Ý ngh a c a m nh đ (b) c a b đ
Willems là, ch c n thu th p d li u m t qu đ o sinh
ra b i h tuy n tính (1) khi đ c kích thích đ thì t t c
các qu đ o t ng lai c a h th ng này s đ c bi u

di n thơng qua t h p tuy n tính c a qu đ o đã thu
th p đó. Chú ý r ng, m nh đ (a) c a b đ 1 khi áp
d ng cho tr ng h p t=1 thì t ng đ ng v i:
(4)
D a vào ý t ng này, cơng trình [1] đã phát tri n
ph ng pháp thi t k b đi u khi n n đ nh d a vào
d li u cho h (1) khi ma tr n A và B không đ c bi t
tr c. Xét h (1) đ c đi u khi n b ng b đi u khi n
ph n h i tr ng thái:

3. Mơ hình đ i t

ng và bài toán c n gi i

Ph n này s trình bày bài tốn mà chúng ta nghiên
c u trong bài báo này.
i t ng đi u khi n là h
tuy n tính d ng đ c mơ t trong ph ng trình (1),
trong đó ma tr n A và B không đ c bi t tr c.
i
t ng đ c gi thi t là đi u khi n đ c và quan sát
đ c. Tr ng thái c a h và tín hi u đi u khi n ph i
th a mãn đi u ki n ràng bu c cho tr c
và
, trong đó:

là các h ng s .
;
v i:
i u ki n ràng bu c này có th vi t d i d ng

.
(9)
Chúng ta c n tìm b đi u khi n ph n h i (5) đ
t i u phi m hàm m c tiêu (đ ng th i th a mãn đi u
ki n ràng bu c (9)):

(5)
B đ 2 [1]: Gi thi t đi u ki n (4) đ c th a mãn,
h kín c a đ i t ng đi u khi n (1) v i tín hi u đi u
khi n (5) đ c bi u di n b i:
(6)
trong đó

th a mãn:
(7)
và

(8)

Ý ngh a c a b đ 2 là ma tr n ph n h i c n tìm K
trong b đi u khi n (5) có th đ c bi u di n thông
qua các d li u c a m t qu đ o h u h n c a đ i
t ng đi u khi n (1) khi đ c kích thích đ qua
ph ng trình (7).
ng th i, ph ng trình (7) và (8)
c ng cho th y r ng, thay vì tìm ma tr n K đ xây d ng
b đi u khi n ph n h i tr ng thái n đ nh (5), chúng
ta có th tìm đ c b đi u khi n t ng đ ng b ng
cách tìm ma tr n
trong ph ng trình (8).


(10)
trong đó ma tr n Q và R là các ma tr n xác đ nh d ng.
Nh v y, bài toán đ c nghiên c u trong bài báo này
khác bài toán trong [1] hai đi m: th nh t, đây là bài
toán đi u khi n t i u v i phi m hàm m c tiêu (10);
th hai, đây là bài toán đi u khi n có ràng bu c, miêu
t b i t p (9). Chúng ta gi thi t r ng, chúng ta kích
thích h b ng tín hi u kích thích đ Ud,[0,T-1] v i b c
n+1 và thu đ c b d li u t ng ng. V i gi thi t
này, đi u ki n (4) đ c th a mãn.

4. i u khi n t i u v i LMI d a trên d li u
Ph n này s trình bày các k t qu chính c a bài
báo qua hai đ nh lý sau đây.
3đ

Trong k thu t bi n đ i đ ch ng minh tính xác
đ nh d ng c a ma tr n, chúng ta s d ng b đ ph
bi n sau đây, có th tìm th y trong các tài li u c b n
v LMI, ví d trong tài li u [3].

nh lý 1: Xét h (1) v i các gi thi t trong M c
c th a mãn. N u t n t i ma tr n
và
và h ng s
sao cho:
(11)

B đ 3 [3]: Xét ma tr n

N u A ngh ch đ o đ

c thì:

N u C ngh ch đ o đ

c thì:

Trong đó:

,
và:

thì v i

44

,

và

,

S

70 (04-2022)


TẠP CHÍ


ISSN: 1859-316X

KHOA H C - CƠNG NGH

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

i) B đi u khi n ph n h i tr ng thái (5) s
ti m c n h kín.

n đ nh

ii)
ng th i,
là ch n trên c a
phi m hàm m c tiêu (10) t i m i th i đi m k.
Ch ng minh: Ta l n l
đ nh lý:

t ch ng minh hai ý c a

i) Xét hàm Lyapunov cho h kín v i đ i t ng đi u
khi n (1) v i b đi u khi n phàn h i (5) có d ng
. Vì ma tr n R và Q xác đ nh
d ng nên h kín s n đ nh khi:

(12)
Chú ý r ng, s d ng (6) t b đ 2, v trái c a b t
đ ng th c (12) t ng đ ng v i:
bi n đ i v ph i c a (12), chúng ta s d ng (7)

nh sau:
(13)

B đ 4 [3]: Ellipsoid đ
s n m trong đa di n:
khi và ch khi

nh lý 2 sau đây nêu ra cách t ng h p b đi u
khi n t i u th a mãn các đi u ki n ràng bu c c a tín
hi u vào và bi n tr ng thái, đ ng th i ch ng minh tính
n đ nh c a h kín.
nh lý 2: Xét h (1) th a mãn các gi thi t nêu
trong m c 3. B đi u khi n ph n h i tr ng thái (5) thu
đ c b ng cách gi i bài toán t i u trong B ng 1,
trong đó
và
s n đ nh
ti m c n h kín. ng th i
là ch n trên c a phi m
hàm m c tiêu J trong (10).

U

v i S=diag(R,Q). Nh v y, vì (12) đúng v i m i k
nên (12) t ng đ ng v i

0,4427
0,1067
0,9619
0,0046

0,7749

5,0000
3,7500
2,7830
2,0612
1,5273
1,1308

5,0000
24,8505
21,3512
15,3859
11,9903
8,2508

(14)
(15)
(16)

ii) Chúng ta c ng hai v c a (12) t k đ n vô cùng
s thu đ c:

So sánh v i (10) ta th y v ph i c a b t đ ng th c
này là -J(x,u). v trái, vì h n đ nh ti m c n theo
ch ng minh m c i) nên
=0. V y -V(k) < J(x,u) hay phi m hàm m c tiêu luôn b ch n trên b i
V(k) v i m i k.
nh lý 1 là ti n đ đ xây d ng b đi u khi n t i
u n đ nh ti m c n cho h , đ c nêu trong đ nh lý 2


70 (04-2022)

X

,

S d ng bi n đ i Schur (b đ 3) cho b t đ ng th c
trên ta s thu đ c (11). Nh v y, khi (11) th a mãn
d n đ n (12) đ c th a mãn, t c là h n đ nh ti m
c n.

S

c mô t b i:

B ng 1. D li u đ thi t k b đi u khi n trong ví d

Vì v y, v ph i c a (12) tr thành:

S d ng phép đ i bi n trong đ nh lý 1 v i
v i đi u ki n r ng
đ ng th i
, ta thu đ c

d i đây. Tuy nhiên, v n đ th a mãn các ràng bu c
cho tín hi u đ u vào và các tr ng thái ch a đ c xét
đ n.
đ m b o các ràng bu c c a tín hi u vào và
tr ng thái đ c th a mãn, chúng ta c n b đ sau đây.


(17)

Ch ng minh: i u ki n (15) và (16) c a bài toán
t i u (14-17) là đi u ki n đ n đ nh ti m c n h kín
nh đã nêu trong nh lý 1. i u ki n (14) và (17) liên
quan đ n vi c th a mãn đi u ki n ràng bu c (9) và
đ c ch ng minh nh sau:
S d ng (13) và b đi u khi n (5), t p (9) có th
vi t l i d i d ng nh sau:
(18)
Trong đó:

Hi n nhiên r ng

45


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌ CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI

KHOA H C - CÔNG NGH

JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

. M t khác, áp d ng bi n đ i Schur (b đ 3)
cho (13), chúng ta thu đ c

hay
. Chú ý r ng, phép
đ i bi n
đã đ c s d ng.
Nh v y, (14) thi t l p
là ch n trên cho hàm
Lyapunov đã ch n. Bây gi , chúng ta c n đ m b o r ng
ellipsoid t o b i hàm Lyapunov đã ch n luôn n m trong
đa di n (18), khi đó các đi u ki n ràng bu c luôn đ c
th a mãn. i u này đ c th c hi n b ng cách v n d ng
b đ 4. i u ki n này t ng đ ng v i:
(19)
. Áp d ng bi n đ i
Trong đó:
Shur (b đ 3) k t h p v i phép đ i bi n
,
ta thu đ c (17). Nh v y b đi u khi n (5) v i K tìm
đ c t gi i bài toán t i u s n đ nh ti m c n h kín
và đ m b o th a mãn các đi u ki n ràng bu c.
ng th i, theo nh lý 1, J(x,u) < V(k), và theo
ch ng minh trên
nên
là ch n trên
c a phi m hàm (10).
Nh n xét: T ch ng minh trên ta th y,
là ch n
trên c a phi m hàm m c tiêu. Khi ta c c ti u hóa
b ng gi i bài tốn t i u, ta đ ng th i c c ti u hóa
phi m hàm m c tiêu J ph ng trình (10).


5. Ví d và k t qu mơ ph ng

Chúng ta kích thích h b ng tín hi u kích thích đ
v i T=5. Chúng ta thu đ c d li u:
Chúng ta khơng s d ng mơ hình A, B đ thi t k
b đi u khi n mà s d ng b ng d li u 1. Gi i bài toán
trong nh lý 2 b ng toolbox CVX [7] v i đi u ki n
ràng bu c |u| < 10, | |< 2.5 v i đi u ki n đ u
x=[1.5,2] thu đ c K =[ 5.7331 -0.4938]. Dùng b
đi u khi n thu đ c đ mô ph ng k t qu nh trên
Hình 1, ta th y tín hi u đi u khi n và bi n tr ng thái
đ u n m trong gi i h n đ ra.

6. K t lu n
Bài báo đã xây d ng m t ph ng pháp đi u khi n
t i u có ràng bu c cho h tuy n tính d ng mà mơ
hình tồn ch a bi t rõ, ch d a trên d li u c a h khi
đ c kích thích đ , b ng cách đ a v d ng LMI đ
gi i b ng các ph ng pháp. Ph ng pháp chúng tôi
xây d ng đã đ c ch ng minh ch t ch b ng toán h c
và minh h a qua m t ví d mơ ph ng đ n gi n.
Bài báo là b c đ u c a các nghiên c u m r ng
sau này, cho h ng nghiên c u c a bài báo c ng nh
là h ng ti p c n đi u khi n d a trên d li u nói
chung. Chúng ta có th đ c m r ng bài toán khi h
th ng có nhi u đo ho c sai l ch mơ hình (bài tốn đi u
khi n b n v ng) và bài tốn đi u khi n thích nghi cho
h kín v i d li u thu th p online.

TÀI LI U THAM KH O


Hình 1. K t qu mơ ph ng các tr ng thái
và tín hi u đi u khi n c a h

Trong ph n này m t ví d s đ c trình bày đ
minh h a ph ng pháp thi t k b đi u khi n đã trình
bày trên. Mơ hình s d ng đ mô ph ng là h CSTR
đ n gi n, tuy n tính hóa xung quanh m t đi m làm
vi c ([6]) có d ng (1), trong đó:

46

[1] De Persis, C. và Tesi, P. Formulas for data-driven
control: Stabilization, optimality, and robustness,
IEEE Transactions on Automatic Control,
Vol.65(3), pp.909-924, 2020.
[2] Willems, J.C., Rapisarda, P., Markovsky, I., and
De Moor, B.L. A note on persistency of excitation,
Systems & Control Letters, Vol.54(4), pp.325-329,
2005.
[3] Stephen Boyd, Laurent El Ghaoui, E. Feron, and
V. Balakrishnan, Linear matrix inequalities in
system and control theory, Vol.15 of Studies in
Applied Mathematics, Society for Industrial and
Applied Mathematics (SIAM), 1994.
[4] Hewing, L., Kabzan, J., and Zeilinger, M.N.
Cautious model predictive control using gaussian
process regression, IEEE Transactions on Control
Systems Technology, Vol.28(6), pp.2736-2743,
2020.


S

70 (04-2022)


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

[5] Zanon, M. & Gros, S. Safe reinforcement learning
using robust MPC, IEEE Transactions on
Automatic Control, Vol.66(8), pp.3638-3652,
2021.
[6] Zhang Longge and Yan Yan, Robust shrinking
ellipsoid model predictive control for linear
parameter varying system, Plos one, Vol.12(6), 2017.
[7] Michael Grant, Stephen Boyd. CVX: Matlab
software for disciplined convex
programming, version 2.0 beta.
September 2013.

S

70 (04-2022)

KHOA H C - CÔNG NGH

[8] Rossiter, J.A. và Kouvaritakis, B. Modelling and
implicit modelling for predictive control.
International Journal of Control, Vol.74(11),
pp.1085-1095, 2001.
[9] Nguy n Doãn Ph c: Lý thuy t đi u khi n tuy n
tính, NXB Khoa h c & K thu t, 2009.
Ngày nh n bài:
Ngày nh n b n s a:
Ngày duy t đ ng:

07/01/2022
17/01/2022
22/01/2022

47