TẠP CHÍ

KHOA H C - CƠNG NGH

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

I U KHI N C NG TR C 3D
D A TRểN B
I U KHI N TR
T B C PHỂN S
CONTROL STRATEGY OF A 3D-GANTRY CRANE
BASED ON FRACTIONAL-ORDER SLIDING MODE CONTROL
PH M V N TRI U1*,
NG V N TR NG2
1
Khoa Máy tàu bi n, Tr ng i h c Hàng h i Vi t Nam
2
Vi n i n, Tr ng i h c Bách Khoa Hà N i
*Email liên h :

Tóm t t
Trong bài báo, đ i t ng mà chúng tôi xem xét đ n
là mơ hình c ng tr c 3D v i n m b c t do.
đ i
phó v i m t h th ng phi tuy n, nhi u đ u vào,
nhi u đ u ra và thi u c c u ch p hành này, chúng
tơi trình bày m t b đi u khi n ch đ tr t b c
phân s . B đi u khi n này v i b c đ o hàm có th

đi u ch nh đ c, giúp ta có th tìm đi m có đáp ng
t i u. Ngồi ra, vi c xem xét tính n đ nh và th i
gian h i t c ng đ c trình bày. Các k t qu mơ
ph ng ch ng minh tính hi u qu c a b đi u khi n
đ c đ xu t đ c th c hi n thơng qua ph n m m
Matlab-Simulink.
T khóa: C ng tr c 3D, Phép toán b c phân s ,
B đi u khi n tr t b c phân s , Lý thuy t n đ nh
Lyapunov.

Abstract
In this paper, the object that we consider is a 3D
crane model with five degrees of freedom. To deal
with this nonlinear and multiple-input multipleoutput (MIMO) system in which there is a lack of
actuators, we present a fractional-order sliding
mode controller. This controller has an adjustable
fractional order so that we can find the point with
the optimal response. In addition, the stability and
convergence time is also taken into account. The
simulation results proving the effectiveness of the
proposed controller are conducted through
Matlab-Simulink software.
Keywords: Three-dimensional (3D) gantry
crane, Fractional calculus, Fractional-order
Sliding Mode Control (FOSMC), Lyapunov's
stability theory.

1. Gi i thi u
C ng tr c đ c ng d ng r ng rãi trong cơng
nghi p. Có r t nhi u cơng trình liên quan đ n nghiên

c u v mơ hình hóa h c ng tr c đã đ c th c hi n,
ph bi n có th k đ n nh : mơ hình hai b c t do
trong [1] và [2], mơ hình ba b c t do [3], [4], và [5],
mơ hình tốn h c v i b n b c t do trong [6] và mơ
30

hình xem xét n m b c t do [7]. H th ng c ng tr c
hi n nay th ng đ c v n hành ch y u b ng tay, đi u
này k t h p v i nh ng tác đ ng c a môi tr ng s làm
gi m đ chính xác c a h th ng t đó gây nguy hi m
cho ng i lao đ ng. Vì v y, vi c thi t k đi u khi n
c ng tr c sao cho h th ng có hi u su t làm vi c t t
nh t là vô cùng c n thi t. B đi u khi n PID là m t
trong nh ng b đi u khi n ph bi n nh t và đ c s
d ng nhi u trong công nghi p do c u trúc đ n gi n,
d đi u ch nh. Tuy nhiên, đ i v i nh ng h th ng ph c
t p, hi u qu và tính chính xác c a b PID s b nh
h ng n u ch d a vào các cách đi u ch nh truy n
th ng.
x lý các ràng bu c tr ng thái, nghiên c u
[8] đã s d ng m t ph ng pháp đi u khi n phi tuy n
cho h th ng thi u c c u ch p hành. B đi u khi n
thích nghi xây d ng d a trên hàm Lyapunov ch n
[9] đã đ c đ xu t đ ng n ch n các rung đ ng không
mong mu n c a h th ng c ng tr c linh ho t v i gi i
h n đ u ra biên. Nghiên c u [10] đã s d ng đi u
khi n tr t k t h p v i vi c s d ng m ng n -ron cho
c ng tr c 3D - m t k thu t đi u khi n thích nghi v i
nhi u và b t đ nh. B đi u khi n tr t b c hai đ c
gi i thi u [10] và [11] đã x lý đ c hi n t ng rung

còn t n t i trong b đi u khi n tr t b c m t, tuy v y
vi c thi t k đi u khi n theo ph ng pháp này l i khá
ph c t p. Thêm vào đó, k thu t đi u khi n tr t b c
phân s đã đ c áp d ng nhi u trong các nghiên c u
g n đây nh m t gi i pháp đ xác đ nh đi m đáp ng
t i u [12] và [13]. G n đây, ph ng án k t h p gi a
b đi u khi n ch đ tr t truy n th ng và phép toán
b c phân s c ng đã đ c xem xét và áp d ng cho
c ng tr c trong [14] và [15]. Ngoài ra, trong nghiên
c u [7] còn k t h p thêm lý thuy t v m ng n -ron đ
quan sát đ u ra và nhi u.
Xu t phát t nh ng nghiên c u trên, m t thu t
toán đi u khi n ch đ tr t b c phân s đ c áp d ng
cho h c ng tr c 3D đ c trình bày trong bài báo này.
K t c u c a bài vi t s bao g m n m ph n nh sau:
mơ hình tốn h c d ng ma tr n c a h c ng tr c 3D
s đ c đ a ra và bi n đ i trong Ph n 2; b đi u khi n
ch đ tr t b c phân s đ c trình bày trong Ph n 3;
trong Ph n 4; trình bày k t qu mô ph ng thông qua
ph n m m Matlab-simulink; cu i cùng, k t lu n và
h ng nghiên c u t ng lai đ c đ a ra.

S

70 (04-2022)


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X


KHOA H C - CƠNG NGH

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

2. Mơ hình toán h c

C12 ( q, q ) = C12 ( q, q )
- M12 ( q ) M -1
22 ( q ) C 22 ( q, q ) ;
G1 ( q ) = G1 ( q ) - M12 ( q ) M -1
22 ( q ) G 2 ( q ) ;
-1
Fa = F; Fu = -M 21 ( q ) M11
( q ) Fa ;
-1
M 2 ( q ) = M 22 ( q ) - M 21 ( q ) M11
( q ) M12 ( q ) ;

C21 ( q, q ) = C21 ( q, q )
-1
- M 21 ( q ) M11
( q ) ( D11 + C11 ( q, q ) ) ;

C22 ( q, q ) = C22 ( q, q )
-1
- M 21 ( q ) M11
( q ) C12 ( q, q ) ;
-1

G 2 ( q ) = G 2 ( q ) - M 21 ( q ) M11
( q ) G1 ( q ) ;

Hình 1. Mơ hình c ng tr c 3D

Trong Hình 1, bi u di n mơ hình c ng tr c 3D v i
T
ba đ u vào đi u khi n F =  F1 F2 F3  nh m ki m
T
soát n m bi n đ u ra q =  x y l    . Trong
n m bi n đ u ra trên, ch có ba bi n x, y, l là các
bi n đ c d n đ ng, trong khi đó hai bi n cịn l i là các
chuy n đ ng không đ c d n đ ng và b ràng bu c.
D a trên nghiên c u [16], mơ hình đ ng l c h c c a h
c ng tr c 3D đ c vi t d i d ng ma tr n nh sau:

Nh vây, sau khi th c hi n bi n đ i đ đ a h
th ng (1) v hai h th ng con trong ph ng trình (4)
và (5), chúng tơi đã ch m i quan h gi a tín hi u đi u
khi n và các bi n đ c d n đ ng, b ràng bu c.

3. Chi n l

c ki m soát h c ng tr c 3D

Trong đó: M(q)  R 5x5 là ma tr n quán tính,
C(q,q)  R 5x5 liên quan đ n l c Coriolis và l c ly
tâm, D  R5x5 là ma tr n c n, G(q)  R 5x1 là véc t
tr ng l c.


B đi u khi n ch đ tr t b c phân s đ c thi t
T
k nh m giúp q a ti n v qad =  xd yd ld  và
đ m b o các dao đ ng c a q u t t d n. Thay vì s d ng
đ o hàm c p s nguyên c đ nh nh thông th ng, đ o
hàm b c phân s đ c xem là thu n l i h n vì có kh
n ng đi u ch nh. B ng cách đi u ch nh nh ng b c đ o
hàm, chúng tơi có th có đ c nh ng ph n h i t i u.
Ngồi ra, vi c xem xét tính n đ nh và th i gian h u
h n c ng đ c trình bày trong ph n này.

t o c s thu n l i cho vi c thi t k b đi u
khi n ch đ tr t b c phân s
ph n ti p theo,
ph ng trình đ c bi n đ i thành 2 h con v i bi n
T
tr ng thái nh
sau:
và
qa =  x y l 
T
qu =   

u tiên, nh ng phép toán phân s cho hàm s
a ( t ) b t k đ c đ a ra. Phép tích phân b c phân
s  theo Riemann-Liouville [17] đ c đ nh
ngh a nh sau:

M(q)q + C(q, q)q + Dq + G(q) = F


M11 ( q ) q a + M12 ( q ) q u + C11 ( q, q ) q a
+ C12 ( q, q ) q u + D11q a + G1 ( q ) = F
M 21 ( q ) q a + M 22 ( q ) q u + C 21 ( q, q ) q a
+ C22 ( q, q ) q u + G 2 ( q ) = 0

(1)

(2)

+ G1 ( q ) = Fa
M 2 ( q ) q u + C21 ( q, q ) q a + C 22 ( q, q ) q u
+ G 2 ( q ) = Fu
Trong đó:

M1 ( q ) = M11 ( q ) - M12 ( q ) M -122 ( q ) M 21 ( q ) ;

S

70 (04-2022)

to

I t a ( t ) = to Dt−  a ( t ) =

1

t

a (t )


 (  )  (t − )

1− 

d (6)

t0



(3)

Sau các b c bi n đ i tốn h c, các cơng th c
trong (2) và (3) đ c vi t l i nh sau:

M1 ( q ) q a + C11 ( q, q ) q a + C12 ( q, q ) q u

3.1. Phép tốn b c phân s

(4)

(5)

l

Trong đó: t  t0 , t0 và  (  ) =  s  −1 s −t ds l n
t là th i đi m đ u và hàm Gamma. 0

đ


Phép đ o hàm b c phân s
c đ nh ngh a nh sau:

 theo Caputo [17]

t

a m (t )
1
d , m − 1    m

1+  − m

  ( m −  ) t0 ( t −  )

to Dt a ( t ) = 
 d ma ( t )
, = m

 dt m

(7)
v i: m −1    m, m N .
Theo [17], tính ch t sau đ
ngh a trên:

c áp d ng cho các đ nh

31



TẠP CHÍ

KHOA H C - CƠNG NGH
to

Dt

(

to

JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

)

Dt− a ( t ) = to Dt − a ( t )

(8)

Trong đó: m − 1    m .

3.2. B đi u khi n tr
s

t b c phân s

tìm ra tín hi u đi u khi n thì m t tr t b c phân
T
s3   R3x1 đ c đ nh ngh a nh sau:


s =  s1 s2

s = D  ea + 1ea +

2

D  eu +

= D  −1ea + 1ea +

2

e

(9)

3 u

D  −1eu +

e

3 u

Trong đó:
ea = q a − q ad  R 3x1 , eu = qu − qud  R 2x1 là các

sai l ch gi a bi n tr ng thái và qu đ o mong mu n,
D là phép toán b c phân s đã đ c đ nh ngh a

3x3
trong ph ng trình (7),
, 2  R 3x2 ,
1 R
3x2
là các đi u khi n đ c thi t k và mô t
3 R
nh sau:
1

2

= diag (11 , 12 , 13 )

 21 0 
=  0  22  ;
 0
0 

o hàm m t tr

3

1 a

 31 0 
=  0  33  .
 0
0 


e +

2

D  +1eu +

3 u

= D  −1ea +

1 a

e +

2

D  −1eu +

3 u

Thay th các ph
trình (10), ta có:

e

e

duy trì các bi n tr ng thái c a h th ng trên b
m t tr t, thành ph n chuy n m ch ph i đ c th c
hi n. Do đó, b đi u khi n ch đ tr t b c phân s

t ng th s bao g m (12) và thành ph n chuy n m ch
đ c vi t b i:
Faeq = ( M1−1 ( q ) −

2

-1
M −21 ( q ) M 21 ( q ) M 11
(q ))

−1

 ( M1−1 ( q ) C11 ( q,q ) + 2 M 2−1 ( q ) C21 ( q,q ) ) q a 


 + ( M1−1 ( q ) C12 ( q,q ) + 2 M −21 ( q ) C22 ( q,q ) ) qu 

x
 +M1−1 ( q ) G 1 ( q ) + 2 M −21 ( q ) G 2 ( q ) + q ad + q ud 


 − D1−  ( e + e )

1 a
3 u


1− 
− D ( 4 sgn ( s ) )


(13)
Trong đó
khi n đ

4

= diag ( 41 ,  42 ,  42 ) là tham s đi u

c thi t k .

Vi c xem xét tính n đ nh và xác đ nh th i gian
h i t đ c th c hi n và d a trên m t hàm ng viên
Lyapunov đ c đ a ra nh sau:

t b c phân s trong (9), ta đ

s = D  +1ea +

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI

1
V = sT s
2

c:
(10)

ng trình (4) và (5) vào ph


(14)

Th c hi n đ o hàm cơng th c (14) và thay ph
trình (10) vào đ o hàm c a hàm Lyapunov ta có:

V = sT s
ng

= sT ( D  −1ea + 1ea +

2

D  −1eu + 3eu )

ng

(15)

Sau đó, véc t đi u khi n trong ph ng trình (13)
đ c thay vào ph ng trình (15) và s d ng các phép
 ( M1−1 ( q ) C11 ( q,q ) + 2 M −21 ( q ) C21 ( q,q ) ) q a  toán bi n đ i đ rút g n và đ a ra đ c k t qu nh sau:


−1
−1


(16)
V = −sT 4sgn(s)

 −1 + ( M1 ( q ) C12 ( q,q ) + 2 M 2 ( q ) C 22 ( q,q ) ) q u
−D 

−
−
1
1
 + M1 ( q ) G 1 ( q ) + 2 M 2 ( q ) G 2 ( q )

Vì v y, ta có th kh ng đ nh đ c V  0 v i ma


 +q ad + 2 q ud
 tr n 4 xác đ nh d ng, đi u này đ m b o s n
+ 1ea + 3 eu
đ nh c a h c ng tr c 3D. Ngoài ra, v n đ th i gian
h u h n trong b đi u khi n c ng đ c xem xét b ng
(11)
cách vi t l i ph ng trình (16).
Thành ph n véc t đi u khi n giúp tr ng thái c a
đ i t ng l i trên m t tr t phân s đ c đ a ra
V = − s1 41 sgn ( s1 ) − s2 42 sgn ( s2 ) − s3 43 sgn ( s3 )
b ng cách xem xét khi s = 0 :
3

−
si

−
1


min
-1
Faeq = ( M1−1 ( q ) − 2 M 2−1 ( q ) M 21 ( q ) M11
i =1
(q ))

s = D  −1 ( M1−1 ( q ) −

2

-1
M −21 ( q ) M 21 ( q ) M 11
( q ) ) Fa

 ( M1−1 ( q ) C11 ( q,q ) + 2 M 2−1 ( q ) C21 ( q,q ) ) qa 


 + ( M1−1 ( q ) C12 ( q,q ) + 2 M 2−1 ( q ) C22 ( q,q ) ) qu 

x
 +M1−1 ( q ) G 1 ( q ) + 2 M 2−1 ( q ) G 2 ( q ) + qad + q ud 


 − D1−  ( e + e )

1 a
3 u



(12)

32

Do V

0.5

=2

−0.5

3

s + s + s   si
2
1

2
2

2
3

(17)
ta có:

i =1

3


V  − min  si  − minV 0.5

(18)

i =1

Th c hi n tích phân cho c hai v c a ph

S

ng trình

70 (04-2022)


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA H C - CƠNG NGH

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

(18) t th i đi m th i gian b ng 0 đ n tmax , ta có:
V ( tmax )




V ( 0)

Sau các b

dV ( t )
V

0.5

−

(t )

tmax



min

dt

(19)

0

c tính tốn ta có đ

c k t qu nh sau:

2 (V0.5 (tmax ) − V0.5 ( 0))  − min tmax


Vi t l i cơng th c (20), ta đ

(20)

c:

3

tmax 

s
i =1

(21)

i

 min

Hình 3. áp ng v trí c a xe c u

Cu i cùng, thành ph n hàm d u trong b đi u khi n
(13) có th gây ra hi n t ng rung. Vì v y, chúng tơi
thay th hàm d u b ng s k t h p c a hàm khu ch đ i
bão hòa và hàm sigmoid trong nghiên c u này.

s s
 tanh    ,   1
 

s 
sat   = 
  s s
,
1

 

Trong đó  và tanh (.) l n l
hàm ti p tuy n hyperbolic.

(22)

t là l p bao và

Hình 4. áp ng đ dài c a dây cáp

4. Mô ph ng
Vi c ki m ch ng hi u qu c a b đi u khi n ch
đ tr t (13) đ c th c hi n d a trên ph n m m
Matlab-Simulink v i th i gian trích m u là 0.001s.
Thơng s v kh i l ng và h s c n đ c s d ng
nh sau: mb = 525kg, mt = 55kg, mp = 20 kg và
b1 =18.35 Ns/m, b2 =12.68 Ns/m. Nh ng tham s
c a b đi u khi n đ c l a ch n nh sau:
11 = 12 = 1, 13 = 10,  21 =  22 = 0.1, k31 = −0.1,
cho th y
k32 = −0.4, k41 = k42 = 100, k43 = 500.
kh n ng đi u ch nh c a b đi u khi n chúng tôi xem
xét ba b c đ o hàm phân s  = 0.8,0.9,1.0 v i giá

T
T
tr đ u là qa ( 0) = 2 1 0.5 và qu = 0 0 .
Trong Hình 2, Hình 3 và Hình 4, ba tín hi u đi u
khi n đ c kích ho t đ ng th i đ d n đ ng xe con,
xe c u đ n các đi m đ n mà chúng tham chi u bi n
thiên liên t c d i d ng sóng vng và kho ng cách
t xe con đ n t i tr ng nâng bám theo giá tr 1.5m.
Ngoài ra, các bi n tr ng thái khơng đ c d n đ ng có
xu h ng t t d n đ c bi u th trong Hình 5 và 6.

Hình 5. Góc l c  c a dây cáp

Hình 6. Góc l c  c a dây cáp

Hình 2. áp ng v trí c a xe con

S

70 (04-2022)

B đi u khi n ch đ tr t b c phân s đ c đ
xu t n đ nh v i t t c đ o hàm b c phân s cho h
c ng tr c 3D. Tuy nhiên, v i t ng b c đ o hàm l i
đem l i hi u su t khác nhau tùy thu c vào vi c ch nh
đ nh c a ng i thi t k đi u khi n.

33



TẠP CHÍ

KHOA H C - CƠNG NGH

5. K t lu n

B ng cách s d ng các k thu t đi u khi n ch đ
tr t, các phép toán b c phân s và lý thuy t n đ nh
Lyapunov, chúng tôi đã xây d ng thành công m t b
đi u khi n mà giúp ki m soát h c ng tr c 3D 3 đ u
vào, 5 đ u ra. B đi u khi n tr t b c phân s đ c đ
xu t đem đ n hi u su t t t v i đáp ng c a các bi n
tr ng thái. Tính n đ nh và th i gian h u h n c ng đ c
xem xét trong nghiên c u này nh m t cách ki m
ch ng v m t tốn h c. Ngồi ra, ki m ch ng mơ
ph ng c ng đ c xây d ng cho th y kh n ng đi u
ch nh linh ho t v i b c phân s - m t tính n ng u vi t
h n b đi u khi n ch đ tr t truy n th ng. Tuy nhiên,
c u trúc đi u khi n này còn ph thu c hồn tồn vào
mơ hình tốn h c, y u t khó đo đ c chính xác, vì v y,
nh ng lý thuy t v m ng m , m ng n -ron s đ c
chúng tôi xem xét trong các nghiên c u ti p theo. Vi c
ti n hành th c nghi m ki m ch ng b đi u khi n s
đ c th c hi n trong t ng lai g n.

TÀI LI U THAM KH O
[1] N. Sun, Y. Fang, and H. Chen, A new antiswing
control method for underactuated cranes with
unmodeled uncertainties: Theoretical design and
hardware experiments, IEEE Trans. Ind. Electron.,

Vol.62, No.1, pp.453-465, 2015,
doi: 10.1109/TIE.2014.2327569.
[2] T. Vyhlidal, M. Anderle, J. Busek, and S. I.
Niculescu, Time-Delay Algorithms for Damping
Oscillations of Suspended Payload by Adjusting
the Cable Length, IEEE/ASME Trans.
Mechatronics, Vol.22, No.5, pp.2319-2329, 2017,
doi: 10.1109/TMECH.2017.2736942.
[3] Y. Fang, P. Wang, N. Sun, and Y. Zhang, Dynamics
analysis and nonlinear control of an offshore
boom crane, IEEE Trans. Ind. Electron., Vol.61,
No.1, pp.414-427, 2014,
doi: 10.1109/TIE.2013.2251731.
[4] N. Sun, T. Yang, Y. Fang, Y. Wu, and H. Chen,
Transportation control of double-pendulum
cranes with a nonlinear quasi-pid scheme: Design
and experiments, IEEE Trans. Syst. Man, Cybern.
Syst., Vol.49, No.7, pp.1408-1418, 2019,
doi: 10.1109/TSMC.2018.2871627.
[5] N. Sun, Y. Fang, H. Chen, Y. Wu, and B. Lu,
Nonlinear Antiswing Control of Offshore Cranes
with Unknown Parameters and Persistent ShipInduced Perturbations: Theoretical Design and
Hardware Experiments, IEEE Trans. Ind.
Electron., Vol.65, No.3, pp.2629-2641, 2018,

34

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI

JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

doi: 10.1109/TIE.2017.2767523.
[6] N. Sun, Y. Fang, H. Chen, B. Lu, and Y. Fu,
Slew/Translation Positioning and Swing
Suppression for 4-DOF Tower Cranes with
Parametric Uncertainties: Design and
Hardware Experimentation, IEEE Trans. Ind.
Electron., Vol.63, No.10, pp.6407-6418, 2016,
doi: 10.1109/TIE.2016.2587249.
[7] L. A. Tuan, Neural Observer and Adaptive
Fractional-Order Backstepping Fast-Terminal
Sliding-Mode Control of RTG Cranes, IEEE
Trans. Ind. Electron., Vol.68, No.1, pp.434-442,
2021,
doi: 10.1109/TIE.2019.2962450.
[8] H. Chen and N. Sun, Nonlinear Control of
Underactuated Systems Subject to Both
Actuated and Unactuated State Constraints with
Experimental Verification, IEEE Trans. Ind.
Electron., Vol.67, No.9, pp.7702-7714, 2020,
doi: 10.1109/TIE.2019.2946541.
[9] W. He, S. Zhang, and S. S. Ge, Adaptive control of
a flexible crane system with the boundary output
constraint, IEEE Trans. Ind. Electron., Vol.61,
No.8, pp.4126-4133, 2014,
doi: 10.1109/TIE.2013.2288200.
[10] L. A. Tuan, H. M. Cuong, P. Van Trieu, L. C. Nho,
V. D. Thuan, and L. V. Anh, Adaptive neural
network sliding mode control of shipboard

container cranes considering actuator backlash,
Mech. Syst. Signal Process., Vol.112, pp.233-250,
2018,
doi: 10.1016/j.ymssp.2018.04.030.
[11] P. Van Trieu, D. D. Luu, H. M. Cuong, and L. A.
Tuan, Neural network integrated sliding mode
control of floating container cranes, 2017 Asian
Control Conf. ASCC 2017, Vol.2018-January,
pp.847-852, 2018,
doi: 10.1109/ASCC.2017.8287281.
[12] H. Ren, X. Wang, J. Fan, and O. Kaynak,
Fractional order sliding mode control of a
pneumatic position servo system, J. Franklin
Inst., Vol.356, No.12, pp.6160-6174, 2019,
doi: 10.1016/j.jfranklin.2019.05.024.
[13] S. Huang and J. Wang, Fixed-time fractionalorder sliding mode control for nonlinear power
systems, JVC/Journal Vib. Control, Vol.26, No.1718, pp.1425-1434, 2020,
doi: 10.1177/1077546319898311.

S

70 (04-2022)


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY


[14] P. Van Trieu, H. M. Cuong, H. Q. Dong, N. H.
Tuan, and L. A. Tuan, Adaptive fractional-order
fast terminal sliding mode with fault-tolerant
control for underactuated mechanical systems:
Application to tower cranes, Autom. Constr.,
Vol.123, March 2021, 2021,
doi: 10.1016/j.autcon.2020.103533.
[15] H. M. Cuong, H. Q. Dong, P. Van Trieu, and L.
A. Tuan, Adaptive fractional-order terminal
sliding mode control of rubber-tired gantry cranes
with uncertainties and unknown disturbances,
Mech. Syst. Signal Process., Vo.154, 1 June 2021,
2021,
doi: 10.1016/j.ymssp.2020.107601.

S

70 (04-2022)

KHOA H C - CÔNG NGH
[16] D. V Diep and V. V. Khoa, PID-Controllers
Tuning Optimization with PSO Algorithm for
Nonlinear Gantry Crane System, Int. J. Eng.
Comput. Sci., Vol.15, pp.6631-6635, 2014.
[17] F. V. Monje, C. A. M., Chen Y.Vinagre, B.M. Xue
D., Fractiona-Order Systems and Controls:
Fundamentals and Applications, Springer,
London, 2019.
/>Ngày nh n bài:

Ngày nh n b n s a:
Ngày duy t đ ng:

10/02/2022
10/03/2022
13/03/2022

35