TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN
-----------------------

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CĨ NỘI DUNG THỰC TIỄN
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

Phú Thọ, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN

-----------------------

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CĨ NỘI DUNG THỰC TIỄN
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. PHAN THỊ TÌNH

Phú Thọ, 2018


i
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới các Giảng viên khoa
Toán - Tin trường Đại học Hùng Vương. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn
tới Giảng viên hướng dẫn là TS. Phan Thị Tình, cơ đã dành nhiều thời gian
q báu trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa
luận tốt nghiệp. Trong thời gian làm việc với Cô, em không ngừng tiếp thu
những kiến thức bổ ích và học tập được tinh thần làm việc, thái độ nghiên cứu
khoa học nghiêm túc, hiệu quả, đây là những điều rất cần thiết cho em trong
quá trình học tập và công tác sau này.
Tôi xin gửi cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K12 – ĐHSP Toán, Khoa
Tốn – Tin, trường Đại học Hùng Vương đã ln động viên, đóng góp ý kiến
và giúp đỡ tơi trong q trình nghiên cứu và hồn thiện khóa luận.
Mặc dù đã rất cố gắng song khóa luận khơng khỏi những thiếu sót. Vì
vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy giáo, Cô giáo và các bạn
để khóa luận được hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Việt trì, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Hƣơng


ii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT


Chữ viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thơng

TN

Thử nghiệm

SGK

Sách giáo khoa

VD


Ví dụ


iii
DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1: Kết quả thăm dò bằng điểm ............................................................ 20
Bảng 1.2: Kết quả thăm dò theo từng bài ....................................................... 21
Bảng 3.1: Bảng phân phối thực nghiệm tần số, tần suất ................................. 57
Bảng 3.2: Bảng nhận xét…………………………………….………………………………..56


iv
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết................................................................................................. 1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn....................................................................... 3
2.1. Ý nghĩa lí luận ............................................................................................ 3
2.2. Ý nghĩa thực tiễn ........................................................................................ 3
3. Mục tiêu khóa luận ........................................................................................ 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ........................ 4
1.1. Về các bài tập ngun hàm, tích phân có nội dung thực tiễn .................... 4
1.2. Về yêu cầu dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn về Ngun hàm tích phân trong chương trình mơn Tốn THPT ................................................ 8
1.3. Thực trạng vấn đề dạy học chủ đề Nguyên hàm - tích phân ở một số
trường THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ ......................................................... 16
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .............................................................................. 23
CHƢƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CĨ
NỘI DUNG THỰC TIỄN ............................................................................. 24
2.1. Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập ngun hàm, tích phân có
nội dung thực tiễn............................................................................................ 24
2.2. Hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn .............. 26

2.3. Hướng dẫn sử dụng hệ thống bài tập ....................................................... 47
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .............................................................................. 51
CHƢƠNG 3: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 52
3.1. Mục đích thử nghiệm ............................................................................... 52
3.2. Nội dung thử nghiệm ............................................................................... 52
3.3. Tổ chức thử nghiệm ................................................................................. 52
3.4. Đánh giá kết quả thử nghiệm ................................................................... 55
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .............................................................................. 59
KẾT LUẬN .................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 61
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 63


v


1
MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết
Đất nước ta đang bước vào giai đoạn cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa và
hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nghị quyết đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ
XII của Đảng cộng sản Việt Nam (2016) đã khẳng định:“Phát huy nguồn lực
con người là yếu tố cơ bản cho sự phát triển nhanh và bền vững của cơng
cuộc cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước”. Đáp ứng yêu cầu phát triển
nguồn lực con người của xã hội hiện nay, vấn đề định hướng giảng dạy gắn
kiến thức lý thuyết với thực tiễn là một trong những yêu cầu quan trọng được
đặt ra cho ngành giáo dục.
Định hướng trên đây đã được thể chế hóa trong Luật giáo dục:
“Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối
tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương
pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm
học tập cho học sinh” (Luật giáo dục (2005 - Điều 24. mục 2, chương 2)).
Một trong những quan điểm xây dựng và phát triển chương trình mơn
Tốn trung học phổ thơng (THPT): “Tăng cường thực hành và vận dụng, thực
hiện dạy học tốn gắn với thực tiễn”. Theo đó, “tăng cường và làm rõ mạch
toán ứng dụng và ứng dụng Toán học” [5] là một trong những tư tưởng cơ
bản. Do đó việc dạy học mơn Tốn cần đảm bảo giúp học sinh sử dụng Tốn
học đúng nghĩa là cơng cụ sắc bén để giải quyết một cách hữu hiệu nhiều vấn
đề của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống. Như vậy, vấn đề tăng
cường rèn luyện khả năng, thói quen ứng dụng kiến thức, kỹ năng, phương
pháp Toán học vào các mơn học khác, vào những tình huống đa dạng của đời
sống thực tiễn là một mục tiêu, một nhiệm vụ quan trọng của giáo dục Toán học.


2
Trong mơn Tốn ở trường Trung học phổ thơng,“Ngun hàm, tích
phân và ứng dụng của chúng trong thực tế” là một trong những nội dung
quan trọng trong chuỗi nội dung về hàm số. Chủ đề kiến thức này khơng chỉ
góp phần tạo lập những kiến thức cơ bản để chuẩn bị cho học sinh tiếp cận
nội dung toán cao cấp ở bậc học sau mà cịn có tiềm năng trong việc chứng
minh giá trị cơng cụ của mơn Tốn. Trong đó, các bài tập có nội dung thực
tiễn của chủ đề có vị trí đặc biệt quan trọng. Giải các bài tập thuộc dạng này
vừa rèn luyện cho học sinh ý thức, thói quen, khả năng tối ưu hóa các hoạt
động thực tiễn, vừa củng cố cho học sinh kiến thức vận dụng Toán học vào
thực tiễn. Hơn nữa, các bài tập có nội dung thực tiễn phổ quát trên nhiều lĩnh
vực thực tiễn cịn góp phần định hướng các lĩnh vực nghề nghiệp cho học
sinh. Trong lộ trình đổi mới giáo dục hiện nay, thực hiện mục tiêu nâng cao

năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn đặt ra cho học sinh việc tiếp cận
các bài tốn có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề một cách có kế hoạch hơn.
Trong chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 hiện nay, số lượng các bài tập
nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn chưa nhiều, trình bày chưa được
liên tục và hệ thống. Vì vậy, việc thực hiện mục tiêu tăng cường thực hành,
vận dụng kiến thức cho học sinh qua mơn Tốn nói chung, qua chủ đề
Ngun hàm - tích phân lớp 12 nói riêng cịn có những hạn chế nhất định. Rõ
ràng, vấn đề đặt ra là cần cho học sinh thực hiện giải các bài tập ngun hàm tích phân có nội dung thực tiễn nhiều hơn nhằm rèn luyện cho học sinh ý
thức, thói quen, khả năng tối ưu hóa mọi hoạt động thực tiễn, góp phần thực
hiện mục tiêu giáo dục Tốn học.
Khảo sát thực trạng việc dạy học chủ đề nguyên hàm - tích phân tại một
số trường Trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Phú Thọ, chúng tôi nhận thấy:
Học sinh tuy được trang bị kiến thức lý thuyết về chủ đề này một cách đầy đủ,
logic, hệ thống nhưng khả năng giải quyết các tình huống thực tiễn đơn giản,
gần gũi với đời sống qua sử dụng kiến thức về Ngun hàm - tích phân cịn rất
hạn chế, thậm chí là khơng thực hiện được. Như vậy, mặc dù tiềm năng khai
thác, vận dụng kiến thức vào thực tiễn của chủ đề là sẵn có nhưng hiệu quả


3
khai thác giá trị vận dụng thực tiễn của kiến thức chủ đề không cao. Điều này
gây nên những hạn chế trong thực hiện mục tiêu định hướng hoạt động nghề
nghiệp cho học sinh qua mơn Tốn.
Vì những lí do đó chúng tơi chọn: “Xây dựng và sử dụng hệ thống bài
tập ngun hàm, tích phân có nội dung thực tiễn trong dạy học giải tích
12” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
2.1. Ý nghĩa lí luận
- Làm rõ vai trị của mơn Tốn trong việc nâng cao nhận thức của con
người tới các lĩnh vực thực tiễn; làm rõ yêu cầu dạy học giải bài tập có nội

dung thực tiễn về Ngun hàm - tích phân trong chương trình mơn Tốn ở
trường THPT.
- Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Giải
Tích 12 THPT, trình bày những chỉ dẫn sử dụng hệ thống bài tập góp phần
rèn luyện ý thức, khả năng, thói quen vận dụng kiến thức Toán học trong các
hoạt động thực tiễn của học sinh.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn
Các bài tập thực tiễn đã xây dựng và hướng dẫn sử dụng các bài tập là
tư liệu tham khảo cần thiết cho sinh viên ngành Toán, giáo viên toán trong
dạy và học Toán ở THPT theo định hướng quan tâm tới vấn đề khai thác nội
dung thực tế trong dạy học, tăng cường thực hành, vận dụng, phát triển năng
lực, sở trường học sinh.
3. Mục tiêu khóa luận
Xây dựng và hướng dẫn sử dụng hệ thống bài tập Ngun hàm - tích
phân có nội dung thực tiễn trong dạy học giải tích 12 nhằm góp phần rèn
luyện ý thức, khả năng, thói quen vận dụng kiến thức mơn Tốn thực tiễn,
củng cố kiến thức về nguyên hàm, tích phân cho học sinh lớp 12 THPT.


4
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1.1. Về các bài tập ngun hàm, tích phân có nội dung thực tiễn
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản
1.1.1.1. Thực tế, thực tiễn
Theo từ điển Tiếng Việt, “ Thực tế là tổng thể nói chung những gì đang
tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ với đời
sống con người; thực tế là những hoạt động của con người, trước hết là lao
động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội
(nói tổng quát)” [8, tr 957]. Như vậy, ta thấy thực tiễn là một tồn tại của thực

tế nhưng không chỉ tồn tại khách quan mà trong đó hàm chứa hoạt động của
con người cải tạo, biến đổi thực tế với mục đích nào đó.
1.1.1.2. Tình huống thực tiễn
Theo từ điển Tiếng Việt, “Tình huống là sự diễn biến của tình hình về
mặt cần pải đối phó” [8, tr979].
Theo [5] “Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ
thể và khách thể, trong đó, chủ thể có thể là con người khách thể có thể lại là
một hệ thống nào đó” [8, tr185]. Dựa trên quan điểm này chúng tơi cho rằng:
“Tình huống thực tiễn là một tình huống mà trong đó khách thể chứa đựng
những phần tử là những yếu tố thực tế”.
1.1.1.3. Bài tập có nội dung thực tiễn
Theo quan niệm của L.N. Landa, A. N. Leonchiep thì: Bài tập là mục
đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể (người giải) cần
phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết.
Theo Thái Duy Tuyên: Qua nghiên cứu lí luận và sự trải nghiệm thực
tiễn có thể hiểu bài tập là một hệ thơng tin xác định bao gồm hai tập hợp gắn
bó chặt chẽ và tác động qua lại với nhau.


5
Những điều kiện, tức là tập hợp những dữ liệu xuất phát, diễn tả trạng
thái ban đầu của bài tập, từ đó tìm ra phép giải; theo ngơn ngữ thơng dụng thì
đó là “cái cho”, trong Tốn học thì người ta gọi là giả thiết.
Những yêu cầu là trạng thái mong muốn đạt tới, theo ngơn ngữ thơng
dụng thì đây là “cái phải tìm”.
Hai tập hợp này được gọi là bài tập, nhưng chúng lại không phù hợp
với nhau, thậm chí mâu thuẫn với nhau; từ đó xuất hiện nhu cầu biến đổi
chúng để khắc phục sự không phù hợp, mâu thuẫn giữa chúng.
Tóm lại, có thể hiểu bài tập là một hệ thống thông tin xác định bao gồm
những điều kiện và những yêu cầu được đưa ra trong q trình dạy học, địi

hỏi một người dạy học một lời giải đáp, mà lời giải đáp này là toàn bộ hoặc
từng phần khơng ở trạng thái có sẵn của người giải tại thời điểm mà bài tập
được đặt ra.
Dựa trên các quan điểm này và trên cách hiểu về thực tế, thực tiễn đã
trình bày, chúng tơi quan niệm rằng: Bài tập có nội dung thực tiễn là bài tập
mà trong điều kiện về giả thiết hay trong yêu cầu của kết luận có chứa đựng
nội dung liên quan đến các hoạt động thực tiễn.
1.1.2. Ý nghĩa và vai trị của các bài tập ngun hàm, tích phân có nội dung
thực tiễn trong dạy học mơn Tốn ở THPT
a) Góp phần củng cố, đào sâu, giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ
bản được quy định trong chương trình
Các kiến thức cơ bản được quy định trong chương trình 12 như:
Ngun hàm, tích phân, bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình, đạo
hàm,…
Việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản được quy định trong
chương trình là một nhiệm vụ quan trọng, đóng vai trị cơ sở để thực hiện các
nhiệm vụ giáo dục Toán học khác, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giáo dục
toàn diện.


6
Thông qua luyện tập, ứng dụng các kiến thức để giải các bài tập ngun
hàm, tích phân có nội dung thực tiễn có thể góp phần đào sâu, củng cố các
kiến thức, giúp cho học sinh nắm kiến thức một cách vững chắc.
b) Góp phần chủ động rèn luyện có hiệu quả khả năng, thói quen liên hệ
và vận dụng các kiến thức, phương pháp toán học vào thực tế
Trong bối cảnh của sự bùng nổ thông tin và công nghệ thông tin cùng
với những nhu cầu của xã hội hiện đại, trong đó các bộ mơn càng thâm nhập
vào nhau đòi hỏi con người phải đa năng. Nhiệm vụ chủ yếu của nhà trường
là ngồi khía cạnh “kiến thức đơn thuần”, trước hết phải tập chung cố gắng

dạy cho học sinh biết sử dụng kiến thức của mình vào những tình huống có ý
nghĩa với họ, tức là cần phải phát triển những năng lực sử dụng các nội dung
và kỹ năng trong một tình huống.
Trong dạy học mơn Tốn, nhiệm vụ đó chính là phải dạy cho học sinh
cách thức vận dụng Tốn học vào thực tiễn.
c) Góp phần cho học sinh thấy rõ quan hệ gắn bó, mật thiết giữa Toán
học với các lĩnh vực khoa học khác cũng như đối với đời sống thực tế sản
xuất
Để đạt được mục đích đào tạo con người đáp ứng yêu cầu xã hội trong
giai đoạn mới, toàn bộ việc dạy học các bộ mơn nói chung và dạy tốn nói
riêng phải quán triệt nguyên lý giáo dục. Ba phương hướng chủ yếu để thực
hiện nguyên lý đó là:
 Làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tế:
- Làm rõ nguồn gốc thực tế của Toán học.
- Làm rõ sự phản ánh thực tế của Toán học.
- Làm rõ những ứng dụng thực tế của Toán học.
Muốn vậy cần tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài tập có
nội dung thực tiễn khi học lý thuyết cũng như khi làm bài tập. Những ứng
dụng của Toán học có khi khơng thể hiện trực tiếp ở ngay trong thực tiễn mà
là ở một lĩnh vực khác gần thực tiễn hơn nó, như vật lý, hóa học,… Làm việc


7
với những ứng dụng của Tốn học trong những mơn này cũng là một hình
thức liên hệ Tốn học với thực tiễn.
 Truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng
dụng vào thực tế, tức là tiến hành các hoạt động “hành” theo nghĩa
rộng - một điều kiện để sẵn sàng tham gia lao động sản xuất và hoạt
động xã hội.
 Tăng cường vận dụng và thực hành toán học trong nhà trường và ở

ngồi nhà trường. Trong nội bộ mơn Tốn, cần cho học sinh giải
những bài tập có nội dung thực tế như giải bài tốn bằng cách lập
phương trình, ngun hàm - tích phân,…
Rõ ràng là thơng qua các bài tập ngun hàm - tích phân có nội dung
thực tiễn tạo ra những điều kiện thuận lợi để góp phần thực hiện nguyên lý
giáo dục tốt hơn.
Qua các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn, học sinh
thấy được lợi ích to lớn của việc ứng dụng tốn học vào thực tiễn; thấy được
vai trị “cơng cụ” khơng thể thiếu được của tốn học trong mọi lĩnh lực hoạt
động của con người. Qua đó góp phần nâng cao hứng thú học tập bộ môn,
làm cho các em thích, tìm tịi và ứng dụng thành cơng.
d) Góp phần rèn luyện ý thức và khả năng ứng dụng toán học vào thực tiễn,
giáo dục cho học sinh thói quen xem xét các vấn đề trong quan điểm “tối ưu”
Giải quyết các vấn đề trong thực tiễn bằng phương pháp hợp lý, ngắn
gọn, nâng cao năng suất lao động, hạ giá thành sản phẩm, tôn trọng hiệu quả
công việc - những yếu tố của “tác phong công nghiệp” của người lao động
trong xã hội cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa. Giải các bài tập loại này, ngoài
việc củng cố các kiến thức tốn học tương ứng, cịn có tác dụng đào tạo thế hệ
trẻ có đức tính cần thiết của người lao động mới, người quản lý kinh tế. Có
thể coi hệ thống bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn như là
một cái giá mang để giáo dục ý thức và tư duy ứng dụng, đặc biệt là tư duy về
hoạt động tối ưu đồng thời với việc dạy học các kiến thức Toán học.


8
e) Góp phần tăng cường nội dung về ứng dụng tốn học trong dạy học
tốn ở trường phổ thơng
Chúng ta đều biết rằng những kiến thức và phương pháp toán học được
lựa chọn và đưa vào dạy học ở trường phổ thơng phải là những kiến thức và
phương pháp tốn học phổ thông, cần thiết nhất, cơ bản nhất, căn cứ vào mục

tiêu của trường phổ thông và phản ánh được tinh thần, quan điểm, ngơn ngữ
và phương pháp tốn học hiện đại.
Vì vậy các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn khơng
những góp phần qn triệt ngun lý giáo dục mà cịn góp phần phản ánh
được tinh thần và sự phát triển của khoa học toán học hiện nay.
1.2. Về yêu cầu dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn về Nguyên hàm
- tích phân trong chƣơng trình mơn Tốn THPT
1.2.1. Mức độ đề cập và yêu cầu kiến thức của các bài tập có nội dung thực
tiễn trong chương trình Giải Tích 12 hiện hành
Các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn được đưa vào
chương trình Giải tích 12 hiện hành.
Chủ đề nguyên hàm, tích phân được đưa vào chương trình Giải tích 12
THPT hiện hành. Theo phân phối chương đổi mới mơn Tốn của THPT của
Bộ Giáo dục và Đào tạo, phần Đại số và Giải tích lớp 12 (theo chương trình
chuẩn) gồm 4 chương:
Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (20 tiết)
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 2: Cực trị của hàm số
Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 4: Đường tiệm cận
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit (17 tiết)
Bài 1: Lũy thừa
Bài 2: Hàm số lũy thừa
Bài 3: Lôgarit


9
Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Bài 5: Phương trình mũ, phương trình lơgarit

Bài 6: Bất chương trình mũ và bất phương trình lơgarit
Chương III: Ngun hàm, tích phân và ứng dụng (17 tiết)
Bài 1: Nguyên hàm
Bài 2: Tích phân
Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Chương IV: Số phức (9 tiết)
Bài 1: Số thức
Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức
Bài 3: Phép chia số phức
Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực
Mục tiêu dạy học chủ đề Ngun hàm tích phân:
Thơng qua chương trình mơn Tốn, góp phần hình thành và phát triển
năng lực Toán học với các yêu cầu cần đạt: Sử dụng được các phương pháp
lập luận, suy diễn để nhìn ra cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề, sử
dụng các mơ hình tốn học để mơ tả các tình huống từ đó đưa ra các cách giải
quyết vấn đề tốn học đặt ra trong mơ hình được thiết lập…
Hiểu được khái niệm nguyên hàm của một hàm số, hiểu được tính chất
cơ bản của nguyên hàm, xác định được nguyên hàm của một hàm số sơ cấp,
cơ bản, tìm được nguyên hàm trong những trường hợp đơn giản; biết được
định nghĩa và các tính chất của tích phân, tính được tích phân, sử dụng được
tích phân để tính diện tích của hình phẳng và thể tích của một số hình khối.
Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng dạy học chủ đề Nguyên hàm tích phân:
Trong chương III yêu cầu người dạy cần truyền đạt cho học sinh về
kiến thức: Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số; biết khái niệm về
diện tích hình thang cong, biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng
cơng thức Niu-tơn - Lai-bơ-nit, biết các tính chất của nguyên hàm, tích phân;
biết các cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối trịn
xoay nhờ tích phân. Yêu cầu về kĩ năng: Tìm được nguyên hàm của một số



10
hàm tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm
từng phần, sử dụng được các phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm;
tính được của tích phân của một số hàm tương đối đơn giản bằng định nghĩa
hoặc phương pháp tính tích phân từng phần, sử dụng được phương pháp đổi
biến số để tính tích phân; tính được diện tích hình phẳng và thể tích một số
khối trịn xoay nhờ tích phân.
1.2.2. Các dạng bài tập có nội dung thực tiễn về nguyên hàm, tích phân
trong chương trình Giải Tích 12 hiện hành
Các bài tập nguyên hàm - tích phân là mảng kiến thức mới, học sinh
được tiếp cận các kiến thức cơ bản, hệ thống cơng thức; giúp học sinh có một
nền tảng vững chắc để giải các bài tập thông thường, tiền đề cho các bài tốn
khó cũng như các bài tốn liên quan đến thực tế.
Tuy vậy, bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn chưa
thực sự được chú trọng, số lượng bài tập cịn ít. Phần lớn các bài tập ngun
hàm - tích phân có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa chưa nhiều. Trong
chương III, Giải tích 12 nâng cao số lượng bài tập áp dụng tích phân để tính
diện tích hình phẳng là 5 trên tổng số 40, tính thể tích vật thể là 10 trên 40 bài.
Cịn ở Giải tích 12 cơ bản tổng số có 15 bài trong đó có 3 bài tính diện tích
hình phẳng và 2 bài tính thể tích vật thể. Các bài tập thực tiễn được đề cập
đến chưa nhiều, chưa thấy rõ vai trò của nguyên hàm, tích phân trong thực
tiễn. Số lượng bài tập cịn hạn chế, chưa được phong phú đa dạng.
Như vậy, tính thực tiễn được phản ánh trong nội dung chương trình và
SGK mơn Tốn THPT tuy đã được quan tâm, nhưng chưa thường xuyên, tỉ lệ
bài mang nội dung thực tiễn cịn thấp. Chính vì nội dung thực tiễn trong SGK
tốn THPT hiện nay cịn ít, thiếu tính phong phú nên không tạo điều kiện để
giáo viên khai thác nội dung thực tế trong dạy học một cách thường xuyên.
Bởi lẽ đó cần có sự định hướng cụ thể về việc khai thác bổ sung và làm phong
phú thêm các nội dung thực tế trong dạy học toán nhằm làm giờ học thêm
sinh động, nâng cao giá trị thực tiễn của kiến thức, góp phần đáp ứng yêu cầu,

mục tiêu giáo dục Toán học THPT trong giai đoạn hiện nay.


11
Ứng dụng của nguyên hàm - tích phân gồm 2 mảng chính, đó là tính
diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể. Sau đây là một số dạng tốn
thường gặp.
Trong chương trình lớp 12 hiện hành, các bài tập có nội dung thực tiễn
được tập chung dưới một số dạng bài tập:
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x 
(liên tục trên đoạn  a, b ), hai đường thẳng x  a , x  b và trục Ox .
Để giải bài toán này ta thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:
b

S   f  x  dx
a

Bƣớc 2: Xét dấu biểu thức f  x  trên  a, b
Từ đó phân được đoạn  a, b thành các đoạn nhỏ, giả sử:

 a, b   a, c   c , c   ...  c , b
1

1

2

k


Mà trên mỗi đoạn f  x  có một dấu
Bƣớc 3: Khi đó:
S

c1

c2

b

a

c1

ck

 f  x  dx   f  x  dx  ...   f  x  dx.

Chú ý: Nếu bài tốn phát biểu dưới dạng “ Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số x  f  y  (liên tục trên đoạn  a, b ), hai đường thẳng
y  a, y  b và trục Oy ”. Khi đó cơng thức tính diện tích là:
b

S   f  y  dy
a

Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  ,
y  g  x  (liên tục trên đoạn  a, b ), hai đường thẳng x  a, x  b .
b


Gọi S là diện tích cần xác định, ta có: S   f  x   g  x  dx
a


12
Các bước còn lại làm tương tự như phần bài tốn 1.
Bài tốn 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
y  f  x, y  g  x .

Bƣớc 1: Xét phương trình: f  x   g  x   0  nghiệm x1  x2  ...  xk
Bƣớc 2: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:
xk

S   f  x   g  x  dx
x1
x2

x3

x1

x2

=  f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx  ... 

k

 f  x   g  x  dx.
xk 1


Bài tốn 4: Tính diện tích của hình Elip.
x2 y 2
Cho Elip  E  : 2  2  1
a b

Suy ra phương trình của  E  trong góc phần tư thứ I là y 

b 2
a  x2 .
a

Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:
S  4S1 

4b a 2
a  x 2 dx.

a 0

(1)

Để tính (1) ta thực hiện phép đổi biến
Đặt: x  a sin t , với 


2

t 



2

 dx  a cos t.dt .

x 0t 0

Đổi cận: với

xat 


2







2

2

2

0

0


0

Khi đó: S  4ab  a 2  a 2 sin 2 t .costdt  4ab cos t cos tdt  4ab cos2 tdt




 1
2
 2ab  1  cos 2t  dt  2ab  t  sin 2t    ab.
 2
0
0
2

Dạng 2: Tính thể tích vật thể
Bài tốn 1: Tính thể tích vật thể T .


13
Bƣớc 1: Giả sử vật thể T được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song

  ,    .

Ox    ,Ox     a
Ta chọn trục Ox sao cho: 

Ox     , Ox      b

Bƣớc 2: giả sử mặt phẳng    Ox và    Ox  x  a  x  b  cắt T theo

một thiết diện có diện tích S  x  (là hàm số liên tục theo biến x ). Khi đó:
b

VT   S  x dx.
a

Bài tốn 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi
y  f  x  , x  a, x  b, y  0 quay quanh trục Ox .

Áp dụng công thức:
b

b

V    y dx    f 2  x  dx.
2

a

a

Bài tốn 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi
x  f  y  , y  a, y  b, x  0, quay quanh trục Oy .

Áp dụng công thức:
b

b

a


a

V    x 2 dy    f 2  y dy.

Bài tốn 4: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi miền  D  giới hạn bởi
một đường  C  kín.
Ta xét hai trường hợp sau:
Trƣờng hợp 1: Khi quay quanh trục Ox , ta thực hiện theo hai bước sau:
Bƣớc 1: Phân đường cong kín  C  thành hai cung  C1  : y  f1  x   y1 và

C  : y  f  x   y
2

2

2

với a  x  b và f1  x  , f 2  x  cùng dấu.

Bƣớc 2: Thể tích cần xác định được cho bởi:
b

V    y12  y22 dx.
a

Trƣờng hợp 2: Khi quay quanh Oy , ta thực hiện theo hai bước sau:


14

Bƣớc 1: Phân đường cong kín  C  thành hai cung  C1  : x  f1  y   x1 và

C  : x  f  y   x
2

2

2

với a  y  b và f1  y  , f 2  y  cùng dấu.
b

Bƣớc 2: Thể tích cần xác định được cho bởi: V    x12  x22 dy.
a

Dạng 3: Bài tập về tính các yếu tố chuyển động
S : Quãng đường, t : Thời gian, v  t  : Hàm vận tốc tại thời điểm t , a  t  :

Hàm gia tốc tại thời điểm t .
Quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian nào là tích phân của
hàm vận tốc khi biến t chạy trong khoảng thời gian nào đó.
t2

S   v  t dt

( t1  t2 )

t1

Đạo hàm của vận tốc v  t  tại thời điểm t chính là gia tốc của vật chuyển động

tại thời điểm đó. Khi đó hàm v  t  được tính bởi v  t    a  t dt .
Dạng 4: Bài tập về toán kinh tế
Bài toán 1: Xác định quỹ vốn đầu tư
Cho hàm đầu tư I  t  . Hãy xác định hàm quỹ vốn K  t  ?
Phương pháp giải
Bƣớc 1: Lượng đầu tư I  t  tại thời điểm t chính là lượng bổ sung quỹ vốn tại
thời điểm đó. Nói cách khác, I  t  là tốc độ tăng của K  t  , do đó:
I t   K t 

Bƣớc 2: Nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta có thể xác định được quỹ vốn K(t):
K (t )   I (t )dt

Dạng 5: Bài tập về sinh học
Gọi tốc độ phát triển của vi khuẩn là F   t  . Tính số vi khuẩn sau t ngày.
Bƣớc 1: Số lượng vi khuẩn vào ngày thứ t được tính theo cơng thức:
F  t    F   t  dt


15
Bƣớc 2: Vì tính ngun hàm là hàm vơ số giá trị nên cần tìm ra được hằng số
C bằng dữ kiện của bài toán

Bƣớc 3: Số vi khuẩn sau t  a ngày là F  a  .
1.2.3. Về các bước giải bài tốn ngun hàm, tích phân có nội dung thực tiễn
Theo [13], việc tốn học hố một phạm vi hiện tượng nào đó nói chung
là phải trải qua 3 giai đoạn: Giai đoạn đầu là chuyển từ sự mơ tả về chất (định
tính) sang mơ tả về lượng (định lượng); giai đoạn thứ hai là tìm cách lọc ra
được những khái niệm cơ bản thuộc đối tượng nghiên cứu; giai đoạn thứ ba là
xây dựng nên lý thuyết toán học của đối tượng nghiên cứu.
Trong [5] đã xác định các ứng dụng thực tiễn của toán học được tiếp

cận và giải quyết theo ba bước chính sau: (1) tốn học hố tình huống thực
tiễn; (2) dùng cơng cụ tốn học để giải quyết bài tốn trong mơ hình tốn học;
(3) chuyển kết quả trong mơ hình toán học sang lời giải của bài toán [5, tr.168].
Như vậy, việc ứng dụng toán học vào giải các bài tốn thực tiễn nói chung
đều phải thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xây dựng mơ hình tốn học của bài toán thực tiễn
Bước 2: Giải bài toán toán học theo mơ hình đã xây dựng
Bước 3: Từ kết quả bài toán toán học đã giải được, trả kết quả cho bài
tốn thực tiễn ban đầu.
Các bài tốn có nội dung thực tiễn giải bằng nguyên hàm, tích phân
cũng được thực hiện theo các bước như trên. Tuy nhiên, việc thực hiện bước 1
đòi hỏi hai khâu: Khâu xác định hàm và khâu thiết lập nguyên hàm, tích phân
của hàm số. Do đó, có thể coi việc giải các bài tốn thực tiễn về ngun hàm,
tích phân bao gồm 4 bước:
Bước 1: Xác định được hàm số liên quan từ bài toán thực tiễn
Bước 2: Thiết lập được nguyên hàm, tích phân cần tính để giải bài tốn thực tiễn
Bước 3: Tính nguyên hàm, tích phân đã thiết lập từ bước 2
Bước 4: Trả kết quả cho bài toán thực tiễn ban đầu
Trong bước 1:


16
- Căn cứ vào các đại lượng, số liệu của bài toán thực tiễn, (đại lượng cố
định, đại lượng biến đổi) để phân tích và thiết lập mối liên hệ giữa chúng dưới
dạng các biểu thức, các hàm số.
- Sử dụng các kiến thức đã có của học sinh để thiết lập các nguyên
hàm, tích phân cần tính phục vụ cho việc giải bài toán.
Trong bước 2: Sử dụng các phương pháp, kĩ thuật tính nguyên hàm, tích phân
để thực hiện tính nguyên hàm, tích phân (hoặc các yếu tố liên quan tới các hệ
số hằng số đối với nguyên hàm) đã được thiết lập trong bước 1

Trong bước 3: Từ kết quả của bước 2, người học sẽ trả lời kết quả cho bài
toán thực tiễn ban đầu.
1.3. Thực trạng vấn đề dạy học chủ đề Nguyên hàm - tích phân ở một số
trƣờng THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ
1.3.1. Nội dung điều tra
Để tìm hiểu thực trạng vấn đề dạy học chủ đề Nguyên hàm - tích phân
ở một số trường THPT, chúng tôi đã tiến hành điều tra trên giáo viên dạy mơn
Tốn và học sinh ở một số lớp tại một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Phú
Thọ trên quy mô nhỏ với 10 GV dạy tốn ở ba trường THPT. Việc tìm hiểu
thực trạng được tiến hành tập trung vào các vấn đề sau:
- Tìm hiểu thực trạng nhận thức của giáo viên THPT về vai trị của việc sử
dụng các bài tốn thực tiễn trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông.
- Thực trạng việc xây dựng, sử dụng các bài tốn thực tiễn về Ngun
hàm - tích phân trong dạy học của giáo viên.
- Các khó khăn giáo viên thường gặp khi dạy học các bài tốn có nội
dung thực tiễn về nguyên hàm - tích phân cho học sinh lớp 12.
- Khả năng, tốc độ thực hiện giải các bài tập có nội dung thực tiễn của
HS lớp 12 (đối với HS).
1.3.2. Kết quả điều tra
1.3.2.1. Thực trạng nhận thức của giáo viên THPT về vai trò của việc sử dụng
các bài toán thực tiễn trong dạy học Tốn ở trường Trung học phổ thơng


17
Từ kết quả của phiếu điều tra cho thấy, 90% thầy (cô) cho rằng xu
hướng giáo dục hiện nay cần chú trọng tới các bài toán thực tiễn. Việc đưa
các bài tốn ngun hàm - tích phân có nội dung thực tiễn vào giảng dạy đã
được giáo viên thực hiện, nhưng không nhiều, chủ yếu là các bài tập trong
sách giáo khoa, bài tập khơng có tính sáng tạo trong phạm vi của sách giáo
khoa và sách bài tập. Thể hiện qua 85% giáo viên cho rằng việc đưa vào

giảng dạy những bài tập ngun hàm, tích phân có nội dung thực tiễn là rất
cần thiết, tuy nhiên do thời gian trên lớp còn hạn chế nên việc đưa vào giảng
dạy cịn gặp nhiều khó khăn, hạn chế.
Do đó, khi giải các bài tốn thực tiễn dẫn đến tình trạng học sinh
thường lúng túng, thậm chí khơng làm hồn chỉnh được những bài toán thực
ra rất cơ bản và ở mức độ trung bình. Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc
vận dụng kiến thức Tốn học vào cuộc sống.
Chính vì vậy, mức độ hứng thú học tập phần ứng dụng tích phân là
chưa cao. Theo khảo sát cho thấy, 70% giáo viên nhận xét rằng các em cảm
thấy bình thường khi học ứng dụng tích phân, 28% là khơng thích, cịn lại 2%
là rất thích thú. Các em chưa được cọ sát với các bài có nội dung thực tiễn nhiều,
nên cảm thấy khó khăn, chán nản và khơng gây được hứng thú cho các em.
Từ các số liệu phân tích theo phiếu điều tra thì thấy giáo viên đã nhận
thức được đầy đủ vai trò của việc sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học
Toán ở trường Trung học phổ thông, nhất là trong bối cảnh hiện nay (thi
THPT quốc gia).
1.3.2.2. Đánh giá việc xây dựng và sử dụng các bài toán thực tiễn về Nguyên
hàm - tích phân trong dạy học của giáo viên
Từ kết quả điều tra cho thấy, đa số giáo viên cho rằng việc xây dựng và
sử dụng các bài toán thực tiễn là rất cần thiết cho quá trình dạy học, nhưng
vẫn cịn gặp rất nhiều khó khăn. Do các ngun nhân sau: 65% cho rằng số
lượng các bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn trong chương
trình đề cập cịn ít, thiếu tính hệ thống. 20% cho rằng qũy thời gian giảng dạy
hạn hẹp, việc tăng cường các bài tập ngun hàm - tích phân có nội dung thực


18
tiễn còn bị hạn chế. Khả năng giải các bài tập ngun hàm - tích phân có nội
dung thực tiễn của học sinh còn chưa tốt. Tài liệu tham khảo, định hướng việc
sưu tầm, lựa chọn, sử dụng các bài tập ngun hàm - tích phân có nội dung

thực tiễn cho học sinh THPT chưa phong phú. Còn lại một số nguyên nhân
khác mà giáo viên đề cập đến qua phiếu điều tra.
Một số giáo viên khác lại cho rằng, việc xây dựng các bài tốn thực tiễn
là khơng cần thiết, vì khi xây dựng rất mất thời gian, tốn cơng sức mà các bài
tốn đã được đề cập trong trương trình.
Chính vì vậy, việc xây dựng và sử dụng các bài tốn thực tiễn cịn rất
hạn chế. Chủ yếu là các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập. Chưa
đào sâu được các bài toán thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng thiếu tính chặt chẽ,
mạch lạc. Trình bày chưa được hệ thống dẫn tới hiệu quả của giảng dạy chưa
cao, chưa gây được hứng thú cho học sinh cũng như chưa chỉ ra được tầm
quan trọng của các bài toán thực tiễn cũng như ứng dụng của bài tốn vào đời
sống hàng ngày.
Trong thời kì hội nhập, với đề thi THPT hiện nay, việc vận dụng bài
tốn vào thực tiễn là vơ cùng quan trọng. Trong các dạng tốn thì tốn thực
tiễn là tương đối khó, địi hỏi người giải khơng chỉ vận dụng kiến thức tốn
học mà cịn dùng cả kiến thức của thực tế đời sống. Do vậy, mỗi giáo viên cần
chú trọng tới các bài tốn thực tiễn, để các em có cơ hội va trạm đến các bài
tốn đó. Giúp các em không bị bỡ ngỡ hay lúng túng trước một bài toán thực
tiến, đặc biệt là bài toán thực tiễn thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân.
1.3.2.3. Thực trạng khả năng, tốc độ thực hiện giải các bài tập có nội dung
thực tiễn của HS lớp 12
Đối với học sinh, chúng tôi điều tra bằng bài kiểm tra.
Với ý định sư phạm đã nói, mỗi đề kiểm tra dành cho học sinh gồm hai bài tập:
Bài 1: Tính diện tích của mặt phẳng và thể tích của vật thể.
Bài 2: Bài tập này là một tình huống thực tế, địi hỏi người giải phải xây dựng
được một hàm và các cận cho phù hợp với tình huống.
Chúng tơi xin giới thiệu một trong số các đề kiểm tra: