TẠP CHÍ

KHOA H C - CƠNG NGH

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

I U KHI N THệCH NGHI M H EULER-LAGRANGE
ADAPTIVE FUZZY CONTROL OF EULER-LAGRANGE SYSTEMS
Lể ANH TU N
Vi n C khí, Tr ng i h c Hàng h i Vi t Nam
Email liên h :
Tóm t t
Chúng tơi phát tri n m t b đi u khi n thích nghi
b n v ng cho m t l p các c h đ d n đ ng. Lõi
c a b đi u khi n đ c thi t k d a trên đi u
khi n t a tr t trong khi c c u thích nghi đ c
xây d ng d a trên h ng logic m . Hi u qu và
kh n ng làm vi c c a b đi u khi n đ xu t đ c
ki m ch ng thông qua ng d ng c a nó t i m t
tay máy hai b c t do.
T khóa: C h Euler-Lagrange, k thu t logic
m , đi u khi n thích nghi b n v ng.

Abstract
We develop an adaptive robust controller for a
class of fully actuated mechanical systems. The
control core is designed using sliding mode-like
method while constructing an adaptive

mechanism relies on fuzzy logic approach. The
application of controller to a 2DOF manipulator
shows the effectiveness of hybridized control
approach.
Keywords: Euler-Lagrange systems, fuzzy logic
technique, robust adaptive control.

1. Gi i thi u chung
Các máy móc cơng nghi p, các thi t b có chuy n
đ ng là nh ng h c h c d n đ ng b ng các đ ng c .
Thông qua h th ng truy n đ ng, công, công su t, l c
hay mô men c a đ ng c đ c truy n đ n khâu cu i
cùng (end-effectors) c a h th ng chuy n đ ng, tác
đ ng lên đ i t ng (objects) đ th c hi n nhi m v
yêu c u. Chuy n đ ng c a nh ng h c nh v y đ c
mô t b ng m t t p các ph ng trình vi phân c p hai.
Ph ng pháp thi t l p mơ hình tốn c a m t h đ ng
l c d a trên các k thu t c h c gi i tích và c h c h
nhi u v t. Euler-Lagrange là m t h ng thi t l p mơ
hình tốn cho h nhi u v t. Mơ hình tốn c a h đ ng
l c đ c xây d ng b ng ph ng pháp nói trên g i t t
là h Euler-Lagrange (Euler-Lagrange systems) [1].
Trên quan đi m đ ng l c h c và đi u khi n, m t máy
ho c thi t b đ c g i là đ d n đ ng (fully actuated
system) n u s đ ng c b ng s tín hi u c n đi u
khi n, đ c g i là h t d n đ ng (under-actuation) n u
20

s đ ng c d n đ ng ít h n s tín hi u đi u khi n [2].
Nghiên c u này gi i h n trong các c h

Euler-Lagrange đ d n đ ng.
H u h t các k thu t đi u khi n t c b n đ n
nâng cao đã áp d ng cho nhi u đ i t ng là h c đ
d n đ ng. Trong nghiên c u này, chúng tôi phát tri n
m t thu t toán đi u khi n cho m t l p các h đ d n
đ ng mô t b ng m t h ph ng trình vi phân phi
tuy n c p hai d i d ng ma tr n. Chúng tôi h ng
đ n m t b đi u khi n đ t đ c đ ng th i c tính
b n v ng và thích nghi. V i h ng đi u khi n b n
v ng, chúng tôi d a trên k thu t t a tr t
(SMC-like method). Th c v y, k thu t SMC [3] r t
hi u qu đ i v i các bài toán d n đ ng (tracking) và
n đ nh hóa (stabilization) các tín hi u ra c a m t h
đ ng l c. Nó đ m b o tính b n v ng c a các đáp ng
b t ch p s bi n đ i r ng các tham s c a h , nhi u,
và th m chí là thi u thơng tin v mơ hình tốn c a h .
Tuy nhiên, h ng đi u khi n nh v y là ch a thông
minh. SMC đ n gi n là đ m b o tính b n v ng
nh ng khơng thay đ i linh ho t c u trúc c a b đi u
khi n. Vì v y nó ch hi u qu trong m t d i gi i h n
các b t n (uncertainties). H ng đi u khi n thích
nghi kh c ph c đ c tình tr ng này. Nó làm cho h
tr nên thơng minh h n, có kh n ng hu n luy n,
nh n d ng, và c l ng các y u t b t n. Có nhi u
h ng đi u khi n thích nghi khác nhau nh thích mơ
hình tham chi u (model-reference adaptive control
-MRAC) [4], t ch nh (self-tuning control - STC) [5],
thích nghi n ron (neural-networks control - NNC),
và h ng logic m (fuzzy logic system - FLS) [6].
Nhìn chung, hai h ng MRAC và STC phù h p v i

h có tham s bi n đ i r ng. Hai h ng này ch y u
đ xây d ng c c u thích nghi có ch c n ng
c
l ng tham s . Nó khơng có ch c c l ng nhi u
và các y u t phi mơ hình (unmodeled dynamics).
H ng NNC và FLS t ra cao c p h n. Nó có th
x p x t t c các thành ph n b t n c a h thông qua
m t thành ph n quy đ i duy nh t. Tuy nhiên hai k
thu t này c n nhi u tính tốn l p và ph c t p vì c n
nhi u l p n ron, l p m đ x p x , nh n d ng, và
hu n luy n h th ng. V i cách ti p nh v y, chúng
tôi s d ng k thu t logic m FLS đ xây d ng m t
b
c l ng, đ t trên đ ng h i ti p, đ cung c p
thông tin c l ng cho b đi u khi n. Toàn b các
S

70 (04-2022)


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X

KHOA H C - CƠNG NGH

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

b t n và y u t ch a bi t c a h đ ng l c đ c quy

v m t thành ph n duy nh t. C c u thích nghi ch
c n nh n d ng duy nh t thành ph n này và cung c p
thông tin t i b đi u khi n, góp ph n d n đ ng t t tín
hi u ra c a h .
Bài báo đ c c u trúc nh sau: M c 2 mô t
t ng quát h đ ng l c đ d n đ ng; Xây d ng lu t
đi u khi n d a trên k thu t t a SMC; Thi t k m t
c c u thích nghi b ng FLS đ
c l ng t t c các
y u t b t n, nhi u và các thành ph n ch a bi t
khác c a h đ ng l c; Ch ng minh n đ nh h m ch
kín c ng đ c th o lu n trong m c này. M c 3
ki m ch ng hi u qu c a h th ng đi u khi n đ
xu t b ng cách áp d ng nó t i m t tay máy hai b c
t do thông qua mô ph ng. Y u t c n c l ng
đây là ma sát ng u nhiên trong các kh p c a rô b t.
Phân tích các đáp ng tín hi u ra, tín hi u đi u
khi n, kh n ng thích nghi và c l ng c ng đ c
th o lu n trong m c này. Sau cùng, các k t lu n,
ki n ngh , h ng nghiên c u ti p theo đ c trình
bày trong M c 4.

2. i u khi n m h Euler-Lagrange
Xét đ i t ng đi u khi n là m t c h đ d n
đ ng n b c t do t ng ng v i n t a đ suy r ng
q  n đ c đi u khi n b ng n tín hi u đi u khi n
T  n . Tính ch t c a h đ c mô t b ng m t t p n
ph ng trình vi phân c p hai đ c vi t g n l i d i
d ng ma tr n


M(q)q + C(q, q)q + G(q) + F(q, q, q) = T

(1)

v i ma tr n kh i l ng M(q)  nn xác đ nh
d ng, C(q, q)  nn là ma tr n c n, G (q)  n
là véc t tr ng tr ng, và F(q, q, q)  n là đ i
l ng quy đ i c a các y u t b t n trong h đ ng
l c, ch ng h n nh s bi n đ ng các tham s , tác
đ ng c a nhi u, các y u t không bi t nh ma sát,
c n. Nh v y, t t c các đ i l ng ch a bi t ho c
bi n đ ng đ u đ c quy g n vào thành ph n này.
Khi thi t k b đi u khi n, thành ph n F(q, q, q)
là ch a bi t là s đ c x p x thành Fˆ (q, q, q)
b ng lu t thích nghi d a trên k thu t logic m .
nh lý sau cung c p m t b đi u khi n đ c thi t
k đ d n đ ng các tín hi u ra q c a h đ ng l c (1)
đ n các đích qd(t) m t cách ti m c n.
Xét lu t đi u khi n thích nghi có d ng:

T = M (q)(q − q d ) + C(q, q)(q − q d )
+ Fˆ (q, q, q, ) − Ks − sgn(s)

(2)

v i K=diag(K1,…,Kn) là ma tr n đ ng chéo h s
đi u khi n vi phân, =diag(1,…,n) là các h s

S


70 (04-2022)

d ng đóng ng t m t tr t. M t tr
xác đ nh b ng bi u th c:

t s

n

s = (q − qd ) + (q − qd )

đ

c
(3)

v i =diag(1,…,n) là ma tr n đ
h s h it s m .

ng chéo các

Thành ph n F(q, q, q) đ c tr ng cho các đ i
l ng ch a bi t ho c b t n (uncertain) c a h s
đ c c l ng b ng m t c u trúc thích nghi. đây,
Fˆ (q, q, q, ) là x p x c a F(q, q, q) b ng k thu t
lô gic m . H m Fˆ (q, q, q, ) có tín hi u vào
ma
tr n
tr ng
s

z = [q q q]  n3 ,
n3
c
, có tín hi u ra đ c
=  1 2 3 
l ng b ng lu t thích nghi:
ˆ = − −1s (q, q, q)
(4)
i

i

i

và:
ˆ (q, q, q, ) = ˆ T (q, q, q)
F

(5)

v i (q, q, q) là véc t c a các hàm c s ,
=
diag( i1 , ,  in ) là n ma tr n h s thích nghi,
i
và si là n thành ph n c a m t tr t s.
nh lý: D i tác d ng c a b đi u khi n tr t
(2) k t h p v i c l ng thích nghi (4) và (5), các
tín hi u ra q c a h Euler-Lagrange (1) h i t s m
đ n đích yêu c u qd.
Ch ng minh: Ta b t đ u v i m t hàm Lyapunov

d ng:
n
1
V (t ) =  sT M(q)s + 
2
i =1

T
i

i

i


0


(6)

ˆ −
c l ng c a các
v i
i =
i
i là sai s
ˆ
c l ng c a i  n .
ma tr n tr ng s , i là
M(q)

L u
ý
r ng
xác
đ nh
d ng
qT M(q)q  0 q  n , i là ma tr n đ ng chéo
h s thích nghi d ng  in  0 , vì v y V(t )  0 .
o hàm c a hàm Lyapunov (6) có d ng:
n
1
V(t ) = sT M(q)s + sT M(q)s + 
2
i =1

T
i

i

i

(7)

B đi u khi n thích nghi (2) d n mơ hình đ ng
l c (1) đ n m t h m ch kín:

M(q)q d + C(q, q)q d + G (q) 

 = F(q, q, q, ) (8)

 +Ks + sgn(s)

v i F(q, q, q, ) = Fˆ (q, q, q, ) − F(q, q, q) là sai
s
c l ng quy đ i. o hàm c a m t tr t (3) k t
h p v i (8) và c c u thích nghi (4) và (5) thì suy t (7)
ra đ c:

21


TẠP CHÍ

KHOA H C - CƠNG NGH

JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

V (t ) = −sT Ks − sT sgn(s)
= − ( Ki si2 + i si )  0
n

ISSN: 1859-316X

KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI

(9)

i =1

i u ki n (6) và (9) th a mãn đ nh lý th hai v

n đ nh Lyapunov, ngh a là c s và
trong
i đ u
biên xác đ nh. Nói cách khác, s ti n đ n 0 (hay q ti n
đ n qd) đ ng th i ˆ i ti n đ n
i m t cách ti m c n
khi t→. nh lý trên đã đ c ch ng minh.

l c (1), cịn b đi u khi n (2) khơng bi t thành ph n
ma sát này. C u trúc thích nghi logic m (4) và (5) s
x p x ma sát trong rơ b t có d ng Fˆ (q, ) r i cung
c p nó cho b đi u khi n. M i thành ph n  l (z)
( z = q  2 , l=1-5) c a hàm c s
(q) trong (4)
vi t d i d ng m hóa đ n (singleton fuzzifier)
d ng:

l ( x) =

3. Ví d áp d ng cho tay máy hai b c t do
Ta ki m ch ng thu t toán b n v ng (2) v i b
c l ng m (4) và (5) b ng tay máy hai b c t
do có s đ v t lý nh Hình 1. Các tham s v t lý
c a tay máy g m m1= 1kg, m2= 1.5kg, l1= 1m, và
l2= 0.8m. Mô men T=[T1 T2]T t i hai kh p O và A
d n đ ng hai góc l c q=[q 1 q 2]T đ n đích yêu c u
qd=[q 1d q2d]T. Gi s qu đ o chuy n đ ng mong
mu n c a t i
đi m B là đ ng tròn bán kính
0.5m t ng ng ph ng trình góc l c mong mu n

t i hai kh p l n l t là q 1d=0.5sin2t và
q 2d=0.5sin2t.

15
i =1  Al ( xi )

(11)

i

n

15
 ( x )

 i =1 Ail i 
l =1

đây,  Al ( xi ) là các hàm
i
(membership functions) đ c ch n:

thành

  x − x l 2 
i
i

   / 24  




 A ( xi ) = exp  − 
l
i

viên

(12)

v i i=1−5, xil đ c ch n g m {−/6, −/12, 0,
/12, /6} t ng ng v i t p m Ail d ng {NB, NS,
ZO, PS, PB}. K t qu mô ph ng g m chuy n đ ng
quay c a hai khâu, t c đ chuy n đ ng, các giá tr
c l ng c a ma sát t i các kh p, quy lu t tác đ ng
c a mô men quay đ ng c t i các kh p, l n l t
đ c th hi n trên các hình t 2 đ n 5.

Hình 1. S đ tính tay máy hai b c t do

V i d ng mơ hình tốn (1), b n ph n t c a ma
tr n kh i l ng M=[m11 m12; m21 m22;] g m
m11 = (m1 + m2 )r12 + m2 r22 + 2m2 r1r2 cos q2 ,
m12 = m21 = m2 r22 + m2 r1r2 cos q2 , và m22 = m2 r22 . Các
ph n t c a ma tr n c n C=[c11 c12; c21 0;] g m
c11 = c21 = m2r1r2 sin q2 , c12 = 2m2 r1r2 sin q2 . Hai ph n
t c a véc t tr ng tr ng G=[g1 g2]T cho b i
g1 = (m1 + m2 )r1 cos q2 + m2r2 cos(q1 + q2 ),
g2 = m2 r2 cos(q1 + q2 ) .


Hình 2. Góc quay c a hai khâu

Các h s c a b đi u khi n và c c u thích nghi
c ch n g m K=diag(17,17), =diag(1.4,1.5), và
1=2=1.210−4. i u ki n đ u c a mơ hình đ ng l c
và c c u thích nghi l n l t là q(0) = q(0) = 0 ,
ˆ (0) = [0.15] . Chúng ta xét F(q, q, q) đ c
i
1n
gi n l c thành F(q) ch các y u t ma sát trong rơ
b t, có d ng:
đ

F(q) = [10q1 + 3sgn q1 8q2 + 2sgn q2 ]T (10)

L u ý r ng ma sát (10) có trong mơ hình đ ng

22

Hình 3. V n t c góc c a hai khâu

S

70 (04-2022)


TẠP CHÍ

ISSN: 1859-316X


KHOA H C - CƠNG NGH

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY

xác c a c l ng này.
n gi n là nó k t h p v i b
đi u khi n đ th c hi n m c tiêu chính là n đ nh hóa
m t cách ti m c n các đáp ng c a h . Hình 5 th hi n
quy lu t thay đ i mô men quay t i các kh p. Nó có
nhi u đ nh ho c “chaterring” là do tác đ ng c a thành
ph n đóng - ng t sgn(s) trong lu t đi u khi n (2).

4. K t lu n

Hình 4.

cl

ˆ
ng l c ma sát F

Chúng tôi đã phát tri n m t h th ng đi u khi n
thích nghi b n v ng cho m t l p các h đ ng l c đ
d n đ ng. Tính b n v ng c a các đáp ng đ t đ c
b ng k thu t t a tr t. Trong khi đó, kh n ng thích
nghi, kh n ng c l ng các b t n, các y u t ch a
bi t c a h đ ng l c đ c x lý b ng k thu t logic
m . M t h th ng đi u khi n nh v y có tính thơng
minh, ng x linh ho t, và thích ng t t v i các bi n

đ ng c môi tr ng làm vi c c a c h . K t qu ng
d ng t i m t tay máy cho th y thu t toán đi u khi n
đ xu t làm vi c t t, hi u qu . Chúng tôi d ki n tích
h p k thu t m ng n ron vào lõi đi u khi n m
tr t đ nâng cao tính h c (learning skill) cho các c
h Euler-Lagrange nghiên c u ti p theo.

TÀI LI U THAM KH O
[1] R. Ortega et al., Euler-Lagrange systems,
Springer, 1998.
Hình 5. Mơ men quay t i các kh p

[2] M.W. Spong, Energy based control of a class of
underactuated mechanical systems, IFAC
Proceedings, Vol.29, No.1, pp.2828-2832, 1996.
[3] V.I. Utkin, Sliding mode control: Mathematical
tools, design and applications, Lecture Notes in
Mathematics, Vol.1932, Springer 2008.
[4] R.B. Anderson et al., Novel model reference
adaptive control laws for improved transient
dynamics and guaranteed saturation constraints,
Journal of the Franklin Institute, Vol.358, No.12,
pp.6281-6308, 2021.
[5] L.C. Westphal, Adaptive and self-tuning control,
Handbook of Control Systems Engineering,
Vol.635, Springer, 2001.

Hình 6. Qu đ o chuy n đ ng c a tay g p ( i m B)

Th hi n trên Hình 2, kh n ng bám tín hi u đ t

c a góc quay c hai khâu khá t t v i s tr nh . Vì h
th ng th c hi n đ ng th i nhi u nhi m v v a d n
đ ng v a c l ng ma sát nên kh n ng d n đ ng
c a nó khơng t t b ng các b đi u khi n ch th c hi n
m t nhi m v . M t lý do n a là ta ch a ch n đ c các
h s đi u khi n và h s
c l ng thích nghi t i u.
Hình 4 th hi n các giá tr
c l ng c a ma sát. Th c
t , h th ng đi u khi n khơng quan tâm đ n s chính

S

70 (04-2022)

[6] S.C. Tong, Adaptive fuzzy control for uncertain
nonlinear systems, Journal of Control and
Decision, Vol.6, No.1, pp.30-40, 2019.
Ngày nh n bài:
Ngày nh n b n s a:
Ngày duy t đ ng:

05/01/2022
18/01/2022
08/02/2022

23